৮.১ সামান্তরিকের ধর্ম

আপনি ইতিমধ্যে অষ্টম শ্রেণীতে চতুর্ভুজ ও তাদের প্রকারভেদ অধ্যয়ন করেছেন। একটি চতুর্ভুজের চারটি বাহু, চারটি কোণ এবং চারটি শীর্ষবিন্দু থাকে। একটি সামান্তরিক হল এমন একটি চতুর্ভুজ যার বিপরীত বাহুগুলির উভয় জোড়া সমান্তরাল। আসুন একটি কার্যকলাপ সম্পাদন করি।

একটি কাগজের শীট থেকে একটি সামান্তরিক কেটে নিন এবং এটিকে একটি কর্ণ বরাবর কেটে নিন (চিত্র ৮.১ দেখুন)। আপনি দুটি ত্রিভুজ পাবেন। এই ত্রিভুজগুলি সম্পর্কে আপনি কী বলতে পারেন?

একটি ত্রিভুজকে অন্যটির উপর রাখুন। প্রয়োজনে একটি ঘুরিয়ে দিন। আপনি কী পর্যবেক্ষণ করেন?

পর্যবেক্ষণ করুন যে দুটি ত্রিভুজ পরস্পর সর্বসম।

চিত্র ৮.১

আরও কিছু সামান্তরিক নিয়ে এই কার্যকলাপটি পুনরাবৃত্তি করুন। প্রতিবার আপনি লক্ষ্য করবেন যে প্রতিটি কর্ণ সামান্তরিকটিকে দুটি সর্বসম ত্রিভুজে বিভক্ত করে। আসুন এখন এই ফলাফলটি প্রমাণ করি।

উপপাদ্য ৮.১ : একটি সামান্তরিকের কর্ণ এটিকে দুটি সর্বসম ত্রিভুজে বিভক্ত করে।

প্রমাণ : ধরি $A B C D$ একটি সামান্তরিক এবং $A C$ একটি কর্ণ (চিত্র ৮.২ দেখুন)। লক্ষ্য করুন যে কর্ণ $\mathrm{AC}$ সামান্তরিক $\mathrm{ABCD}$ কে দুটি ত্রিভুজে বিভক্ত করেছে, যথা $\triangle \mathrm{ABC}$ এবং $\triangle \mathrm{CDA}$। আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে এই ত্রিভুজগুলি সর্বসম।

চিত্র ৮.২

$\triangle \mathrm{ABC}$ এবং $\triangle \mathrm{CDA}$ তে, লক্ষ্য করুন যে $\mathrm{BC} || \mathrm{AD}$ এবং $\mathrm{AC}$ একটি ছেদক।

সুতরাং, $\quad \angle \mathrm{BCA}=\angle \mathrm{DAC}$ (একান্তর কোণের জোড়া)

আবার, $\quad\mathrm{AB} | \mathrm{DC}$ এবং $\mathrm{AC}$ একটি ছেদক।

সুতরাং, $\quad \angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{DCA}$ (একান্তর কোণের জোড়া)

এবং $\quad \mathrm{AC}=\mathrm{CA}\quad$ (সাধারণ)

সুতরাং, $\quad \Delta \mathrm{ABC} \cong \triangle \mathrm{CDA}\quad$ (ASA নিয়ম)

অর্থাৎ, কর্ণ $\mathrm{AC}$ সামান্তরিক $\mathrm{ABCD}$ কে দুটি সর্বসম ত্রিভুজ $\mathrm{ABC}$ এবং $\mathrm{CDA}$ এ বিভক্ত করে।

এখন, সামান্তরিক $A B C D$ এর বিপরীত বাহুগুলি পরিমাপ করুন। আপনি কী পর্যবেক্ষণ করেন?

আপনি দেখতে পাবেন যে $\mathrm{AB}=\mathrm{DC}$ এবং $\mathrm{AD}=\mathrm{BC}$।

এটি সামান্তরিকের আরেকটি ধর্ম যা নীচে উল্লেখ করা হল:

উপপাদ্য ৮.২ : একটি সামান্তরিকে, বিপরীত বাহুগুলি সমান।

আপনি ইতিমধ্যে প্রমাণ করেছেন যে একটি কর্ণ সামান্তরিকটিকে দুটি সর্বসম ত্রিভুজে বিভক্ত করে; সুতরাং অনুরূপ অংশগুলি, যেমন অনুরূপ বাহুগুলি সম্পর্কে আপনি কী বলতে পারেন? সেগুলি সমান।

সুতরাং, $\mathrm{AB}=\mathrm{DC}$ এবং $\mathrm{AD}=\mathrm{BC}$

এখন এই ফলাফলের বিপরীতটি কী? আপনি ইতিমধ্যে জানেন যে একটি উপপাদ্যে যা দেওয়া থাকে, বিপরীতে তাই প্রমাণ করতে হয় এবং উপপাদ্যে যা প্রমাণিত হয় তা বিপরীতে দেওয়া থাকে। সুতরাং, উপপাদ্য ৮.২ নিম্নরূপে বলা যেতে পারে:

যদি একটি চতুর্ভুজ একটি সামান্তরিক হয়, তবে এর প্রতিটি জোড়া বিপরীত বাহু সমান। সুতরাং এর বিপরীত হল:

উপপাদ্য ৮.৩ : যদি একটি চতুর্ভুজের প্রতিটি জোড়া বিপরীত বাহু সমান হয়, তবে এটি একটি সামান্তরিক।

আপনি কি কারণ দর্শাতে পারেন?

ধরি চতুর্ভুজ $\mathrm{ABCD}$ এর বাহু $\mathrm{AB}$ এবং $\mathrm{CD}$ সমান এবং এছাড়াও $\mathrm{AD}=\mathrm{BC}$ (চিত্র ৮.৩ দেখুন)। কর্ণ AC আঁকুন।

চিত্র ৮.৩

স্পষ্টত, $\quad \triangle \mathrm{ABC} \cong \triangle \mathrm{CDA}\quad$ (কেন?)

সুতরাং, $\quad \angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{DCA}$

এবং $\quad \angle \mathrm{BCA}=\angle \mathrm{DAC}\quad$ (কেন?)

আপনি কি এখন বলতে পারেন যে ABCD একটি সামান্তরিক? কেন?

আপনি এইমাত্র দেখেছেন যে একটি সামান্তরিকে প্রতিটি জোড়া বিপরীত বাহু সমান এবং বিপরীতভাবে যদি একটি চতুর্ভুজের প্রতিটি জোড়া বিপরীত বাহু সমান হয়, তবে এটি একটি সামান্তরিক। আমরা কি বিপরীত কোণগুলির জোড়ার জন্য একই ফলাফল উপসংহারে আসতে পারি?

একটি সামান্তরিক আঁকুন এবং এর কোণগুলি পরিমাপ করুন। আপনি কী পর্যবেক্ষণ করেন?

প্রতিটি জোড়া বিপরীত কোণ সমান।

আরও কিছু সামান্তরিক নিয়ে এটি পুনরাবৃত্তি করুন। আমরা নীচে দেওয়া হিসাবে আরেকটি ফলাফলে উপনীত হই।

উপপাদ্য ৮.৪ : একটি সামান্তরিকে, বিপরীত কোণগুলি সমান।

এখন, এই ফলাফলের বিপরীতটিও কি সত্য? হ্যাঁ। একটি চতুর্ভুজের কোণ সমষ্টি ধর্ম এবং একটি ছেদক দ্বারা ছেদিত সমান্তরাল রেখাগুলির ফলাফল ব্যবহার করে, আমরা দেখতে পাই যে বিপরীতটিও সত্য। সুতরাং, আমাদের নিম্নলিখিত উপপাদ্য রয়েছে:

উপপাদ্য ৮.৫ : যদি একটি চতুর্ভুজে, প্রতিটি জোড়া বিপরীত কোণ সমান হয়, তবে এটি একটি সামান্তরিক।

সামান্তরিকের আরও একটি ধর্ম রয়েছে। আসুন এটি অধ্যয়ন করি। একটি সামান্তরিক $\mathrm{ABCD}$ আঁকুন এবং এর উভয় কর্ণ আঁকুন যা $\mathrm{O}$ বিন্দুতে ছেদ করে (চিত্র ৮.৪ দেখুন)।

চিত্র ৮.৪

$\mathrm{OA}, \mathrm{OB}, \mathrm{OC}$ এবং $\mathrm{OD}$ এর দৈর্ঘ্য পরিমাপ করুন।

আপনি কী পর্যবেক্ষণ করেন? আপনি পর্যবেক্ষণ করবেন যে

$\mathrm{OA}=\mathrm{OC} \text { and } \mathrm{OB}=\mathrm{OD}$

অর্থাৎ, $\mathrm{O}$ হল উভয় কর্ণের মধ্যবিন্দু।

আরও কিছু সামান্তরিক নিয়ে এই কার্যকলাপটি পুনরাবৃত্তি করুন।

প্রতিবার আপনি দেখতে পাবেন যে $\mathrm{O}$ হল উভয় কর্ণের মধ্যবিন্দু।

সুতরাং, আমাদের নিম্নলিখিত উপপাদ্য রয়েছে:

উপপাদ্য ৮.৬ : একটি সামান্তরিকের কর্ণগুলি পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

এখন, কী হবে যদি একটি চতুর্ভুজে কর্ণগুলি পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে? সেটি কি একটি সামান্তরিক হবে? প্রকৃতপক্ষে এটি সত্য।

এই ফলাফলটি উপপাদ্য ৮.৬ এর ফলাফলের বিপরীত। এটি নীচে দেওয়া হল:

উপপাদ্য ৮.৭ : যদি একটি চতুর্ভুজের কর্ণগুলি পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে, তবে এটি একটি সামান্তরিক।

আপনি নিম্নরূপে এই ফলাফলটি যুক্তি দিয়ে বলতে পারেন:

লক্ষ্য করুন যে চিত্র ৮.৫ এ, দেওয়া আছে যে $\mathrm{OA}=\mathrm{OC}$ এবং $\mathrm{OB}=\mathrm{OD}$।

চিত্র ৮.৫

সুতরাং, $\quad \triangle \mathrm{AOB} \cong \triangle \mathrm{COD} \quad \text { (Why?) }$

অতএব, $\angle \mathrm{ABO}=\angle \mathrm{CDO}\quad \text {(Why?)}$

এ থেকে আমরা পাই $\mathrm{AB} || \mathrm{CD}$

অনুরূপভাবে, $\quad \mathrm{BC} || \mathrm{AD}$

অতএব $\mathrm{ABCD}$ একটি সামান্তরিক।

আসুন এখন কিছু উদাহরণ নেওয়া যাক।

উদাহরণ ১ : দেখাও যে একটি আয়তের প্রতিটি কোণ একটি সমকোণ।

সমাধান : আসুন আমরা স্মরণ করি একটি আয়ত কী।

একটি আয়ত হল একটি সামান্তরিক যার একটি কোণ সমকোণ।

ধরি $\mathrm{ABCD}$ একটি আয়ত যাতে $\angle \mathrm{A}=90^{\circ}$।

আমাদের দেখাতে হবে যে $\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{C}=\angle \mathrm{D}=90^{\circ}$

আমাদের আছে, $A D || B C$ এবং $A B$ একটি ছেদক (চিত্র ৮.৬ দেখুন)।

চিত্র ৮.৬

সুতরাং, $\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{B}=180^{\circ} \quad$ (ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ)

কিন্তু, $\quad \angle \mathrm{A}=90^{\circ}$

সুতরাং, $\quad \angle \mathrm{B}=180^{\circ}-\angle \mathrm{A}=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$

এখন, $\quad \angle \mathrm{C}=\angle \mathrm{A}$ এবং $\angle \mathrm{D}=\angle \mathrm{B}$

(সামান্তরিকের বিপরীত কোণ)

সুতরাং, $\quad\angle \mathrm{C}=90^{\circ} \text { and } \angle \mathrm{D}=90^{\circ} \text {. }$

অতএব, একটি আয়তের প্রতিটি কোণ একটি সমকোণ।

উদাহরণ ২ : দেখাও যে একটি রম্বসের কর্ণগুলি পরস্পরের উপর লম্ব।

সমাধান : রম্বস ABCD বিবেচনা করুন (চিত্র ৮.৭ দেখুন)।

চিত্র ৮.৭

আপনি জানেন যে $\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CD}=\mathrm{DA}$ (কেন?)

এখন, $\triangle \mathrm{AOD}$ এবং $\triangle \mathrm{COD}$ তে,

$\mathrm{OA}=\mathrm{OC}($ (একটি সামান্তরিকের কর্ণগুলি পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে)

$\mathrm{OD}=\mathrm{OD}\quad$ (সাধারণ)

$\mathrm{AD}=\mathrm{CD}$ (দেওয়া আছে)

অতএব, $\Delta \mathrm{AOD} \cong \Delta \mathrm{COD}\quad$ (SSS সর্বসমতা নিয়ম)

এটি দেয়, $\angle \mathrm{AOD}=\angle \mathrm{COD}\quad$ (CPCT)

কিন্তু, $\angle \mathrm{AOD}+\angle \mathrm{COD}=180^{\circ}$ (রৈখিক জোড়া)

সুতরাং, $\quad 2 \angle \mathrm{AOD}=180^{\circ}$

অর্থাৎ, $\quad \angle \mathrm{AOD}=90^{\circ}$

সুতরাং, একটি রম্বসের কর্ণগুলি পরস্পরের উপর লম্ব।

উদাহরণ ৩ : $\mathrm{ABC}$ একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ যাতে $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$। $\mathrm{AD}$ বহিঃস্থ কোণ $\mathrm{PAC}$ কে সমদ্বিখণ্ডিত করে এবং $\mathrm{CD} | \mathrm{AB}$ (চিত্র ৮.৮ দেখুন)। দেখাও যে

(i) $\angle \mathrm{DAC}=\angle \mathrm{BCA}$ এবং

(ii) $\mathrm{ABCD}$ একটি সামান্তরিক।

চিত্র ৮.৮

সমাধান : (i) $\triangle \mathrm{ABC}$ একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ যাতে $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$ (দেওয়া আছে)

সুতরাং, $\quad \angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{ACB} \quad$ (সমান বাহুর বিপরীত কোণ)

এছাড়াও, $\angle \mathrm{PAC}=\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{ACB}\quad$ (একটি ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ)

অর্থাৎ, $\quad \angle \mathrm{PAC}=2 \angle \mathrm{ACB}\quad$ (1)

এখন, AD, $\angle \mathrm{PAC}$ কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

সুতরাং, $\quad \angle \mathrm{PAC}=2 \angle \mathrm{DAC}\quad$ (2)

অতএব,

$2 \angle \mathrm{DAC} =2 \angle \mathrm{ACB} \quad[\text { From }(1) \text { and }(2)]$ $\text { or, } \quad \angle \mathrm{DAC} =\angle \mathrm{ACB}$

(ii) এখন, এই সমান কোণগুলি একান্তর কোণের একটি জোড়া গঠন করে যখন রেখাংশ $\mathrm{BC}$ এবং $\mathrm{AD}$ একটি ছেদক $\mathrm{AC}$ দ্বারা ছেদিত হয়।

সুতরাং, $\quad \mathrm{BC} || \mathrm{AD}$

এছাড়াও, $\mathrm{BA} || \mathrm{CD} \quad$ (দেওয়া আছে)

এখন, চতুর্ভুজ $\mathrm{ABCD}$ এর বিপরীত বাহুগুলির উভয় জোড়া সমান্তরাল।

সুতরাং, $A B C D$ একটি সামান্তরিক।

উদাহরণ ৪ : দুটি সমান্তরাল রেখা $l$ এবং $m$ একটি ছেদক $p$ দ্বারা ছেদিত হয় (চিত্র ৮.৯ দেখুন)। দেখাও যে অন্তঃস্থ কোণগুলির সমদ্বিখণ্ডক দ্বারা গঠিত চতুর্ভুজটি একটি আয়ত।

চিত্র ৮.৯

সমাধান : দেওয়া আছে যে PS $|| \mathrm{QR}$ এবং ছেদক $p$ এগুলিকে যথাক্রমে A এবং C বিন্দুতে ছেদ করে।

$\angle \mathrm{PAC}$ এবং $\angle \mathrm{ACQ}$ এর সমদ্বিখণ্ডকগুলি $\mathrm{B}$ এ ছেদ করে এবং $\angle \mathrm{ACR}$ এবং $\angle \mathrm{SAC}$ এর সমদ্বিখণ্ডকগুলি $\mathrm{D}$ এ ছেদ করে।

আমাদের দেখাতে হবে যে চতুর্ভুজ $\mathrm{ABCD}$ একটি আয়ত।

এখন, $\quad \angle \mathrm{PAC}=\angle \mathrm{ACR}$

(একান্তর কোণ যেহেতু $l || m$ এবং $p$ একটি ছেদক)

সুতরাং, $\quad \frac{1}{2} \angle \mathrm{PAC}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{ACR}$

অর্থাৎ, $\quad \angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{ACD}$

এগুলি $\mathrm{AB}$ এবং $\mathrm{DC}$ রেখাগুলির জন্য $\mathrm{AC}$ কে ছেদক হিসাবে নিয়ে একান্তর কোণের একটি জোড়া গঠন করে এবং সেগুলিও সমান।

সুতরাং, $\quad\mathrm{AB} || \mathrm{DC}$

অনুরূপভাবে, $\quad\mathrm{BC} || \mathrm{AD} \quad$ ($\angle \mathrm{ACB}$ এবং $\angle \mathrm{CAD}$ বিবেচনা করে)

অতএব, চতুর্ভুজ $\mathrm{ABCD}$ একটি সামান্তরিক।

এছাড়াও, $\quad\angle \mathrm{PAC}+\angle \mathrm{CAS}=180^{\circ} \quad \text { (Linear pair) }$

সুতরাং, $\quad \frac{1}{2} \angle \mathrm{PAC}+\frac{1}{2} \angle \mathrm{CAS}=\frac{1}{2} \times 180^{\circ}=90^{\circ}$

অর্থাৎ, $\quad \angle \mathrm{BAC}+\angle \mathrm{CAD}=90^{\circ}$

অর্থাৎ, $\quad\angle \mathrm{BAD}=90^{\circ}$

সুতরাং, $\mathrm{ABCD}$ একটি সামান্তরিক যার একটি কোণ $90^{\circ}$। অতএব, $\mathrm{ABCD}$ একটি আয়ত।

উদাহরণ ৫ : দেখাও যে একটি সামান্তরিকের কোণগুলির সমদ্বিখণ্ডকগুলি একটি আয়ত গঠন করে।

সমাধান : ধরি $\mathrm{P}, \mathrm{Q}, \mathrm{R}$ এবং $\mathrm{S}$ হল $\angle \mathrm{A}$ এবং $\angle \mathrm{B}, \angle \mathrm{B}$ এবং $\angle \mathrm{C}, \angle \mathrm{C}$ এবং $\angle \mathrm{D}$, এবং $\angle \mathrm{D}$ এবং $\angle \mathrm{A}$ যথাক্রমে সামান্তরিক $\mathrm{ABCD}$ এর সমদ্বিখণ্ডকগুলির ছেদবিন্দু (চিত্র ৮.১০ দেখুন)।

চিত্র ৮.১০

$\triangle \mathrm{ASD}$ তে, আপনি কী পর্যবেক্ষণ করেন?

যেহেতু $\mathrm{DS}$, $\angle \mathrm{D}$ কে সমদ্বিখণ্ডিত করে এবং $\mathrm{AS}$, $\angle \mathrm{A}$ কে সমদ্বিখণ্ডিত করে, অতএব,

$$ \begin{aligned} \angle \mathrm{DAS}+\angle \mathrm{ADS} & =\frac{1}{2} \angle \mathrm{A}+\frac{1}{2} \angle \mathrm{D} \\ & =\frac{1}{2}(\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{D}) \\ & =\frac{1}{2} \times 180^{\circ} \\ (\angle \mathrm{A} \text { and } & \angle \mathrm{D} \text { are interior angles on the same side of the transversal} \\ & \left.=90^{\circ} \quad \right) \end{aligned} $$

এছাড়াও, $\angle \mathrm{DAS}+\angle \mathrm{ADS}+\angle \mathrm{DSA}=180^{\circ} \quad$ (একটি ত্রিভুজের কোণ সমষ্টি ধর্ম)

অর্থাৎ, $\quad 90^{\circ}+\angle \mathrm{DSA}=180^{\circ}$

অর্থাৎ, $\quad \angle \mathrm{DSA}=90^{\circ}$

সুতরাং, $\quad \angle \mathrm{PSR}=90^{\circ} \quad($ $\angle \mathrm{DSA})$ এর উল্লম্ব বিপরীত হওয়ায়

অনুরূপভাবে, এটি দেখানো যেতে পারে যে $\angle \mathrm{APB}=90^{\circ}$ বা $\angle \mathrm{SPQ}=90^{\circ}$ (যেমন $\angle \mathrm{DSA})$ এর জন্য দেখানো হয়েছিল)। অনুরূপভাবে, $\angle \mathrm{PQR}=90^{\circ}$ এবং $\angle \mathrm{SRQ}=90^{\circ}$।

সুতরাং, PQRS হল একটি চতুর্ভুজ যার সকল কোণ সমকোণ।

আমরা কি উপসংহারে আসতে পারি যে এটি একটি আয়ত? আসুন আমরা পরীক্ষা করি। আমরা দেখিয়েছি যে $\angle \mathrm{PSR}=\angle \mathrm{PQR}=90^{\circ}$ এবং $\angle \mathrm{SPQ}=\angle \mathrm{SRQ}=90^{\circ}$। সুতরাং বিপরীত কোণগুলির উভয় জোড়া সমান।

অতএব, $\mathrm{PQRS}$ একটি সামান্তরিক যার একটি কোণ (বস্তুত সকল কোণ) হল $90^{\circ}$ এবং তাই, $\mathrm{PQRS}$ একটি আয়ত।

৮.২ মধ্যবিন্দু উপপাদ্য

আপনি একটি ত্রিভুজের পাশাপাশি একটি চতুর্ভুজের অনেক ধর্ম অধ্যয়ন করেছেন। এখন আসুন আমরা আরেকটি ফলাফল অধ্যয়ন করি যা একটি ত্রিভুজের বাহুগুলির মধ্যবিন্দুর সাথে সম্পর্কিত। নিম্নলিখিত কার্যকলাপটি সম্পাদন করুন।

একটি ত্রিভুজ আঁকুন এবং ত্রিভুজের দুটি বাহুর মধ্যবিন্দু $\mathrm{E}$ এবং $\mathrm{F}$ চিহ্নিত করুন। $\mathrm{E}$ এবং $\mathrm{F}$ বিন্দুগুলি যুক্ত করুন (চিত্র ৮.১৫ দেখুন)।

চিত্র ৮.১৫

$\mathrm{EF}$ এবং $\mathrm{BC}$ পরিমাপ করুন। $\angle \mathrm{AEF}$ এবং $\angle \mathrm{ABC}$ পরিমাপ করুন।

আপনি কী পর্যবেক্ষণ করেন? আপনি দেখতে পাবেন যে:

$\mathrm{EF}=\frac{1}{2} \mathrm{BC} \text { and } \angle \mathrm{AEF}=\angle \mathrm{ABC}$

সুতরাং, $\mathrm{EF} || \mathrm{BC}$

আরও কিছু ত্রিভুজ নিয়ে এই কার্যকলাপটি পুনরাবৃত্তি করুন।

সুতরাং, আপনি নিম্নলিখিত উপপাদ্যে উপনীত হন:

উপপাদ্য ৮.৮ : একটি ত্রিভুজের দুটি বাহুর মধ্যবিন্দু যোগকারী রেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল।

আপনি নিম্নলিখিত সূত্র ব্যবহার করে এই উপপাদ্যটি প্রমাণ করতে পারেন:

চিত্র ৮.১৬ পর্যবেক্ষণ করুন যাতে $E$ এবং $F$ যথাক্রমে $\mathrm{AB}$ এবং $\mathrm{AC}$ এর মধ্যবিন্দু এবং $\mathrm{CD} || \mathrm{BA}$।

চিত্র ৮.১৬

$ \begin{equation*} \Delta \mathrm{AEF} \cong \triangle \mathrm{CDF} \tag{ASAনিয়ম} \end{equation*} $

সুতরাং, $\quad \mathrm{EF}=\mathrm{DF}$ এবং $\mathrm{BE}=\mathrm{AE}=\mathrm{DC} \quad($ কেন? $)$

অতএব, BCDE একটি সামান্তরিক। (কেন?)

এটি দেয় $\mathrm{EF} || \mathrm{BC}$।

এই ক্ষেত্রে, এটিও লক্ষ্য করুন যে $\mathrm{EF}=\frac{1}{2} \mathrm{ED}=\frac{1}{2} \mathrm{BC}$।

আপনি কি উপপাদ্য ৮.৮ এর বিপরীতটি বলতে পারেন? বিপরীতটি কি সত্য?

আপনি দেখতে পাবেন যে উপরের উপপাদ্যটির বিপরীতটিও সত্য যা নীচে উল্লেখ করা হল:

উপপাদ্য ৮.৯ : একটি ত্রিভুজের একটি বাহুর মধ্যবিন্দু দিয়ে অঙ্কিত রেখা, অপর বাহুর সমান্তরাল হলে, তৃতীয় বাহুকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

চিত্র ৮.১৭ এ, লক্ষ্য করুন যে $\mathrm{E}$ হল $\mathrm{AB}$ এর মধ্যবিন্দু, রেখা $l$ $\mathrm{E}$ এর মধ্য দিয়ে যাচ্ছে এবং $\mathrm{BC}$ এর সমান্তরাল এবং $\mathrm{CM} || \mathrm{BA}$।

$\triangle \mathrm{AEF}$ এবং $\triangle \mathrm{CDF}$ এর সর্বসমতা ব্যবহার করে প্রমাণ করুন যে $\mathrm{AF}=\mathrm{CF}$।

চিত্র ৮.১৭

উদাহরণ ৬ : $\triangle \mathrm{ABC}, \mathrm{D}, \mathrm{E}$ তে $\mathrm{F}$ যথাক্রমে বাহু $\mathrm{AB}, \mathrm{BC}$ এবং $\mathrm{CA}$ এর মধ্যবিন্দু (চিত্র ৮.১৮ দেখুন)। দেখাও যে $\triangle \mathrm{ABC}$ কে $\mathrm{D}, \mathrm{E}$ এবং $\mathrm{F}$ যুক্ত করে চারটি সর্বসম ত্রিভুজে বিভক্ত করা যায়।

চিত্র ৮.১৮

সমাধান : যেহেতু D এবং E ত্রিভুজ $\mathrm{ABC}$ এর বাহু AB এবং $\mathrm{BC}$ এর মধ্যবিন্দু, উপপাদ্য ৮.৮ অনুসারে,

অনুরূপভাবে, $\quad \quad \mathrm{DF} || \mathrm{BC}$ এবং $\mathrm{EF} || \mathrm{AB}$

অতএব ADEF, BDFE এবং DFCE সকলেই সামান্তরিক।

এখন $\mathrm{DE}$ হল সামান্তরিক $\mathrm{BDFE}$ এর একটি কর্ণ,

সুতরাং, $\quad \Delta \mathrm{BDE} \cong \Delta \mathrm{FED}$

অনুরূপভাবে $\quad \Delta \mathrm{DAF} \cong \triangle \mathrm{FED}$

এবং $\quad \Delta \mathrm{EFC} \cong \triangle \mathrm{FED}$

সুতরাং, চারটি ত্রিভুজই সর্বসম।

উদাহরণ ৭ : $ l, m$, $n$ তিনটি সমান্তরাল রেখা যা ছেদক $p$ এবং $q$ দ্বারা ছেদিত হয় যাতে $l, m$ এবং $n$ $p$ এর উপর সমান ছেদ $\mathrm{AB}$ এবং $\mathrm{BC}$ কেটে নেয় (চিত্র ৮.১৯ দেখুন)। দেখাও যে $l, m$ এবং $n$ $q$ এর উপরও সমান ছেদ $\mathrm{DE}$ এবং $\mathrm{EF}$ কেটে নেয়।

চিত্র ৮.১৯

সমাধান : আমাদের দেওয়া আছে যে $\mathrm{AB}=\mathrm{BC}$ এবং প্রমাণ করতে হবে যে $\mathrm{DE}=\mathrm{EF}$।

আসুন আমরা $\mathrm{A}$ কে $\mathrm{F}$ এর সাথে যুক্ত করি যা $m$ কে $\mathrm{G}$ বিন্দুতে ছেদ করে।

ট্রাপিজিয়াম ACFD কে দুটি ত্রিভুজে বিভক্ত করা হয়েছে;

যথা $\triangle \mathrm{ACF}$ এবং $\triangle \mathrm{AFD}$।

$\triangle \mathrm{ACF}$ তে, দেওয়া আছে যে $\mathrm{B}$ হল $\mathrm{AC}(\mathrm{AB}=\mathrm{BC})$ এর মধ্যবিন্দু

এবং $\quad \mathrm{BG} || \mathrm{CF} \quad($ যেহেতু $m || n)$।

সুতরাং, $\mathrm{G}$ হল AF এর মধ্যবিন্দু (উপপাদ্য ৮.৯ ব্যবহার করে)

এখন, $\triangle$ AFD তে, আমরা একই যুক্তি প্রয়োগ করতে পারি যেহেতু $G$ হল AF এর মধ্যবিন্দু, $\mathrm{GE} || \mathrm{AD}$ এবং তাই উপপাদ্য $8.9, \mathrm{E}$ অনুসারে $\mathrm{DF}$ এর মধ্যবিন্দু,

অর্থাৎ, $\quad\mathrm{DE}=\mathrm{EF}$।

অন্য কথায়, $l, m$ এবং $n$ $q$ এর উপরও সমান ছেদ কেটে নেয়।

৮.৩ সারাংশ

এই অধ্যায়ে, আপনি নিম্নলিখিত বিষয়গুলি অধ্যয়ন করেছেন:

১. একটি সামান্তরিকের কর্ণ এটিকে দুটি সর্বসম ত্রিভুজে বিভক্ত করে।

২. একটি সামান্তরিকে,

(i) বিপরীত বাহুগুলি সমান

(ii) বিপরীত কোণগুলি সমান

(iii) কর্ণগুলি পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে

৩. একটি আয়তের কর্ণগুলি পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে এবং সমান এবং বিপরীতক্রমেও সত্য।

৪. একটি রম্বসের কর্ণগুলি পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে এবং বিপরীতক্রমেও সত্য।

৫. একটি বর্গের কর্ণগুলি পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে এবং সমান, এবং বিপরীতক্রমেও সত্য।

৬. একটি ত্রিভুজের যেকোনো দুটি বাহুর মধ্যবিন্দু যোগকারী রেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং এর অর্ধেক।

৭. একটি ত্রিভুজের একটি বাহুর মধ্যবিন্দু দিয়ে অঙ্কিত রেখা অপর বাহুর সমান্তরাল হলে তৃতীয় বাহুকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।