8.1 ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ನೀವು ಈಗಾಗಲೇ ಎಂಟನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಚತುರ್ಭುಜಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ವಿಧಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೀರಿ. ಒಂದು ಚತುರ್ಭುಜವು ನಾಲ್ಕು ಬಾಹುಗಳು, ನಾಲ್ಕು ಕೋನಗಳು ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕು ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವು ಒಂದು ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಎದುರು ಬಾಹುಗಳ ಎರಡೂ ಜೋಡಿಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ನಾವು ಒಂದು ಚಟುವಟಿಕೆಯನ್ನು ಮಾಡೋಣ.

ಕಾಗದದ ಹಾಳೆಯಿಂದ ಒಂದು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಒಂದು ಕರ್ಣದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಕತ್ತರಿಸಿ (ಚಿತ್ರ 8.1 ನೋಡಿ). ನಿಮಗೆ ಎರಡು ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಸಿಗುತ್ತವೆ. ಈ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನೀವು ಏನು ಹೇಳಬಹುದು?

ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಇನ್ನೊಂದರ ಮೇಲೆ ಇರಿಸಿ. ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ ಒಂದನ್ನು ತಿರುಗಿಸಿ. ನೀವು ಏನು ಗಮನಿಸುತ್ತೀರಿ?

ಎರಡು ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸರ್ವಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ.

ಚಿತ್ರ 8.1

ಈ ಚಟುವಟಿಕೆಯನ್ನು ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜಗಳೊಂದಿಗೆ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿ. ಪ್ರತಿ ಬಾರಿಯೂ ನೀವು ಗಮನಿಸುವಿರಿ, ಪ್ರತಿ ಕರ್ಣವು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನು ಎರಡು ಸರ್ವಸಮ ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ. ಈಗ ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸಾಧಿಸೋಣ.

ಪ್ರಮೇಯ 8.1 : ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಒಂದು ಕರ್ಣವು ಅದನ್ನು ಎರಡು ಸರ್ವಸಮ ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ.

ಸಾಧನೆ : $A B C D$ ಒಂದು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು $A C$ ಒಂದು ಕರ್ಣವಾಗಿರಲಿ (ಚಿತ್ರ 8.2 ನೋಡಿ). ಕರ್ಣ $\mathrm{AC}$ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ $\mathrm{ABCD}$ ಅನ್ನು ಎರಡು ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ $\triangle \mathrm{ABC}$ ಮತ್ತು $\triangle \mathrm{CDA}$. ಈ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಸರ್ವಸಮವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.

ಚಿತ್ರ 8.2

$\triangle \mathrm{ABC}$ ಮತ್ತು $\triangle \mathrm{CDA}$ ರಲ್ಲಿ, ಗಮನಿಸಿ $\mathrm{BC} || \mathrm{AD}$ ಮತ್ತು $\mathrm{AC}$ ಒಂದು ಛೇದಕ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, $\quad \angle \mathrm{BCA}=\angle \mathrm{DAC}$ (ಏಕಾಂತರ ಕೋನಗಳ ಜೋಡಿ)

ಅಲ್ಲದೆ, $\quad\mathrm{AB} | \mathrm{DC}$ ಮತ್ತು $\mathrm{AC}$ ಒಂದು ಛೇದಕ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, $\quad \angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{DCA}$ (ಏಕಾಂತರ ಕೋನಗಳ ಜೋಡಿ)

ಮತ್ತು $\quad \mathrm{AC}=\mathrm{CA}\quad$ (ಸಾಮಾನ್ಯ)

ಆದ್ದರಿಂದ, $\quad \Delta \mathrm{ABC} \cong \triangle \mathrm{CDA}\quad$ (ASA ನಿಯಮ)

ಅಥವಾ, ಕರ್ಣ $\mathrm{AC}$ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ $\mathrm{ABCD}$ ಅನ್ನು ಎರಡು ಸರ್ವಸಮ ತ್ರಿಕೋನಗಳಾದ $\mathrm{ABC}$ ಮತ್ತು $\mathrm{CDA}$ ಆಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ.

ಈಗ, ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ $A B C D$ ನ ಎದುರು ಬಾಹುಗಳನ್ನು ಅಳೆಯಿರಿ. ನೀವು ಏನು ಗಮನಿಸುತ್ತೀರಿ?

ನೀವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವಿರಿ $\mathrm{AB}=\mathrm{DC}$ ಮತ್ತು $\mathrm{AD}=\mathrm{BC}$.

ಇದು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಇನ್ನೊಂದು ಗುಣಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ, ಕೆಳಗೆ ನಮೂದಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಪ್ರಮೇಯ 8.2 : ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿ, ಎದುರು ಬಾಹುಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಕರ್ಣವು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನು ಎರಡು ಸರ್ವಸಮ ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೀವು ಈಗಾಗಲೇ ಸಾಧಿಸಿದ್ದೀರಿ; ಆದ್ದರಿಂದ ಅನುರೂಪ ಭಾಗಗಳ ಬಗ್ಗೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಅನುರೂಪ ಬಾಹುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನೀವು ಏನು ಹೇಳಬಹುದು? ಅವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, $\mathrm{AB}=\mathrm{DC}$ ಮತ್ತು $\mathrm{AD}=\mathrm{BC}$

ಈಗ ಈ ಫಲಿತಾಂಶದ ವಿಲೋಮ ಏನು? ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ಏನನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆಯೋ, ಅದನ್ನೇ ವಿಲೋಮದಲ್ಲಿ ಸಾಧಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ಏನನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗಿದೆಯೋ, ಅದನ್ನು ವಿಲೋಮದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಿಮಗೆ ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಪ್ರಮೇಯ 8.2 ಅನ್ನು ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಹೇಳಬಹುದು:

ಒಂದು ಚತುರ್ಭುಜವು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿ ಎದುರು ಬಾಹುಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ವಿಲೋಮ:

ಪ್ರಮೇಯ 8.3 : ಒಂದು ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿ ಎದುರು ಬಾಹುಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಇದಕ್ಕೆ ಕಾರಣವನ್ನು ನೀವು ಹೇಳಬಲ್ಲಿರಾ?

ಚತುರ್ಭುಜ $\mathrm{ABCD}$ ನ ಬಾಹುಗಳು $\mathrm{AB}$ ಮತ್ತು $\mathrm{CD}$ ಸಮಾನವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು $\mathrm{AD}=\mathrm{BC}$ ಕೂಡ ಸಮಾನವಾಗಿರಲಿ (ಚಿತ್ರ 8.3 ನೋಡಿ). ಕರ್ಣ AC ಯನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ.

ಚಿತ್ರ 8.3

ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, $\quad \triangle \mathrm{ABC} \cong \triangle \mathrm{CDA}\quad$ (ಏಕೆ?)

ಆದ್ದರಿಂದ, $\quad \angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{DCA}$

ಮತ್ತು $\quad \angle \mathrm{BCA}=\angle \mathrm{DAC}\quad$ (ಏಕೆ?)

ಈಗ ABCD ಒಂದು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ಎಂದು ನೀವು ಹೇಳಬಲ್ಲಿರಾ? ಏಕೆ?

ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿ ಎದುರು ಬಾಹುಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ವಿಲೋಮವಾಗಿ, ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿ ಎದುರು ಬಾಹುಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೀವು ಈಗ ನೋಡಿದ್ದೀರಿ. ಎದುರು ಕೋನಗಳ ಜೋಡಿಗಳಿಗೂ ಇದೇ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದೇ?

ಒಂದು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನು ಎಳೆದು ಅದರ ಕೋನಗಳನ್ನು ಅಳೆಯಿರಿ. ನೀವು ಏನು ಗಮನಿಸುತ್ತೀರಿ?

ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿ ಎದುರು ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಇದನ್ನು ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜಗಳೊಂದಿಗೆ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿ. ನಾವು ಇನ್ನೊಂದು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 8.4 : ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿ, ಎದುರು ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಈಗ, ಈ ಫಲಿತಾಂಶದ ವಿಲೋಮವೂ ಸಹ ಸತ್ಯವೇ? ಹೌದು. ಚತುರ್ಭುಜದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಮತ್ತು ಛೇದಕ ರೇಖೆಯಿಂದ ಛೇದಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, ವಿಲೋಮವೂ ಸಹ ಸತ್ಯ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ಪ್ರಮೇಯ 8.5 : ಒಂದು ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿ ಎದುರು ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಇನ್ನೊಂದು ಗುಣಲಕ್ಷಣವೂ ಇದೆ. ಅದನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡೋಣ. ಒಂದು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ $\mathrm{ABCD}$ ಅನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಎರಡೂ ಕರ್ಣಗಳನ್ನು $\mathrm{O}$ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವಂತೆ ಎಳೆಯಿರಿ (ಚಿತ್ರ 8.4 ನೋಡಿ).

ಚಿತ್ರ 8.4

$\mathrm{OA}, \mathrm{OB}, \mathrm{OC}$ ಮತ್ತು $\mathrm{OD}$ ನ ಉದ್ದಗಳನ್ನು ಅಳೆಯಿರಿ.

ನೀವು ಏನು ಗಮನಿಸುತ್ತೀರಿ? ನೀವು ಗಮನಿಸುವಿರಿ

$\mathrm{OA}=\mathrm{OC} \text { and } \mathrm{OB}=\mathrm{OD}$

ಅಥವಾ, $\mathrm{O}$ ಎರಡೂ ಕರ್ಣಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಾಗಿದೆ.

ಈ ಚಟುವಟಿಕೆಯನ್ನು ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜಗಳೊಂದಿಗೆ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿ.

ಪ್ರತಿ ಬಾರಿಯೂ ನೀವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವಿರಿ $\mathrm{O}$ ಎರಡೂ ಕರ್ಣಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಾಗಿದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ಪ್ರಮೇಯ 8.6 : ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಕರ್ಣಗಳು ಪರಸ್ಪರವನ್ನು ಸಮಭಾಗಿಸುತ್ತವೆ.

ಈಗ, ಒಂದು ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿ ಕರ್ಣಗಳು ಪರಸ್ಪರವನ್ನು ಸಮಭಾಗಿಸಿದರೆ ಏನಾಗುತ್ತದೆ? ಅದು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವಾಗುತ್ತದೆಯೇ? ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಇದು ಸತ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಈ ಫಲಿತಾಂಶವು ಪ್ರಮೇಯ 8.6 ರ ಫಲಿತಾಂಶದ ವಿಲೋಮವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

ಪ್ರಮೇಯ 8.7 : ಒಂದು ಚತುರ್ಭುಜದ ಕರ್ಣಗಳು ಪರಸ್ಪರವನ್ನು ಸಮಭಾಗಿಸಿದರೆ, ಅದು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈ ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕೆ ಕಾರಣವನ್ನು ನೀವು ಈ ರೀತಿ ಹೇಳಬಹುದು:

ಚಿತ್ರ 8.5 ರಲ್ಲಿ, $\mathrm{OA}=\mathrm{OC}$ ಮತ್ತು $\mathrm{OB}=\mathrm{OD}$ ಎಂದು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ.

ಚಿತ್ರ 8.5

ಆದ್ದರಿಂದ, $\quad \triangle \mathrm{AOB} \cong \triangle \mathrm{COD} \quad \text { (Why?) }$

ಆದ್ದರಿಂದ, $\angle \mathrm{ABO}=\angle \mathrm{CDO}\quad \text {(Why?)}$

ಇದರಿಂದ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ $\mathrm{AB} || \mathrm{CD}$

ಅದೇ ರೀತಿ, $\quad \mathrm{BC} || \mathrm{AD}$

ಆದ್ದರಿಂದ $\mathrm{ABCD}$ ಒಂದು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿದೆ.

ಈಗ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 1 : ಆಯತದ ಪ್ರತಿ ಕೋನವು ಲಂಬಕೋನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ : ಆಯತ ಎಂದರೇನು ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಆಯತವು ಒಂದು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿದ್ದು, ಅದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕೋನ ಲಂಬಕೋನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

$\mathrm{ABCD}$ ಒಂದು ಆಯತವಾಗಿರಲಿ, ಇದರಲ್ಲಿ $\angle \mathrm{A}=90^{\circ}$.

$\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{C}=\angle \mathrm{D}=90^{\circ}$ ಎಂದು ತೋರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.

ನಮ್ಮಲ್ಲಿ, $A D || B C$ ಮತ್ತು $A B$ ಒಂದು ಛೇದಕ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ (ಚಿತ್ರ 8.6 ನೋಡಿ).

ಚಿತ್ರ 8.6

ಆದ್ದರಿಂದ, $\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{B}=180^{\circ} \quad$ (ಛೇದಕ ರೇಖೆಯ ಒಂದೇ ಬದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಅಂತಃಕೋನಗಳು)

ಆದರೆ, $\quad \angle \mathrm{A}=90^{\circ}$

ಆದ್ದರಿಂದ, $\quad \angle \mathrm{B}=180^{\circ}-\angle \mathrm{A}=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$

ಈಗ, $\quad \angle \mathrm{C}=\angle \mathrm{A}$ ಮತ್ತು $\angle \mathrm{D}=\angle \mathrm{B}$

(ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಎದುರು ಕೋನಗಳು)

ಆದ್ದರಿಂದ, $\quad\angle \mathrm{C}=90^{\circ} \text { and } \angle \mathrm{D}=90^{\circ} \text {. }$

ಆದ್ದರಿಂದ, ಆಯತದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕೋನವು ಲಂಬಕೋನವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2 : ಸಮಚತುರ್ಭುಜದ ಕರ್ಣಗಳು ಪರಸ್ಪರಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ : ಸಮಚತುರ್ಭುಜ ABCD ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ (ಚಿತ್ರ 8.7 ನೋಡಿ).

ಚಿತ್ರ 8.7

$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CD}=\mathrm{DA}$ ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ (ಏಕೆ?)

ಈಗ, $\triangle \mathrm{AOD}$ ಮತ್ತು $\triangle \mathrm{COD}$ ರಲ್ಲಿ,

$\mathrm{OA}=\mathrm{OC}($ (ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಕರ್ಣಗಳು ಪರಸ್ಪರವನ್ನು ಸಮಭಾಗಿಸುತ್ತವೆ)

$\mathrm{OD}=\mathrm{OD}\quad$ (ಸಾಮಾನ್ಯ)

$\mathrm{AD}=\mathrm{CD}$ (ನೀಡಲಾಗಿದೆ)

ಆದ್ದರಿಂದ, $\Delta \mathrm{AOD} \cong \Delta \mathrm{COD}\quad$ (SSS ಸರ್ವಸಮತಾ ನಿಯಮ)

ಇದು ನೀಡುತ್ತದೆ, $\angle \mathrm{AOD}=\angle \mathrm{COD}\quad$ (CPCT)

ಆದರೆ, $\angle \mathrm{AOD}+\angle \mathrm{COD}=180^{\circ}$ (ರೇಖೀಯ ಜೋಡಿ)

ಆದ್ದರಿಂದ, $\quad 2 \angle \mathrm{AOD}=180^{\circ}$

ಅಥವಾ, $\quad \angle \mathrm{AOD}=90^{\circ}$

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮಚತುರ್ಭುಜದ ಕರ್ಣಗಳು ಪರಸ್ಪರಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3 : $\mathrm{ABC}$ ಒಂದು ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$. $\mathrm{AD}$ ಹೊರಕೋನ $\mathrm{PAC}$ ಅನ್ನು ಸಮಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು $\mathrm{CD} | \mathrm{AB}$ (ಚಿತ್ರ 8.8 ನೋಡಿ). ಎಂದು ತೋರಿಸಿ

(i) $\angle \mathrm{DAC}=\angle \mathrm{BCA}$ ಮತ್ತು

(ii) $\mathrm{ABCD}$ ಒಂದು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿದೆ.

ಚಿತ್ರ 8.8

ಪರಿಹಾರ : (i) $\triangle \mathrm{ABC}$ ಒಂದು ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$ (ನೀಡಲಾಗಿದೆ)

ಆದ್ದರಿಂದ, $\quad \angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{ACB} \quad$ (ಸಮಾನ ಬಾಹುಗಳ ಎದುರು ಕೋನಗಳು)

ಅಲ್ಲದೆ, $\angle \mathrm{PAC}=\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{ACB}\quad$ (ತ್ರಿಕೋನದ ಹೊರಕೋನ)

ಅಥವಾ, $\quad \angle \mathrm{PAC}=2 \angle \mathrm{ACB}\quad$(1)

ಈಗ, AD ಯು $\angle \mathrm{PAC}$ ಅನ್ನು ಸಮಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, $\quad \angle \mathrm{PAC}=2 \angle \mathrm{DAC}\quad$(2)

ಆದ್ದರಿಂದ,

$2 \angle \mathrm{DAC} =2 \angle \mathrm{ACB} \quad[\text { From }(1) \text { and }(2)]$ $\text { or, } \quad \angle \mathrm{DAC} =\angle \mathrm{ACB}$

(ii) ಈಗ, ಈ ಸಮಾನ ಕೋನಗಳು ರೇಖಾಖಂಡಗಳಾದ $\mathrm{BC}$ ಮತ್ತು $\mathrm{AD}$ ಗಳನ್ನು ಛೇದಕ ರೇಖೆ $\mathrm{AC}$ ಛೇದಿಸಿದಾಗ ಏಕಾಂತರ ಕೋನಗಳ ಜೋಡಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, $\quad \mathrm{BC} || \mathrm{AD}$

ಅಲ್ಲದೆ, $\mathrm{BA} || \mathrm{CD} \quad$ (ನೀಡಲಾಗಿದೆ)

ಈಗ, ಚತುರ್ಭುಜ $\mathrm{ABCD}$ ನ ಎರಡೂ ಜೋಡಿ ಎದುರು ಬಾಹುಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿವೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, $A B C D$ ಒಂದು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 4 : ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳಾದ $l$ ಮತ್ತು $m$ ಗಳನ್ನು ಒಂದು ಛೇದಕ ರೇಖೆ $p$ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 8.9 ನೋಡಿ). ಅಂತಃಕೋನಗಳ ಸಮದ್ವಿಖಂಡನ ರೇಖೆಗಳು ರೂಪಿಸುವ ಚತುರ್ಭುಜವು ಆಯತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.

ಚಿತ್ರ 8.9

ಪರಿಹಾರ : PS $|| \mathrm{QR}$ ಮತ್ತು ಛೇದಕ ರೇಖೆ $p$ ಅವುಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ A ಮತ್ತು C ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

$\angle \mathrm{PAC}$ ಮತ್ತು $\angle \mathrm{ACQ}$ ನ ಸಮದ್ವಿಖಂಡನ ರೇಖೆಗಳು $\mathrm{B}$ ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು $\angle \mathrm{ACR}$ ಮತ್ತು $\angle \mathrm{SAC}$ ನ ಸಮದ್ವಿಖಂಡನ ರೇಖೆಗಳು $\mathrm{D}$ ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ.

ಚತುರ್ಭುಜ $\mathrm{ABCD}$ ಒಂದು ಆಯತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.

ಈಗ, $\quad \angle \mathrm{PAC}=\angle \mathrm{ACR}$

($l || m$ ಮತ್ತು $p$ ಒಂದು ಛೇದಕ ರೇಖೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಏಕಾಂತರ ಕೋನಗಳು)

ಆದ್ದರಿಂದ, $\quad \frac{1}{2} \angle \mathrm{PAC}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{ACR}$

ಅಂದರೆ, $\quad \angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{ACD}$

ಇವುಗಳು ರೇಖೆಗಳಾದ $\mathrm{AB}$ ಮತ್ತು $\mathrm{DC}$ ಗಳಿಗೆ $\mathrm{AC}$ ಛೇದಕ ರೇಖೆಯಾಗಿರುವಾಗ ಏಕಾಂತರ ಕೋನಗಳ ಜೋಡಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವು ಸಮಾನವೂ ಆಗಿವೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, $\quad\mathrm{AB} || \mathrm{DC}$

ಅದೇ ರೀತಿ, $\quad\mathrm{BC} || \mathrm{AD} \quad$ ($\angle \mathrm{ACB}$ ಮತ್ತು $\angle \mathrm{CAD}$ ಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದಾಗ)

ಆದ್ದರಿಂದ, ಚತುರ್ಭುಜ $\mathrm{ABCD}$ ಒಂದು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿದೆ.

ಅಲ್ಲದೆ, $\quad\angle \mathrm{PAC}+\angle \mathrm{CAS}=180^{\circ} \quad \text { (Linear pair) }$

ಆದ್ದರಿಂದ, $\quad \frac{1}{2} \angle \mathrm{PAC}+\frac{1}{2} \angle \mathrm{CAS}=\frac{1}{2} \times 180^{\circ}=90^{\circ}$

ಅಥವಾ, $\quad \angle \mathrm{BAC}+\angle \mathrm{CAD}=90^{\circ}$

ಅಥವಾ, $\quad\angle \mathrm{BAD}=90^{\circ}$

ಆದ್ದರಿಂದ, $\mathrm{ABCD}$ ಒಂದು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿದ್ದು, ಅದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕೋನ $90^{\circ}$ ಆಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, $\mathrm{ABCD}$ ಒಂದು ಆಯತವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 5 : ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಕೋನಗಳ ಸಮದ್ವಿಖಂಡನ ರೇಖೆಗಳು ಆಯತವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ : ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ $\mathrm{ABCD}$ ನ $\angle \mathrm{A}$ ಮತ್ತು $\angle \mathrm{B}, \angle \mathrm{B}$, $\angle \mathrm{C}, \angle \mathrm{C}$ ಮತ್ತು $\angle \mathrm{D}$, ಮತ್ತು $\angle \mathrm{D}$ ಮತ್ತು $\angle \mathrm{A}$ ಗಳ ಸಮದ್ವಿಖಂಡನ ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನ ಬಿಂದುಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ $\mathrm{P}, \mathrm{Q}, \mathrm{R}$ ಮತ್ತು $\mathrm{S}$ ಆಗಿರಲಿ (ಚಿತ್ರ 8.10 ನೋಡಿ).

ಚಿತ್ರ 8.10

$\triangle \mathrm{ASD}$ ರಲ್ಲಿ, ನೀವು ಏನು ಗಮನಿಸುತ್ತೀರಿ?

$\mathrm{DS}$ ಯು $\angle \mathrm{D}$ ಅನ್ನು ಸಮಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು $\mathrm{AS}$ ಯು $\angle \mathrm{A}$ ಅನ್ನು ಸಮಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ,

$$ \begin{aligned} \angle \mathrm{DAS}+\angle \mathrm{ADS} & =\frac{1}{2} \angle \mathrm{A}+\frac{1}{2} \angle \mathrm{D} \\ & =\frac{1}{2}(\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{D}) \\ & =\frac{1}{2} \times 180^{\circ} \\ (\angle \mathrm{A} \text { and } & \angle \mathrm{D} \text { are interior angles on the same side of the transversal} \\ & \left.=90^{\circ} \quad \right) \end{aligned} $$

ಅಲ್ಲದೆ, $\angle \mathrm{DAS}+\angle \mathrm{ADS}+\angle \mathrm{DSA}=180^{\circ} \quad$ (ತ್ರಿಕೋನದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣ)

ಅಥವಾ, $\quad 90^{\circ}+\angle \mathrm{DSA}=180^{\circ}$

ಅಥವಾ, $\quad \angle \mathrm{DSA}=90^{\circ}$

ಆದ್ದರಿಂದ, $\quad \angle \mathrm{PSR}=90^{\circ} \quad($ $\angle \mathrm{DSA})$ ಗೆ ಶೃಂಗಾಭಿಮುಖ ಕೋನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ

ಅದೇ ರೀತಿ, $\angle \mathrm{APB}=90^{\circ}$ ಅಥವಾ $\angle \mathrm{SPQ}=90^{\circ}$ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು ($\angle \mathrm{DSA})$ ಗಾಗಿ ತೋರಿಸಿದಂತೆ). ಅದೇ ರೀತಿ, $\angle \mathrm{PQR}=90^{\circ}$ ಮತ್ತು $\angle \mathrm{SRQ}=90^{\circ}$.

ಆದ್ದರಿಂದ, PQRS ಒಂದು ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಕೋನಗಳು ಲಂಬಕೋನಗಳಾಗಿವೆ.

ಅದು ಆಯತ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದೇ? ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. $\angle \mathrm{PSR}=\angle \mathrm{PQR}=90^{\circ}$ ಮತ್ತು $\angle \mathrm{SPQ}=\angle \mathrm{SRQ}=90^{\circ}$ ಎಂದು ನಾವು ತೋರಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡೂ ಜೋಡಿ ಎದುರು ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, $\mathrm{PQRS}$ ಒಂದು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿದ್ದು, ಅದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕೋನ (ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ಕೋನಗಳು) $90^{\circ}$ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಹೀಗಾಗಿ, $\mathrm{PQRS}$ ಒಂದು ಆಯತವಾಗಿದೆ.

8.2 ಮಧ್ಯಬಿಂದು ಪ್ರಮೇಯ

ನೀವು ತ್ರಿಕೋನ ಮತ್ತು ಚತುರ್ಭುಜದ ಅನೇಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೀರಿ. ಈಗ ತ್ರಿಕೋನದ ಬಾಹುಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಇನ್ನೊಂದು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡೋಣ. ಕೆಳಗಿನ ಚಟುವಟಿಕೆಯನ್ನು ಮಾಡಿ.

ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನದ ಎರಡು ಬಾಹುಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳಾದ $\mathrm{E}$ ಮತ್ತು $\mathrm{F}$ ಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ. $\mathrm{E}$ ಮತ್ತು $\mathrm{F}$ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ (ಚಿತ್ರ 8.15 ನೋಡಿ).

ಚಿತ್ರ 8.15

$\mathrm{EF}$ ಮತ್ತು $\mathrm{BC}$ ಅಳೆಯಿರಿ. $\angle \mathrm{AEF}$ ಮತ್ತು $\angle \mathrm{ABC}$ ಅಳೆಯಿರಿ.

ನೀವು ಏನು ಗಮನಿಸುತ್ತೀರಿ? ನೀವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವಿರಿ:

$\mathrm{EF}=\frac{1}{2} \mathrm{BC} \text { and } \angle \mathrm{AEF}=\angle \mathrm{ABC}$

ಆದ್ದರಿಂದ, $\mathrm{EF} || \mathrm{BC}$

ಈ ಚಟುವಟಿಕೆಯನ್ನು ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ತ್ರಿಕೋನಗಳೊಂದಿಗೆ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿ.

ಹೀಗಾಗಿ, ನೀವು ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ:

ಪ್ರಮೇಯ 8.8 : ತ್ರಿಕೋನದ ಎರಡು ಬಾಹುಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ರೇಖಾಖಂಡವು ಮೂರನೇ ಬಾಹುವಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕೆಳಗಿನ ಸುಳಿವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನೀವು ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಧಿಸಬಹುದು:

ಚಿತ್ರ 8.16 ರಲ್ಲಿ $E$ ಮತ್ತು $F$ ಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ $\mathrm{AB}$ ಮತ್ತು $\mathrm{AC}$ ಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು $\mathrm{CD} || \mathrm{BA}$ ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ.

ಚಿತ್ರ 8.16

$ \begin{equation*} \Delta \mathrm{AEF} \cong \triangle \mathrm{CDF} \tag{ASAನಿಯಮ} \end{equation*} $

ಆದ್ದರಿಂದ, $\quad \mathrm{EF}=\mathrm{DF}$ ಮತ್ತು $\mathrm{BE}=\mathrm{AE}=\mathrm{DC} \quad($ ಏಕೆ? $)$

ಆದ್ದರಿಂದ, BCDE ಒಂದು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿದೆ. (ಏಕೆ?)

ಇದು ನೀಡುತ್ತದೆ $\mathrm{EF} || \mathrm{BC}$.

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, $\mathrm{EF}=\frac{1}{2} \mathrm{ED}=\frac{1}{2} \mathrm{BC}$ ಎಂದು ಸಹ ಗಮನಿಸಿ.

ಪ್ರಮೇಯ 8.8 ರ ವಿಲೋಮವನ್ನು ನೀವು ಹೇಳಬಲ್ಲಿರಾ? ವಿಲೋಮವು ಸತ್ಯವೇ?

ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಲೋಮವೂ ಸಹ ಸತ್ಯ ಎಂದು ನೀವು ನೋಡುವಿರಿ, ಅದನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಹೇಳಲಾಗಿದೆ:

ಪ್ರಮೇಯ 8.9 : ತ್ರಿಕೋನದ ಒಂದು ಬಾಹುವಿನ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಎಳೆಯಲ್ಪಟ್ಟ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಬಾಹುವಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ರೇಖೆಯು ಮೂರನೇ ಬಾಹುವನ್ನು ಸಮಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ.

ಚಿತ್ರ 8.17 ರಲ್ಲಿ, $\mathrm{E}$ ಯು $\mathrm{AB}$ ನ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಾಗಿದೆ, ರೇಖೆ $l$ ಯು $\mathrm{E}$ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು $\mathrm{BC}$ ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು $\mathrm{CM} || \mathrm{BA}$ ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ.

$\triangle \mathrm{AEF}$ ಮತ್ತು $\triangle \mathrm{CDF}$ ಗಳ ಸರ್ವಸಮತೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು $\mathrm{AF}=\mathrm{CF}$ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

ಚಿತ್ರ 8.17

ಉದಾಹರಣೆ 6 : $\triangle \mathrm{ABC}, \mathrm{D}, \mathrm{E}$ ಮತ್ತು $\mathrm{F}$ ಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಬಾಹುಗಳಾದ $\mathrm{AB}, \mathrm{BC}$ ಮತ್ತು $\mathrm{CA}$ ಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ (ಚಿತ್ರ 8.18 ನೋಡಿ). $\triangle \mathrm{ABC}$ ಅನ್ನು $\mathrm{D}, \mathrm{E}$ ಮತ್ತು $\mathrm{F}$ ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾಲ್ಕು ಸರ್ವಸಮ ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.

ಚಿತ್ರ 8.18

ಪರಿಹಾರ : D ಮತ್ತು E ಗಳು ತ್ರಿಕೋನ $\mathrm{ABC}$ ನ ಬಾಹುಗಳಾದ AB ಮತ್ತು $\mathrm{BC}$ ಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಪ್ರಮೇಯ 8.8 ರ ಪ್ರಕಾರ,

ಅದೇ ರೀತಿ, $\quad \quad \mathrm{DF} || \mathrm{BC}$ ಮತ್ತು $\mathrm{EF} || \mathrm{AB}$

ಆದ್ದರಿಂದ ADEF, BDFE ಮತ್ತು DFCE ಗಳೆಲ್ಲವೂ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜಗಳಾಗಿವೆ.

ಈಗ $\mathrm{DE}$ ಯು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ $\mathrm{BDFE}$ ನ ಒಂದು ಕರ್ಣವಾಗಿದೆ,

ಆದ್ದರಿಂದ, $\quad \Delta \mathrm{BDE} \cong \Delta \mathrm{FED}$

ಅದೇ ರೀತಿ $\quad \Delta \mathrm{DAF} \cong \triangle \mathrm{FED}$

ಮತ್ತು $\quad \Delta \mathrm{EFC} \cong \triangle \mathrm{FED}$

ಆದ್ದರಿಂದ, ಎಲ್ಲಾ ನಾಲ್ಕು ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಸರ್ವಸಮವಾಗಿವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 7 : $ l, m$, $n$ ಮತ್ತು $p$ ಗಳು ಮೂರು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳಾಗಿವೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಛೇದಕ ರೇಖೆಗಳಾದ $q$ ಮತ್ತು