8.1 ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦੇ ਗੁਣ

ਤੁਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਅੱਠਵੀਂ ਜਮਾਤ ਵਿੱਚ ਚਤੁਰਭੁਜ ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਕਿਸਮਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰ ਚੁੱਕੇ ਹੋ। ਇੱਕ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦੀਆਂ ਚਾਰ ਭੁਜਾਵਾਂ, ਚਾਰ ਕੋਣ ਅਤੇ ਚਾਰ ਸਿਖਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇੱਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਉਹ ਚਤੁਰਭੁਜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸਾਹਮਣੇ ਵਾਲੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਜੋੜੇ ਸਮਾਂਤਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਆਓ ਇੱਕ ਕਿਰਿਆ ਕਰੀਏ।

ਕਾਗਜ਼ ਦੀ ਇੱਕ ਸ਼ੀਟ ਤੋਂ ਇੱਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਕੱਟੋ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਵਿਕਰਣ ਦੇ ਨਾਲ ਕੱਟੋ (ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ 8.1)। ਤੁਹਾਨੂੰ ਦੋ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਮਿਲਦੇ ਹਨ। ਤੁਸੀਂ ਇਨ੍ਹਾਂ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਬਾਰੇ ਕੀ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹੋ?

ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਉੱਤੇ ਰੱਖੋ। ਜੇ ਲੋੜ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਇੱਕ ਨੂੰ ਘੁਮਾਓ। ਤੁਸੀਂ ਕੀ ਦੇਖਦੇ ਹੋ?

ਦੇਖੋ ਕਿ ਦੋਵੇਂ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਨਾਲ ਸਰਬੰਗਸਮ ਹਨ।

ਚਿੱਤਰ 8.1

ਇਸ ਕਿਰਿਆ ਨੂੰ ਕੁਝ ਹੋਰ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜਾਂ ਨਾਲ ਦੁਹਰਾਓ। ਹਰ ਵਾਰ ਤੁਸੀਂ ਦੇਖੋਗੇ ਕਿ ਹਰ ਵਿਕਰਣ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਨੂੰ ਦੋ ਸਰਬੰਗਸਮ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਦਾ ਹੈ। ਆਓ ਹੁਣ ਇਸ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰੀਏ।

ਪ੍ਰਮੇਯ 8.1 : ਇੱਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦਾ ਵਿਕਰਣ ਇਸਨੂੰ ਦੋ ਸਰਬੰਗਸਮ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਦਾ ਹੈ।

ਸਬੂਤ : ਮੰਨ ਲਓ $A B C D$ ਇੱਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਹੈ ਅਤੇ $A C$ ਇੱਕ ਵਿਕਰਣ ਹੈ (ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ 8.2)। ਦੇਖੋ ਕਿ ਵਿਕਰਣ $\mathrm{AC}$ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ $\mathrm{ABCD}$ ਨੂੰ ਦੋ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਦਾ ਹੈ, ਅਰਥਾਤ, $\triangle \mathrm{ABC}$ ਅਤੇ $\triangle \mathrm{CDA}$। ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਸਰਬੰਗਸਮ ਹਨ।

ਚਿੱਤਰ 8.2

$\triangle \mathrm{ABC}$ ਅਤੇ $\triangle \mathrm{CDA}$ ਵਿੱਚ, ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ $\mathrm{BC} || \mathrm{AD}$ ਅਤੇ $\mathrm{AC}$ ਇੱਕ ਤਿਆਗਣ ਰੇਖਾ ਹੈ।

ਇਸ ਲਈ, $\quad \angle \mathrm{BCA}=\angle \mathrm{DAC}$ (ਇਕਾਂਤਰ ਕੋਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ)

ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, $\quad\mathrm{AB} | \mathrm{DC}$ ਅਤੇ $\mathrm{AC}$ ਇੱਕ ਤਿਆਗਣ ਰੇਖਾ ਹੈ।

ਇਸ ਲਈ, $\quad \angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{DCA}$ (ਇਕਾਂਤਰ ਕੋਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ)

ਅਤੇ $\quad \mathrm{AC}=\mathrm{CA}\quad$ (ਸਾਂਝਾ)

ਇਸ ਲਈ, $\quad \Delta \mathrm{ABC} \cong \triangle \mathrm{CDA}\quad$ (ASA ਨਿਯਮ)

ਜਾਂ, ਵਿਕਰਣ $\mathrm{AC}$ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ $\mathrm{ABCD}$ ਨੂੰ ਦੋ ਸਰਬੰਗਸਮ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ $\mathrm{ABC}$ ਅਤੇ $\mathrm{CDA}$ ਵਿੱਚ ਵੰਡਦਾ ਹੈ।

ਹੁਣ, ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ $A B C D$ ਦੀਆਂ ਸਾਹਮਣੇ ਵਾਲੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਨੂੰ ਮਾਪੋ। ਤੁਸੀਂ ਕੀ ਦੇਖਦੇ ਹੋ?

ਤੁਸੀਂ ਪਾਓਗੇ ਕਿ $\mathrm{AB}=\mathrm{DC}$ ਅਤੇ $\mathrm{AD}=\mathrm{BC}$।

ਇਹ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਗੁਣ ਹੈ ਜੋ ਹੇਠਾਂ ਦੱਸਿਆ ਗਿਆ ਹੈ:

ਪ੍ਰਮੇਯ 8.2 : ਇੱਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਵਿੱਚ, ਸਾਹਮਣੇ ਵਾਲੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।

ਤੁਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਸਾਬਤ ਕਰ ਚੁੱਕੇ ਹੋ ਕਿ ਇੱਕ ਵਿਕਰਣ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਨੂੰ ਦੋ ਸਰਬੰਗਸਮ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਦਾ ਹੈ; ਇਸ ਲਈ ਤੁਸੀਂ ਸੰਬੰਧਿਤ ਭਾਗਾਂ ਬਾਰੇ ਕੀ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹੋ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਸੰਬੰਧਿਤ ਭੁਜਾਵਾਂ? ਉਹ ਬਰਾਬਰ ਹਨ।

ਇਸ ਲਈ, $\mathrm{AB}=\mathrm{DC}$ ਅਤੇ $\mathrm{AD}=\mathrm{BC}$

ਹੁਣ ਇਸ ਨਤੀਜੇ ਦਾ ਉਲਟ ਕੀ ਹੈ? ਤੁਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਜਾਣਦੇ ਹੋ ਕਿ ਇੱਕ ਪ੍ਰਮੇਯ ਵਿੱਚ ਜੋ ਕੁਝ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਉਹੀ ਉਲਟ ਵਿੱਚ ਸਾਬਤ ਕਰਨਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਵਿੱਚ ਜੋ ਸਾਬਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਉਹ ਉਲਟ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਪ੍ਰਮੇਯ 8.2 ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਨੁਸਾਰ ਕਿਹਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:

ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਚਤੁਰਭੁਜ ਇੱਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸਦੀਆਂ ਸਾਹਮਣੇ ਵਾਲੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦਾ ਹਰ ਜੋੜਾ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਇਸਦਾ ਉਲਟ ਹੈ:

ਪ੍ਰਮੇਯ 8.3 : ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦੀਆਂ ਸਾਹਮਣੇ ਵਾਲੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦਾ ਹਰ ਜੋੜਾ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਇੱਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਇਸਦਾ ਕਾਰਨ ਦੱਸ ਸਕਦੇ ਹੋ?

ਮੰਨ ਲਓ ਚਤੁਰਭੁਜ $\mathrm{ABCD}$ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ $\mathrm{AB}$ ਅਤੇ $\mathrm{CD}$ ਬਰਾਬਰ ਹਨ ਅਤੇ $\mathrm{AD}=\mathrm{BC}$ ਵੀ (ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ 8.3)। ਵਿਕਰਣ AC ਖਿੱਚੋ।

ਚਿੱਤਰ 8.3

ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ, $\quad \triangle \mathrm{ABC} \cong \triangle \mathrm{CDA}\quad$ (ਕਿਉਂ?)

ਇਸ ਲਈ, $\quad \angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{DCA}$

ਅਤੇ $\quad \angle \mathrm{BCA}=\angle \mathrm{DAC}\quad$ (ਕਿਉਂ?)

ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਹੁਣ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ ABCD ਇੱਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਹੈ? ਕਿਉਂ?

ਤੁਸੀਂ ਹੁਣੇ ਦੇਖਿਆ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਵਿੱਚ ਸਾਹਮਣੇ ਵਾਲੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦਾ ਹਰ ਜੋੜਾ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਉਲਟ, ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦੀਆਂ ਸਾਹਮਣੇ ਵਾਲੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦਾ ਹਰ ਜੋੜਾ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਇੱਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਕੀ ਅਸੀਂ ਸਾਹਮਣੇ ਵਾਲੇ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜਿਆਂ ਲਈ ਵੀ ਇਹੀ ਨਤੀਜਾ ਕੱਢ ਸਕਦੇ ਹਾਂ?

ਇੱਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਖਿੱਚੋ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਕੋਣ ਮਾਪੋ। ਤੁਸੀਂ ਕੀ ਦੇਖਦੇ ਹੋ?

ਸਾਹਮਣੇ ਵਾਲੇ ਕੋਣਾਂ ਦਾ ਹਰ ਜੋੜਾ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਇਸਨੂੰ ਕੁਝ ਹੋਰ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜਾਂ ਨਾਲ ਦੁਹਰਾਓ। ਅਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਨੁਸਾਰ ਇੱਕ ਹੋਰ ਨਤੀਜੇ ‘ਤੇ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਾਂ।

ਪ੍ਰਮੇਯ 8.4 : ਇੱਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਵਿੱਚ, ਸਾਹਮਣੇ ਵਾਲੇ ਕੋਣ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।

ਹੁਣ, ਕੀ ਇਸ ਨਤੀਜੇ ਦਾ ਉਲਟ ਵੀ ਸੱਚ ਹੈ? ਹਾਂ। ਇੱਕ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦੀ ਕੋਣ ਯੋਗ ਗੁਣ ਅਤੇ ਤਿਆਗਣ ਰੇਖਾ ਦੁਆਰਾ ਕੱਟੀਆਂ ਗਈਆਂ ਸਮਾਂਤਰ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਉਲਟ ਵੀ ਸੱਚ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਪ੍ਰਮੇਯ ਹੈ:

ਪ੍ਰਮੇਯ 8.5 : ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਚਤੁਰਭੁਜ ਵਿੱਚ, ਸਾਹਮਣੇ ਵਾਲੇ ਕੋਣਾਂ ਦਾ ਹਰ ਜੋੜਾ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਇੱਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਗੁਣ ਵੀ ਹੈ। ਆਓ ਇਸਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰੀਏ। ਇੱਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ $\mathrm{ABCD}$ ਖਿੱਚੋ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਦੋਵੇਂ ਵਿਕਰਣ ਖਿੱਚੋ ਜੋ ਬਿੰਦੂ $\mathrm{O}$ ‘ਤੇ ਇੱਕ-ਦੂਜੇ ਨੂੰ ਕੱਟਦੇ ਹਨ (ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ 8.4)।

ਚਿੱਤਰ 8.4

$\mathrm{OA}, \mathrm{OB}, \mathrm{OC}$ ਅਤੇ $\mathrm{OD}$ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਮਾਪੋ।

ਤੁਸੀਂ ਕੀ ਦੇਖਦੇ ਹੋ? ਤੁਸੀਂ ਦੇਖੋਗੇ ਕਿ

$\mathrm{OA}=\mathrm{OC} \text { and } \mathrm{OB}=\mathrm{OD}$

ਜਾਂ, $\mathrm{O}$ ਦੋਵੇਂ ਵਿਕਰਣਾਂ ਦਾ ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ ਹੈ।

ਇਸ ਕਿਰਿਆ ਨੂੰ ਕੁਝ ਹੋਰ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜਾਂ ਨਾਲ ਦੁਹਰਾਓ।

ਹਰ ਵਾਰ ਤੁਸੀਂ ਪਾਓਗੇ ਕਿ $\mathrm{O}$ ਦੋਵੇਂ ਵਿਕਰਣਾਂ ਦਾ ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ ਹੈ।

ਇਸ ਲਈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਪ੍ਰਮੇਯ ਹੈ:

ਪ੍ਰਮੇਯ 8.6 : ਇੱਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦੇ ਵਿਕਰਣ ਇੱਕ-ਦੂਜੇ ਨੂੰ ਸਮਦੁਭਾਜਿਤ ਕਰਦੇ ਹਨ।

ਹੁਣ, ਕੀ ਹੋਵੇਗਾ ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਚਤੁਰਭੁਜ ਵਿੱਚ ਵਿਕਰਣ ਇੱਕ-ਦੂਜੇ ਨੂੰ ਸਮਦੁਭਾਜਿਤ ਕਰਦੇ ਹਨ? ਕੀ ਇਹ ਇੱਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਹੋਵੇਗਾ? ਦਰਅਸਲ ਇਹ ਸੱਚ ਹੈ।

ਇਹ ਨਤੀਜਾ ਪ੍ਰਮੇਯ 8.6 ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਦਾ ਉਲਟ ਹੈ। ਇਹ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:

ਪ੍ਰਮੇਯ 8.7 : ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦੇ ਵਿ�ਕਰਣ ਇੱਕ-ਦੂਜੇ ਨੂੰ ਸਮਦੁਭਾਜਿਤ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਇਹ ਇੱਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਨੁਸਾਰ ਸਮਝ ਸਕਦੇ ਹੋ:

ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 8.5 ਵਿੱਚ, ਇਹ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ $\mathrm{OA}=\mathrm{OC}$ ਅਤੇ $\mathrm{OB}=\mathrm{OD}$।

ਚਿੱਤਰ 8.5

ਇਸ ਲਈ, $\quad \triangle \mathrm{AOB} \cong \triangle \mathrm{COD} \quad \text { (Why?) }$

ਇਸ ਲਈ, $\angle \mathrm{ABO}=\angle \mathrm{CDO}\quad \text {(Why?)}$

ਇਸ ਤੋਂ, ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ $\mathrm{AB} || \mathrm{CD}$

ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, $\quad \mathrm{BC} || \mathrm{AD}$

ਇਸ ਲਈ $\mathrm{ABCD}$ ਇੱਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਹੈ।

ਆਓ ਹੁਣ ਕੁਝ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਲਈਏ।

ਉਦਾਹਰਣ 1 : ਦਰਸਾਓ ਕਿ ਇੱਕ ਆਇਤ ਦਾ ਹਰ ਕੋਣ ਸਮਕੋਣ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਹੱਲ : ਆਓ ਯਾਦ ਕਰੀਏ ਕਿ ਆਇਤ ਕੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

ਇੱਕ ਆਇਤ ਇੱਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕੋਣ ਸਮਕੋਣ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਮੰਨ ਲਓ $\mathrm{ABCD}$ ਇੱਕ ਆਇਤ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ $\angle \mathrm{A}=90^{\circ}$।

ਸਾਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣਾ ਹੈ ਕਿ $\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{C}=\angle \mathrm{D}=90^{\circ}$

ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ, $A D || B C$ ਅਤੇ $A B$ ਇੱਕ ਤਿਆਗਣ ਰੇਖਾ ਹੈ (ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ 8.6)।

ਚਿੱਤਰ 8.6

ਇਸ ਲਈ, $\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{B}=180^{\circ} \quad$ (ਤਿਆਗਣ ਰੇਖਾ ਦੇ ਇੱਕੋ ਪਾਸੇ ਦੇ ਅੰਦਰੂਨੀ ਕੋਣ)

ਪਰ, $\quad \angle \mathrm{A}=90^{\circ}$

ਇਸ ਲਈ, $\quad \angle \mathrm{B}=180^{\circ}-\angle \mathrm{A}=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$

ਹੁਣ, $\quad \angle \mathrm{C}=\angle \mathrm{A}$ ਅਤੇ $\angle \mathrm{D}=\angle \mathrm{B}$

(ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦੇ ਸਾਹਮਣੇ ਵਾਲੇ ਕੋਣ)

ਇਸ ਲਈ, $\quad\angle \mathrm{C}=90^{\circ} \text { and } \angle \mathrm{D}=90^{\circ} \text {. }$

ਇਸ ਲਈ, ਇੱਕ ਆਇਤ ਦਾ ਹਰ ਕੋਣ ਸਮਕੋਣ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਣ 2 : ਦਰਸਾਓ ਕਿ ਇੱਕ ਸਮਚਤੁਰਭੁਜ ਦੇ ਵਿਕਰਣ ਇੱਕ-ਦੂਜੇ ‘ਤੇ ਲੰਬ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।

ਹੱਲ : ਸਮਚਤੁਰਭੁਜ ABCD ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ (ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ 8.7)।

ਚਿੱਤਰ 8.7

ਤੁਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹੋ ਕਿ $\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CD}=\mathrm{DA}$ (ਕਿਉਂ?)

ਹੁਣ, $\triangle \mathrm{AOD}$ ਅਤੇ $\triangle \mathrm{COD}$ ਵਿੱਚ,

$\mathrm{OA}=\mathrm{OC}($ (ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦੇ ਵਿਕਰਣ ਇੱਕ-ਦੂਜੇ ਨੂੰ ਸਮਦੁਭਾਜਿਤ ਕਰਦੇ ਹਨ)

$\mathrm{OD}=\mathrm{OD}\quad$ (ਸਾਂਝਾ)

$\mathrm{AD}=\mathrm{CD}$ (ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ)

ਇਸ ਲਈ, $\Delta \mathrm{AOD} \cong \Delta \mathrm{COD}\quad$ (SSS ਸਰਬੰਗਸਮਤਾ ਨਿਯਮ)

ਇਹ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, $\angle \mathrm{AOD}=\angle \mathrm{COD}\quad$ (CPCT)

ਪਰ, $\angle \mathrm{AOD}+\angle \mathrm{COD}=180^{\circ}$ (ਰੇਖਿਕ ਜੋੜਾ)

ਇਸ ਲਈ, $\quad 2 \angle \mathrm{AOD}=180^{\circ}$

ਜਾਂ, $\quad \angle \mathrm{AOD}=90^{\circ}$

ਇਸ ਲਈ, ਇੱਕ ਸਮਚਤੁਰਭੁਜ ਦੇ ਵਿਕਰਣ ਇੱਕ-ਦੂਜੇ ‘ਤੇ ਲੰਬ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।

ਉਦਾਹਰਣ 3 : $\mathrm{ABC}$ ਇੱਕ ਸਮਦੋਭੁਜੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$। $\mathrm{AD}$ ਬਾਹਰੀ ਕੋਣ $\mathrm{PAC}$ ਨੂੰ ਸਮਦੁਭਾਜਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ $\mathrm{CD} | \mathrm{AB}$ (ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ 8.8)। ਦਰਸਾਓ ਕਿ

(i) $\angle \mathrm{DAC}=\angle \mathrm{BCA}$ ਅਤੇ

(ii) $\mathrm{ABCD}$ ਇੱਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਹੈ।

ਚਿੱਤਰ 8.8

ਹੱਲ : (i) $\triangle \mathrm{ABC}$ ਇੱਕ ਸਮਦੋਭੁਜੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$ (ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ)

ਇਸ ਲਈ, $\quad \angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{ACB} \quad$ (ਬਰਾਬਰ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੇ ਸਾਹਮਣੇ ਵਾਲੇ ਕੋਣ)

ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, $\angle \mathrm{PAC}=\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{ACB}\quad$ (ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦਾ ਬਾਹਰੀ ਕੋਣ)

ਜਾਂ, $\quad \angle \mathrm{PAC}=2 \angle \mathrm{ACB}\quad$(1)

ਹੁਣ, AD, $\angle \mathrm{PAC}$ ਨੂੰ ਸਮਦੁਭਾਜਿਤ ਕਰਦੀ ਹੈ।

ਇਸ ਲਈ, $\quad \angle \mathrm{PAC}=2 \angle \mathrm{DAC}\quad$(2)

ਇਸ ਲਈ,

$2 \angle \mathrm{DAC} =2 \angle \mathrm{ACB} \quad[\text { From }(1) \text { and }(2)]$ $\text { or, } \quad \angle \mathrm{DAC} =\angle \mathrm{ACB}$

(ii) ਹੁਣ, ਜਦੋਂ ਰੇਖਾ ਖੰਡ $\mathrm{BC}$ ਅਤੇ $\mathrm{AD}$ ਨੂੰ ਤਿਆਗਣ ਰੇਖਾ $\mathrm{AC}$ ਦੁਆਰਾ ਕੱਟਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਬਰਾਬਰ ਕੋਣ ਇਕਾਂਤਰ ਕੋਣਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਜੋੜਾ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ।

ਇਸ ਲਈ, $\quad \mathrm{BC} || \mathrm{AD}$

ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, $\mathrm{BA} || \mathrm{CD} \quad$ (ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ)

ਹੁਣ, ਚਤੁਰਭੁਜ $\mathrm{ABCD}$ ਦੀਆਂ ਸਾਹਮਣੇ ਵਾਲੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਜੋੜੇ ਸਮਾਂਤਰ ਹਨ।

ਇਸ ਲਈ, $A B C D$ ਇੱਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਣ 4 : ਦੋ ਸਮਾਂਤਰ ਰੇਖਾਵਾਂ $l$ ਅਤੇ $m$ ਨੂੰ ਇੱਕ ਤਿਆਗਣ ਰੇਖਾ $p$ ਦੁਆਰਾ ਕੱਟਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ (ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ 8.9)। ਦਰਸਾਓ ਕਿ ਅੰਦਰੂਨੀ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਸਮਦੁਭਾਜਕਾਂ ਦੁਆਰਾ ਬਣਿਆ ਚਤੁਰਭੁਜ ਇੱਕ ਆਇਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਚਿੱਤਰ 8.9

ਹੱਲ : ਇਹ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ PS $|| \mathrm{QR}$ ਅਤੇ ਤਿਆਗਣ ਰੇਖਾ $p$ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਬਿੰਦੂਆਂ A ਅਤੇ C ‘ਤੇ ਕੱਟਦੀ ਹੈ।

$\angle \mathrm{PAC}$ ਅਤੇ $\angle \mathrm{ACQ}$ ਦੇ ਸਮਦੁਭਾਜਕ $\mathrm{B}$ ‘ਤੇ ਮਿਲਦੇ ਹਨ ਅਤੇ $\angle \mathrm{ACR}$ ਅਤੇ $\angle \mathrm{SAC}$ ਦੇ ਸਮਦੁਭਾਜਕ $\mathrm{D}$ ‘ਤੇ ਮਿਲਦੇ ਹਨ।

ਸਾਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣਾ ਹੈ ਕਿ ਚਤੁਰਭੁਜ $\mathrm{ABCD}$ ਇੱਕ ਆਇਤ ਹੈ।

ਹੁਣ, $\quad \angle \mathrm{PAC}=\angle \mathrm{ACR}$

(ਇਕਾਂਤਰ ਕੋਣ ਕਿਉਂਕਿ $l || m$ ਅਤੇ $p$ ਇੱਕ ਤਿਆਗਣ ਰੇਖਾ ਹੈ)

ਇਸ ਲਈ, $\quad \frac{1}{2} \angle \mathrm{PAC}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{ACR}$

ਭਾਵ, $\quad \angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{ACD}$

ਇਹ ਰੇਖਾਵਾਂ $\mathrm{AB}$ ਅਤੇ $\mathrm{DC}$ ਲਈ $\mathrm{AC}$ ਨੂੰ ਤਿਆਗਣ ਰੇਖਾ ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ ਇਕਾਂਤਰ ਕੋਣਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਜੋੜਾ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਉਹ ਵੀ ਬਰਾਬਰ ਹਨ।

ਇਸ ਲਈ, $\quad\mathrm{AB} || \mathrm{DC}$

ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, $\quad\mathrm{BC} || \mathrm{AD} \quad$ ($\angle \mathrm{ACB}$ ਅਤੇ $\angle \mathrm{CAD}$ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹੋਏ)

ਇਸ ਲਈ, ਚਤੁਰਭੁਜ $\mathrm{ABCD}$ ਇੱਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਹੈ।

ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, $\quad\angle \mathrm{PAC}+\angle \mathrm{CAS}=180^{\circ} \quad \text { (Linear pair) }$

ਇਸ ਲਈ, $\quad \frac{1}{2} \angle \mathrm{PAC}+\frac{1}{2} \angle \mathrm{CAS}=\frac{1}{2} \times 180^{\circ}=90^{\circ}$

ਜਾਂ, $\quad \angle \mathrm{BAC}+\angle \mathrm{CAD}=90^{\circ}$

ਜਾਂ, $\quad\angle \mathrm{BAD}=90^{\circ}$

ਇਸ ਲਈ, $\mathrm{ABCD}$ ਇੱਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕੋਣ $90^{\circ}$ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, $\mathrm{ABCD}$ ਇੱਕ ਆਇਤ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਣ 5 : ਦਰਸਾਓ ਕਿ ਇੱਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦੇ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਸਮਦੁਭਾਜਕ ਇੱਕ ਆਇਤ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ।

ਹੱਲ : ਮੰਨ ਲਓ $\mathrm{P}, \mathrm{Q}, \mathrm{R}$ ਅਤੇ $\mathrm{S}$ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ $\mathrm{ABCD}$ ਦੇ $\angle \mathrm{A}$ ਅਤੇ $\angle \mathrm{B}, \angle \mathrm{B}$ ਅਤੇ $\angle \mathrm{C}, \angle \mathrm{C}$ ਅਤੇ $\angle \mathrm{D}$, ਅਤੇ $\angle \mathrm{D}$ ਅਤੇ $\angle \mathrm{A}$ ਦੇ ਸਮਦੁਭਾਜਕਾਂ ਦੇ ਮਿਲਣ ਬਿੰਦੂ ਹਨ (ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ 8.10)।

ਚਿੱਤਰ 8.10

$\triangle \mathrm{ASD}$ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ ਕੀ ਦੇਖਦੇ ਹੋ?

ਕਿਉਂਕਿ $\mathrm{DS}$, $\angle \mathrm{D}$ ਨੂੰ ਸਮਦੁਭਾਜਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ $\mathrm{AS}$, $\angle \mathrm{A}$ ਨੂੰ ਸਮਦੁਭਾਜਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ,

$$ \begin{aligned} \angle \mathrm{DAS}+\angle \mathrm{ADS} & =\frac{1}{2} \angle \mathrm{A}+\frac{1}{2} \angle \mathrm{D} \\ & =\frac{1}{2}(\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{D}) \\ & =\frac{1}{2} \times 180^{\circ} \\ (\angle \mathrm{A} \text { and } & \angle \mathrm{D} \text { are interior angles on the same side of the transversal} \\ & \left.=90^{\circ} \quad \right) \end{aligned} $$

ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, $\angle \mathrm{DAS}+\angle \mathrm{ADS}+\angle \mathrm{DSA}=180^{\circ} \quad$ (ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀ ਕੋਣ ਯੋਗ ਗੁਣ)

ਜਾਂ, $\quad 90^{\circ}+\angle \mathrm{DSA}=180^{\circ}$

ਜਾਂ, $\quad \angle \mathrm{DSA}=90^{\circ}$

ਇਸ ਲਈ, $\quad \angle \mathrm{PSR}=90^{\circ} \quad($ $\angle \mathrm{DSA})$ ਦੇ ਸਿਖਰਲੇ ਸਾਹਮਣੇ ਹੋਣ ਕਰਕੇ

ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਇਹ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ $\angle \mathrm{APB}=90^{\circ}$ ਜਾਂ $\angle \mathrm{SPQ}=90^{\circ}$ (ਜਿਵੇਂ ਕਿ $\angle \mathrm{DSA})$ ਲਈ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਸੀ)। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, $\angle \mathrm{PQR}=90^{\circ}$ ਅਤੇ $\angle \mathrm{SRQ}=90^{\circ}$।

ਇਸ ਲਈ, PQRS ਇੱਕ ਚਤੁਰਭੁਜ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਕੋਣ ਸਮਕੋਣ ਹਨ।

ਕੀ ਅਸੀਂ ਨਿਸ਼ਕਰਸ਼ ਕੱਢ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹ ਇੱਕ ਆਇਤ ਹੈ? ਆਓ ਜਾਂਚ ਕਰੀਏ। ਅਸੀਂ ਦਰਸਾਇਆ ਹੈ ਕਿ $\angle \mathrm{PSR}=\angle \mathrm{PQR}=90^{\circ}$ ਅਤੇ $\angle \mathrm{SPQ}=\angle \mathrm{SRQ}=90^{\circ}$। ਇਸ ਲਈ ਸਾਹਮਣੇ ਵਾਲੇ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਜੋੜੇ ਬਰਾਬਰ ਹਨ।

ਇਸ ਲਈ, $\mathrm{PQRS}$ ਇੱਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕੋਣ (ਦਰਅਸਲ ਸਾਰੇ ਕੋਣ) $90^{\circ}$ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ, $\mathrm{PQRS}$ ਇੱਕ ਆਇਤ ਹੈ।

8.2 ਮੱਧ-ਬਿੰਦੂ ਪ੍ਰਮੇਯ

ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਅਤੇ ਇੱਕ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦੇ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਗੁਣਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰ ਚੁੱਕੇ ਹੋ। ਹੁਣ ਆਓ ਇੱਕ ਹੋਰ ਨਤੀਜੇ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰੀਏ ਜੋ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੇ ਮੱਧ-ਬਿੰਦੂਆਂ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੈ। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਕਿਰਿਆ ਕਰੋ।

ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਖਿੱਚੋ ਅਤੇ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀਆਂ ਦੋ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੇ ਮੱਧ-ਬਿੰਦੂ $\mathrm{E}$ ਅਤੇ $\mathrm{F}$ ਨੂੰ ਚਿੰਨ੍ਹਿਤ ਕਰੋ। ਬਿੰਦੂਆਂ $\mathrm{E}$ ਅਤੇ $\mathrm{F}$ ਨੂੰ ਮਿਲਾਓ (ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ 8.15)।

ਚਿੱਤਰ 8.15

$\mathrm{EF}$ ਅਤੇ $\mathrm{BC}$ ਨੂੰ ਮਾਪੋ। $\angle \mathrm{AEF}$ ਅਤੇ $\angle \mathrm{ABC}$ ਨੂੰ ਮਾਪੋ।

ਤੁਸੀਂ ਕੀ ਦੇਖਦੇ ਹੋ? ਤੁਸੀਂ ਪਾਓਗੇ ਕਿ:

$\mathrm{EF}=\frac{1}{2} \mathrm{BC} \text { and } \angle \mathrm{AEF}=\angle \mathrm{ABC}$

ਇਸ ਲਈ, $\mathrm{EF} || \mathrm{BC}$

ਇਸ ਕਿਰਿਆ ਨੂੰ ਕੁਝ ਹੋਰ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਨਾਲ ਦੁਹਰਾਓ।

ਇਸ ਲਈ, ਤੁਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ‘ਤੇ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹੋ:

ਪ੍ਰਮੇਯ 8.8 : ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀਆਂ ਦੋ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੇ ਮੱਧ-ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਮਿਲਾਉਣ ਵਾਲਾ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਤੀਜੀ ਭੁਜਾ ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਤੁਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਸੁਰਾਗ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ: