८.१ समांतरभुज चौकोनाचे गुणधर्म

आपण आठवीत चौकोन आणि त्यांचे प्रकार यांचा अभ्यास केला आहे. चौकोनाला चार बाजू, चार कोन आणि चार शिरोबिंदू असतात. समांतरभुज चौकोन म्हणजे अशा चौकोनाला ज्याच्या संमुख बाजूंच्या दोन्ही जोड्या समांतर असतात. चला एक कृती करूया.

कागदाच्या शीटमधून एक समांतरभुज चौकोन कापून घ्या आणि त्याला एका कर्णावरुन कापा (चित्र ८.१ पहा). तुम्हाला दोन त्रिकोण मिळतील. या त्रिकोणांबद्दल तुम्ही काय म्हणू शकता?

एका त्रिकोणाला दुसऱ्या त्रिकोणावर ठेवा. आवश्यक असल्यास एक त्रिकोण फिरवा. तुम्हाला काय दिसते?

लक्षात घ्या की दोन्ही त्रिकोण एकमेकांशी एकरूप आहेत.

चित्र ८.१

आणखी काही समांतरभुज चौकोनांसह ही कृती पुन्हा करा. प्रत्येक वेळी तुम्हाला असे दिसेल की प्रत्येक कर्ण समांतरभुज चौकोनाला दोन एकरूप त्रिकोणांमध्ये विभागतो. चला आता हा निकाल सिद्ध करूया.

प्रमेय ८.१ : समांतरभुज चौकोनाचा कर्ण त्याला दोन एकरूप त्रिकोणांमध्ये विभागतो.

सिद्धता : समजा $A B C D$ हा एक समांतरभुज चौकोन आहे आणि $A C$ हा एक कर्ण आहे (चित्र ८.२ पहा). लक्षात घ्या की कर्ण $\mathrm{AC}$ समांतरभुज चौकोन $\mathrm{ABCD}$ ला दोन त्रिकोणांमध्ये विभागतो, ते म्हणजे $\triangle \mathrm{ABC}$ आणि $\triangle \mathrm{CDA}$. आपल्याला हे त्रिकोण एकरूप आहेत हे सिद्ध करायचे आहे.

चित्र ८.२

$\triangle \mathrm{ABC}$ आणि $\triangle \mathrm{CDA}$ मध्ये, लक्षात घ्या की $\mathrm{BC} || \mathrm{AD}$ आणि $\mathrm{AC}$ ही छेदिका आहे.

म्हणून, $\quad \angle \mathrm{BCA}=\angle \mathrm{DAC}$ (एकांतर कोनांची जोडी)

तसेच, $\quad\mathrm{AB} | \mathrm{DC}$ आणि $\mathrm{AC}$ ही छेदिका आहे.

म्हणून, $\quad \angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{DCA}$ (एकांतर कोनांची जोडी)

आणि $\quad \mathrm{AC}=\mathrm{CA}\quad$ (सामाईक)

म्हणून, $\quad \Delta \mathrm{ABC} \cong \triangle \mathrm{CDA}\quad$ (को-बा-को नियम)

किंवा, कर्ण $\mathrm{AC}$ समांतरभुज चौकोन $\mathrm{ABCD}$ ला दोन एकरूप त्रिकोण $\mathrm{ABC}$ आणि $\mathrm{CDA}$ मध्ये विभागतो.

आता, समांतरभुज चौकोन $A B C D$ च्या संमुख बाजू मोजा. तुम्हाला काय दिसते?

तुम्हाला असे आढळेल की $\mathrm{AB}=\mathrm{DC}$ आणि $\mathrm{AD}=\mathrm{BC}$.

हा समांतरभुज चौकोनाचा आणखी एक गुणधर्म आहे जो खालीलप्रमाणे सांगितला आहे:

प्रमेय ८.२ : समांतरभुज चौकोनात, संमुख बाजू समान असतात.

तुम्ही आधीच सिद्ध केले आहे की कर्ण समांतरभुज चौकोनाला दोन एकरूप त्रिकोणांमध्ये विभागतो; मग संगत भागांबद्दल, म्हणजे संगत बाजूंबद्दल तुम्ही काय म्हणू शकता? त्या समान आहेत.

म्हणून, $\mathrm{AB}=\mathrm{DC}$ आणि $\mathrm{AD}=\mathrm{BC}$

आता या निकालाचा व्यत्यय काय आहे? तुम्हाला आधीच माहित आहे की प्रमेयात जे दिलेले असते, तेच व्यत्ययात सिद्ध करायचे असते आणि प्रमेयात जे सिद्ध केलेले असते ते व्यत्ययात दिलेले असते. अशाप्रकारे, प्रमेय ८.२ खालीलप्रमाणे सांगता येईल:

जर चौकोन समांतरभुज चौकोन असेल, तर त्याच्या संमुख बाजूंची प्रत्येक जोडी समान असते. म्हणून त्याचा व्यत्यय आहे:

प्रमेय ८.३ : जर चौकोनाच्या संमुख बाजूंची प्रत्येक जोडी समान असेल, तर तो समांतरभुज चौकोन असतो.

तुम्ही हे का आहे हे स्पष्ट करू शकता का?

समजा चौकोन $\mathrm{ABCD}$ च्या बाजू $\mathrm{AB}$ आणि $\mathrm{CD}$ समान आहेत आणि $\mathrm{AD}=\mathrm{BC}$ देखील समान आहे (चित्र ८.३ पहा). कर्ण AC काढा.

चित्र ८.३

स्पष्टपणे, $\quad \triangle \mathrm{ABC} \cong \triangle \mathrm{CDA}\quad$ (का?)

म्हणून, $\quad \angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{DCA}$

आणि $\quad \angle \mathrm{BCA}=\angle \mathrm{DAC}\quad$ (का?)

आता तुम्ही असे म्हणू शकता की ABCD हा समांतरभुज चौकोन आहे का? का?

तुम्ही आत्ताच पाहिले आहे की समांतरभुज चौकोनात संमुख बाजूंची प्रत्येक जोडी समान असते आणि व्यत्ययाने, जर चौकोनाच्या संमुख बाजूंची प्रत्येक जोडी समान असेल, तर तो समांतरभुज चौकोन असतो. संमुख कोनांच्या जोडीसाठी आपण असाच निष्कर्ष काढू शकतो का?

एक समांतरभुज चौकोन काढा आणि त्याचे कोन मोजा. तुम्हाला काय दिसते?

संमुख कोनांची प्रत्येक जोडी समान असते.

आणखी काही समांतरभुज चौकोनांसह हे पुन्हा करा. आपण आणखी एक निकाल खालीलप्रमाणे मिळवतो.

प्रमेय ८.४ : समांतरभुज चौकोनात, संमुख कोन समान असतात.

आता, या निकालाचा व्यत्यय देखील सत्य आहे का? होय. चौकोनाच्या कोनबेरजेचा गुणधर्म आणि समांतर रेषांना छेदिकेने छेदल्यामुळे मिळणाऱ्या निकालांचा वापर करून, आपण पाहू शकतो की व्यत्यय देखील सत्य आहे. म्हणून, आपल्याकडे खालील प्रमेय आहे:

प्रमेय ८.५ : जर चौकोनात, संमुख कोनांची प्रत्येक जोडी समान असेल, तर तो समांतरभुज चौकोन असतो.

समांतरभुज चौकोनाचा आणखी एक गुणधर्म आहे. चला तोच अभ्यास करूया. एक समांतरभुज चौकोन $\mathrm{ABCD}$ काढा आणि त्याचे दोन्ही कर्ण $\mathrm{O}$ बिंदूवर छेदतात असे काढा (चित्र ८.४ पहा).

चित्र ८.४

$\mathrm{OA}, \mathrm{OB}, \mathrm{OC}$ आणि $\mathrm{OD}$ ची लांबी मोजा.

तुम्हाला काय दिसते? तुम्हाला असे दिसेल की

$\mathrm{OA}=\mathrm{OC} \text { and } \mathrm{OB}=\mathrm{OD}$

किंवा, $\mathrm{O}$ हा दोन्ही कर्णांचा मध्यबिंदू आहे.

आणखी काही समांतरभुज चौकोनांसह ही कृती पुन्हा करा.

प्रत्येक वेळी तुम्हाला असे आढळेल की $\mathrm{O}$ हा दोन्ही कर्णांचा मध्यबिंदू आहे.

म्हणून, आपल्याकडे खालील प्रमेय आहे:

प्रमेय ८.६ : समांतरभुज चौकोनाचे कर्ण परस्परांना दुभागतात.

आता, जर चौकोनात कर्ण परस्परांना दुभागत असतील तर काय होईल? तो समांतरभुज चौकोन असेल का? खरोखरच हे सत्य आहे.

हा निकाल प्रमेय ८.६ च्या निकालाचा व्यत्यय आहे. तो खाली दिला आहे:

प्रमेय ८.७ : जर चौकोनाचे कर्ण परस्परांना दुभागत असतील, तर तो समांतरभुज चौकोन असतो.

तुम्ही हा निकाल खालीलप्रमाणे स्पष्ट करू शकता:

लक्षात घ्या की चित्र ८.५ मध्ये, $\mathrm{OA}=\mathrm{OC}$ आणि $\mathrm{OB}=\mathrm{OD}$ दिलेले आहेत.

चित्र ८.५

म्हणून, $\quad \triangle \mathrm{AOB} \cong \triangle \mathrm{COD} \quad \text { (Why?) }$

त्यामुळे, $\angle \mathrm{ABO}=\angle \mathrm{CDO}\quad \text {(Why?)}$

यावरून, आपल्याला $\mathrm{AB} || \mathrm{CD}$ मिळते

त्याचप्रमाणे, $\quad \mathrm{BC} || \mathrm{AD}$

म्हणून $\mathrm{ABCD}$ हा समांतरभुज चौकोन आहे.

चला आता काही उदाहरणे पाहू.

उदाहरण १ : दाखवा की आयताचा प्रत्येक कोन काटकोन असतो.

उकल : आयत म्हणजे काय ते आठवूया.

आयत हा एक समांतरभुज चौकोन आहे ज्यात एक कोन काटकोन असतो.

समजा $\mathrm{ABCD}$ हा एक आयत आहे ज्यामध्ये $\angle \mathrm{A}=90^{\circ}$ आहे.

आपल्याला हे दाखवायचे आहे की $\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{C}=\angle \mathrm{D}=90^{\circ}$

आपल्याकडे, $A D || B C$ आणि $A B$ ही छेदिका आहे (चित्र ८.६ पहा).

चित्र ८.६

म्हणून, $\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{B}=180^{\circ} \quad$ (छेदिकेच्या एकाच बाजूला असलेले आंतरकोन)

परंतु, $\quad \angle \mathrm{A}=90^{\circ}$

म्हणून, $\quad \angle \mathrm{B}=180^{\circ}-\angle \mathrm{A}=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$

आता, $\quad \angle \mathrm{C}=\angle \mathrm{A}$ आणि $\angle \mathrm{D}=\angle \mathrm{B}$

(समांतरभुज चौकोनाचे संमुख कोन)

म्हणून, $\quad\angle \mathrm{C}=90^{\circ} \text { and } \angle \mathrm{D}=90^{\circ} \text {. }$

त्यामुळे, आयताचा प्रत्येक कोन काटकोन असतो.

उदाहरण २ : दाखवा की समभुज चौकोनाचे कर्ण परस्परांना लंब असतात.

उकल : समभुज चौकोन ABCD विचारात घ्या (चित्र ८.७ पहा).

चित्र ८.७

तुम्हाला माहित आहे की $\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CD}=\mathrm{DA}$ (का?)

आता, $\triangle \mathrm{AOD}$ आणि $\triangle \mathrm{COD}$ मध्ये,

$\mathrm{OA}=\mathrm{OC}($ (समांतरभुज चौकोनाचे कर्ण परस्परांना दुभागतात)

$\mathrm{OD}=\mathrm{OD}\quad$ (सामाईक)

$\mathrm{AD}=\mathrm{CD}$ (दिलेले)

म्हणून, $\Delta \mathrm{AOD} \cong \Delta \mathrm{COD}\quad$ (बा-बा-बा एकरूपता नियम)

यावरून, $\angle \mathrm{AOD}=\angle \mathrm{COD}\quad$ (एकरूप त्रिकोणांचे संगत भाग)

परंतु, $\angle \mathrm{AOD}+\angle \mathrm{COD}=180^{\circ}$ (रेषीय जोडी)

म्हणून, $\quad 2 \angle \mathrm{AOD}=180^{\circ}$

किंवा, $\quad \angle \mathrm{AOD}=90^{\circ}$

म्हणून, समभुज चौकोनाचे कर्ण परस्परांना लंब असतात.

उदाहरण ३ : $\mathrm{ABC}$ हा एक समद्विभुज त्रिकोण आहे ज्यामध्ये $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$ आहे. $\mathrm{AD}$ हा बाह्यकोन $\mathrm{PAC}$ ला दुभागतो आणि $\mathrm{CD} | \mathrm{AB}$ आहे (चित्र ८.८ पहा). दाखवा की

(i) $\angle \mathrm{DAC}=\angle \mathrm{BCA}$ आणि

(ii) $\mathrm{ABCD}$ हा समांतरभुज चौकोन आहे.

चित्र ८.८

उकल : (i) $\triangle \mathrm{ABC}$ हा समद्विभुज त्रिकोण आहे ज्यामध्ये $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$ (दिलेले)

म्हणून, $\quad \angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{ACB} \quad$ (समान बाजूंसमोरील कोन)

तसेच, $\angle \mathrm{PAC}=\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{ACB}\quad$ (त्रिकोणाचा बाह्यकोन)

किंवा, $\quad \angle \mathrm{PAC}=2 \angle \mathrm{ACB}\quad$ (१)

आता, AD हा $\angle \mathrm{PAC}$ ला दुभागतो.

म्हणून, $\quad \angle \mathrm{PAC}=2 \angle \mathrm{DAC}\quad$ (२)

त्यामुळे,

$2 \angle \mathrm{DAC} =2 \angle \mathrm{ACB} \quad[\text { From }(1) \text { and }(2)]$ $\text { or, } \quad \angle \mathrm{DAC} =\angle \mathrm{ACB}$

(ii) आता, हे समान कोन एकांतर कोनांची जोडी तयार करतात जेव्हा रेषाखंड $\mathrm{BC}$ आणि $\mathrm{AD}$ यांना छेदिका $\mathrm{AC}$ ने छेदले जाते.

म्हणून, $\quad \mathrm{BC} || \mathrm{AD}$

तसेच, $\mathrm{BA} || \mathrm{CD} \quad$ (दिलेले)

आता, चौकोन $\mathrm{ABCD}$ च्या संमुख बाजूंच्या दोन्ही जोड्या समांतर आहेत.

म्हणून, $A B C D$ हा समांतरभुज चौकोन आहे.

उदाहरण ४ : दोन समांतर रेषा $l$ आणि $m$ यांना छेदिका $p$ ने छेदले आहेत (चित्र ८.९ पहा). दाखवा की आंतरकोनांचे दुभाजक जो चौकोन तयार करतात तो आयत असतो.

चित्र ८.९

उकल : दिलेले आहे की PS $|| \mathrm{QR}$ आणि छेदिका $p$ त्यांना अनुक्रमे A आणि C बिंदूंवर छेदते.

$\angle \mathrm{PAC}$ आणि $\angle \mathrm{ACQ}$ चे दुभाजक $\mathrm{B}$ वर छेदतात आणि $\angle \mathrm{ACR}$ आणि $\angle \mathrm{SAC}$ चे दुभाजक $\mathrm{D}$ वर छेदतात.

आपल्याला हे दाखवायचे आहे की चौकोन $\mathrm{ABCD}$ हा आयत आहे.

आता, $\quad \angle \mathrm{PAC}=\angle \mathrm{ACR}$

(एकांतर कोन कारण $l || m$ आणि $p$ ही छेदिका आहे)

म्हणून, $\quad \frac{1}{2} \angle \mathrm{PAC}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{ACR}$

म्हणजेच, $\quad \angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{ACD}$

हे रेषा $\mathrm{AB}$ आणि $\mathrm{DC}$ साठी $\mathrm{AC}$ ही छेदिका असताना एकांतर कोनांची जोडी तयार करतात आणि ते समान देखील आहेत.

म्हणून, $\quad\mathrm{AB} || \mathrm{DC}$

त्याचप्रमाणे, $\quad\mathrm{BC} || \mathrm{AD} \quad$ ($\angle \mathrm{ACB}$ आणि $\angle \mathrm{CAD}$ विचारात घेऊन)

म्हणून, चौकोन $\mathrm{ABCD}$ हा समांतरभुज चौकोन आहे.

तसेच, $\quad\angle \mathrm{PAC}+\angle \mathrm{CAS}=180^{\circ} \quad \text { (Linear pair) }$

म्हणून, $\quad \frac{1}{2} \angle \mathrm{PAC}+\frac{1}{2} \angle \mathrm{CAS}=\frac{1}{2} \times 180^{\circ}=90^{\circ}$

किंवा, $\quad \angle \mathrm{BAC}+\angle \mathrm{CAD}=90^{\circ}$

किंवा, $\quad\angle \mathrm{BAD}=90^{\circ}$

म्हणून, $\mathrm{ABCD}$ हा एक समांतरभुज चौकोन आहे ज्यात एक कोन $90^{\circ}$ आहे. त्यामुळे, $\mathrm{ABCD}$ हा आयत आहे.

उदाहरण ५ : दाखवा की समांतरभुज चौकोनाच्या कोनांचे दुभाजक आयत तयार करतात.

उकल : समजा $\mathrm{P}, \mathrm{Q}, \mathrm{R}$ आणि $\mathrm{S}$ हे अनुक्रमे समांतरभुज चौकोन $\mathrm{ABCD}$ च्या $\angle \mathrm{A}$ आणि $\angle \mathrm{B}, \angle \mathrm{B}$, $\angle \mathrm{C}, \angle \mathrm{C}$ आणि $\angle \mathrm{D}$, आणि $\angle \mathrm{D}$ आणि $\angle \mathrm{A}$ या कोनांच्या दुभाजकांच्या छेदनबिंदू आहेत (चित्र ८.१० पहा).

चित्र ८.१०

$\triangle \mathrm{ASD}$ मध्ये, तुम्हाला काय दिसते?

कारण $\mathrm{DS}$ हा $\angle \mathrm{D}$ ला दुभागतो आणि $\mathrm{AS}$ हा $\angle \mathrm{A}$ ला दुभागतो, म्हणून,

$$ \begin{aligned} \angle \mathrm{DAS}+\angle \mathrm{ADS} & =\frac{1}{2} \angle \mathrm{A}+\frac{1}{2} \angle \mathrm{D} \\ & =\frac{1}{2}(\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{D}) \\ & =\frac{1}{2} \times 180^{\circ} \\ (\angle \mathrm{A} \text { and } & \angle \mathrm{D} \text { are interior angles on the same side of the transversal} \\ & \left.=90^{\circ} \quad \right) \end{aligned} $$

तसेच, $\angle \mathrm{DAS}+\angle \mathrm{ADS}+\angle \mathrm{DSA}=180^{\circ} \quad$ (त्रिकोणाच्या कोनबेरजेचा गुणधर्म)

किंवा, $\quad 90^{\circ}+\angle \mathrm{DSA}=180^{\circ}$

किंवा, $\quad \angle \mathrm{DSA}=90^{\circ}$

म्हणून, $\quad \angle \mathrm{PSR}=90^{\circ} \quad($ $\angle \mathrm{DSA})$ च्या शिरोलंब विरुद्ध कोन असल्यामुळे

त्याचप्रमाणे, हे दाखवता येते की $\angle \mathrm{APB}=90^{\circ}$ किंवा $\angle \mathrm{SPQ}=90^{\circ}$ (जसे $\angle \mathrm{DSA})$ साठी दाखवले होते). त्याचप्रमाणे, $\angle \mathrm{PQR}=90^{\circ}$ आणि $\angle \mathrm{SRQ}=90^{\circ}$.

म्हणून, PQRS हा एक चौकोन आहे ज्यात सर्व कोन काटकोन आहेत.

आपण असा निष्कर्ष काढू शकतो की तो आयत आहे का? चला तपासूया. आपण दाखवले आहे की $\angle \mathrm{PSR}=\angle \mathrm{PQR}=90^{\circ}$ आणि $\angle \mathrm{SPQ}=\angle \mathrm{SRQ}=90^{\circ}$. म्हणून संमुख कोनांच्या दोन्ही जोड्या समान आहेत.

त्यामुळे, $\mathrm{PQRS}$ हा एक समांतरभुज चौकोन आहे ज्यात एक कोन (खरेतर सर्व कोन) $90^{\circ}$ आहे आणि म्हणून, $\mathrm{PQRS}$ हा आयत आहे.

८.२ मध्यबिंदू प्रमेय

तुम्ही त्रिकोण आणि चौकोन यांचे अनेक गुणधर्म अभ्यासले आहेत. आता आपण आणखी एक निकाल अभ्यासूया जो त्रिकोणाच्या बाजूंच्या मध्यबिंदूंशी संबंधित आहे. खालील कृती करा.

एक त्रिकोण काढा आणि त्रिकोणाच्या दोन बाजूंचे मध्यबिंदू $\mathrm{E}$ आणि $\mathrm{F}$ चिन्हांकित करा. $\mathrm{E}$ आणि $\mathrm{F}$ बिंदूंना जोडा (चित्र ८.१५ पहा).

चित्र ८.१५

$\mathrm{EF}$ आणि $\mathrm{BC}$ मोजा. $\angle \mathrm{AEF}$ आणि $\angle \mathrm{ABC}$ मोजा.

तुम्हाला काय दिसते? तुम्हाला असे आढळेल:

$\mathrm{EF}=\frac{1}{2} \mathrm{BC} \text { and } \angle \mathrm{AEF}=\angle \mathrm{ABC}$

म्हणून, $\mathrm{EF} || \mathrm{BC}$

आणखी काही त्रिकोणांसह ही कृती पुन्हा करा.

म्हणून, तुम्ही खालील प्रमेयापर्यंत पोहोचता:

प्रमेय ८.८ : त्रिकोणाच्या दोन बाजूंच्या मध्यबिंदूंना जोडणारा रेषाखंड तिसऱ्या बाजूस समांतर असतो.

तुम्ही खालील सूचनेचा वापर करून हे प्रमेय सिद्ध करू शकता:

चित्र ८.१६ पहा ज्यामध्ये $E$ आणि $F$ हे अनुक्रमे $\mathrm{AB}$ आणि $\mathrm{AC}$ चे मध्यबिंदू आहेत आणि $\mathrm{CD} || \mathrm{BA}$ आहे.

चित्र ८.१६

$ \begin{equation*} \Delta \mathrm{AEF} \cong \triangle \mathrm{CDF} \tag{ASAनियम} \end{equation*} $

म्हणून, $\quad \mathrm{EF}=\mathrm{DF}$ आणि $\mathrm{BE}=\mathrm{AE}=\mathrm{DC} \quad($ का? $)$

त्यामुळे, BCDE हा समांतरभुज चौकोन आहे. (का?)

यावरून $\mathrm{EF} || \mathrm{BC}$ मिळते.

या प्रकरणात, हे देखील लक्षात घ्या की $\mathrm{EF}=\frac{1}{2} \mathrm{ED}=\frac{1}{2} \mathrm{BC}$.

तुम्ही प्रमेय ८.८ चा व्यत्यय सांगू शकता का? व्यत्यय सत्य आहे का?

तुम्हाला दिसेल की वरील प्रमेयाचा व्यत्यय देखील सत्य आहे जो खालीलप्रमाणे सांगितला आहे:

प्रमेय ८.९ : त्रिकोणाच्या एका बाजूच्या मध्यबिंदूतून काढलेली रेषा, दुसऱ्या बाजूस समांतर असल्यास तिसरी बाजू दुभागते.

चित्र ८.१७ मध्ये, लक्षात घ्या की $\mathrm{E}$ हा $\mathrm{AB}$ चा मध्यबिंदू आहे, रेषा $l$ $\mathrm{E}$ मधून जाते आणि $\mathrm{BC}$ ला समांतर आहे आणि $\mathrm{CM} || \mathrm{BA}$ आहे.

$\triangle \mathrm{AEF}$ आणि $\triangle \mathrm{CDF}$ यांच्या एकरूपतेचा वापर करून $\mathrm{AF}=\mathrm{CF}$ हे सिद्ध करा.

चित्र ८.१७

उदाहरण ६ : $\triangle \mathrm{ABC}, \mathrm{D}, \mathrm{E}$ आणि $\mathrm{F}$ हे अनुक्रमे बाजू $\mathrm{AB}, \mathrm{BC}$ आणि $\mathrm{CA}$ चे मध्यबिंदू आहेत (चित्र ८.१८ पहा). दाखवा की $\triangle \mathrm{ABC}$ ला $\mathrm{D}, \mathrm{E}$ आणि $\mathrm{F}$ जोडल्याने चार एकरूप त्रिकोणांमध्ये विभागले जाते.

चित्र ८.१८

उकल : D आणि E हे त्रिकोण $\mathrm{ABC}$ च्या बाजू AB आणि $\mathrm{BC}$ चे मध्यबिंदू असल्यामुळे, प्रमेय ८.८ नुसार,

त्याचप्रमाणे, $\quad \quad \mathrm{DF} || \mathrm{BC}$ आणि $\mathrm{EF} || \mathrm{AB}$

म्हणून ADEF, BDFE आणि DFCE हे सर्व समांतरभुज चौकोन आहेत.

आता $\mathrm{DE}$ हा समांतरभुज चौकोन $\mathrm{BDFE}$ चा कर्ण आहे,

म्हणून, $\quad \Delta \mathrm{BDE} \cong \Delta \mathrm{FED}$

त्याचप्रमाणे $\quad \Delta \mathrm{DAF} \cong \triangle \mathrm{FED}$

आणि $\quad \Delta \mathrm{EFC} \cong \triangle \mathrm{FED}$

म्हणून, सर्व चार त्रिकोण एकरूप आहेत.

उदाहरण ७ : $ l, m$ आणि $n$ ह्या तीन समांतर रेषा आहेत ज्यांना छेदिका $p$ आणि $q$ ने छेदले आहेत जसे की $l, m$ आणि $n$ $p$ वर समान आंतरखंड $\mathrm{AB}$ आणि $\mathrm{BC}$ कापतात (चित्र ८.१९ पहा). दाखवा की $l, m$ आणि $n$ $q$ वर देखील समान आंतरखंड $\mathrm{DE}$ आणि $\mathrm{EF}$ कापतात.

चित्र ८.१९

उकल : आपल्याला दिलेले आहे की $\mathrm{AB}=\mathrm{BC}$ आणि $\mathrm{DE}=\mathrm{EF}$ हे सिद्ध करायचे आहे.

चला $\mathrm{A}$ ला $\mathrm{F}$ शी जोडू ज्यामुळे $m$ ला $\mathrm{G}$ वर छेदते.

समलंब चौकोन ACFD हा दोन त्रिकोणांमध्ये विभागला गेला आहे;

म्हणजे $\triangle \mathrm{ACF}$ आणि $\triangle \mathrm{AFD}$.

$\triangle \mathrm{ACF}$ मध्ये, दिलेले आहे की $\mathrm{B}$ हा $\mathrm{AC}(\mathrm{AB}=\mathrm{BC})$ चा मध्यबिंदू आहे

आणि $\quad \mathrm{BG} || \mathrm{CF} \quad($ कारण $m || n)$.

म्हणून, $\mathrm{G}$ हा AF चा मध्यबिंदू आहे (प्रमेय ८.९ वापरून)

आता, $\triangle$ AFD मध्ये, आपण तर्क वापरू शकतो कारण $G$ हा AF चा मध्यबिंदू आहे, $\mathrm{GE} || \mathrm{AD}$ आणि म्हणून प्रमेय $8.9, \mathrm{E}$ नुसार $\mathrm{DF}$ चा मध्यबिंदू आहे,

म्हणजेच, $\quad\mathrm{DE}=\mathrm{EF}$.

दुसऱ्या शब्दांत, $l, m$ आणि $n$ $q$ वर देखील समान आंतरखंड कापतात.

८.३ सारांश

या प्रकरणात, तुम्ही खालील मुद्द्यांचा अभ्यास केला आहे:

१. समांतरभुज चौकोनाचा कर्ण त्याला दोन एकरूप त्रिकोणांमध्ये विभागतो.

२. समांतरभुज चौकोनात,

(i) संमुख बाजू समान असतात

(ii) संमुख कोन समान असतात

(iii) कर्ण परस्परांना दुभागतात

३. आयताचे कर्ण परस्परांना दुभागतात आणि समान असतात आणि त्याचा व्यत्यय.

४. समभुज चौकोनाचे कर्ण परस्परांना काटकोनात दुभागतात आणि त्याचा व्यत्यय.

५. चौरसाचे कर्ण परस्परांना काटकोनात दुभागतात आणि समान असतात, आणि त्याचा व्यत्यय.

६. त्रिकोणाच्या कोणत्याही दोन बाजूंच्या मध्यबिंदूंना जोडणारा रेषाखंड तिसऱ्या बाजूस समांतर असतो आणि तिच्या अर्धा असतो.

७. त्रिकोणाच्या एका बाजूच्या मध्यबिंदूतून दुसऱ्या बाजूस समांतर काढलेली रेषा तिसरी बाजू दुभागते.