4.1 परिचय

पिछली कक्षाओं में, आपने एक चर वाले रैखिक समीकरणों का अध्ययन किया है। क्या आप एक चर वाला एक रैखिक समीकरण लिख सकते हैं? आप कह सकते हैं कि $x+1=0, x+\sqrt{2}=0$ और $\sqrt{2} y+\sqrt{3}=0$ एक चर वाले रैखिक समीकरणों के उदाहरण हैं। आप यह भी जानते हैं कि ऐसे समीकरणों का एक अद्वितीय (अर्थात्, एक और केवल एक) हल होता है। आपको यह भी याद होगा कि संख्या रेखा पर हल को कैसे निरूपित किया जाता है। इस अध्याय में, एक चर वाले रैखिक समीकरणों के ज्ञान को याद किया जाएगा और दो चरों वाले समीकरणों तक विस्तारित किया जाएगा। आप इस तरह के प्रश्नों पर विचार करेंगे: क्या दो चरों वाले एक रैखिक समीकरण का कोई हल होता है? यदि हाँ, तो क्या यह अद्वितीय होता है? कार्तीय तल पर हल कैसा दिखता है? आप इन प्रश्नों के उत्तर देने के लिए अध्याय 3 में अध्ययन की गई अवधारणाओं का भी उपयोग करेंगे।

4.2 रैखिक समीकरण

आइए पहले याद करें कि आपने अब तक क्या पढ़ा है। निम्नलिखित समीकरण पर विचार करें:

2 x+5=0

इसका हल, अर्थात् समीकरण का मूल, $-\frac{5}{2}$ है। इसे नीचे दिखाए अनुसार संख्या रेखा पर निरूपित किया जा सकता है:

चित्र 4.1

किसी समीकरण को हल करते समय, आपको हमेशा निम्नलिखित बातों का ध्यान रखना चाहिए:

एक रैखिक समीकरण का हल प्रभावित नहीं होता है जब:

(i) समीकरण के दोनों पक्षों में एक ही संख्या जोड़ी (या घटाई) जाती है।

(ii) आप समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही अशून्य संख्या से गुणा या भाग करते हैं।

आइए अब निम्नलिखित स्थिति पर विचार करें: नागपुर में खेले गए भारत और श्रीलंका के बीच एक एकदिवसीय अंतर्राष्ट्रीय क्रिकेट मैच में, दो भारतीय बल्लेबाजों ने मिलकर 176 रन बनाए। इस सूचना को एक समीकरण के रूप में व्यक्त करें।

यहाँ, आप देख सकते हैं कि उनमें से किसी का भी स्कोर ज्ञात नहीं है, अर्थात् दो अज्ञात राशियाँ हैं। आइए उन्हें निरूपित करने के लिए $x$ और $y$ का उपयोग करें। तो, एक बल्लेबाज द्वारा बनाए गए रनों की संख्या $x$ है, और दूसरे द्वारा बनाए गए रनों की संख्या $y$ है। हम जानते हैं कि

x+y=176

जो कि अभीष्ट समीकरण है।

यह दो चरों वाले एक रैखिक समीकरण का एक उदाहरण है। ऐसे समीकरणों में चरों को $x$ और $y$ से निरूपित करने की प्रथा है, लेकिन अन्य अक्षरों का भी उपयोग किया जा सकता है। दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के कुछ उदाहरण हैं:

$1.2 s+3 t=5, p+4 q=7, \pi u+5 v=9 \text { और } 3=\sqrt{2} x-7 y$

ध्यान दें कि आप इन समीकरणों को क्रमशः इस रूप में रख सकते हैं:

$$1.2 s+3 t-5=0$, $p+4 q-7=0, \pi u+5 v-9=0$$

और

$$\sqrt{2} x-7 y-3=0$$

इसलिए, कोई भी समीकरण जिसे $a x+b y+c=0$ के रूप में रखा जा सकता है, जहाँ $a, b$ और $c$ वास्तविक संख्याएँ हैं, और $a$ और $b$ दोनों शून्य नहीं हैं, दो चरों वाला एक रैखिक समीकरण कहलाता है। इसका अर्थ है कि आप ऐसे अनेकों समीकरणों के बारे में सोच सकते हैं।

उदाहरण 1 : निम्नलिखित प्रत्येक समीकरण को $a x+b y+c=0$ के रूप में लिखिए और प्रत्येक स्थिति में $a, b$ और $c$ के मान बताइए:

(i) $2 x+3 y=4.37$

(ii) $x-4=\sqrt{3} y$

(iii) $4=5 x-3 y$

(iv) $2 x=y$

हल : (i) $2 x+3 y=4.37$ को $2 x+3 y-4.37=0$ के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ $a=2, b=3$ और $c=-4.37$।

(ii) समीकरण $x-4=\sqrt{3} y$ को $x-\sqrt{3} y-4=0$ के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ $a=1$, $b=-\sqrt{3}$ और $c=-4$।

(iii) समीकरण $4=5 x-3 y$ को $5 x-3 y-4=0$ के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ $a=5, b=-3$ और $c=-4$। क्या आप सहमत हैं कि इसे $-5 x+3 y+4=0$ के रूप में भी लिखा जा सकता है? इस स्थिति में $a=-5, b=3$ और $c=4$।

(iv) समीकरण $2 x=y$ को $2 x-y+0=0$ के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ $a=2, b=-1$ और $c=0$।

$a x+b=0$ प्रकार के समीकरण भी दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के उदाहरण हैं क्योंकि उन्हें इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: a x+0 . y+b=0

उदाहरण के लिए, $4-3 x=0$ को $-3 x+0 . y+4=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

उदाहरण 2 : निम्नलिखित प्रत्येक को दो चरों वाले समीकरण के रूप में लिखिए:

(i) $x=-5$

(ii) $y=2$

(iii) $2 x=3$

(iv) $5 y=2$

हल :

(i) $x=-5$ को $1 . x+0 . y=-5$, या $1 . x+0 . y+5=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(ii) $y=2$ को $0 . x+1 . y=2$, या $0 . x+1 . y-2=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(iii) $2 x=3$ को $2 x+0 . y-3=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(iv) $5 y=2$ को $0 . x+5 y-2=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

4.3 एक रैखिक समीकरण का हल

आपने देखा है कि एक चर वाले प्रत्येक रैखिक समीकरण का एक अद्वितीय हल होता है। दो चरों वाले रैखिक समीकरण के हल के बारे में आप क्या कह सकते हैं? चूँकि समीकरण में दो चर हैं, एक हल का अर्थ है मानों का एक युग्म, एक $x$ के लिए और एक $y$ के लिए, जो दिए गए समीकरण को संतुष्ट करते हैं। आइए समीकरण $2 x+3 y=12$ पर विचार करें। यहाँ, $x=3$ और $y=2$ एक हल है क्योंकि जब आप उपरोक्त समीकरण में $x=3$ और $y=2$ रखते हैं, तो आप पाते हैं कि

$2 x+3 y=(2 \times 3)+(3 \times 2)=12$

इस हल को एक क्रमित युग्म $(3,2)$ के रूप में लिखा जाता है, पहले $x$ के लिए मान और फिर $y$ के लिए मान लिखकर। इसी प्रकार, $(0,4)$ भी उपरोक्त समीकरण का एक हल है।

दूसरी ओर, $(1,4)$, $2 x+3 y=12$ का हल नहीं है, क्योंकि $x=1$ और $y=4$ रखने पर हमें $2 x+3 y=14$ प्राप्त होता है, जो 12 नहीं है। ध्यान दें कि $(0,4)$ एक हल है लेकिन $\operatorname{not}(4,0)$।

आपने $2 x+3 y=12$ के लिए कम से कम दो हल देखे हैं, अर्थात् $(3,2)$ और $(0,4)$। क्या आप कोई अन्य हल पा सकते हैं? क्या आप सहमत हैं कि $(6,0)$ एक अन्य हल है? इसे सत्यापित करें। वास्तव में, हम निम्नलिखित तरीके से अनेकों हल प्राप्त कर सकते हैं। $2 x+3 y=12$ में $x(\operatorname{say} x=2)$ के लिए अपनी पसंद का एक मान चुनें। तब समीकरण घटकर $4+3 y=12$ हो जाता है, जो एक चर वाला एक रैखिक समीकरण है। इसे हल करने पर, आपको $y=\frac{8}{3}$ प्राप्त होता है। अतः $\left(2, \frac{8}{3}\right)$, $2 x+3 y=12$ का एक अन्य हल है। इसी प्रकार, $x=-5$ चुनने पर, आप पाते हैं कि समीकरण $-10+3 y=12$ हो जाता है। इससे $y=\frac{22}{3}$ प्राप्त होता है। अतः, $\left(-5, \frac{22}{3}\right)$, $2 x+3 y=12$ का एक अन्य हल है। इसलिए दो चरों वाले एक रैखिक समीकरण के विभिन्न हलों का कोई अंत नहीं है। अर्थात्, दो चरों वाले एक रैखिक समीकरण के अपरिमित रूप से अनेक हल होते हैं।

उदाहरण 3 : समीकरण $x+2 y=6$ के चार भिन्न हल ज्ञात कीजिए।

हल : निरीक्षण द्वारा, $x=2, y=2$ एक हल है क्योंकि $x=2, y=2$ के लिए

$$ x+2 y=2+4=6 $$

अब, आइए $x=0$ चुनें। $x$ के इस मान के साथ, दिया गया समीकरण घटकर $2 y=6$ हो जाता है जिसका अद्वितीय हल $y=3$ है। अतः $x=0, y=3$ भी $x+2 y=6$ का एक हल है। इसी प्रकार, $y=0$ लेने पर, दिया गया समीकरण घटकर $x=6$ हो जाता है। अतः, $x=6, y=0$ भी $x+2 y=6$ का एक हल है। अंत में, आइए $y=1$ लें। दिया गया समीकरण अब घटकर $x+2=6$ हो जाता है, जिसका हल $x=4$ द्वारा दिया जाता है। इसलिए, $(4,1)$ भी दिए गए समीकरण का एक हल है। अतः दिए गए समीकरण के अपरिमित रूप से अनेक हलों में से चार हैं:

$(2,2),(0,3),(6,0) \text { and }(4,1) \text {. }$

टिप्पणी : ध्यान दें कि एक हल प्राप्त करने का एक आसान तरीका $x=0$ लेना और $y$ का संगत मान प्राप्त करना है। इसी प्रकार, हम $y=0$ रख सकते हैं और $x$ का संगत मान प्राप्त कर सकते हैं।

उदाहरण 4 : निम्नलिखित प्रत्येक समीकरण के दो-दो हल ज्ञात कीजिए:

(i) $4 x+3 y=12$

(ii) $2 x+5 y=0$

(iii) $3 y+4=0$

हल : (i) $x=0$ लेने पर, हमें $3 y=12$ प्राप्त होता है, अर्थात् $y=4$। अतः, $(0,4)$ दिए गए समीकरण का एक हल है। इसी प्रकार, $y=0$ लेने पर, हमें $x=3$ प्राप्त होता है। इस प्रकार, $(3,0)$ भी एक हल है।

(ii) $x=0$ लेने पर, हमें $5 y=0$ प्राप्त होता है, अर्थात् $y=0$। अतः $(0,0)$ दिए गए समीकरण का एक हल है। अब, यदि आप $y=0$ लेते हैं, तो आपको पुनः $(0,0)$ एक हल के रूप में प्राप्त होता है, जो पिछले वाले के समान है। एक अन्य हल प्राप्त करने के लिए, मान लीजिए $x=1$ लें। तब आप जाँच कर सकते हैं कि $y$ का संगत मान $-\frac{2}{5} \cdot$ है। अतः $\left(1,-\frac{2}{5}\right)$, $2 x+5 y=0$ का एक अन्य हल है।

(iii) समीकरण $3 y+4=0$ को $0 \cdot x+3 y+4=0$ के रूप में लिखने पर, आप पाएँगे कि $x$ के किसी भी मान के लिए $y=-\frac{4}{3}$ होता है। इस प्रकार, दो हल $\left(0,-\frac{4}{3}\right)$ और $\left(1,-\frac{4}{3}\right)$ के रूप में दिए जा सकते हैं।

4.4 सारांश

इस अध्याय में, आपने निम्नलिखित बिंदुओं का अध्ययन किया है:

1. $a x+b y+c=0$ के रूप का एक समीकरण, जहाँ $a, b$ और $c$ वास्तविक संख्याएँ हैं, ऐसे कि $a$ और $b$ दोनों शून्य नहीं हैं, दो चरों वाला एक रैखिक समीकरण कहलाता है।

2. दो चरों वाले एक रैखिक समीकरण के अपरिमित रूप से अनेक हल होते हैं।

3. दो चरों वाले एक रैखिक समीकरण के आलेख पर प्रत्येक बिंदु उस रैखिक समीकरण का एक हल होता है। इसके अलावा, रैखिक समीकरण का प्रत्येक हल उस रैखिक समीकरण के आलेख पर एक बिंदु होता है।