8.1 متوازی الاضلاع کی خصوصیات

آپ نے کلاس ہشتم میں چوکوروں اور ان کی اقسام کا پہلے ہی مطالعہ کیا ہے۔ ایک چوکور کے چار اضلاع، چار زاویے اور چار راس ہوتے ہیں۔ متوازی الاضلاع ایک چوکور ہے جس میں مخالف اضلاع کے دونوں جوڑے متوازی ہوتے ہیں۔ آئیے ایک سرگرمی انجام دیتے ہیں۔

کاغذ کی شیٹ سے ایک متوازی الاضلاع کاٹیں اور اسے ایک قطر کے ساتھ کاٹیں (شکل 8.1 دیکھیں)۔ آپ کو دو مثلثیں ملتی ہیں۔ آپ ان مثلثوں کے بارے میں کیا کہہ سکتے ہیں؟

ایک مثلث کو دوسری پر رکھیں۔ اگر ضروری ہو تو ایک کو گھمائیں۔ آپ کیا مشاہدہ کرتے ہیں؟

مشاہدہ کریں کہ دو مثلثیں ایک دوسرے کے مطابق ہیں۔

شکل 8.1

اس سرگرمی کو کچھ اور متوازی الاضلاعوں کے ساتھ دہرائیں۔ ہر بار آپ مشاہدہ کریں گے کہ ہر قطر متوازی الاضلاع کو دو مطابق مثلثوں میں تقسیم کرتا ہے۔ آئیے اب اس نتیجے کو ثابت کریں۔

قضیہ 8.1 : متوازی الاضلاع کا ایک قطر اسے دو مطابق مثلثوں میں تقسیم کرتا ہے۔

ثبوت : فرض کریں $A B C D$ ایک متوازی الاضلاع ہے اور $A C$ اس کا ایک قطر ہے (شکل 8.2 دیکھیں)۔ مشاہدہ کریں کہ قطر $\mathrm{AC}$ متوازی الاضلاع $\mathrm{ABCD}$ کو دو مثلثوں میں تقسیم کرتا ہے، یعنی $\triangle \mathrm{ABC}$ اور $\triangle \mathrm{CDA}$۔ ہمیں ثابت کرنا ہے کہ یہ مثلثیں مطابق ہیں۔

شکل 8.2

$\triangle \mathrm{ABC}$ اور $\triangle \mathrm{CDA}$ میں، نوٹ کریں کہ $\mathrm{BC} || \mathrm{AD}$ اور $\mathrm{AC}$ ایک قاطع ہے۔

لہذا، $\quad \angle \mathrm{BCA}=\angle \mathrm{DAC}$ (متناوب زاویوں کا جوڑا)

نیز، $\quad\mathrm{AB} | \mathrm{DC}$ اور $\mathrm{AC}$ ایک قاطع ہے۔

لہذا، $\quad \angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{DCA}$ (متناوب زاویوں کا جوڑا)

اور $\quad \mathrm{AC}=\mathrm{CA}\quad$ (مشترک)

لہذا، $\quad \Delta \mathrm{ABC} \cong \triangle \mathrm{CDA}\quad$ (ASA قاعدہ)

یا، قطر $\mathrm{AC}$ متوازی الاضلاع $\mathrm{ABCD}$ کو دو مطابق مثلثوں $\mathrm{ABC}$ اور $\mathrm{CDA}$ میں تقسیم کرتا ہے۔

اب، متوازی الاضلاع $A B C D$ کے مخالف اضلاع کی پیمائش کریں۔ آپ کیا مشاہدہ کرتے ہیں؟

آپ پائیں گے کہ $\mathrm{AB}=\mathrm{DC}$ اور $\mathrm{AD}=\mathrm{BC}$۔

یہ متوازی الاضلاع کی ایک اور خصوصیت ہے جو نیچے بیان کی گئی ہے:

قضیہ 8.2 : متوازی الاضلاع میں، مخالف اضلاع برابر ہوتے ہیں۔

آپ پہلے ہی ثابت کر چکے ہیں کہ ایک قطر متوازی الاضلاع کو دو مطابق مثلثوں میں تقسیم کرتا ہے؛ تو آپ متناظر حصوں، مثلاً متناظر اضلاع کے بارے میں کیا کہہ سکتے ہیں؟ وہ برابر ہیں۔

لہذا، $\mathrm{AB}=\mathrm{DC}$ اور $\mathrm{AD}=\mathrm{BC}$

اب اس نتیجے کا معکوس کیا ہے؟ آپ پہلے ہی جانتے ہیں کہ قضیے میں جو کچھ دیا گیا ہے، وہی معکوس میں ثابت کرنا ہوتا ہے اور قضیے میں جو کچھ ثابت کیا گیا ہے وہ معکوس میں دیا جاتا ہے۔ اس طرح، قضیہ 8.2 کو نیچے دیے گئے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے:

اگر کوئی چوکور متوازی الاضلاع ہے، تو اس کے مخالف اضلاع کا ہر جوڑا برابر ہوتا ہے۔ لہذا اس کا معکوس ہے:

قضیہ 8.3 : اگر کسی چوکور کے مخالف اضلاع کا ہر جوڑا برابر ہو، تو وہ متوازی الاضلاع ہوتا ہے۔

کیا آپ وجہ بتا سکتے ہیں کہ کیوں؟

فرض کریں چوکور $\mathrm{ABCD}$ کے اضلاع $\mathrm{AB}$ اور $\mathrm{CD}$ برابر ہیں اور نیز $\mathrm{AD}=\mathrm{BC}$ بھی (شکل 8.3 دیکھیں)۔ قطر AC کھینچیں۔

شکل 8.3

واضح طور پر، $\quad \triangle \mathrm{ABC} \cong \triangle \mathrm{CDA}\quad$ (کیوں؟)

لہذا، $\quad \angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{DCA}$

اور $\quad \angle \mathrm{BCA}=\angle \mathrm{DAC}\quad$ (کیوں؟)

کیا آپ اب کہہ سکتے ہیں کہ ABCD ایک متوازی الاضلاع ہے؟ کیوں؟

آپ نے ابھی دیکھا کہ متوازی الاضلاع میں مخالف اضلاع کا ہر جوڑا برابر ہوتا ہے اور معکوس طور پر اگر کسی چوکور کے مخالف اضلاع کا ہر جوڑا برابر ہو، تو وہ متوازی الاضلاع ہوتا ہے۔ کیا ہم مخالف زاویوں کے جوڑوں کے لیے بھی یہی نتیجہ اخذ کر سکتے ہیں؟

ایک متوازی الاضلاع بنائیں اور اس کے زاویوں کی پیمائش کریں۔ آپ کیا مشاہدہ کرتے ہیں؟

مخالف زاویوں کا ہر جوڑا برابر ہوتا ہے۔

اسے کچھ اور متوازی الاضلاعوں کے ساتھ دہرائیں۔ ہم ایک اور نتیجے پر پہنچتے ہیں جو نیچے دیا گیا ہے۔

قضیہ 8.4 : متوازی الاضلاع میں، مخالف زاویے برابر ہوتے ہیں۔

اب، کیا اس نتیجے کا معکوس بھی سچ ہے؟ ہاں۔ چوکور کے زاویوں کے مجموعے کی خاصیت اور متوازی خطوط کے ایک قاطع سے قطع ہونے کے نتائج کا استعمال کرتے ہوئے، ہم دیکھ سکتے ہیں کہ معکوس بھی سچ ہے۔ لہذا، ہمارے پاس مندرجہ ذیل قضیہ ہے:

قضیہ 8.5 : اگر کسی چوکور میں مخالف زاویوں کا ہر جوڑا برابر ہو، تو وہ متوازی الاضلاع ہوتا ہے۔

متوازی الاضلاع کی ایک اور خصوصیت بھی ہے۔ آئیے اس کا مطالعہ کریں۔ ایک متوازی الاضلاع $\mathrm{ABCD}$ بنائیں اور اس کے دونوں قطروں کو کھینچیں جو نقطہ $\mathrm{O}$ پر ایک دوسرے کو قطع کرتے ہیں (شکل 8.4 دیکھیں)۔

شکل 8.4

$\mathrm{OA}, \mathrm{OB}, \mathrm{OC}$ اور $\mathrm{OD}$ کی لمبائیوں کی پیمائش کریں۔

آپ کیا مشاہدہ کرتے ہیں؟ آپ مشاہدہ کریں گے کہ

$\mathrm{OA}=\mathrm{OC} \text { and } \mathrm{OB}=\mathrm{OD}$

یا، $\mathrm{O}$ دونوں قطروں کا وسط نقطہ ہے۔

اس سرگرمی کو کچھ اور متوازی الاضلاعوں کے ساتھ دہرائیں۔

ہر بار آپ پائیں گے کہ $\mathrm{O}$ دونوں قطروں کا وسط نقطہ ہے۔

لہذا، ہمارے پاس مندرجہ ذیل قضیہ ہے:

قضیہ 8.6 : متوازی الاضلاع کے قطری ایک دوسرے کو نصف نصف کرتے ہیں۔

اب، اگر کسی چوکور میں قطری ایک دوسرے کو نصف نصف کریں تو کیا ہوگا؟ کیا یہ متوازی الاضلاع ہوگا؟ درحقیقت یہ سچ ہے۔

یہ نتیجہ قضیہ 8.6 کے نتیجے کا معکوس ہے۔ یہ نیچے دیا گیا ہے:

قضیہ 8.7 : اگر کسی چوکور کے قطری ایک دوسرے کو نصف نصف کریں، تو وہ متوازی الاضلاع ہوتا ہے۔

آپ اس نتیجے کی وجہ مندرجہ ذیل طور پر بتا سکتے ہیں:

نوٹ کریں کہ شکل 8.5 میں، یہ دیا گیا ہے کہ $\mathrm{OA}=\mathrm{OC}$ اور $\mathrm{OB}=\mathrm{OD}$۔

شکل 8.5

لہذا،$\quad \triangle \mathrm{AOB} \cong \triangle \mathrm{COD} \quad \text { (Why?) }$

اس لیے، $\angle \mathrm{ABO}=\angle \mathrm{CDO}\quad \text {(Why?)}$

اس سے، ہمیں ملتا ہے $\mathrm{AB} || \mathrm{CD}$

اسی طرح، $\quad \mathrm{BC} || \mathrm{AD}$

لہذا $\mathrm{ABCD}$ ایک متوازی الاضلاع ہے۔

آئیے اب کچھ مثالیں دیکھتے ہیں۔

مثال 1 : دکھائیں کہ مستطیل کا ہر زاویہ قائمہ زاویہ ہوتا ہے۔

حل : آئیے یاد کرتے ہیں کہ مستطیل کیا ہے۔

مستطیل ایک متوازی الاضلاع ہے جس میں ایک زاویہ قائمہ ہوتا ہے۔

فرض کریں $\mathrm{ABCD}$ ایک مستطیل ہے جس میں $\angle \mathrm{A}=90^{\circ}$۔

ہمیں دکھانا ہے کہ $\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{C}=\angle \mathrm{D}=90^{\circ}$

ہمارے پاس، $A D || B C$ اور $A B$ ایک قاطع ہے (شکل 8.6 دیکھیں)۔

شکل 8.6

لہذا، $\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{B}=180^{\circ} \quad$ (قاطع کے ایک ہی طرف کے اندرونی زاویے)

لیکن، $\quad \angle \mathrm{A}=90^{\circ}$

لہذا، $\quad \angle \mathrm{B}=180^{\circ}-\angle \mathrm{A}=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$

اب، $\quad \angle \mathrm{C}=\angle \mathrm{A}$ اور $\angle \mathrm{D}=\angle \mathrm{B}$

(متوازی الاضلاع کے مخالف زاویے)

لہذا،$\quad\angle \mathrm{C}=90^{\circ} \text { and } \angle \mathrm{D}=90^{\circ} \text {. }$

اس لیے، مستطیل کے ہر زاویہ قائمہ زاویہ ہوتا ہے۔

مثال 2 : دکھائیں کہ معین کے قطری ایک دوسرے پر عمود ہوتے ہیں۔

حل : معین ABCD پر غور کریں (شکل 8.7 دیکھیں)۔

شکل 8.7

آپ جانتے ہیں کہ $\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CD}=\mathrm{DA}$ (کیوں؟)

اب، $\triangle \mathrm{AOD}$ اور $\triangle \mathrm{COD}$ میں،

$\mathrm{OA}=\mathrm{OC}($ (متوازی الاضلاع کے قطری ایک دوسرے کو نصف نصف کرتے ہیں)

$\mathrm{OD}=\mathrm{OD}\quad$ (مشترک)

$\mathrm{AD}=\mathrm{CD}$ (دیا گیا ہے)

لہذا، $\Delta \mathrm{AOD} \cong \Delta \mathrm{COD}\quad$ (SSS مطابقت قاعدہ)

اس سے ملتا ہے، $\angle \mathrm{AOD}=\angle \mathrm{COD}\quad$ (CPCT)

لیکن، $\angle \mathrm{AOD}+\angle \mathrm{COD}=180^{\circ}$ (خطی جوڑا)

لہذا، $\quad 2 \angle \mathrm{AOD}=180^{\circ}$

یا، $\quad \angle \mathrm{AOD}=90^{\circ}$

لہذا، معین کے قطری ایک دوسرے پر عمود ہوتے ہیں۔

مثال 3 : $\mathrm{ABC}$ ایک متساوی الساقین مثلث ہے جس میں $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$۔ $\mathrm{AD}$ بیرونی زاویہ $\mathrm{PAC}$ کو نصف نصف کرتی ہے اور $\mathrm{CD} | \mathrm{AB}$ (شکل 8.8 دیکھیں)۔ دکھائیں کہ

(i) $\angle \mathrm{DAC}=\angle \mathrm{BCA}$ اور

(ii) $\mathrm{ABCD}$ ایک متوازی الاضلاع ہے۔

شکل 8.8

حل : (i) $\triangle \mathrm{ABC}$ متساوی الساقین ہے جس میں $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$ (دیا گیا ہے)

لہذا، $\quad \angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{ACB} \quad$ (برابر اضلاع کے مقابل زاویے)

نیز، $\angle \mathrm{PAC}=\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{ACB}\quad$ (مثلث کا بیرونی زاویہ)

یا، $\quad \angle \mathrm{PAC}=2 \angle \mathrm{ACB}\quad$(1)

اب، AD، $\angle \mathrm{PAC}$ کو نصف نصف کرتی ہے۔

لہذا، $\quad \angle \mathrm{PAC}=2 \angle \mathrm{DAC}\quad$(2)

اس لیے،

$2 \angle \mathrm{DAC} =2 \angle \mathrm{ACB} \quad[\text { From }(1) \text { and }(2)]$ $\text { or, } \quad \angle \mathrm{DAC} =\angle \mathrm{ACB}$

(ii) اب، یہ برابر زاویے متناوب زاویوں کا ایک جوڑا بناتے ہیں جب خطی قطعے $\mathrm{BC}$ اور $\mathrm{AD}$ کو ایک قاطع $\mathrm{AC}$ قطع کرتا ہے۔

لہذا، $\quad \mathrm{BC} || \mathrm{AD}$

نیز، $\mathrm{BA} || \mathrm{CD} \quad$ (دیا گیا ہے)

اب، چوکور $\mathrm{ABCD}$ کے مخالف اضلاع کے دونوں جوڑے متوازی ہیں۔

لہذا، $A B C D$ ایک متوازی الاضلاع ہے۔

مثال 4 : دو متوازی خطوط $l$ اور $m$ کو ایک قاطع $p$ قطع کرتا ہے (شکل 8.9 دیکھیں)۔ دکھائیں کہ اندرونی زاویوں کے ناصفوں سے بننے والا چوکور ایک مستطیل ہے۔

شکل 8.9

حل : یہ دیا گیا ہے کہ PS $|| \mathrm{QR}$ اور قاطع $p$ انہیں نقاط A اور C پر قطع کرتا ہے۔

$\angle \mathrm{PAC}$ اور $\angle \mathrm{ACQ}$ کے ناصف نقطہ $\mathrm{B}$ پر ملتے ہیں اور $\angle \mathrm{ACR}$ اور $\angle \mathrm{SAC}$ کے ناصف نقطہ $\mathrm{D}$ پر ملتے ہیں۔

ہمیں دکھانا ہے کہ چوکور $\mathrm{ABCD}$ ایک مستطیل ہے۔

اب، $\quad \angle \mathrm{PAC}=\angle \mathrm{ACR}$

(متناوب زاویے کیونکہ $l || m$ اور $p$ ایک قاطع ہے)

لہذا، $\quad \frac{1}{2} \angle \mathrm{PAC}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{ACR}$

یعنی، $\quad \angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{ACD}$

یہ خطوط $\mathrm{AB}$ اور $\mathrm{DC}$ کے لیے متناوب زاویوں کا ایک جوڑا بناتے ہیں جبکہ $\mathrm{AC}$ قاطع ہے اور وہ برابر بھی ہیں۔

لہذا،$\quad\mathrm{AB} || \mathrm{DC}$

اسی طرح،$\quad\mathrm{BC} || \mathrm{AD} \quad$ ($\angle \mathrm{ACB}$ اور $\angle \mathrm{CAD}$ پر غور کرتے ہوئے)

لہذا، چوکور $\mathrm{ABCD}$ ایک متوازی الاضلاع ہے۔

نیز،$\quad\angle \mathrm{PAC}+\angle \mathrm{CAS}=180^{\circ} \quad \text { (Linear pair) }$

لہذا، $\quad \frac{1}{2} \angle \mathrm{PAC}+\frac{1}{2} \angle \mathrm{CAS}=\frac{1}{2} \times 180^{\circ}=90^{\circ}$

یا، $\quad \angle \mathrm{BAC}+\angle \mathrm{CAD}=90^{\circ}$

یا،$\quad\angle \mathrm{BAD}=90^{\circ}$

لہذا، $\mathrm{ABCD}$ ایک متوازی الاضلاع ہے جس میں ایک زاویہ $90^{\circ}$ ہے۔ اس لیے، $\mathrm{ABCD}$ ایک مستطیل ہے۔

مثال 5 : دکھائیں کہ متوازی الاضلاع کے زاویوں کے ناصف ایک مستطیل بناتے ہیں۔

حل : فرض کریں $\mathrm{P}, \mathrm{Q}, \mathrm{R}$ اور $\mathrm{S}$ متوازی الاضلاع $\mathrm{ABCD}$ کے زاویوں $\angle \mathrm{A}$ اور $\angle \mathrm{B}, \angle \mathrm{B}$، اور $\angle \mathrm{C}, \angle \mathrm{C}$ اور $\angle \mathrm{D}$، اور $\angle \mathrm{D}$ اور $\angle \mathrm{A}$ کے ناصفوں کے تقاطع کے نقاط ہیں (شکل 8.10 دیکھیں)۔

شکل 8.10

$\triangle \mathrm{ASD}$ میں، آپ کیا مشاہدہ کرتے ہیں؟

چونکہ $\mathrm{DS}$، $\angle \mathrm{D}$ کو نصف نصف کرتا ہے اور $\mathrm{AS}$، $\angle \mathrm{A}$ کو نصف نصف کرتا ہے، اس لیے،

$$ \begin{aligned} \angle \mathrm{DAS}+\angle \mathrm{ADS} & =\frac{1}{2} \angle \mathrm{A}+\frac{1}{2} \angle \mathrm{D} \\ & =\frac{1}{2}(\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{D}) \\ & =\frac{1}{2} \times 180^{\circ} \\ (\angle \mathrm{A} \text { and } & \angle \mathrm{D} \text { are interior angles on the same side of the transversal} \\ & \left.=90^{\circ} \quad \right) \end{aligned} $$

نیز، $\angle \mathrm{DAS}+\angle \mathrm{ADS}+\angle \mathrm{DSA}=180^{\circ} \quad$ (مثلث کے زاویوں کے مجموعے کی خاصیت)

یا،$\quad 90^{\circ}+\angle \mathrm{DSA}=180^{\circ}$

یا،$\quad \angle \mathrm{DSA}=90^{\circ}$

لہذا،$\quad \angle \mathrm{PSR}=90^{\circ} \quad($ $\angle \mathrm{DSA})$ کے عمودی مقابل ہونے کی وجہ سے

اسی طرح، یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ $\angle \mathrm{APB}=90^{\circ}$ یا $\angle \mathrm{SPQ}=90^{\circ}$ (جیسا کہ $\angle \mathrm{DSA})$ کے لیے دکھایا گیا تھا)۔ اسی طرح، $\angle \mathrm{PQR}=90^{\circ}$ اور $\angle \mathrm{SRQ}=90^{\circ}$۔

لہذا، PQRS ایک چوکور ہے جس میں تمام زاویے قائمہ ہیں۔

کیا ہم یہ نتیجہ اخذ کر سکتے ہیں کہ یہ مستطیل ہے؟ آئیے جانچتے ہیں۔ ہم نے دکھایا ہے کہ $\angle \mathrm{PSR}=\angle \mathrm{PQR}=90^{\circ}$ اور $\angle \mathrm{SPQ}=\angle \mathrm{SRQ}=90^{\circ}$۔ لہذا مخالف زاویوں کے دونوں جوڑے برابر ہیں۔

اس لیے، $\mathrm{PQRS}$ ایک متوازی الاضلاع ہے جس میں ایک زاویہ (درحقیقت تمام زاویے) $90^{\circ}$ ہے اور اس لیے، $\mathrm{PQRS}$ ایک مستطیل ہے۔

8.2 وسط نقطہ قضیہ

آپ نے مثلث کے ساتھ ساتھ چوکور کی بہت سی خصوصیات کا مطالعہ کیا ہے۔ اب آئیے ایک اور نتیجے کا مطالعہ کریں جو مثلث کے اضلاع کے وسط نقاط سے متعلق ہے۔ مندرجہ ذیل سرگرمی انجام دیں۔

ایک مثلث بنائیں اور مثلث کے دو اضلاع کے وسط نقاط $\mathrm{E}$ اور $\mathrm{F}$ کو نشان زد کریں۔ نقاط $\mathrm{E}$ اور $\mathrm{F}$ کو ملائیں (شکل 8.15 دیکھیں)۔

شکل 8.15

$\mathrm{EF}$ اور $\mathrm{BC}$ کی پیمائش کریں۔ $\angle \mathrm{AEF}$ اور $\angle \mathrm{ABC}$ کی پیمائش کریں۔

آپ کیا مشاہدہ کرتے ہیں؟ آپ پائیں گے کہ:

$\mathrm{EF}=\frac{1}{2} \mathrm{BC} \text { and } \angle \mathrm{AEF}=\angle \mathrm{ABC}$

لہذا، $\mathrm{EF} || \mathrm{BC}$

اس سرگرمی کو کچھ اور مثلثوں کے ساتھ دہرائیں۔

لہذا، آپ مندرجہ ذیل قضیے پر پہنچتے ہیں:

قضیہ 8.8 : مثلث کے دو اضلاع کے وسط نقاط کو ملانے والا خطی قطعہ تیسرے ضلع کے متوازی ہوتا ہے۔

آپ مندرجہ ذیل اشارے کا استعمال کرتے ہوئے اس قضیے کو ثابت کر سکتے ہیں:

شکل 8.16 کا مشاہدہ کریں جس میں $E$ اور $F$ بالترتیب $\mathrm{AB}$ اور $\mathrm{AC}$ کے وسط نقاط ہیں اور $\mathrm{CD} || \mathrm{BA}$۔

شکل 8.16

$ \begin{equation*} \Delta \mathrm{AEF} \cong \triangle \mathrm{CDF} \tag{ASAقاعدہ} \end{equation*} $

لہذا، $\quad \mathrm{EF}=\mathrm{DF}$ اور $\mathrm{BE}=\mathrm{AE}=\mathrm{DC} \quad($ کیوں؟ $)$

اس لیے، BCDE ایک متوازی الاضلاع ہے۔ (کیوں؟)

یہ دیتا ہے $\mathrm{EF} || \mathrm{BC}$۔

اس صورت میں، یہ بھی نوٹ کریں کہ $\mathrm{EF}=\frac{1}{2} \mathrm{ED}=\frac{1}{2} \mathrm{BC}$۔

کیا آپ قضیہ 8.8 کا معکوس بیان کر سکتے ہیں؟ کیا معکوس سچ ہے؟

آپ دیکھیں گے کہ مذکورہ قضیے کا معکوس بھی سچ ہے جو نیچے بیان کیا گیا ہے:

قضیہ 8.9 : مثلث کے ایک ضلع کے وسط نقطہ سے کھینچی گئی خط، جو دوسرے ضلع کے متوازی ہو، تیسرے ضلع کو نصف نصف کرتی ہے۔

شکل 8.17 میں، مشاہدہ کریں کہ $\mathrm{E}$، $\mathrm{AB}$ کا وسط نقطہ ہے، خط $l$، $\mathrm{E}$ سے گزر رہا ہے اور $\mathrm{BC}$ کے متوازی ہے اور $\mathrm{CM} || \mathrm{BA}$۔

$\triangle \mathrm{AEF}$ اور $\triangle \mathrm{CDF}$ کی مطابقت کا استعمال کرتے ہوئے ثابت کریں کہ $\mathrm{AF}=\mathrm{CF}$۔

شکل 8.17

مثال 6 : $\triangle \mathrm{ABC}, \mathrm{D}, \mathrm{E}$ میں، $\mathrm{F}$ بالترتیب اضلاع $\mathrm{AB}, \mathrm{BC}$ اور $\mathrm{CA}$ کے وسط نقاط ہیں (شکل 8.18 دیکھیں)۔ دکھائیں کہ $\triangle \mathrm{ABC}$ کو $\mathrm{D}, \mathrm{E}$ اور $\mathrm{F}$ کو ملانے سے چار مطابق مثلثوں میں تقسیم کیا جاتا ہے۔

شکل 8.18

حل : چونکہ D اور E مثلث $\mathrm{ABC}$ کے اضلاع AB اور $\mathrm{BC}$ کے وسط نقاط ہیں، قضیہ 8.8 کے مطابق،

اسی طرح، $\quad \quad \mathrm{DF} || \mathrm{BC}$ اور $\mathrm{EF} || \mathrm{AB}$

لہذا ADEF, BDFE اور DFCE سب متوازی الاضلاع ہیں۔

اب $\mathrm{DE}$ متوازی الاضلاع $\mathrm{BDFE}$ کا ایک قطر ہے،

لہذا، $\quad \Delta \mathrm{BDE} \cong \Delta \mathrm{FED}$

اسی طرح $\quad \Delta \mathrm{DAF} \cong \triangle \mathrm{FED}$

اور $\quad \Delta \mathrm{EFC} \cong \triangle \mathrm{FED}$

لہذا، تمام چار مثلثیں مطابق ہیں۔

مثال 7 : $ l, m$، $n$ تین متوازی خطوط ہیں جو قاطعین $p$ اور $q$ سے قطع ہوتی ہیں اس طرح کہ $l, m$ اور $n$، $p$ پر برابر قطعے $\mathrm{AB}$ اور $\mathrm{BC}$ کاٹتے ہیں (شکل 8.19 دیکھیں)۔ دکھائیں کہ $l, m$ اور $n$، $q$ پر بھی برابر قطعے $\mathrm{DE}$ اور $\mathrm{EF}$ کاٹتے ہیں۔

شکل 8.19

حل : ہمیں دیا گیا ہے کہ $\mathrm{AB}=\mathrm{BC}$ اور ہمیں ثابت کرنا ہے کہ $\mathrm{DE}=\mathrm{EF}$۔

آئیے $\mathrm{A}$ کو $\mathrm{F}$ سے ملائیں جو $m$ کو نقطہ $\mathrm{G}$ پر قطع کرتا ہے۔

ذوذنقہ ACFD دو مثلثوں میں تقسیم ہوتا ہے؛

یعنی $\triangle \mathrm{ACF}$ اور $\triangle \mathrm{AFD}$۔

$\triangle \mathrm{ACF}$ میں، یہ دیا گیا ہے کہ $\mathrm{B}$، $\mathrm{AC}(\mathrm{AB}=\mathrm{BC})$ کا وسط نقطہ ہے

اور $\quad \mathrm{BG} || \mathrm{CF} \quad($ چونکہ $m || n)$۔

لہذا، $\mathrm{G}$، AF کا وسط نقطہ ہے (قضیہ 8.9 استعمال کرتے ہوئے)

اب، $\triangle$ AFD میں، ہم وہی دلیل لا سکتے ہیں کیونکہ $G$، AF کا وسط نقطہ ہے، $\mathrm{GE} || \mathrm{AD}$ اور اس لیے قضیہ $8.9, \mathrm{E}$ کے مطابق، $\mathrm{DF}$ کا وسط نقطہ ہے،

یعنی،$\quad\mathrm{DE}=\mathrm{EF}$۔

دوسرے الفاظ میں، $l, m$ اور $n$، $q$ پر بھی برابر قطعے کاٹتے ہیں۔

8.3 خلاصہ

اس باب میں، آپ نے مندرجہ ذیل نکات کا مطالعہ کیا ہے:

1. متوازی الاضلاع کا ایک قطر اسے دو مطابق مثلثوں میں تقسیم کرتا ہے۔

2. متوازی الاضلاع میں،

(i) مخالف اضلاع برابر ہوتے ہیں

(ii) مخالف زاویے برابر ہوتے ہیں

(iii) قطری ایک دوسرے کو نصف نصف کرتے ہیں

3. مستطیل کے قطری ایک دوسرے کو نصف نصف کرتے ہیں اور برابر ہوتے ہیں اور اس کا برعکس بھی سچ ہے۔

4. معین کے قطری ایک دوسرے کو قائمہ زاویوں پر نصف نصف کرتے ہیں اور اس کا برعکس بھی سچ ہے۔

5. مربع کے قطری ایک دوسرے کو قائمہ زاویوں پر نصف نصف کرتے ہیں اور برابر ہوتے ہیں، اور اس کا برعکس بھی سچ ہے۔

6. مثلث کے کسی دو اضلاع کے وسط نقاط کو ملانے والا خطی قطعہ تیسرے ضلع کے متوازی ہوتا ہے اور اس کا نصف ہوتا ہے۔

7. مثلث کے ایک ضلع کے وسط نقطہ سے دوسرے ضلع کے متوازی کھینچی گئی خط تیسرے ضلع کو نصف نصف کرتی ہے۔