8.1 সামান্তৰিকৰ ধৰ্ম

আপুনি ইতিমধ্যে অষ্টম শ্ৰেণীত চতুৰ্ভুজ আৰু ইয়াৰ প্ৰকাৰসমূহ অধ্যয়ন কৰিছে। এটা চতুৰ্ভুজৰ চাৰিটা বাহু, চাৰিটা কোণ আৰু চাৰিটা শীৰ্ষবিন্দু থাকে। সামান্তৰিক হৈছে এনে এটা চতুৰ্ভুজ যাৰ বিপৰীত বাহুৰ দুয়োযোৰ সমান্তৰাল। আহক, এটা কাৰ্যকলাপ সম্পাদনা কৰোঁ।

কাগজৰ টুকুৰা এটাৰ পৰা এটা সামান্তৰিক কাটি উলিয়াওক আৰু ইয়াক কৰ্ণ এটাৰ বাবে কাটক (চিত্ৰ 8.1 চাওক)। আপুনি দুটা ত্ৰিভূজ পাব। এই ত্ৰিভূজসমূহৰ বিষয়ে আপুনি কি ক’ব পাৰে?

এটা ত্ৰিভূজ আনটোৰ ওপৰত ৰাখক। প্ৰয়োজন হ’লে এটাক ঘূৰাই দিয়ক। আপুনি কি লক্ষ্য কৰে?

লক্ষ্য কৰক যে দুয়োটা ত্ৰিভূজ পৰস্পৰৰ সৰ্বসম।

চিত্ৰ 8.1

আন কেইটামান সামান্তৰিকৰ সৈতে এই কাৰ্যকলাপ পুনৰাবৃত্তি কৰক। প্ৰতিবাৰেই আপুনি লক্ষ্য কৰিব যে প্ৰতিটো কৰ্ণই সামান্তৰিকটোক দুটা সৰ্বসম ত্ৰিভূজত বিভক্ত কৰে। আহক, এতিয়া এই ফলাফলটো প্ৰমাণ কৰোঁ।

প্ৰমেয় 8.1 : সামান্তৰিকৰ এটা কৰ্ণই ইয়াক দুটা সৰ্বসম ত্ৰিভূজত বিভক্ত কৰে।

প্ৰমাণ : ধৰা হওক $A B C D$ এটা সামান্তৰিক আৰু $A C$ এটা কৰ্ণ (চিত্ৰ 8.2 চাওক)। লক্ষ্য কৰক যে কৰ্ণ $\mathrm{AC}$ য়ে সামান্তৰিক $\mathrm{ABCD}$ ক দুটা ত্ৰিভূজত বিভক্ত কৰে, অৰ্থাৎ $\triangle \mathrm{ABC}$ আৰু $\triangle \mathrm{CDA}$। আমি প্ৰমাণ কৰিব লাগিব যে এই ত্ৰিভূজ দুটা সৰ্বসম।

চিত্ৰ 8.2

$\triangle \mathrm{ABC}$ আৰু $\triangle \mathrm{CDA}$ ত, লক্ষ্য কৰক যে $\mathrm{BC} || \mathrm{AD}$ আৰু $\mathrm{AC}$ এটা ছেদক।

গতিকে, $\quad \angle \mathrm{BCA}=\angle \mathrm{DAC}$ (একান্তৰ কোণৰ যোৰ)

আকৌ, $\quad\mathrm{AB} | \mathrm{DC}$ আৰু $\mathrm{AC}$ এটা ছেদক।

গতিকে, $\quad \angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{DCA}$ (একান্তৰ কোণৰ যোৰ)

আৰু $\quad \mathrm{AC}=\mathrm{CA}\quad$(সাধাৰণ)

গতিকে, $\quad \Delta \mathrm{ABC} \cong \triangle \mathrm{CDA}\quad$(ASA নিয়ম)

বা, কৰ্ণ $\mathrm{AC}$ য়ে সামান্তৰিক $\mathrm{ABCD}$ ক দুটা সৰ্বসম ত্ৰিভূজ $\mathrm{ABC}$ আৰু $\mathrm{CDA}$ ত বিভক্ত কৰে।

এতিয়া, সামান্তৰিক $A B C D$ ৰ বিপৰীত বাহুবোৰ জোখক। আপুনি কি লক্ষ্য কৰে?

আপুনি দেখিব যে $\mathrm{AB}=\mathrm{DC}$ আৰু $\mathrm{AD}=\mathrm{BC}$।

এইটো সামান্তৰিকৰ আন এটা ধৰ্ম যিটো তলত উল্লেখ কৰা হৈছে:

প্ৰমেয় 8.2 : সামান্তৰিকৰ বিপৰীত বাহুবোৰ সমান।

আপুনি ইতিমধ্যে প্ৰমাণ কৰিছে যে এটা কৰ্ণই সামান্তৰিকটোক দুটা সৰ্বসম ত্ৰিভূজত বিভক্ত কৰে; গতিকে অনুক্ৰমিক অংশবোৰৰ বিষয়ে আপুনি কি ক’ব পাৰে, যেনে অনুক্ৰমিক বাহুবোৰ? সিহঁত সমান।

গতিকে, $\mathrm{AB}=\mathrm{DC}$ আৰু $\mathrm{AD}=\mathrm{BC}$

এতিয়া এই ফলাফলটোৰ বিপৰীতটো কি? আপুনি ইতিমধ্যে জানে যে প্ৰমেয়ত যি দিয়া থাকে, বিপৰীততো সেইটোৱেই প্ৰমাণ কৰিব লাগে আৰু প্ৰমেয়ত যি প্ৰমাণ কৰা হয় বিপৰীতত সেইটোৱেই দিয়া থাকে। এইদৰে, প্ৰমেয় 8.2 ক তলত দিয়া ধৰণেৰে কোৱা হ’ব পাৰে:

যদি এটা চতুৰ্ভুজ সামান্তৰিক হয়, তেন্তে ইয়াৰ বিপৰীত বাহুৰ প্ৰতিযোৰ সমান হয়। গতিকে ইয়াৰ বিপৰীতটো হ’ল:

প্ৰমেয় 8.3 : যদি চতুৰ্ভুজৰ বিপৰীত বাহুৰ প্ৰতিযোৰ সমান হয়, তেন্তে ই সামান্তৰিক হয়।

আপুনি কাৰণ দৰ্শাব পাৰেনে?

ধৰা হওক চতুৰ্ভুজ $\mathrm{ABCD}$ ৰ বাহু $\mathrm{AB}$ আৰু $\mathrm{CD}$ সমান আৰু $\mathrm{AD}=\mathrm{BC}$ও (চিত্ৰ 8.3 চাওক)। কৰ্ণ AC অঁকা হ’ল।

চিত্ৰ 8.3

স্পষ্টভাৱে, $\quad \triangle \mathrm{ABC} \cong \triangle \mathrm{CDA}\quad$(কিয়?)

গতিকে, $\quad \angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{DCA}$

আৰু $\quad \angle \mathrm{BCA}=\angle \mathrm{DAC}\quad$(কিয়?)

এতিয়া আপুনি ক’ব পাৰেনে যে ABCD এটা সামান্তৰিক? কিয়?

আপুনি ইয়াকেই দেখিলে যে সামান্তৰিকত বিপৰীত বাহুৰ প্ৰতিযোৰ সমান আৰু বিপৰীতকৈ যদি চতুৰ্ভুজৰ বিপৰীত বাহুৰ প্ৰতিযোৰ সমান হয়, তেন্তে ই সামান্তৰিক হয়। বিপৰীত কোণৰ যোৰৰ বাবে আমি একে ফলাফলটো ওলাব পাৰোনে?

এটা সামান্তৰিক অঁকা আৰু ইয়াৰ কোণবোৰ জোখক। আপুনি কি লক্ষ্য কৰে?

প্ৰতিযোৰ বিপৰীত কোণ সমান।

আন কেইটামান সামান্তৰিকৰ সৈতে এইটো পুনৰাবৃত্তি কৰক। আমি তলত দিয়া ধৰণেৰে আন এটা ফলাফললৈ আহোঁ।

প্ৰমেয় 8.4 : সামান্তৰিকৰ বিপৰীত কোণবোৰ সমান।

এতিয়া, এই ফলাফলটোৰ বিপৰীতটোও সত্য নেকি? হয়। চতুৰ্ভুজৰ কোণৰ সমষ্টি ধৰ্ম আৰু সমান্তৰাল ৰেখাৰ ছেদকৰ দ্বাৰা ছেদিত হোৱাৰ ফলাফল ব্যৱহাৰ কৰি, আমি দেখিব পাৰোঁ যে বিপৰীতটোও সত্য। গতিকে, আমি তলৰ প্ৰমেয়টো পাইছোঁ:

প্ৰমেয় 8.5 : যদি চতুৰ্ভুজৰ প্ৰতিযোৰ বিপৰীত কোণ সমান হয়, তেন্তে ই সামান্তৰিক হয়।

সামান্তৰিকৰ আন এটা ধৰ্ম আছে। আহক সেইটো অধ্যয়ন কৰোঁ। এটা সামান্তৰিক $\mathrm{ABCD}$ অঁকা আৰু ইয়াৰ দুয়োটা কৰ্ণ $\mathrm{O}$ বিন্দুত ছেদ কৰি অঁকা (চিত্ৰ 8.4 চাওক)।

চিত্ৰ 8.4

$\mathrm{OA}, \mathrm{OB}, \mathrm{OC}$ আৰু $\mathrm{OD}$ ৰ দৈৰ্ঘ্য জোখক।

আপুনি কি লক্ষ্য কৰে? আপুনি লক্ষ্য কৰিব যে

$\mathrm{OA}=\mathrm{OC} \text { and } \mathrm{OB}=\mathrm{OD}$

বা, $\mathrm{O}$ হৈছে দুয়োটা কৰ্ণৰ মধ্যবিন্দু।

আন কেইটামান সামান্তৰিকৰ সৈতে এই কাৰ্যকলাপ পুনৰাবৃত্তি কৰক।

প্ৰতিবাৰেই আপুনি দেখিব যে $\mathrm{O}$ হৈছে দুয়োটা কৰ্ণৰ মধ্যবিন্দু।

গতিকে, আমি তলৰ প্ৰমেয়টো পাইছোঁ:

প্ৰমেয় 8.6 : সামান্তৰিকৰ কৰ্ণই পৰস্পৰক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে।

এতিয়া, যদি চতুৰ্ভুজত কৰ্ণই পৰস্পৰক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে তেন্তে কি হ’ব? ই সামান্তৰিক হ’ব নেকি? নিশ্চিতভাৱে এইটো সত্য।

এই ফলাফলটো হৈছে প্ৰমেয় 8.6 ৰ ফলাফলৰ বিপৰীত। ইয়াক তলত দিয়া হৈছে:

প্ৰমেয় 8.7 : যদি চতুৰ্ভুজৰ কৰ্ণই পৰস্পৰক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে, তেন্তে ই সামান্তৰিক হয়।

আপুনি এই ফলাফলটো তলত দিয়া ধৰণেৰে কাৰণ দৰ্শাব পাৰে:

লক্ষ্য কৰক যে চিত্ৰ 8.5 ত, দিয়া আছে যে $\mathrm{OA}=\mathrm{OC}$ আৰু $\mathrm{OB}=\mathrm{OD}$।

চিত্ৰ 8.5

গতিকে,$\quad \triangle \mathrm{AOB} \cong \triangle \mathrm{COD} \quad \text { (Why?) }$

সেয়েহে, $\angle \mathrm{ABO}=\angle \mathrm{CDO}\quad \text {(Why?)}$

ইয়াৰ পৰা, আমি পাওঁ $\mathrm{AB} || \mathrm{CD}$

একেদৰে, $\quad \mathrm{BC} || \mathrm{AD}$

সেয়েহে $\mathrm{ABCD}$ হৈছে সামান্তৰিক।

এতিয়া আহক কেইটামান উদাহৰণ লওঁ।

উদাহৰণ 1 : দেখুওৱা যে আয়তৰ প্ৰতিটো কোণ সমকোণ।

সমাধান : আয়ত কি তাক মনত পেলাওঁ।

আয়ত হৈছে এনে এটা সামান্তৰিক যাৰ এটা কোণ সমকোণ।

ধৰা হওক $\mathrm{ABCD}$ এটা আয়ত যাৰ $\angle \mathrm{A}=90^{\circ}$।

আমাক দেখুৱাব লাগিব যে $\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{C}=\angle \mathrm{D}=90^{\circ}$

আমাৰ আছে, $A D || B C$ আৰু $A B$ এটা ছেদক (চিত্ৰ 8.6 চাওক)।

চিত্ৰ 8.6

গতিকে, $\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{B}=180^{\circ} \quad$ (ছেদকৰ একে ফালৰ অন্তঃস্থ কোণ)

কিন্তু, $\quad \angle \mathrm{A}=90^{\circ}$

সেয়েহে, $\quad \angle \mathrm{B}=180^{\circ}-\angle \mathrm{A}=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$

এতিয়া, $\quad \angle \mathrm{C}=\angle \mathrm{A}$ আৰু $\angle \mathrm{D}=\angle \mathrm{B}$

(সামান্তৰিকৰ বিপৰীত কোণ)

গতিকে,$\quad\angle \mathrm{C}=90^{\circ} \text { and } \angle \mathrm{D}=90^{\circ} \text {. }$

সেয়েহে, আয়তৰ প্ৰতিটো কোণ সমকোণ।

উদাহৰণ 2 : দেখুওৱা যে ৰম্বছৰ কৰ্ণই পৰস্পৰক লম্বভাৱে ছেদ কৰে।

সমাধান : ৰম্বছ ABCD বিবেচনা কৰা হওক (চিত্ৰ 8.7 চাওক)।

চিত্ৰ 8.7

আপুনি জানে যে $\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CD}=\mathrm{DA}$ (কিয়?)

এতিয়া, $\triangle \mathrm{AOD}$ আৰু $\triangle \mathrm{COD}$ ত,

$\mathrm{OA}=\mathrm{OC}($ (সামান্তৰিকৰ কৰ্ণই পৰস্পৰক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে)

$\mathrm{OD}=\mathrm{OD}\quad$(সাধাৰণ)

$\mathrm{AD}=\mathrm{CD}$(দিয়া আছে)

সেয়েহে, $\Delta \mathrm{AOD} \cong \Delta \mathrm{COD}\quad$(SSS সৰ্বসমতা নিয়ম)

ইয়ে দিয়ে, $\angle \mathrm{AOD}=\angle \mathrm{COD}\quad$ (CPCT)

কিন্তু, $\angle \mathrm{AOD}+\angle \mathrm{COD}=180^{\circ}$ (ৰৈখিক যোৰ)

সেয়েহে, $\quad 2 \angle \mathrm{AOD}=180^{\circ}$

বা, $\quad \angle \mathrm{AOD}=90^{\circ}$

গতিকে, ৰম্বছৰ কৰ্ণই পৰস্পৰক লম্বভাৱে ছেদ কৰে।

উদাহৰণ 3 : $\mathrm{ABC}$ হৈছে সমদ্বিবাহু ত্ৰিভূজ যাৰ $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$। $\mathrm{AD}$ য়ে বহিঃস্থ কোণ $\mathrm{PAC}$ ক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে আৰু $\mathrm{CD} | \mathrm{AB}$ (চিত্ৰ 8.8 চাওক)। দেখুওৱা যে

(i) $\angle \mathrm{DAC}=\angle \mathrm{BCA}$ আৰু

(ii) $\mathrm{ABCD}$ হৈছে সামান্তৰিক।

চিত্ৰ 8.8

সমাধান : (i) $\triangle \mathrm{ABC}$ হৈছে সমদ্বিবাহু যাৰ $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$ (দিয়া আছে)

সেয়েহে, $\quad \angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{ACB} \quad$ (সমান বাহুৰ বিপৰীত কোণ)

আকৌ, $\angle \mathrm{PAC}=\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{ACB}\quad$(ত্ৰিভূজৰ বহিঃস্থ কোণ)

বা, $\quad \angle \mathrm{PAC}=2 \angle \mathrm{ACB}\quad$(1)

এতিয়া, AD য়ে $\angle \mathrm{PAC}$ ক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে।

সেয়েহে, $\quad \angle \mathrm{PAC}=2 \angle \mathrm{DAC}\quad$(2)

গতিকে,

$2 \angle \mathrm{DAC} =2 \angle \mathrm{ACB} \quad[\text { From }(1) \text { and }(2)]$ $\text { or, } \quad \angle \mathrm{DAC} =\angle \mathrm{ACB}$

(ii) এতিয়া, এই সমান কোণবোৰে একান্তৰ কোণৰ যোৰ গঠন কৰে যেতিয়া ৰেখাখণ্ড $\mathrm{BC}$ আৰু $\mathrm{AD}$ ক ছেদক $\mathrm{AC}$ য়ে ছেদ কৰে।

সেয়েহে, $\quad \mathrm{BC} || \mathrm{AD}$

আকৌ, $\mathrm{BA} || \mathrm{CD} \quad$ (দিয়া আছে)

এতিয়া, চতুৰ্ভুজ $\mathrm{ABCD}$ ৰ বিপৰীত বাহুৰ দুয়োযোৰ সমান্তৰাল।

সেয়েহে, $A B C D$ হৈছে সামান্তৰিক।

উদাহৰণ 4 : দুডাল সমান্তৰাল ৰেখা $l$ আৰু $m$ ক ছেদক $p$ য়ে ছেদ কৰে (চিত্ৰ 8.9 চাওক)। দেখুওৱা যে অন্তঃস্থ কোণবোৰৰ সমদ্বিখণ্ডকৰ দ্বাৰা গঠিত চতুৰ্ভুজটো আয়ত।

চিত্ৰ 8.9

সমাধান : দিয়া আছে যে PS $|| \mathrm{QR}$ আৰু ছেদক $p$ য়ে A আৰু C বিন্দুত ছেদ কৰে।

$\angle \mathrm{PAC}$ আৰু $\angle \mathrm{ACQ}$ ৰ সমদ্বিখণ্ডকে $\mathrm{B}$ ত ছেদ কৰে আৰু $\angle \mathrm{ACR}$ আৰু $\angle \mathrm{SAC}$ ৰ সমদ্বিখণ্ডকে $\mathrm{D}$ ত ছেদ কৰে।

আমাক দেখুৱাব লাগিব যে চতুৰ্ভুজ $\mathrm{ABCD}$ হৈছে আয়ত।

এতিয়া, $\quad \angle \mathrm{PAC}=\angle \mathrm{ACR}$

(একান্তৰ কোণ কিয়নো $l || m$ আৰু $p$ হৈছে ছেদক)

সেয়েহে, $\quad \frac{1}{2} \angle \mathrm{PAC}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{ACR}$

অৰ্থাৎ, $\quad \angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{ACD}$

এইবোৰে $\mathrm{AB}$ আৰু $\mathrm{DC}$ ৰেখাৰ বাবে একান্তৰ কোণৰ যোৰ গঠন কৰে য’ত $\mathrm{AC}$ হৈছে ছেদক আৰু সিহঁত সমানো।

গতিকে,$\quad\mathrm{AB} || \mathrm{DC}$

একেদৰে,$\quad\mathrm{BC} || \mathrm{AD} \quad$ ($\angle \mathrm{ACB}$ আৰু $\angle \mathrm{CAD}$ বিবেচনা কৰি)

সেয়েহে, চতুৰ্ভুজ $\mathrm{ABCD}$ হৈছে সামান্তৰিক।

আকৌ,$\quad\angle \mathrm{PAC}+\angle \mathrm{CAS}=180^{\circ} \quad \text { (Linear pair) }$

সেয়েহে, $\quad \frac{1}{2} \angle \mathrm{PAC}+\frac{1}{2} \angle \mathrm{CAS}=\frac{1}{2} \times 180^{\circ}=90^{\circ}$

বা, $\quad \angle \mathrm{BAC}+\angle \mathrm{CAD}=90^{\circ}$

বা,$\quad\angle \mathrm{BAD}=90^{\circ}$

গতিকে, $\mathrm{ABCD}$ হৈছে এনে সামান্তৰিক যাৰ এটা কোণ $90^{\circ}$। সেয়েহে, $\mathrm{ABCD}$ হৈছে আয়ত।

উদাহৰণ 5 : দেখুওৱা যে সামান্তৰিকৰ কোণবোৰৰ সমদ্বিখণ্ডকে আয়ত গঠন কৰে।

সমাধান : ধৰা হওক $\mathrm{P}, \mathrm{Q}, \mathrm{R}$ আৰু $\mathrm{S}$ হৈছে সামান্তৰিক $\mathrm{ABCD}$ ৰ $\angle \mathrm{A}$ আৰু $\angle \mathrm{B}, \angle \mathrm{B}$, $\angle \mathrm{C}, \angle \mathrm{C}$ আৰু $\angle \mathrm{D}$, আৰু $\angle \mathrm{D}$ আৰু $\angle \mathrm{A}$ ৰ সমদ্বিখণ্ডকৰ ছেদ বিন্দু (চিত্ৰ 8.10 চাওক)।

চিত্ৰ 8.10

$\triangle \mathrm{ASD}$ ত, আপুনি কি লক্ষ্য কৰে?

কিয়নো $\mathrm{DS}$ য়ে $\angle \mathrm{D}$ ক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে আৰু $\mathrm{AS}$ য়ে $\angle \mathrm{A}$ ক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে, সেয়েহে,

$$ \begin{aligned} \angle \mathrm{DAS}+\angle \mathrm{ADS} & =\frac{1}{2} \angle \mathrm{A}+\frac{1}{2} \angle \mathrm{D} \\ & =\frac{1}{2}(\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{D}) \\ & =\frac{1}{2} \times 180^{\circ} \\ (\angle \mathrm{A} \text { and } & \angle \mathrm{D} \text { are interior angles on the same side of the transversal} \\ & \left.=90^{\circ} \quad \right) \end{aligned} $$

আকৌ, $\angle \mathrm{DAS}+\angle \mathrm{ADS}+\angle \mathrm{DSA}=180^{\circ} \quad$ (ত্ৰিভূজৰ কোণৰ সমষ্টি ধৰ্ম)

বা,$\quad 90^{\circ}+\angle \mathrm{DSA}=180^{\circ}$

বা,$\quad \angle \mathrm{DSA}=90^{\circ}$

সেয়েহে,$\quad \angle \mathrm{PSR}=90^{\circ} \quad($ $\angle \mathrm{DSA})$ ৰ শীৰ্ষবিন্দুত বিপৰীত হোৱা বাবে

একেদৰে, দেখুৱাব পাৰি যে $\angle \mathrm{APB}=90^{\circ}$ বা $\angle \mathrm{SPQ}=90^{\circ}$ ($\angle \mathrm{DSA})$ ৰ বাবে যিদৰে দেখুওৱা হৈছিল)। একেদৰে, $\angle \mathrm{PQR}=90^{\circ}$ আৰু $\angle \mathrm{SRQ}=90^{\circ}$।

সেয়েহে, PQRS হৈছে এনে চতুৰ্ভুজ যাৰ সকলো কোণ সমকোণ।

আমি ইয়াক আয়ত বুলি সিদ্ধান্ত ল’ব পাৰোনে? আহক পৰীক্ষা কৰোঁ। আমি দেখুৱালোঁ যে $\angle \mathrm{PSR}=\angle \mathrm{PQR}=90^{\circ}$ আৰু $\angle \mathrm{SPQ}=\angle \mathrm{SRQ}=90^{\circ}$। গতিকে বিপৰীত কোণৰ দুয়োযোৰ সমান।

সেয়েহে, $\mathrm{PQRS}$ হৈছে এনে সামান্তৰিক যাৰ এটা কোণ (প্ৰকৃততে সকলো কোণ) $90^{\circ}$ আৰু গতিকে, $\mathrm{PQRS}$ হৈছে আয়ত।

8.2 মধ্যবিন্দু প্ৰমেয়

আপুনি ত্ৰিভূজ আৰু চতুৰ্ভুজৰ বহুতো ধৰ্ম অধ্যয়ন কৰিছে। এতিয়া আহক ত্ৰিভূজৰ বাহুৰ মধ্যবিন্দুৰ সৈতে জড়িত আন এটা ফলাফল অধ্যয়ন কৰোঁ। তলৰ কাৰ্যকলাপটো সম্পাদনা কৰক।

এটা ত্ৰিভূজ অঁকা আৰু ত্ৰিভূজটোৰ দুটা বাহুৰ মধ্যবিন্দু $\mathrm{E}$ আৰু $\mathrm{F}$ চিহ্নিত কৰক। $\mathrm{E}$ আৰু $\mathrm{F}$ বিন্দু সংযোগ কৰক (চিত্ৰ 8.15 চাওক)।

চিত্ৰ 8.15

$\mathrm{EF}$ আৰু $\mathrm{BC}$ জোখক। $\angle \mathrm{AEF}$ আৰু $\angle \mathrm{ABC}$ জোখক।

আপুনি কি লক্ষ্য কৰে? আপুনি দেখিব যে:

$\mathrm{EF}=\frac{1}{2} \mathrm{BC} \text { and } \angle \mathrm{AEF}=\angle \mathrm{ABC}$

গতিকে, $\mathrm{EF} || \mathrm{BC}$

আন কেইটামান ত্ৰিভূজৰ সৈতে এই কাৰ্যকলাপ পুনৰাবৃত্তি কৰক।

সেয়েহে, আপুনি তলৰ প্ৰমেয়টোলৈ আহে:

প্ৰমেয় 8.8 : ত্ৰিভূজৰ দুটা বাহুৰ মধ্যবিন্দু সংযোগী ৰেখাখণ্ডটো তৃতীয় বাহুৰ সমান্তৰাল।

আপুনি তলৰ সূচনা ব্যৱহাৰ কৰি এই প্ৰমেয়টো প্ৰমাণ কৰিব পাৰে:

চিত্ৰ 8.16 লক্ষ্য কৰক য’ত $E$ আৰু $F$ ক্ৰমে $\mathrm{AB}$ আৰু $\mathrm{AC}$ ৰ মধ্যবিন্দু আৰু $\mathrm{CD} || \mathrm{BA}$।

চিত্ৰ 8.16

$ \begin{equation*} \Delta \mathrm{AEF} \cong \triangle \mathrm{CDF} \tag{ASAনিয়ম} \end{equation*} $

সেয়েহে, $\quad \mathrm{EF}=\mathrm{DF}$ আৰু $\mathrm{BE}=\mathrm{AE}=\mathrm{DC} \quad($ কিয়? $)$

গতিকে, BCDE হৈছে সামান্তৰিক। (কিয়?)

ইয়ে দিয়ে $\mathrm{EF} || \mathrm{BC}$।

এই ক্ষেত্ৰতো, লক্ষ্য কৰক যে $\mathrm{EF}=\frac{1}{2} \mathrm{ED}=\frac{1}{2} \mathrm{BC}$।

আপুনি প্ৰমেয় 8.8 ৰ বিপৰীতটো কোৱা পাৰেনে? বিপৰীতটো সত্য নেকি?

আপুনি দেখিব যে ওপৰৰ প্ৰমেয়টোৰ বিপৰীতটোও সত্য যিটো তলত দিয়া ধৰণেৰে কোৱা হৈছে:

প্ৰমেয় 8.9 : ত্ৰিভূজৰ এটা বাহুৰ মধ্যবিন্দুৰ মাজেৰে যোৱা আৰু আন বাহুৰ সমান্তৰাল ৰেখাই তৃতীয় বাহুক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে।

চিত্ৰ 8.17 ত, লক্ষ্য কৰক যে $\mathrm{E}$ হৈছে $\mathrm{AB}$ ৰ মধ্যবিন্দু, ৰেখা $l$ য়ে $\mathrm{E}$ ৰ মাজেৰে যাই আৰু $\mathrm{BC}$ ৰ সমান্তৰাল আৰু $\mathrm{CM} || \mathrm{BA}$।

$\triangle \mathrm{AEF}$ আৰু $\triangle \mathrm{CDF}$ ৰ সৰ্বসমতা ব্যৱহাৰ কৰি প্ৰমাণ কৰক যে $\mathrm{AF}=\mathrm{CF}$।

চিত্ৰ 8.17

উদাহৰণ 6 : $\triangle \mathrm{ABC}, \mathrm{D}, \mathrm{E}$ ত $\mathrm{F}$ ক্ৰমে বাহু $\mathrm{AB}, \mathrm{BC}$ আৰু $\mathrm{CA}$ ৰ মধ্যবিন্দু (চিত্ৰ 8.18 চাওক)। দেখুওৱা যে $\triangle \mathrm{ABC}$ ক $\mathrm{D}, \mathrm{E}$ আৰু $\mathrm{F}$ সংযোগ কৰি চাৰিটা সৰ্বসম ত্ৰিভূজত বিভক্ত কৰা হয়।

চিত্ৰ 8.18

সমাধান : D আৰু E হৈছে ত্ৰিভূজ $\mathrm{ABC}$ ৰ বাহু AB আৰু $\mathrm{BC}$ ৰ মধ্যবিন্দু, প্ৰমেয় 8.8 অনুসৰি,

একেদৰে, $\quad \quad \mathrm{DF} || \mathrm{BC}$ আৰু $\mathrm{EF} || \mathrm{AB}$

সেয়েহে ADEF, BDFE আৰু DFCE সকলো সামান্তৰিক।

এতিয়া $\mathrm{DE}$ হৈছে সামান্তৰিক $\mathrm{BDFE}$ ৰ কৰ্ণ,

গতিকে, $\quad \Delta \mathrm{BDE} \cong \Delta \mathrm{FED}$

একেদৰে $\quad \Delta \mathrm{DAF} \cong \triangle \mathrm{FED}$

আৰু $\quad \Delta \mathrm{EFC} \cong \triangle \mathrm{FED}$

সেয়েহে, সকলো চাৰিটা ত্ৰিভূজ সৰ্বসম।

উদাহৰণ 7 : $ l, m$ আৰু $n$ হৈছে তিনিডাল সমান্তৰাল ৰেখা যাক ছেদক $p$ আৰু $q$ য়ে ছেদ কৰে যাতে $l, m$ আৰু $n$ য়ে $p$ ত সমান ছেদিতাংশ $\mathrm{AB}$ আৰু $\mathrm{BC}$ কাটি উলিয়ায় (চিত্ৰ 8.19 চাওক)। দেখুওৱা যে $l, m$ আৰু $n$ য়ে $q$ তো সমান ছেদিতাংশ $\mathrm{DE}$ আৰু $\mathrm{EF}$ কাটি উলিয়ায়।

চিত্ৰ 8.19

সমাধান : দিয়া আছে যে $\mathrm{AB}=\mathrm{BC}$ আৰু প্ৰমাণ কৰিব লাগিব যে $\mathrm{DE}=\mathrm{EF}$।

আহক $\mathrm{A}$ ক $\mathrm{F}$ লৈ সংযোগ কৰোঁ যিয়ে $m$ ক $\mathrm{G}$ ত ছেদ কৰে।

ট্ৰেপিজিয়াম ACFD ক দুটা ত্ৰিভূজত বিভক্ত কৰা হৈছে;

অৰ্থাৎ $\triangle \mathrm{ACF}$ আৰু $\triangle \mathrm{AFD}$।

$\triangle \mathrm{ACF}$ ত, দিয়া আছে যে $\mathrm{B}$ হৈছে $\mathrm{AC}(\mathrm{AB}=\mathrm{BC})$ ৰ মধ্যবিন্দু

আৰু $\quad \mathrm{BG} || \mathrm{CF} \quad($ কিয়নো $m || n)$।

সেয়েহে, $\mathrm{G}$ হৈছে AF ৰ মধ্যবিন্দু (প্ৰমেয় 8.9 ব্যৱহাৰ কৰি)

এতিয়া, $\triangle$ AFD ত, আমি একে যুক্তি প্ৰয়োগ কৰিব পাৰোঁ কিয়নো $G$ হৈছে AF ৰ মধ্যবিন্দু, $\mathrm{GE} || \mathrm{AD}$ আৰু গতিকে প্ৰমেয় $8.9, \mathrm{E}$ অনুসৰি $\mathrm{DF}$ ৰ মধ্যবিন্দু,

অৰ্থাৎ,$\quad\mathrm{DE}=\mathrm{EF}$।

অন্য কথাত, $l, m$ আৰু $n$ য়ে $q$ তো সমান ছেদিতাংশ কাটি উলিয়ায়।

8.3 সাৰাংশ

এই অধ্যায়ত, আপুনি তলৰ কথাবোৰ অধ্যয়ন কৰিছে:

1. সামান্তৰিকৰ কৰ্ণই ইয়াক দুটা সৰ্বসম ত্ৰিভূজত বিভক্ত কৰে।

2. সামান্তৰিকত,

(i) বিপৰীত বাহুবোৰ সমান

(ii) বিপৰীত কোণবোৰ সমান

(iii) কৰ্ণই পৰস্পৰক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে

3. আয়তৰ কৰ্ণই পৰস্পৰক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে আৰু সমান হয় আৰু ইয়াৰ বিপৰীতটোও সত্য।

4. ৰম্বছৰ কৰ্ণই পৰস্পৰক সমকোণত সমদ্বিখণ্ডিত কৰে আৰু ইয়াৰ বিপৰীতটোও সত্য।

5. বৰ্গৰ কৰ্ণই পৰস্পৰক সমকোণত সমদ্বিখণ্ডিত কৰে আৰু সমান হয়, আৰু ইয়াৰ বিপৰীতটোও সত্য।

6. ত্ৰিভূজৰ যিকোনো দুটা বাহুৰ মধ্যবিন্দু সংযোগী ৰেখাখণ্ডটো তৃতীয় বাহুৰ সমান্তৰাল আৰু ইয়াৰ আধা।

7. ত্ৰিভূজৰ এটা বাহুৰ মধ্যবিন্দুৰ মাজেৰে যোৱা আৰু আন বাহুৰ সমান্তৰাল ৰেখাই তৃতীয় বাহুক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে।