૧૨.૧ પરિચય

સંમિતિ એ એક મહત્વનો ભૌમિતિક ખ્યાલ છે, જે સામાન્ય રીતે પ્રકૃતિમાં જોવા મળે છે અને લગભગ દરેક ક્ષેત્રની પ્રવૃત્તિમાં ઉપયોગમાં લેવાય છે. કલાકારો, વ્યવસાયીઓ, કપડાં અથવા ઘરેણાંના ડિઝાઇનરો, કાર ઉત્પાદકો, આર્કિટેક્ટ્સ અને અન્ય ઘણા લોકો સંમિતિના ખ્યાલનો ઉપયોગ કરે છે. મધમાખીના મધપૂડા, ફૂલો, વૃક્ષનાં પાંદડાં, ધાર્મિક પ્રતીકો, ગાલીચા અને રૂમાલ - તમે દરેક જગ્યાએ સંમિતીય ડિઝાઇન જોશો.

તમને તમારી પાછલી કક્ષામાં રેખા સંમિતિનો ‘અનુભવ’ પહેલેથી જ થયો છે.

એક આકૃતિમાં રેખા સંમિતિ હોય છે, જો એવી રેખા હોય કે જેની આસપાસ આકૃતિને એવી રીતે વાળી શકાય કે આકૃતિના બે ભાગ એકબીજા સાથે સંપાત થાય.

તમને આ ખ્યાલો યાદ કરવા ગમશે. તમારી મદદ માટે અહીં કેટલીક પ્રવૃત્તિઓ છે.

તમે એકત્રિત કરો છો તે ડિઝાઇનમાં સંમિતિની રેખાઓ (જેને અક્ષો પણ કહેવાય છે) ઓળખવાનો આનંદ લો.

ચાલો હવે સંમિતિ પરના આપણા ખ્યાલોને વધુ મજબૂત બનાવીએ. નીચેની આકૃતિઓનો અભ્યાસ કરો જેમાં સંમિતિની રેખાઓ ડોટેડ રેખાઓ દ્વારા ચિહ્નિત કરવામાં આવી છે. [ફિગ ૧૨.૧ (i) થી (iv)]

૧૨.૨ નિયમિત બહુકોણ માટે સંમિતિની રેખાઓ

તમે જાણો છો કે બહુકોણ એ ઘણી રેખા ખંડોથી બનેલી બંધ આકૃતિ છે. સૌથી ઓછી સંખ્યામાં રેખા ખંડોથી બનેલો બહુકોણ ત્રિકોણ છે. (શું એવો બહુકોણ હોઈ શકે છે જે તમે હજુ પણ ઓછા રેખા ખંડોથી દોરી શકો? તેના વિશે વિચારો).

એક બહુકોણ નિયમિત કહેવાય છે જો તેની બધી બાજુઓ સમાન લંબાઈની હોય અને તેના બધા ખૂણાઓ સમાન માપના હોય. આમ, સમબાજુ ત્રિકોણ ત્રણ બાજુઓનો નિયમિત બહુકોણ છે. શું તમે ચાર બાજુઓના નિયમિત બહુકોણનું નામ આપી શકો છો?

સમબાજુ ત્રિકોણ નિયમિત છે કારણ કે તેની દરેક બાજુની લંબાઈ સમાન છે અને તેનો દરેક ખૂણો $60^{\circ}$ માપે છે (ફિગ ૧૨.૨).

ફિગ ૧૨.૨

ચોરસ પણ નિયમિત છે કારણ કે તેની બધી બાજુઓ સમાન લંબાઈની છે અને તેનો દરેક ખૂણો કાટખૂણો છે (એટલે કે, $90^{\circ}$). તેના વિકર્ણો એકબીજાના લંબદ્વિભાજક હોવાનું જોવા મળે છે (ફિગ ૧૨.૩).

ફિગ ૧૨.૩

જો પંચભુજ નિયમિત હોય, તો સ્વાભાવિક રીતે, તેની બાજુઓ સમાન લંબાઈની હોવી જોઈએ. તમે પછીથી શીખશો કે તેના દરેક ખૂણાનું માપ $108^{\circ}$ છે (ફિગ ૧૨.૪).

ફિગ ૧૨.૪

ફિગ ૧૨.૫

નિયમિત ષટ્કોણની બધી બાજુઓ સમાન હોય છે અને તેનો દરેક ખૂણો $120^{\circ}$ માપે છે. તમે આ આકૃતિઓ વિશે પછીથી વધુ શીખશો (ફિગ ૧૨.૫).

નિયમિત બહુકોણ સંમિત આકૃતિઓ છે અને તેથી તેમની સંમિતિની રેખાઓ ખૂબ રસપ્રદ છે,

દરેક નિયમિત બહુકોણમાં સંમિતિની એટલી જ રેખાઓ હોય છે જેટલી તેની બાજુઓ હોય છે [ફિગ ૧૨.૬ (i) - (iv)]. આપણે કહીએ છીએ કે, તેમની બહુવિધ સંમિતિ રેખાઓ છે.

કદાચ, તમે કાગળ વાળીને આની તપાસ કરવા માંગતા હશો. આગળ વધો!

રેખા સંમિતિનો ખ્યાલ અરીસા પ્રતિબિંબ સાથે ગાઢ રીતે સંબંધિત છે. જ્યારે કોઈ આકારનો એક અડધો ભાગ બીજા અડધા ભાગનું અરીસા પ્રતિબિંબ હોય ત્યારે તેમાં રેખા સંમિતિ હોય છે (ફિગ ૧૨.૭). આમ, એક અરીસા રેખા સંમિતિની રેખાને કલ્પના કરવામાં મદદ કરે છે (ફિગ ૧૨.૮).

આકાર સમાન છે, પરંતુ બીજી રીતે!

આ પંચિંગ ગેમ રમો!

વાળ એ સંમિતિની રેખા (અથવા અક્ષ) છે. વાળેલા કાગળ પર વિવિધ સ્થાનોએ પંચ અને સંમિતિની અનુરૂપ રેખાઓનો અભ્યાસ કરો (ફિગ ૧૨.૧૦).

કસરત ૧૨.૧

૧. પંચ કરેલા છિદ્રો સાથેની આકૃતિઓની નકલ કરો અને નીચેની માટે સંમિતિની અક્ષો શોધો:

૨. સંમિતિની રેખા(ઓ) આપેલી છે, અન્ય છિદ્ર(ઓ) શોધો:

૩. નીચેની આકૃતિઓમાં, અરીસા રેખા (એટલે કે, સંમિતિની રેખા) ડોટેડ રેખા તરીકે આપવામાં આવી છે. ડોટેડ (અરીસા) રેખામાં પ્રતિબિંબ કરીને દરેક આકૃતિને પૂર્ણ કરો. (તમે કદાચ ડોટેડ રેખા સાથે અરીસો મૂકી શકો છો અને પ્રતિબિંબ માટે અરીસામાં જોઈ શકો છો). શું તમે તમે પૂર્ણ કરો છો તે આકૃતિનું નામ યાદ કરવા સક્ષમ છો?

૪. નીચેની આકૃતિઓમાં એક કરતાં વધુ સંમિતિ રેખાઓ છે. આવી આકૃતિઓમાં બહુવિધ સંમિતિ રેખાઓ હોવાનું કહેવાય છે.

નીચેની દરેક આકૃતિમાં બહુવિધ સંમિતિ રેખાઓ, જો હોય તો, ઓળખો:

૫. અહીં આપેલી આકૃતિની નકલ કરો.

કોઈપણ એક વિકર્ણને સંમિતિની રેખા તરીકે લો અને વિકર્ણ વિશે સંમિત બનાવવા માટે થોડા વધુ ચોરસોને છાંયો. શું તે કરવાની એક કરતાં વધુ રીત છે? શું આકૃતિ બંને વિકર્ણો વિશે સંમિત હશે?

૬. આકૃતિની નકલ કરો અને અરીસા રેખા(ઓ) વિશે સંમિત બનાવવા માટે દરેક આકારને પૂર્ણ કરો:

૭. નીચેની આકૃતિઓ માટે સંમિતિ રેખાઓની સંખ્યા જણાવો:

(એ) સમબાજુ ત્રિકોણ

(બી) સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ

(સી) અસમબાજુ ત્રિકોણ

(ડી) ચોરસ

(ઇ) લંબચોરસ

(એફ) સમચતુર્ભુજ

(જી) સામાંતર ચતુષ્કોણ

(એચ) ચતુષ્કોણ

(આઈ) નિયમિત ષટ્કોણ

(જે) વર્તુળ

૮. અંગ્રેજી મૂળાક્ષરના કયા અક્ષરોમાં પ્રતિબિંબ સંમિતિ (એટલે કે, અરીસા પ્રતિબિંબ સંબંધિત સંમિતિ) હોય છે.

(એ) ઊભી અરીસા વિશે

(બી) આડી અરીસા વિશે

(સી) આડી અને ઊભી બંને અરીસાઓ વિશે

૯. સંમિતિની રેખા વિનાના આકારોનાં ત્રણ ઉદાહરણ આપો.

૧૦. તમે સંમિતિની રેખાને બીજું શું નામ આપી શકો છો

(એ) સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણની?

(બી) વર્તુળની?

૧૨.૩ ભ્રમણ સંમિતિ

જ્યારે ઘડિયાળનાં કાંટા ફરે છે ત્યારે તમે શું કહો છો?

તમે કહો છો કે તેઓ ભ્રમણ કરે છે. ઘડિયાળના કાંટા માત્ર એક દિશામાં, એક નિશ્ચિત બિંદુ, ઘડિયાળના મુખનાં કેન્દ્રની આસપાસ ભ્રમણ કરે છે.

ઘડિયાળના કાંટાઓની ગતિ જેવું ભ્રમણ, ઘડિયાળની દિશામાં ભ્રમણ કહેવાય છે; અન્યથા તેને ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં કહેવાય છે.

તમે છત પંખાનાં પાંખડીઓના ભ્રમણ વિશે શું કહી શકો છો? શું તેઓ ઘડિયાળની દિશામાં ભ્રમણ કરે છે કે ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં? અથવા તેઓ બંને રીતે ભ્રમણ કરે છે?

જો તમે સાઇકલનું ચક્ર ફેરવો, તો તે ભ્રમણ કરે છે. તે કોઈપણ રીતે ભ્રમણ કરી શકે છે: ઘડિયાળની દિશામાં અને ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં બંને. (i) ઘડિયાળની દિશામાં ભ્રમણ અને (ii) ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં ભ્રમણ માટે ત્રણ ઉદાહરણો આપો.

જ્યારે કોઈ વસ્તુ ભ્રમણ કરે છે, ત્યારે તેનો આકાર અને કદ બદલાતા નથી. ભ્રમણ એ વસ્તુને એક નિશ્ચિત બિંદુની આસપાસ ફેરવે છે. આ નિશ્ચિત બિંદુ ભ્રમણનું કેન્દ્ર છે. ઘડિયાળના કાંટાઓનું ભ્રમણ કેન્દ્ર શું છે? તેના વિશે વિચારો.

ફિગ ૧૨.૧૧

ભ્રમણ દરમિયાન ફેરવાના ખૂણાને ભ્રમણ કોણ કહેવાય છે. તમે જાણો છો, સંપૂર્ણ ફેરવો એટલે $360^{\circ}$નું ભ્રમણ. (i) અડધા ફેરવા માટે? (ii) ક્વાર્ટર-ફેરવા માટે ભ્રમણ કોણનું ડિગ્રી માપ શું છે?

અડધો ફેરવો એટલે $180^{\circ}$ દ્વારા ભ્રમણ; ક્વાર્ટર-ફેરવો એ $90^{\circ}$ દ્વારા ભ્રમણ છે.

જ્યારે ૧૨ વાગે છે, ત્યારે ઘડિયાળના કાંટા એકસાથે હોય છે. ૩ વાગે સુધીમાં, મિનિટનો કાંટો ત્રણ સંપૂર્ણ ફેરવા કરી ચૂક્યો હશે; પરંતુ કલાકનો કાંટો માત્ર એક ક્વાર્ટર-ફેરવો જ કર્યો હશે. ૬ વાગે તેમની સ્થિતિ વિશે તમે શું કહી શકો છો?

શું તમે ક્યારેય કાગળની પવનચક્કી બનાવી છે? ચિત્રમાંની કાગળની પવનચક્કી સંમિત દેખાય છે (ફિગ ૧૨.૧૧); પરંતુ તમને સંમિતિની કોઈ રેખા મળતી નથી. કોઈપણ વાળવાથી તમને સંપાત અર્ધભાગો મળશે નહીં. જો કે જો તમે તેને નિશ્ચિત બિંદુની આસપાસ $90^{\circ}$ દ્વારા ફેરવો, તો પવનચક્કી બરાબર એકસમાન દેખાશે. આપણે કહીએ છીએ કે પવનચક્કીમાં ભ્રમણ સંમિતિ છે.

ફિગ ૧૨.૧૨

સંપૂર્ણ ફેરવામાં, ચાર સ્થિતિઓ હોય છે ($90^{\circ}$, $180^{\circ}, 270^{\circ}$ અને $360^{\circ}$ ખૂણાઓ દ્વારા ભ્રમણ પર) જ્યારે પવનચક્કી બરાબર એકસમાન દેખાય છે. આના કારણે, આપણે કહીએ છીએ કે તેની ભ્રમણ સંમિતિનો ક્રમ ૪ છે.

ભ્રમણ સંમિતિ માટે અહીં એક વધુ ઉદાહરણ છે.

$P$ ને તેના એક ખૂણા તરીકે ધરાવતા ચોરસને ધ્યાનમાં લો (ફિગ ૧૨.૧૩).

ચાલો ચોરસના કેન્દ્ર $\mathbf{x}$ ની આસપાસ ક્વાર્ટર-ફેરવા કરીએ.

ફિગ ૧૨.૧૩ (i) પ્રારંભિક સ્થિતિ છે. કેન્દ્રની આસપાસ $90^{\circ}$ દ્વારા ભ્રમણ ફિગ ૧૨.૧૩ (ii) તરફ દોરી જાય છે. હવે $P$ ની સ્થિતિ નોંધો. $90^{\circ}$ દ્વારા ફરીથી ભ્રમણ કરો અને તમને ફિગ ૧૨.૧૩ (iii) મળશે. આ રીતે, જ્યારે તમે ચાર ક્વાર્ટર-ફેરવા પૂર્ણ કરો છો, ત્યારે ચોરસ તેની મૂળ સ્થિતિ પર પહોંચે છે. તે હવે ફિગ ૧૨.૧૩ (i) જેવો જ દેખાય છે. આ $P$ દ્વારા લેવાયેલી સ્થિતિઓની મદદથી જોઈ શકાય છે.

આમ ચોરસમાં તેના કેન્દ્ર વિશે $\mathbf{4}$ ક્રમની ભ્રમણ સંમિતિ છે. આ કિસ્સામાં નોંધો કે,

(i) ભ્રમણનું કેન્દ્ર ચોરસનું કેન્દ્ર છે.

(ii) ભ્રમણ કોણ $90^{\circ}$ છે.

(iii) ભ્રમણની દિશા ઘડિયાળની દિશામાં છે.

(iv) ભ્રમણ સંમિતિનો ક્રમ ૪ છે.

આ પ્રયાસ કરો

૧. (એ) શું તમે હવે સમબાજુ ત્રિકોણ માટે ભ્રમણ સંમિતિનો ક્રમ કહી શકો છો? (ફિગ ૧૨.૧૪)

(બી) $120^{\circ}$ દ્વારા તેના કેન્દ્રની આસપાસ ફેરવવામાં આવે ત્યારે ત્રિકોણ બરાબર એકસમાન દેખાય છે તેવી કેટલી સ્થિતિઓ છે?

૨. નીચેનામાંથી કયા આકારો (ફિગ ૧૨.૧૫)માં ચિહ્નિત બિંદુ વિશે ભ્રમણ સંમિતિ છે.

આ કરો

બે સમાન સામાંતર ચતુષ્કોણ દોરો, એક-ABCD કાગળના ટુકડા પર અને બીજો A’ B’ C’ D’ પારદર્શક શીટ પર. તેમના વિકર્ણોના આંતરછેદ બિંદુઓને અનુક્રમે $O$ અને $O^{\prime}$ તરીકે ચિહ્નિત કરો (ફિગ ૧૨.૧૬). $O$ પર.

સામાંતર ચતુષ્કોણને એવી રીતે મૂકો કે $A^{\prime}$ $A, B^{\prime}$ પર આવે અને તેથી વધુ. $O^{\prime}$ પછી પડે છે

ફિગ ૧૨.૧૬

બિંદુ $O$ પર આકારોમાં એક પિન ચોડો.

હવે પારદર્શક આકારને ઘડિયાળની દિશામાં ફેરવો.

એક સંપૂર્ણ ફેરવામાં આકારો કેટલી વાર સંપાત થાય છે?

ભ્રમણ સંમિતિનો ક્રમ શું છે?

જ્યાં આપણી પાસે પિન છે તે બિંદુ ભ્રમણનું કેન્દ્ર છે. આ કિસ્સામાં તે વિકર્ણોનો આંતરછેદ બિંદુ છે.

દરેક વસ્તુમાં ક્રમ ૧ ની ભ્રમણ સંમિતિ હોય છે, કારણ કે તે $360^{\circ}$ (એટલે કે, એક સંપૂર્ણ પરિભ્રમણ) ના ભ્રમણ પછી સમાન સ્થિતિ ધરાવે છે. આવા કિસ્સાઓમાં આપણી માટે કોઈ રસ નથી.

તમારી આસપાસ ઘણા આકારો છે, જેમાં ભ્રમણ સંમિતિ હોય છે (ફિગ ૧૨.૧૭).

ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે તમે કેટલાક ફળોને કાપો છો, ત્યારે ક્રોસ-સેક્શન ભ્રમણ સંમિતિ ધરાવતા આકારો હોય છે. જ્યારે તમે તેમને નોંધો છો ત્યારે આ તમને આશ્ચર્યચકિત કરી શકે છે [ફિગ ૧૨.૧૭(i)].

પછી ઘણા રોડ સાઇન છે જે ભ્રમણ સંમિતિ પ્રદર્શિત કરે છે. આગલી વખતે જ્યારે તમે વ્યસ્ત રસ્તા પર ચાલશો, ત્યારે આવા રોડ સાઇનને ઓળખવાનો પ્રયાસ કરો અને ભ્રમણ સંમિતિનો ક્રમ શોધો [ફિગ ૧૨.૧૭(ii)].

ભ્રમણ સંમિતિ માટે કેટલાક વધુ ઉદાહરણો વિચારો. દરેક કિસ્સામાં ચર્ચા કરો:

(i) ભ્રમણનું કેન્દ્ર (ii) ભ્રમણ કોણ

(iii) જે દિશામાં ભ્રમણ અસર કરે છે અને

(iv) ભ્રમણ સંમિતિનો ક્રમ.

આ પ્રયાસ કરો

આપેલ આકૃતિઓની ભ્રમણ સંમિતિનો ક્રમ આપો જે ચિહ્નિત બિંદુ $\times($ (ફિગ ૧૨.૧૭) વિશે છે.

કસરત ૧૨.૨

૧. નીચેનામાંથી કઈ આકૃતિઓમાં ૧ કરતાં વધુ ક્રમની ભ્રમણ સંમિતિ છે:

૨. દરેક આકૃતિ માટે ભ્રમણ સંમિતિનો ક્રમ આપો:

૧૨.૪ રેખા સંમિતિ અને ભ્રમણ સંમિતિ

તમે અત્યાર સુધી ઘણા આકારો અને તેમની સંમિતિનું અવલોકન કરી રહ્યા છો. હવે ત્યાં સુધીમાં તમે સમજી ગયા હશો કે કેટલાક આકારોમાં માત્ર રેખા સંમિતિ હોય છે, કેટલાકમાં માત્ર ભ્રમણ સંમિતિ હોય છે અને કેટલાકમાં રેખા સંમિતિ અને ભ્રમણ સંમિતિ બંને હોય છે.

ઉદાહરણ તરીકે, ચોરસ આકારને ધ્યાનમાં લો (ફિગ ૧૨.૧૯).

તેમાં સંમિતિની કેટલી રેખાઓ છે?

શું તેમાં કોઈ ભ્રમણ સંમિતિ છે?

જો ‘હા’, તો ભ્રમણ સંમિતિનો ક્રમ શું છે?

તેના વિશે વિચારો.

ફિગ ૧૨.૧૯

વર્તુળ સૌથી સંપૂર્ણ સંમિત આકૃતિ છે, કારણ કે તેને તેના કેન્દ્રની આસપાસ કોઈપણ ખૂણાથી ફેરવી શકાય છે અને તે જ સમયે તેમાં અમર્યાદિત સંખ્યામાં સંમિતિ રેખાઓ હોય છે. કોઈપણ વર્તુળ પેટર્નનું અવલોકન કરો. કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી દરેક રેખા (એટલે કે દરેક વ્યાસ) પ્રતિબિંબ સંમિતિની રેખા બનાવે છે અને તેમાં દરેક ખૂણા માટે કેન્દ્રની આસપાસ ભ્રમણ સંમિતિ હોય છે.

આ કરો

કેટલાક અંગ્રેજી મૂળાક્ષરોમાં મનમોહક સંમિત માળખાં