8.1 સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના ગુણધર્મો

તમે ધોરણ VIII માં ચતુષ્કોણ અને તેના પ્રકારોનો અભ્યાસ કરી ચુક્યા છો. ચતુષ્કોણને ચાર બાજુઓ, ચાર ખૂણા અને ચાર શિરોબિંદુઓ હોય છે. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ એવો ચતુષ્કોણ છે જેમાં સામેની બાજુઓની બંને જોડ સમાંતર હોય છે. ચાલો એક પ્રવૃત્તિ કરીએ.

કાગળની શીટમાંથી એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ કાપો અને તેને એક વિકર્ણ સાથે કાપો (જુઓ આકૃતિ 8.1). તમને બે ત્રિકોણ મળશે. આ ત્રિકોણો વિશે તમે શું કહી શકો છો?

એક ત્રિકોણને બીજા પર મૂકો. જો જરૂરી હોય તો એકને ફેરવો. તમે શું અવલોકન કરો છો?

નોંધો કે બે ત્રિકોણ એકબીજાને સર્વસમ છે.

આકૃતિ 8.1

આ પ્રવૃત્તિ કેટલાક વધુ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણો સાથે પુનરાવર્તિત કરો. દરેક વખતે તમે અવલોકન કરશો કે દરેક વિકર્ણ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણને બે સર્વસમ ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે. ચાલો હવે આ પરિણામ સાબિત કરીએ.

પ્રમેય 8.1 : સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનો વિકર્ણ તેને બે સર્વસમ ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે.

સાબિતી : ધારો કે $A B C D$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે અને $A C$ એક વિકર્ણ છે (જુઓ આકૃતિ 8.2). નોંધો કે વિકર્ણ $\mathrm{AC}$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $\mathrm{ABCD}$ ને બે ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે, એટલે કે, $\triangle \mathrm{ABC}$ અને $\triangle \mathrm{CDA}$. આપણે સાબિત કરવાની જરૂર છે કે આ ત્રિકોણો સર્વસમ છે.

આકૃતિ 8.2

$\triangle \mathrm{ABC}$ અને $\triangle \mathrm{CDA}$ માં, નોંધો કે $\mathrm{BC} || \mathrm{AD}$ અને $\mathrm{AC}$ એ છેદિકા છે.

તેથી, $\quad \angle \mathrm{BCA}=\angle \mathrm{DAC}$ (એકાંતર ખૂણાઓની જોડ)

એ જ રીતે, $\quad\mathrm{AB} | \mathrm{DC}$ અને $\mathrm{AC}$ એ છેદિકા છે.

તેથી, $\quad \angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{DCA}$ (એકાંતર ખૂણાઓની જોડ)

અને $\quad \mathrm{AC}=\mathrm{CA}\quad$ (સામાન્ય)

તેથી, $\quad \Delta \mathrm{ABC} \cong \triangle \mathrm{CDA}\quad$ (ASA નિયમ)

અથવા, વિકર્ણ $\mathrm{AC}$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $\mathrm{ABCD}$ ને બે સર્વસમ ત્રિકોણો $\mathrm{ABC}$ અને $\mathrm{CDA}$ માં વિભાજિત કરે છે.

હવે, સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $A B C D$ ની સામેની બાજુઓને માપો. તમે શું અવલોકન કરો છો?

તમે જોશો કે $\mathrm{AB}=\mathrm{DC}$ અને $\mathrm{AD}=\mathrm{BC}$.

આ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનો બીજો ગુણધર્મ છે જે નીચે દર્શાવેલ છે:

પ્રમેય 8.2 : સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં, સામેની બાજુઓ સમાન હોય છે.

તમે પહેલેથી જ સાબિત કરી ચુક્યા છો કે વિકર્ણ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણને બે સર્વસમ ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે; તો અનુરૂપ ભાગો વિશે, ઉદાહરણ તરીકે, અનુરૂપ બાજુઓ વિશે તમે શું કહી શકો છો? તેઓ સમાન છે.

તેથી, $\mathrm{AB}=\mathrm{DC}$ અને $\mathrm{AD}=\mathrm{BC}$

હવે આ પરિણામનો પ્રતીપ કયો છે? તમે પહેલેથી જ જાણો છો કે પ્રમેયમાં જે આપેલું હોય છે, તે જ પ્રતીપમાં સાબિત કરવાનું હોય છે અને પ્રમેયમાં જે સાબિત થાય છે તે પ્રતીપમાં આપેલું હોય છે. આમ, પ્રમેય 8.2 નીચે પ્રમાણે દર્શાવી શકાય:

જો ચતુષ્કોણ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોય, તો તેની સામેની બાજુઓની દરેક જોડ સમાન હોય છે. તેથી તેનો પ્રતીપ છે:

પ્રમેય 8.3 : જો ચતુષ્કોણની સામેની બાજુઓની દરેક જોડ સમાન હોય, તો તે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોય છે.

તમે કારણ આપી શકો છો કે શા માટે?

ધારો કે ચતુષ્કોણ $\mathrm{ABCD}$ ની બાજુઓ $\mathrm{AB}$ અને $\mathrm{CD}$ સમાન હોય અને $\mathrm{AD}=\mathrm{BC}$ પણ સમાન હોય (જુઓ આકૃતિ 8.3). વિકર્ણ AC દોરો.

આકૃતિ 8.3

સ્પષ્ટ છે કે, $\quad \triangle \mathrm{ABC} \cong \triangle \mathrm{CDA}\quad$ (શા માટે?)

તેથી, $\quad \angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{DCA}$

અને $\quad \angle \mathrm{BCA}=\angle \mathrm{DAC}\quad$ (શા માટે?)

શું તમે હવે કહી શકો છો કે ABCD સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે? શા માટે?

તમે હમણાં જ જોયું કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં સામેની બાજુઓની દરેક જોડ સમાન હોય છે અને વિપરીત, જો ચતુષ્કોણની સામેની બાજુઓની દરેક જોડ સમાન હોય, તો તે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોય છે. શું આપણે સામેના ખૂણાઓની જોડ માટે સમાન પરિણામ લઈ શકીએ?

એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ દોરો અને તેના ખૂણાઓને માપો. તમે શું અવલોકન કરો છો?

સામેના ખૂણાઓની દરેક જોડ સમાન હોય છે.

આ પ્રવૃત્તિ કેટલાક વધુ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણો સાથે પુનરાવર્તિત કરો. આપણે નીચે દર્શાવ્યા પ્રમાણે બીજા પરિણામ પર પહોંચીએ છીએ.

પ્રમેય 8.4 : સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં, સામેના ખૂણાઓ સમાન હોય છે.

હવે, આ પરિણામનો પ્રતીપ પણ સાચો છે? હા. ચતુષ્કોણના ખૂણાઓના સરવાળાના ગુણધર્મ અને છેદિકા દ્વારા છેદાયેલી સમાંતર રેખાઓના પરિણામોનો ઉપયોગ કરીને, આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે પ્રતીપ પણ સાચો છે. તેથી, આપણી પાસે નીચેનો પ્રમેય છે:

પ્રમેય 8.5 : જો ચતુષ્કોણમાં, સામેના ખૂણાઓની દરેક જોડ સમાન હોય, તો તે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોય છે.

સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનો હજુ એક ગુણધર્મ છે. ચાલો તેનો અભ્યાસ કરીએ. એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $\mathrm{ABCD}$ દોરો અને તેના બંને વિકર્ણોને બિંદુ $\mathrm{O}$ પર છેદતા દોરો (જુઓ આકૃતિ 8.4).

આકૃતિ 8.4

$\mathrm{OA}, \mathrm{OB}, \mathrm{OC}$ અને $\mathrm{OD}$ ની લંબાઈ માપો.

તમે શું અવલોકન કરો છો? તમે અવલોકન કરશો કે

$\mathrm{OA}=\mathrm{OC} \text { and } \mathrm{OB}=\mathrm{OD}$

અથવા, $\mathrm{O}$ બંને વિકર્ણોનું મધ્યબિંદુ છે.

આ પ્રવૃત્તિ કેટલાક વધુ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણો સાથે પુનરાવર્તિત કરો.

દરેક વખતે તમે જોશો કે $\mathrm{O}$ બંને વિકર્ણોનું મધ્યબિંદુ છે.

તેથી, આપણી પાસે નીચેનો પ્રમેય છે:

પ્રમેય 8.6 : સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે.

હવે, જો ચતુષ્કોણમાં વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે તો શું થશે? શું તે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હશે? ખરેખર આ સાચું છે.

આ પરિણામ પ્રમેય 8.6 ના પરિણામનો પ્રતીપ છે. તે નીચે આપેલ છે:

પ્રમેય 8.7 : જો ચતુષ્કોણના વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે, તો તે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોય છે.

તમે આ પરિણામને નીચે પ્રમાણે કારણ આપી શકો છો:

નોંધો કે આકૃતિ 8.5 માં, આપેલ છે કે $\mathrm{OA}=\mathrm{OC}$ અને $\mathrm{OB}=\mathrm{OD}$.

આકૃતિ 8.5

તેથી, $\quad \triangle \mathrm{AOB} \cong \triangle \mathrm{COD} \quad \text { (Why?) }$

પરિણામે, $\angle \mathrm{ABO}=\angle \mathrm{CDO}\quad \text {(Why?)}$

આમાંથી, આપણને મળે છે $\mathrm{AB} || \mathrm{CD}$

એ જ રીતે, $\quad \mathrm{BC} || \mathrm{AD}$

પરિણામે $\mathrm{ABCD}$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

ચાલો હવે કેટલાક ઉદાહરણો લઈએ.

ઉદાહરણ 1 : દર્શાવો કે લંબચોરસનો દરેક ખૂણો કાટખૂણો હોય છે.

ઉકેલ : ચાલો યાદ કરીએ કે લંબચોરસ શું છે.

લંબચોરસ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે જેમાં એક ખૂણો કાટખૂણો હોય છે.

ધારો કે $\mathrm{ABCD}$ એ લંબચોરસ છે જેમાં $\angle \mathrm{A}=90^{\circ}$.

આપણે દર્શાવવાનું છે કે $\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{C}=\angle \mathrm{D}=90^{\circ}$

આપણી પાસે, $A D || B C$ અને $A B$ એ છેદિકા છે (જુઓ આકૃતિ 8.6).

આકૃતિ 8.6

તેથી, $\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{B}=180^{\circ} \quad$ (છેદિકાની એક જ બાજુના અંતઃખૂણાઓ)

પરંતુ, $\quad \angle \mathrm{A}=90^{\circ}$

તેથી, $\quad \angle \mathrm{B}=180^{\circ}-\angle \mathrm{A}=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$

હવે, $\quad \angle \mathrm{C}=\angle \mathrm{A}$ અને $\angle \mathrm{D}=\angle \mathrm{B}$

(સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના સામેના ખૂણા)

તેથી, $\quad\angle \mathrm{C}=90^{\circ} \text { and } \angle \mathrm{D}=90^{\circ} \text {. }$

પરિણામે, લંબચોરસના દરેક ખૂણા કાટખૂણા હોય છે.

ઉદાહરણ 2 : દર્શાવો કે સમચતુર્ભુજના વિકર્ણો એકબીજાને લંબ હોય છે.

ઉકેલ : સમચતુર્ભુજ ABCD ને ધ્યાનમાં લો (જુઓ આકૃતિ 8.7).

આકૃતિ 8.7

તમે જાણો છો કે $\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CD}=\mathrm{DA}$ (શા માટે?)

હવે, $\triangle \mathrm{AOD}$ અને $\triangle \mathrm{COD}$ માં,

$\mathrm{OA}=\mathrm{OC}($ (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે)

$\mathrm{OD}=\mathrm{OD}\quad$ (સામાન્ય)

$\mathrm{AD}=\mathrm{CD}$ (આપેલ)

પરિણામે, $\Delta \mathrm{AOD} \cong \Delta \mathrm{COD}\quad$ (SSS સર્વસમતા નિયમ)

આ આપે છે, $\angle \mathrm{AOD}=\angle \mathrm{COD}\quad$ (CPCT)

પરંતુ, $\angle \mathrm{AOD}+\angle \mathrm{COD}=180^{\circ}$ (રેખીય જોડ)

તેથી, $\quad 2 \angle \mathrm{AOD}=180^{\circ}$

અથવા, $\quad \angle \mathrm{AOD}=90^{\circ}$

તેથી, સમચતુર્ભુજના વિકર્ણો એકબીજાને લંબ હોય છે.

ઉદાહરણ 3 : $\mathrm{ABC}$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે જેમાં $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$. $\mathrm{AD}$ બાહ્ય ખૂણો $\mathrm{PAC}$ ને દુભાગે છે અને $\mathrm{CD} | \mathrm{AB}$ (જુઓ આકૃતિ 8.8). દર્શાવો કે

(i) $\angle \mathrm{DAC}=\angle \mathrm{BCA}$ અને

(ii) $\mathrm{ABCD}$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

આકૃતિ 8.8

ઉકેલ : (i) $\triangle \mathrm{ABC}$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે જેમાં $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$ (આપેલ)

તેથી, $\quad \angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{ACB} \quad$ (સમાન બાજુઓની સામેના ખૂણા)

એ જ રીતે, $\angle \mathrm{PAC}=\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{ACB}\quad$ (ત્રિકોણનો બાહ્ય ખૂણો)

અથવા, $\quad \angle \mathrm{PAC}=2 \angle \mathrm{ACB}\quad$(1)

હવે, AD એ $\angle \mathrm{PAC}$ ને દુભાગે છે.

તેથી, $\quad \angle \mathrm{PAC}=2 \angle \mathrm{DAC}\quad$(2)

પરિણામે,

$2 \angle \mathrm{DAC} =2 \angle \mathrm{ACB} \quad[\text { From }(1) \text { and }(2)]$ $\text { or, } \quad \angle \mathrm{DAC} =\angle \mathrm{ACB}$

(ii) હવે, જ્યારે રેખાખંડો $\mathrm{BC}$ અને $\mathrm{AD}$ ને છેદિકા $\mathrm{AC}$ દ્વારા છેદવામાં આવે છે ત્યારે આ સમાન ખૂણાઓ એકાંતર ખૂણાઓની જોડ બનાવે છે.

તેથી, $\quad \mathrm{BC} || \mathrm{AD}$

એ જ રીતે, $\mathrm{BA} || \mathrm{CD} \quad$ (આપેલ)

હવે, ચતુષ્કોણ $\mathrm{ABCD}$ ની સામેની બાજુઓની બંને જોડ સમાંતર છે.

તેથી, $A B C D$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

ઉદાહરણ 4 : બે સમાંતર રેખાઓ $l$ અને $m$ ને છેદિકા $p$ દ્વારા છેદવામાં આવે છે (જુઓ આકૃતિ 8.9). દર્શાવો કે અંતઃખૂણાઓના દુભાગકો દ્વારા રચાતો ચતુષ્કોણ લંબચોરસ હોય છે.

આકૃતિ 8.9

ઉકેલ : આપેલ છે કે PS $|| \mathrm{QR}$ અને છેદિકા $p$ તેમને અનુક્રમે A અને C બિંદુઓ પર છેદે છે.

$\angle \mathrm{PAC}$ અને $\angle \mathrm{ACQ}$ ના દુભાગકો $\mathrm{B}$ પર છેદે છે અને $\angle \mathrm{ACR}$ અને $\angle \mathrm{SAC}$ ના દુભાગકો $\mathrm{D}$ પર છેદે છે.

આપણે દર્શાવવાનું છે કે ચતુષ્કોણ $\mathrm{ABCD}$ એ લંબચોરસ છે.

હવે, $\quad \angle \mathrm{PAC}=\angle \mathrm{ACR}$

(એકાંતર ખૂણાઓ કારણ કે $l || m$ અને $p$ એ છેદિકા છે)

તેથી, $\quad \frac{1}{2} \angle \mathrm{PAC}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{ACR}$

એટલે કે, $\quad \angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{ACD}$

આ રેખાઓ $\mathrm{AB}$ અને $\mathrm{DC}$ માટે $\mathrm{AC}$ ને છેદિકા તરીકે લઈને એકાંતર ખૂણાઓની જોડ બનાવે છે અને તેઓ સમાન પણ છે.

તેથી, $\quad\mathrm{AB} || \mathrm{DC}$

એ જ રીતે, $\quad\mathrm{BC} || \mathrm{AD} \quad$ ($\angle \mathrm{ACB}$ અને $\angle \mathrm{CAD}$ ને ધ્યાનમાં લેતા)

પરિણામે, ચતુષ્કોણ $\mathrm{ABCD}$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

એ જ રીતે, $\quad\angle \mathrm{PAC}+\angle \mathrm{CAS}=180^{\circ} \quad \text { (Linear pair) }$

તેથી, $\quad \frac{1}{2} \angle \mathrm{PAC}+\frac{1}{2} \angle \mathrm{CAS}=\frac{1}{2} \times 180^{\circ}=90^{\circ}$

અથવા, $\quad \angle \mathrm{BAC}+\angle \mathrm{CAD}=90^{\circ}$

અથવા, $\quad\angle \mathrm{BAD}=90^{\circ}$

તેથી, $\mathrm{ABCD}$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે જેમાં એક ખૂણો $90^{\circ}$ છે. પરિણામે, $\mathrm{ABCD}$ એ લંબચોરસ છે.

ઉદાહરણ 5 : દર્શાવો કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના ખૂણાઓના દુભાગકો લંબચોરસ બનાવે છે.

ઉકેલ : ધારો કે $\mathrm{P}, \mathrm{Q}, \mathrm{R}$ અને $\mathrm{S}$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $\mathrm{ABCD}$ ના $\angle \mathrm{A}$ અને $\angle \mathrm{B}, \angle \mathrm{B}$ અને $\angle \mathrm{C}, \angle \mathrm{C}$ અને $\angle \mathrm{D}$, અને $\angle \mathrm{D}$ અને $\angle \mathrm{A}$ ના દુભાગકોના છેદબિંદુઓ છે (જુઓ આકૃતિ 8.10).

આકૃતિ 8.10

$\triangle \mathrm{ASD}$ માં, તમે શું અવલોકન કરો છો?

કારણ કે $\mathrm{DS}$ એ $\angle \mathrm{D}$ ને દુભાગે છે અને $\mathrm{AS}$ એ $\angle \mathrm{A}$ ને દુભાગે છે, તેથી,

$$ \begin{aligned} \angle \mathrm{DAS}+\angle \mathrm{ADS} & =\frac{1}{2} \angle \mathrm{A}+\frac{1}{2} \angle \mathrm{D} \\ & =\frac{1}{2}(\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{D}) \\ & =\frac{1}{2} \times 180^{\circ} \\ (\angle \mathrm{A} \text { and } & \angle \mathrm{D} \text { are interior angles on the same side of the transversal} \\ & \left.=90^{\circ} \quad \right) \end{aligned} $$

એ જ રીતે, $\angle \mathrm{DAS}+\angle \mathrm{ADS}+\angle \mathrm{DSA}=180^{\circ} \quad$ (ત્રિકોણના ખૂણાઓના સરવાળાનો ગુણધર્મ)

અથવા, $\quad 90^{\circ}+\angle \mathrm{DSA}=180^{\circ}$

અથવા, $\quad \angle \mathrm{DSA}=90^{\circ}$

તેથી, $\quad \angle \mathrm{PSR}=90^{\circ} \quad($ $\angle \mathrm{DSA})$ ને શિરોલંબ વિરુદ્ધ હોવાથી

એ જ રીતે, તે દર્શાવી શકાય છે કે $\angle \mathrm{APB}=90^{\circ}$ અથવા $\angle \mathrm{SPQ}=90^{\circ}$ (જેમ $\angle \mathrm{DSA})$ માટે દર્શાવવામાં આવ્યું હતું). એ જ રીતે, $\angle \mathrm{PQR}=90^{\circ}$ અને $\angle \mathrm{SRQ}=90^{\circ}$.

તેથી, PQRS એ ચતુષ્કોણ છે જેમાં બધા ખૂણા કાટખૂણા છે.

શું આપણે નિષ્કર્ષ લઈ શકીએ કે તે લંબચોરસ છે? ચાલો તપાસીએ. આપણે દર્શાવ્યું છે કે $\angle \mathrm{PSR}=\angle \mathrm{PQR}=90^{\circ}$ અને $\angle \mathrm{SPQ}=\angle \mathrm{SRQ}=90^{\circ}$. તેથી સામેના ખૂણાઓની બંને જોડ સમાન છે.

પરિણામે, $\mathrm{PQRS}$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે જેમાં એક ખૂણો (ખરેખર બધા ખૂણા) $90^{\circ}$ છે અને તેથી, $\mathrm{PQRS}$ એ લંબચોરસ છે.

8.2 મધ્યબિંદુ પ્રમેય

તમે ત્રિકોણ તેમજ ચતુષ્કોણના ઘણા ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કર્યો છે. હવે ચાલો એક બીજા પરિણામનો અભ્યાસ કરીએ જે ત્રિકોણની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓ સાથે સંબંધિત છે. નીચેની પ્રવૃત્તિ કરો.

એક ત્રિકોણ દોરો અને ત્રિકોણની બે બાજુઓના મધ્યબિંદુઓ $\mathrm{E}$ અને $\mathrm{F}$ ચિહ્નિત કરો. બિંદુઓ $\mathrm{E}$ અને $\mathrm{F}$ જોડો (જુઓ આકૃતિ 8.15).

આકૃતિ 8.15

$\mathrm{EF}$ અને $\mathrm{BC}$ માપો. $\angle \mathrm{AEF}$ અને $\angle \mathrm{ABC}$ માપો.

તમે શું અવલોકન કરો છો? તમે જોશો કે:

$\mathrm{EF}=\frac{1}{2} \mathrm{BC} \text { and } \angle \mathrm{AEF}=\angle \mathrm{ABC}$

તેથી, $\mathrm{EF} || \mathrm{BC}$

આ પ્રવૃત્તિ કેટલાક વધુ ત્રિકોણો સાથે પુનરાવર્તિત કરો.

તેથી, તમે નીચેના પ્રમેય પર પહોંચો છો:

પ્રમેય 8.8 : ત્રિકોણની બે બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ ત્રીજી બાજુની સમાંતર હોય છે.

તમે નીચેની સૂચનાનો ઉપયોગ કરીને આ પ્રમેય સાબિત કરી શકો છો:

આકૃતિ 8.16 નું અવલોકન કરો જેમાં $E$ અને $F$ અનુક્રમે $\mathrm{AB}$ અને $\mathrm{AC}$ ના મધ્યબિંદુઓ છે અને $\mathrm{CD} || \mathrm{BA}$.

આકૃતિ 8.16

$ \begin{equation*} \Delta \mathrm{AEF} \cong \triangle \mathrm{CDF} \tag{ASAનિયમ} \end{equation*} $

તેથી, $\quad \mathrm{EF}=\mathrm{DF}$ અને $\mathrm{BE}=\mathrm{AE}=\mathrm{DC} \quad($ શા માટે? $)$

પરિણામે, BCDE એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. (શા માટે?)

આ આપે છે $\mathrm{EF} || \mathrm{BC}$.

આ કિસ્સામાં, એ પણ નોંધો કે $\mathrm{EF}=\frac{1}{2} \mathrm{ED}=\frac{1}{2} \mathrm{BC}$.

શું તમે પ્રમેય 8.8 નો પ્રતીપ જણાવી શકો છો? શું પ્રતીપ સાચો છે?

તમે જોશો કે ઉપરોક્ત પ્રમેયનો પ્રતીપ પણ સાચો છે જે નીચે પ્રમાણે દર્શાવેલ છે:

પ્રમેય 8.9 : ત્રિકોણની એક બાજુના મધ્યબિંદુમાંથી દોરેલી રેખા, જો બીજી બાજુની સમાંતર હોય, તો ત્રીજી બાજુને દુભાગે છે.

આકૃતિ 8.17 માં, નોંધો કે $\mathrm{E}$ એ $\mathrm{AB}$ નું મધ્યબિંદુ છે, રેખા $l$ $\mathrm{E}$ માંથી પસાર થાય છે અને $\mathrm{BC}$ ની સમાંતર છે અને $\mathrm{CM} || \mathrm{BA}$.

$\triangle \mathrm{AEF}$ અને $\triangle \mathrm{CDF}$ ની સર્વસમતાનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે $\mathrm{AF}=\mathrm{CF}$.

આકૃતિ 8.17

ઉદાહરણ 6 : $\triangle \mathrm{ABC}, \mathrm{D}, \mathrm{E}$ અને $\mathrm{F}$ અનુક્રમે બાજુઓ $\mathrm{AB}, \mathrm{BC}$ અને $\mathrm{CA}$ ના મધ્યબિંદુઓ છે (જુઓ આકૃતિ 8.18). દર્શાવો કે $\triangle \mathrm{ABC}$ ને $\mathrm{D}, \mathrm{E}$ અને $\mathrm{F}$ જોડવાથી ચાર સર્વસમ ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે.

આકૃતિ 8.18

ઉકેલ : કારણ કે D અને E એ ત્રિકોણ $\mathrm{ABC}$ ની બાજુઓ AB અને $\mathrm{BC}$ ના મધ્યબિંદુઓ છે, પ્રમેય 8.8 અનુસાર,

એ જ રીતે, $\quad \quad \mathrm{DF} || \mathrm{BC}$ અને $\mathrm{EF} || \mathrm{AB}$

પરિણામે ADEF, BDFE અને DFCE બધા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણો છે.

હવે $\mathrm{DE}$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $\mathrm{BDFE}$ નો વિકર્ણ છે,

તેથી, $\quad \Delta \mathrm{BDE} \cong \Delta \mathrm{FED}$

એ જ રીતે $\quad \Delta \mathrm{DAF} \cong \triangle \mathrm{FED}$

અને $\quad \Delta \mathrm{EFC} \cong \triangle \mathrm{FED}$

તેથી, બધા ચાર ત્રિકોણો સર્વસમ છે.

ઉદાહરણ 7 : $ l, m$, $n$