8.1 समांतर चतुर्भुज के गुण

आपने कक्षा आठ में चतुर्भुजों और उनके प्रकारों का अध्ययन पहले ही कर लिया है। एक चतुर्भुज में चार भुजाएँ, चार कोण और चार शीर्ष होते हैं। एक समांतर चतुर्भुज वह चतुर्भुज होता है जिसमें सम्मुख भुजाओं के दोनों युग्म समांतर होते हैं। आइए एक क्रियाकलाप करते हैं।

एक कागज की शीट से एक समांतर चतुर्भुज काटिए और इसे एक विकर्ण के अनुदिश काटिए (चित्र 8.1 देखिए)। आपको दो त्रिभुज प्राप्त होते हैं। आप इन त्रिभुजों के बारे में क्या कह सकते हैं?

एक त्रिभुज को दूसरे के ऊपर रखिए। यदि आवश्यक हो तो एक त्रिभुज को घुमा दीजिए। आप क्या देखते हैं?

ध्यान दीजिए कि दोनों त्रिभुज एक दूसरे के सर्वांगसम हैं।

चित्र 8.1

इस क्रियाकलाप को कुछ और समांतर चतुर्भुजों के साथ दोहराइए। हर बार आप देखेंगे कि प्रत्येक विकर्ण समांतर चतुर्भुज को दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता है। आइए अब इस परिणाम को सिद्ध करते हैं।

प्रमेय 8.1 : एक समांतर चतुर्भुज का एक विकर्ण उसे दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता है।

सिद्ध करना : मान लीजिए $A B C D$ एक समांतर चतुर्भुज है और $A C$ एक विकर्ण है (चित्र 8.2 देखिए)। ध्यान दीजिए कि विकर्ण $\mathrm{AC}$ समांतर चतुर्भुज $\mathrm{ABCD}$ को दो त्रिभुजों, अर्थात् $\triangle \mathrm{ABC}$ और $\triangle \mathrm{CDA}$ में विभाजित करता है। हमें यह सिद्ध करना है कि ये त्रिभुज सर्वांगसम हैं।

चित्र 8.2

$\triangle \mathrm{ABC}$ और $\triangle \mathrm{CDA}$ में, ध्यान दीजिए कि $\mathrm{BC} || \mathrm{AD}$ और $\mathrm{AC}$ एक तिर्यक रेखा है।

अतः, $\quad \angle \mathrm{BCA}=\angle \mathrm{DAC}$ (एकांतर कोणों का युग्म)

साथ ही, $\quad\mathrm{AB} | \mathrm{DC}$ और $\mathrm{AC}$ एक तिर्यक रेखा है।

अतः, $\quad \angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{DCA}$ (एकांतर कोणों का युग्म)

और $\quad \mathrm{AC}=\mathrm{CA}\quad$ (उभयनिष्ठ)

अतः, $\quad \Delta \mathrm{ABC} \cong \triangle \mathrm{CDA}\quad$ (ASA नियम)

या, विकर्ण $\mathrm{AC}$ समांतर चतुर्भुज $\mathrm{ABCD}$ को दो सर्वांगसम त्रिभुजों $\mathrm{ABC}$ और $\mathrm{CDA}$ में विभाजित करता है।

अब, समांतर चतुर्भुज $A B C D$ की सम्मुख भुजाओं को मापिए। आप क्या देखते हैं?

आप पाएँगे कि $\mathrm{AB}=\mathrm{DC}$ और $\mathrm{AD}=\mathrm{BC}$।

यह समांतर चतुर्भुज का एक अन्य गुण है जो नीचे दिया गया है:

प्रमेय 8.2 : एक समांतर चतुर्भुज में सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।

आप पहले ही सिद्ध कर चुके हैं कि एक विकर्ण समांतर चतुर्भुज को दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता है; तो आप संगत भागों, मान लीजिए संगत भुजाओं, के बारे में क्या कह सकते हैं? वे बराबर हैं।

अतः, $\mathrm{AB}=\mathrm{DC}$ और $\mathrm{AD}=\mathrm{BC}$

अब इस परिणाम का विलोम क्या है? आप पहले से ही जानते हैं कि प्रमेय में जो दिया गया है, वही विलोम में सिद्ध किया जाना है और प्रमेय में जो सिद्ध किया गया है, वह विलोम में दिया जाता है। इस प्रकार, प्रमेय 8.2 को नीचे दिए अनुसार कहा जा सकता है:

यदि एक चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है, तो उसकी सम्मुख भुजाओं का प्रत्येक युग्म बराबर होता है। अतः इसका विलोम है:

प्रमेय 8.3 : यदि एक चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं का प्रत्येक युग्म बराबर है, तो वह एक समांतर चतुर्भुज होता है।

क्या आप इसका कारण बता सकते हैं?

मान लीजिए चतुर्भुज $\mathrm{ABCD}$ की भुजाएँ $\mathrm{AB}$ और $\mathrm{CD}$ बराबर हैं और साथ ही $\mathrm{AD}=\mathrm{BC}$ भी बराबर हैं (चित्र 8.3 देखिए)। विकर्ण AC खींचिए।

चित्र 8.3

स्पष्टतः, $\quad \triangle \mathrm{ABC} \cong \triangle \mathrm{CDA}\quad$ (क्यों?)

अतः, $\quad \angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{DCA}$

और $\quad \angle \mathrm{BCA}=\angle \mathrm{DAC}\quad$ (क्यों?)

क्या आप अब कह सकते हैं कि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है? क्यों?

आपने अभी देखा कि एक समांतर चतुर्भुज में सम्मुख भुजाओं का प्रत्येक युग्म बराबर होता है और विलोमतः यदि एक चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं का प्रत्येक युग्म बराबर है, तो वह एक समांतर चतुर्भुज होता है। क्या हम सम्मुख कोणों के युग्मों के लिए भी यही परिणाम निकाल सकते हैं?

एक समांतर चतुर्भुज बनाइए और इसके कोणों को मापिए। आप क्या देखते हैं?

सम्मुख कोणों का प्रत्येक युग्म बराबर होता है।

इसे कुछ और समांतर चतुर्भुजों के साथ दोहराइए। हम एक और परिणाम पर पहुँचते हैं जो नीचे दिया गया है।

प्रमेय 8.4 : एक समांतर चतुर्भुज में सम्मुख कोण बराबर होते हैं।

अब, क्या इस परिणाम का विलोम भी सत्य है? हाँ। चतुर्भुज के कोण योग गुण और एक तिर्यक रेखा द्वारा प्रतिच्छेदित समांतर रेखाओं के परिणामों का उपयोग करके, हम देख सकते हैं कि विलोम भी सत्य है। अतः, हमारे पास निम्नलिखित प्रमेय है:

प्रमेय 8.5 : यदि एक चतुर्भुज में सम्मुख कोणों का प्रत्येक युग्म बराबर है, तो वह एक समांतर चतुर्भुज होता है।

समांतर चतुर्भुज का एक और भी गुण है। आइए इसका अध्ययन करते हैं। एक समांतर चतुर्भुज $\mathrm{ABCD}$ बनाइए और इसके दोनों विकर्ण खींचिए जो बिंदु $\mathrm{O}$ पर प्रतिच्छेद करते हैं (चित्र 8.4 देखिए)।

चित्र 8.4

$\mathrm{OA}, \mathrm{OB}, \mathrm{OC}$ और $\mathrm{OD}$ की लंबाइयाँ मापिए।

आप क्या देखते हैं? आप देखेंगे कि

$\mathrm{OA}=\mathrm{OC} \text { and } \mathrm{OB}=\mathrm{OD}$

या, $\mathrm{O}$ दोनों विकर्णों का मध्य-बिंदु है।

इस क्रियाकलाप को कुछ और समांतर चतुर्भुजों के साथ दोहराइए।

हर बार आप पाएँगे कि $\mathrm{O}$ दोनों विकर्णों का मध्य-बिंदु है।

अतः, हमारे पास निम्नलिखित प्रमेय है:

प्रमेय 8.6 : एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं।

अब, क्या होगा यदि एक चतुर्भुज में विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं? क्या यह एक समांतर चतुर्भुज होगा? वास्तव में यह सत्य है।

यह परिणाम प्रमेय 8.6 के परिणाम का विलोम है। यह नीचे दिया गया है:

प्रमेय 8.7 : यदि एक चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं, तो वह एक समांतर चतुर्भुज होता है।

आप इस परिणाम का कारण निम्न प्रकार से दे सकते हैं:

ध्यान दीजिए कि चित्र 8.5 में, यह दिया गया है कि $\mathrm{OA}=\mathrm{OC}$ और $\mathrm{OB}=\mathrm{OD}$।

चित्र 8.5

अतः, $\quad \triangle \mathrm{AOB} \cong \triangle \mathrm{COD} \quad \text { (Why?) }$

इसलिए, $\angle \mathrm{ABO}=\angle \mathrm{CDO}\quad \text {(Why?)}$

इससे हमें प्राप्त होता है $\mathrm{AB} || \mathrm{CD}$

इसी प्रकार, $\quad \mathrm{BC} || \mathrm{AD}$

इसलिए $\mathrm{ABCD}$ एक समांतर चतुर्भुज है।

आइए अब कुछ उदाहरण लेते हैं।

उदाहरण 1 : दर्शाइए कि एक आयत का प्रत्येक कोण एक समकोण होता है।

हल : आइए याद करते हैं कि आयत क्या होता है।

एक आयत वह समांतर चतुर्भुज होता है जिसमें एक कोण समकोण होता है।

मान लीजिए $\mathrm{ABCD}$ एक आयत है जिसमें $\angle \mathrm{A}=90^{\circ}$ है।

हमें दर्शाना है कि $\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{C}=\angle \mathrm{D}=90^{\circ}$

हमारे पास है, $A D || B C$ और $A B$ एक तिर्यक रेखा है (चित्र 8.6 देखिए)।

चित्र 8.6

अतः, $\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{B}=180^{\circ} \quad$ (तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतः कोण)

परंतु, $\quad \angle \mathrm{A}=90^{\circ}$

इसलिए, $\quad \angle \mathrm{B}=180^{\circ}-\angle \mathrm{A}=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$

अब, $\quad \angle \mathrm{C}=\angle \mathrm{A}$ और $\angle \mathrm{D}=\angle \mathrm{B}$

(समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण)

अतः, $\quad\angle \mathrm{C}=90^{\circ} \text { and } \angle \mathrm{D}=90^{\circ} \text {. }$

इसलिए, एक आयत का प्रत्येक कोण एक समकोण होता है।

उदाहरण 2 : दर्शाइए कि एक समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर लंब होते हैं।

हल : समचतुर्भुज ABCD पर विचार कीजिए (चित्र 8.7 देखिए)।

चित्र 8.7

आप जानते हैं कि $\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CD}=\mathrm{DA}$ (क्यों?)

अब, $\triangle \mathrm{AOD}$ और $\triangle \mathrm{COD}$ में,

$\mathrm{OA}=\mathrm{OC}($ (एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं)

$\mathrm{OD}=\mathrm{OD}\quad$ (उभयनिष्ठ)

$\mathrm{AD}=\mathrm{CD}$ (दिया है)

इसलिए, $\Delta \mathrm{AOD} \cong \Delta \mathrm{COD}\quad$ (SSS सर्वांगसमता नियम)

इससे प्राप्त होता है, $\angle \mathrm{AOD}=\angle \mathrm{COD}\quad$ (CPCT)

परंतु, $\angle \mathrm{AOD}+\angle \mathrm{COD}=180^{\circ}$ (रैखिक युग्म)

अतः, $\quad 2 \angle \mathrm{AOD}=180^{\circ}$

या, $\quad \angle \mathrm{AOD}=90^{\circ}$

इसलिए, एक समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर लंब होते हैं।

उदाहरण 3 : $\mathrm{ABC}$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$ है। $\mathrm{AD}$ बाह्य कोण $\mathrm{PAC}$ को समद्विभाजित करता है और $\mathrm{CD} | \mathrm{AB}$ है (चित्र 8.8 देखिए)। दर्शाइए कि

(i) $\angle \mathrm{DAC}=\angle \mathrm{BCA}$ और

(ii) $\mathrm{ABCD}$ एक समांतर चतुर्भुज है।

चित्र 8.8

हल : (i) $\triangle \mathrm{ABC}$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$ (दिया है)

अतः, $\quad \angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{ACB} \quad$ (बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण)

साथ ही, $\angle \mathrm{PAC}=\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{ACB}\quad$ (त्रिभुज का बाह्य कोण)

या, $\quad \angle \mathrm{PAC}=2 \angle \mathrm{ACB}\quad$(1)

अब, AD, $\angle \mathrm{PAC}$ को समद्विभाजित करता है।

अतः, $\quad \angle \mathrm{PAC}=2 \angle \mathrm{DAC}\quad$(2)

इसलिए,

$2 \angle \mathrm{DAC} =2 \angle \mathrm{ACB} \quad[\text { From }(1) \text { and }(2)]$ $\text { or, } \quad \angle \mathrm{DAC} =\angle \mathrm{ACB}$

(ii) अब, ये बराबर कोण, एकांतर कोणों का एक युग्म बनाते हैं जब रेखाखंड $\mathrm{BC}$ और $\mathrm{AD}$ एक तिर्यक रेखा $\mathrm{AC}$ द्वारा प्रतिच्छेदित किए जाते हैं।

अतः, $\quad \mathrm{BC} || \mathrm{AD}$

साथ ही, $\mathrm{BA} || \mathrm{CD} \quad$ (दिया है)

अब, चतुर्भुज $\mathrm{ABCD}$ की सम्मुख भुजाओं के दोनों युग्म समांतर हैं।

अतः, $A B C D$ एक समांतर चतुर्भुज है।

उदाहरण 4 : दो समांतर रेखाएँ $l$ और $m$ एक तिर्यक रेखा $p$ द्वारा प्रतिच्छेदित की जाती हैं (चित्र 8.9 देखिए)। दर्शाइए कि अंतः कोणों के समद्विभाजकों द्वारा बना चतुर्भुज एक आयत होता है।

चित्र 8.9

हल : यह दिया गया है कि PS $|| \mathrm{QR}$ और तिर्यक रेखा $p$ उन्हें बिंदुओं A और C पर क्रमशः प्रतिच्छेदित करती है।

$\angle \mathrm{PAC}$ और $\angle \mathrm{ACQ}$ के समद्विभाजक $\mathrm{B}$ पर प्रतिच्छेद करते हैं और $\angle \mathrm{ACR}$ और $\angle \mathrm{SAC}$ के समद्विभाजक $\mathrm{D}$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।

हमें दर्शाना है कि चतुर्भुज $\mathrm{ABCD}$ एक आयत है।

अब, $\quad \angle \mathrm{PAC}=\angle \mathrm{ACR}$

(एकांतर कोण क्योंकि $l || m$ और $p$ एक तिर्यक रेखा है)

अतः, $\quad \frac{1}{2} \angle \mathrm{PAC}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{ACR}$

अर्थात्, $\quad \angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{ACD}$

ये रेखाओं $\mathrm{AB}$ और $\mathrm{DC}$ के लिए $\mathrm{AC}$ को तिर्यक रेखा मानकर एकांतर कोणों का एक युग्म बनाते हैं और ये बराबर भी हैं।

अतः, $\quad\mathrm{AB} || \mathrm{DC}$

इसी प्रकार, $\quad\mathrm{BC} || \mathrm{AD} \quad$ ($\angle \mathrm{ACB}$ और $\angle \mathrm{CAD}$ पर विचार करते हुए)

इसलिए, चतुर्भुज $\mathrm{ABCD}$ एक समांतर चतुर्भुज है।

साथ ही, $\quad\angle \mathrm{PAC}+\angle \mathrm{CAS}=180^{\circ} \quad \text { (Linear pair) }$

अतः, $\quad \frac{1}{2} \angle \mathrm{PAC}+\frac{1}{2} \angle \mathrm{CAS}=\frac{1}{2} \times 180^{\circ}=90^{\circ}$

या, $\quad \angle \mathrm{BAC}+\angle \mathrm{CAD}=90^{\circ}$

या, $\quad\angle \mathrm{BAD}=90^{\circ}$

अतः, $\mathrm{ABCD}$ एक ऐसा समांतर चतुर्भुज है जिसमें एक कोण $90^{\circ}$ है। इसलिए, $\mathrm{ABCD}$ एक आयत है।

उदाहरण 5 : दर्शाइए कि एक समांतर चतुर्भुज के कोणों के समद्विभाजक एक आयत बनाते हैं।

हल : मान लीजिए $\mathrm{P}, \mathrm{Q}, \mathrm{R}$ और $\mathrm{S}$ समांतर चतुर्भुज $\mathrm{ABCD}$ के क्रमशः $\angle \mathrm{A}$ और $\angle \mathrm{B}, \angle \mathrm{B}$, $\angle \mathrm{C}, \angle \mathrm{C}$ और $\angle \mathrm{D}$, तथा $\angle \mathrm{D}$ और $\angle \mathrm{A}$ के समद्विभाजकों के प्रतिच्छेद बिंदु हैं (चित्र 8.10 देखिए)।

चित्र 8.10

$\triangle \mathrm{ASD}$ में, आप क्या देखते हैं?

चूँकि $\mathrm{DS}$, $\angle \mathrm{D}$ को समद्विभाजित करता है और $\mathrm{AS}$, $\angle \mathrm{A}$ को समद्विभाजित करता है, इसलिए,

$$ \begin{aligned} \angle \mathrm{DAS}+\angle \mathrm{ADS} & =\frac{1}{2} \angle \mathrm{A}+\frac{1}{2} \angle \mathrm{D} \\ & =\frac{1}{2}(\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{D}) \\ & =\frac{1}{2} \times 180^{\circ} \\ (\angle \mathrm{A} \text { and } & \angle \mathrm{D} \text { are interior angles on the same side of the transversal} \\ & \left.=90^{\circ} \quad \right) \end{aligned} $$

साथ ही, $\angle \mathrm{DAS}+\angle \mathrm{ADS}+\angle \mathrm{DSA}=180^{\circ} \quad$ (त्रिभुज का कोण योग गुण)

या, $\quad 90^{\circ}+\angle \mathrm{DSA}=180^{\circ}$

या, $\quad \angle \mathrm{DSA}=90^{\circ}$

अतः, $\quad \angle \mathrm{PSR}=90^{\circ} \quad($ $\angle \mathrm{DSA})$ के शीर्षाभिमुख कोण होने के कारण

इसी प्रकार, यह दर्शाया जा सकता है कि $\angle \mathrm{APB}=90^{\circ}$ या $\angle \mathrm{SPQ}=90^{\circ}$ (जैसा कि $\angle \mathrm{DSA})$ के लिए दर्शाया गया था)। इसी प्रकार, $\angle \mathrm{PQR}=90^{\circ}$ और $\angle \mathrm{SRQ}=90^{\circ}$।

अतः, PQRS एक ऐसा चतुर्भुज है जिसमें सभी कोण समकोण हैं।

क्या हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि यह एक आयत है? आइए जाँच करते हैं। हमने दर्शाया है कि $\angle \mathrm{PSR}=\angle \mathrm{PQR}=90^{\circ}$ और $\angle \mathrm{SPQ}=\angle \mathrm{SRQ}=90^{\circ}$। अतः सम्मुख कोणों के दोनों युग्म बराबर हैं।

इसलिए, $\mathrm{PQRS}$ एक ऐसा समांतर चतुर्भुज है जिसमें एक कोण (वास्तव में सभी कोण) $90^{\circ}$ है और इसलिए, $\mathrm{PQRS}$ एक आयत है।

8.2 मध्य-बिंदु प्रमेय

आपने एक त्रिभुज के साथ-साथ एक चतुर्भुज के अनेक गुणों का अध्ययन किया है। अब आइए एक और परिणाम का अध्ययन करते हैं जो एक त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं से संबंधित है। निम्नलिखित क्रियाकलाप कीजिए।

एक त्रिभुज बनाइए और त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं $\mathrm{E}$ और $\mathrm{F}$ को अंकित कीजिए। बिंदुओं $\mathrm{E}$ और $\mathrm{F}$ को मिलाइए (चित्र 8.15 देखिए)।

चित्र 8.15

$\mathrm{EF}$ और $\mathrm{BC}$ को मापिए। $\angle \mathrm{AEF}$ और $\angle \mathrm{ABC}$ को मापिए।

आप क्या देखते हैं? आप पाएँगे कि:

$\mathrm{EF}=\frac{1}{2} \mathrm{BC} \text { and } \angle \mathrm{AEF}=\angle \mathrm{ABC}$

अतः, $\mathrm{EF} || \mathrm{BC}$

इस क्रियाकलाप को कुछ और त्रिभुजों के साथ दोहराइए।

इस प्रकार, आप निम्नलिखित प्रमेय पर पहुँचते हैं:

प्रमेय 8.8 : एक त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर होता है।

आप निम्नलिखित संकेत का उपयोग करके इस प्रमेय को सिद्ध कर सकते हैं:

चित्र 8.16 देखिए जिसमें $E$ और $F$ क्रमशः $\mathrm{AB}$ और $\mathrm{AC}$ के मध्य-बिंदु हैं और $\mathrm{CD} || \mathrm{BA}$ है।

चित्र 8.16

$ \begin{equation*} \Delta \mathrm{AEF} \cong \triangle \mathrm{CDF} \tag{ASAनियम} \end{equation*} $

अतः, $\quad \mathrm{EF}=\mathrm{DF}$ और $\mathrm{BE}=\mathrm{AE}=\mathrm{DC} \quad($ क्यों? $)$

इसलिए, BCDE एक समांतर चतुर्भुज है। (क्यों?)

इससे प्राप्त होता है $\mathrm{EF} || \mathrm{BC}$।

इस स्थिति में, यह भी ध्यान दीजिए कि $\mathrm{EF}=\frac{1}{2} \mathrm{ED}=\frac{1}{2} \mathrm{BC}$।

क्या आप प्रमेय 8.8 का विलोम कह सकते हैं? क्या विलोम सत्य है?

आप देखेंगे कि उपरोक्त प्रमेय का विलोम भी सत्य है जो नीचे दिया गया है:

प्रमेय 8.9 : एक त्रिभुज की एक भुजा के मध्य-बिंदु से होकर दूसरी भुजा के समांतर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है।

चित्र 8.17 में, ध्यान दीजिए कि $\mathrm{E}$, $\mathrm{AB}$ का मध्य-बिंदु है, रेखा $l$, $\mathrm{E}$ से होकर गुजरती है और $\mathrm{BC}$ के समांतर है और $\mathrm{CM} || \mathrm{BA}$ है।

$\triangle \mathrm{AEF}$ और $\triangle \mathrm{CDF}$ की सर्वांगसमता का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि $\mathrm{AF}=\mathrm{CF}$।

चित्र 8.17

उदाहरण 6 : $\triangle \mathrm{ABC}, \mathrm{D}, \mathrm{E}$ में, $\mathrm{F}$ क्रमशः भुजाओं $\mathrm{AB}, \mathrm{BC}$ और $\mathrm{CA}$ के मध्य-बिंदु हैं (चित्र 8.18 देखिए)। दर्शाइए कि $\triangle \mathrm{ABC}$ को $\mathrm{D}, \mathrm{E}$ और $\mathrm{F}$ को मिलाने पर चार सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित किया जाता है।

चित्र 8.18

हल : चूँकि D और E त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ की भुजाओं AB और $\mathrm{BC}$ के मध्य-बिंदु हैं, प्रमेय 8.8 के अनुसार,

इसी प्रकार, $\quad \quad \mathrm{DF} || \mathrm{BC}$ और $\mathrm{EF} || \mathrm{AB}$

इसलिए ADEF, BDFE और DFCE सभी समांतर चतुर्भुज हैं।

अब $\mathrm{DE}$ समांतर चतुर्भुज $\mathrm{BDFE}$ का एक विकर्ण है,

इसलिए, $\quad \Delta \mathrm{BDE} \cong \Delta \mathrm{FED}$

इसी प्रकार $\quad \Delta \mathrm{DAF} \cong \triangle \mathrm{FED}$

और $\quad \Delta \mathrm{EFC} \cong \triangle \mathrm{FED}$

अतः, सभी चारों त्रिभुज सर्वांगसम हैं।

उदाहरण 7 : $ l, m$ और $n$ तीन समांतर रेखाएँ हैं जो तिर्यक रेखाओं $p$ और $q$ द्वारा इस प्रकार प्रतिच्छेदित की जाती हैं कि $l, m$ और $n$, $p$ पर बराबर अंतःखंड $\mathrm{AB}$ और $\mathrm{BC}$ काटते हैं (चित्र 8.19 देखिए)। दर्शाइए कि $l, m$ और $n$, $q$ पर भी बराबर अंतःखंड $\mathrm{DE}$ और $\mathrm{EF}$ काटते हैं।

चित्र 8.19

हल : हमें दिया गया है कि $\mathrm{AB}=\mathrm{BC}$ और हमें सिद्ध करना है कि $\mathrm{DE}=\mathrm{EF}$।

आइए हम $\mathrm{A}$ को $\mathrm{F}$ से मिलाते हैं जो $m$ को $\mathrm{G}$ पर प्रतिच्छेद करती है।

समलंब चतुर्भुज ACFD दो त्रिभुजों में विभाजित हो जाता है;

अर्थात् $\triangle \mathrm{ACF}$ और $\triangle \mathrm{AFD}$।

$\triangle \mathrm{ACF}$ में, यह दिया गया है कि $\mathrm{B}$, $\mathrm{AC}(\mathrm{AB}=\mathrm{BC})$ का मध्य-बिंदु है

और $\quad \mathrm{BG} || \mathrm{CF} \quad($ क्योंकि $m || n)$।

अतः, $\mathrm{G}$, AF का मध्य-बिंदु है (प्रमेय 8.9 का उपयोग करके)

अब, $\triangle$ AFD में, हम वही तर्क लागू कर सकते हैं क्योंकि $G$, AF का मध्य-बिंदु है, $\mathrm{GE} || \mathrm{AD}$ और इसलिए प्रमेय $8.9, \mathrm{E}$ के अनुसार, $\mathrm{DF}$ का मध्य-बिंदु है,

अर्थात्, $\quad\mathrm{DE}=\mathrm{EF}$।

दूसरे शब्दों में, $l, m$ और $n$, $q$ पर भी बराबर अंतःखंड काटते हैं।

8.3 सारांश

इस अध्याय में, आपने निम्नलिखित बिंदुओं का अध्ययन किया है:

1. एक समांतर चतुर्भुज का एक विकर्ण उसे दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता है।

2. एक समांतर चतुर्भुज में,

(i) सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं

(ii) सम्मुख कोण बराबर होते हैं

(iii) विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं

3. एक आयत के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं और बराबर होते हैं तथा विलोमतः भी।

4. एक समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं तथा विलोमतः भी।

5. एक वर्ग के विकर्ण परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं और बराबर होते हैं, तथा विलोमतः भी।

6. एक त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर होता है और उसका आधा होता है।

7. एक त्रिभुज की एक भुजा के मध्य-बिंदु से होकर दूसरी भुजा के समांतर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है।