12.1 పరిచయం

సౌష్ఠవం అనేది ఒక ముఖ్యమైన రేఖాగణిత భావన, ఇది సాధారణంగా ప్రకృతిలో ప్రదర్శించబడుతుంది మరియు దాదాపు ప్రతి కార్యకలాప రంగంలో ఉపయోగించబడుతుంది. కళాకారులు, వృత్తిపరులు, బట్టలు లేదా నగల డిజైనర్లు, కారు తయారీదారులు, వాస్తుశిల్పులు మరియు అనేక ఇతరులు సౌష్ఠవం యొక్క ఆలోచనను ఉపయోగిస్తారు. తేనెటీగల గూళ్ళు, పువ్వులు, చెట్టు ఆకులు, మతపరమైన చిహ్నాలు, కంబళ్లు మరియు రుమాలు ప్రతిచోటా మీరు సౌష్ఠవపూర్వకమైన డిజైన్లను కనుగొంటారు.

మీరు ఇప్పటికే మీ మునుపటి తరగతిలో రేఖా సౌష్ఠవం యొక్క ‘అనుభూతిని’ పొందారు.

ఒక ఆకృతికి రేఖా సౌష్ఠవం ఉంటుంది, ఆకృతిని మడవగలిగేలా ఒక రేఖ ఉంటే, ఆ ఆకృతి యొక్క రెండు భాగాలు ఏకీభవిస్తాయి.

మీరు ఈ ఆలోచనలను గుర్తు చేసుకోవడం ఇష్టపడవచ్చు. మీకు సహాయపడటానికి ఇక్కడ కొన్ని కార్యకలాపాలు ఉన్నాయి.

మీరు సేకరించిన డిజైన్లలో సౌష్ఠవ రేఖలను (అక్షాలు అని కూడా పిలుస్తారు) గుర్తించడం ఆనందించండి.

ఇప్పుడు సౌష్ఠవం పై మన ఆలోచనలను మరింత బలోపేతం చేద్దాం. సౌష్ఠవ రేఖలు చుక్కల రేఖలతో గుర్తించబడిన క్రింది బొమ్మలను అధ్యయనం చేయండి. [Fig 12.1 (i) to (iv)]

12.2 సాధారణ బహుభుజులకు సౌష్ఠవ రేఖలు

బహుభుజి అనేది అనేక రేఖా ఖండాలతో తయారు చేయబడిన మూసివేయబడిన ఆకృతి అని మీకు తెలుసు. అతి తక్కువ సంఖ్యలో రేఖా ఖండాలతో తయారు చేయబడిన బహుభుజి త్రిభుజం. (మీరు ఇంకా తక్కువ రేఖా ఖండాలతో గీయగలిగే బహుభుజి ఉండగలదా? దాని గురించి ఆలోచించండి).

ఒక బహుభుజి యొక్క అన్ని భుజాలు సమాన పొడవు కలిగి మరియు దాని అన్ని కోణాలు సమాన కొలత కలిగి ఉంటే దానిని సాధారణ బహుభుజి అంటారు. అందువలన, ఒక సమబాహు త్రిభుజం మూడు భుజాల సాధారణ బహుభుజి. మీరు నాలుగు భుజాల సాధారణ బహుభుజి పేరు చెప్పగలరా?

ఒక సమబాహు త్రిభుజం యొక్క ప్రతి భుజం ఒకే పొడవు కలిగి మరియు దాని ప్రతి కోణం $60^{\circ}$ కొలుస్తుంది కాబట్టి అది సాధారణమైనది (Fig 12.2).

Fig 12.2

ఒక చతురస్రం యొక్క అన్ని భుజాలు సమాన పొడవు కలిగి మరియు దాని ప్రతి కోణం లంబకోణం (అంటే, $90^{\circ}$ ) కాబట్టి అది కూడా సాధారణమైనది. దాని కర్ణాలు ఒకదానికొకటి లంబ సమద్విఖండన రేఖలుగా కనిపిస్తాయి (Fig 12.3).

Fig 12.3

ఒక పంచభుజి సాధారణమైనది అయితే, సహజంగా, దాని భుజాలు సమాన పొడవు కలిగి ఉండాలి. మీరు తరువాత, దాని ప్రతి కోణం యొక్క కొలత $108^{\circ}$ అని నేర్చుకుంటారు (Fig 12.4).

Fig 12.4

Fig 12.5

ఒక సాధారణ షడ్భుజి దాని అన్ని భుజాలు సమానంగా ఉండి మరియు దాని ప్రతి కోణం $120^{\circ}$ కొలుస్తుంది. మీరు ఈ బొమ్మల గురించి తరువాత మరింత నేర్చుకుంటారు (Fig 12.5).

సాధారణ బహుభుజులు సౌష్ఠవపూర్వకమైన బొమ్మలు మరియు అందువలన వాటి సౌష్ఠవ రేఖలు చాలా ఆసక్తికరంగా ఉంటాయి,

ప్రతి సాధారణ బహుభుజికి దానికి ఉన్న భుజాల సంఖ్యకు సమానమైన సౌష్ఠవ రేఖలు ఉంటాయి [Fig 12.6 (i) - (iv)]. మేము చెప్పేది, వాటికి బహుళ సౌష్ఠవ రేఖలు ఉన్నాయి.

బహుశా, మీరు కాగితం మడత పెట్టడం ద్వారా దీన్ని పరిశోధించడం ఇష్టపడవచ్చు. ముందుకు సాగండి!

రేఖా సౌష్ఠవం యొక్క భావన అద్దం ప్రతిబింబానికి దగ్గరి సంబంధం కలిగి ఉంటుంది. ఒక ఆకారం యొక్క సగం భాగం మరొక సగం భాగం యొక్క అద్దం ప్రతిబింబం అయినప్పుడు దానికి రేఖా సౌష్ఠవం ఉంటుంది (Fig 12.7). ఒక అద్దం రేఖ, అందువలన, సౌష్ఠవ రేఖను దృశ్యమానం చేయడంలో సహాయపడుతుంది (Fig 12.8).

ఆకారం ఒకటే, కానీ మరొక విధంగా!

ఈ పంచింగ్ గేమ్ ఆడండి!

మడత అనేది సౌష్ఠవం యొక్క ఒక రేఖ (లేదా అక్షం). మడచిన కాగితంపై వివిధ ప్రదేశాలలో పంచ్లు మరియు సంబంధిత సౌష్ఠవ రేఖలను అధ్యయనం చేయండి (Fig 12.10).

అభ్యాసం 12.1

1. పంచ్ చేయబడిన రంధ్రాలతో బొమ్మలను కాపీ చేసి, క్రింది వాటికి సౌష్ఠవ అక్షాలను కనుగొనండి:

2. సౌష్ఠవ రేఖ(లు) ఇవ్వబడిన, ఇతర రంధ్రం(లు) కనుగొనండి:

3. క్రింది బొమ్మలలో, అద్దం రేఖ (అంటే, సౌష్ఠవ రేఖ) చుక్కల రేఖగా ఇవ్వబడింది. చుక్కల (అద్దం) రేఖలో ప్రతిబింబం చేస్తూ ప్రతి బొమ్మను పూర్తి చేయండి. (మీరు బహుశా చుక్కల రేఖ వెంట ఒక అద్దాన్ని ఉంచి, ప్రతిబింబం కోసం అద్దంలోకి చూడవచ్చు). మీరు పూర్తి చేసిన బొమ్మ పేరును గుర్తు చేసుకోగలరా?

4. క్రింది బొమ్మలకు ఒకటి కంటే ఎక్కువ సౌష్ఠవ రేఖలు ఉన్నాయి. అటువంటి బొమ్మలకు బహుళ సౌష్ఠవ రేఖలు ఉన్నాయి అని చెప్పబడుతుంది.

క్రింది బొమ్మలలో ప్రతిదానిలో బహుళ సౌష్ఠవ రేఖలు ఉంటే, గుర్తించండి:

5. ఇక్కడ ఇవ్వబడిన బొమ్మను కాపీ చేయండి.

సౌష్ఠవ రేఖగా ఏదైనా ఒక కర్ణాన్ని తీసుకొని, కర్ణం గురించి బొమ్మ సౌష్ఠవంగా ఉండేలా మరికొన్ని చతురస్రాలను షేడ్ చేయండి. అలా చేయడానికి ఒకటి కంటే ఎక్కువ మార్గాలు ఉన్నాయా? బొమ్మ రెండు కర్ణాల గురించి సౌష్ఠవంగా ఉంటుందా?

6. రేఖాచిత్రాన్ని కాపీ చేసి, అద్దం రేఖ(లు) గురించి సౌష్ఠవంగా ఉండేలా ప్రతి ఆకారాన్ని పూర్తి చేయండి:

7. క్రింది బొమ్మలకు సౌష్ఠవ రేఖల సంఖ్యను తెలియజేయండి:

(a) ఒక సమబాహు త్రిభుజం

(b) ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజం

(c) ఒక అసమబాహు త్రిభుజం

(d) ఒక చతురస్రం

(e) ఒక దీర్ఘచతురస్రం

(f) ఒక సమచతుర్భుజం

(g) ఒక సమాంతర చతుర్భుజం

(h) ఒక చతుర్భుజం

(i) ఒక సాధారణ షడ్భుజి

(j) ఒక వృత్తం

8. ఇంగ్లీష్ వర్ణమాలలోని ఏ అక్షరాలు ప్రతిబింబ సౌష్ఠవాన్ని కలిగి ఉన్నాయి (అంటే, అద్దం ప్రతిబింబానికి సంబంధించిన సౌష్ఠవం)

(a) ఒక నిలువు అద్దం

(b) ఒక అడ్డు అద్దం

(c) అడ్డు మరియు నిలువు అద్దాలు రెండూ

9. సౌష్ఠవ రేఖ లేని ఆకారాలకు మూడు ఉదాహరణలు ఇవ్వండి.

10. సౌష్ఠవ రేఖకు మీరు ఇతర పేరు ఏమి ఇవ్వగలరు

(a) ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజం?

(b) ఒక వృత్తం?

12.3 భ్రమణ సౌష్ఠవం

గడియారం యొక్క ముళ్లు చుట్టూ తిరిగినప్పుడు మీరు ఏమి చెప్తారు?

వాటి భ్రమణం అని మీరు చెప్తారు. గడియారం యొక్క ముళ్లు ఒకే దిశలో, ఒక స్థిర బిందువు చుట్టూ, గడియార ముఖం కేంద్రం చుట్టూ తిరుగుతాయి.

గడియారం ముళ్ల కదలిక వంటి భ్రమణం, దక్షిణావర్త భ్రమణం అంటారు; లేకపోతే అది వామావర్త భ్రమణం అని చెప్పబడుతుంది.

పైకప్పు ఫ్యాన్ యొక్క రెక్కల భ్రమణం గురించి మీరు ఏమి చెప్పగలరు? అవి దక్షిణావర్తంగా తిరుగుతాయా లేక వామావర్తంగా తిరుగుతాయా? లేక అవి రెండు విధాలుగా తిరుగుతాయా?

మీరు సైకిల్ చక్రాన్ని తిప్పినట్లయితే, అది తిరుగుతుంది. ఇది రెండు విధాలుగా తిరగగలదు: దక్షిణావర్త మరియు వామావర్త రెండూ. (i) దక్షిణావర్త భ్రమణం మరియు (ii) వామావర్త భ్రమణం కోసం మూడు ఉదాహరణలు ఇవ్వండి.

ఒక వస్తువు తిరిగినప్పుడు, దాని ఆకారం మరియు పరిమాణం మారవు. భ్రమణం ఒక వస్తువును ఒక స్థిర బిందువు చుట్టూ తిప్పుతుంది. ఈ స్థిర బిందువు భ్రమణ కేంద్రం. గడియారం ముళ్ల భ్రమణ కేంద్రం ఏమిటి? దాని గురించి ఆలోచించండి.

Fig 12.11

భ్రమణ సమయంలో తిరిగే కోణాన్ని భ్రమణ కోణం అంటారు. ఒక పూర్తి మలుపు అంటే $360^{\circ}$ భ్రమణం అని మీకు తెలుసు. (i) అర మలుపు? (ii) క్వార్టర్-టర్న్ కోసం భ్రమణ కోణం యొక్క డిగ్రీ కొలత ఏమిటి?

అర మలుపు అంటే $180^{\circ}$ ద్వారా భ్రమణం; క్వార్టర్-టర్న్ అంటే $90^{\circ}$ ద్వారా భ్రమణం.

అది 12 గంటలు అయినప్పుడు, గడియారం యొక్క ముళ్లు కలిసి ఉంటాయి. 3 గంటలకు, నిమిషాల ముల్లు మూడు పూర్తి మలుపులు చేసి ఉంటుంది; కానీ గంటల ముల్లు కేవలం ఒక క్వార్టర్-టర్న్ మాత్రమే చేసి ఉంటుంది. 6 గంటలకు వాటి స్థానాలు గురించి మీరు ఏమి చెప్పగలరు?

మీరు ఎప్పుడైనా కాగితం గాలిమర (విండ్మిల్) తయారు చేసారా? చిత్రంలోని కాగితం గాలిమర సౌష్ఠవంగా కనిపిస్తుంది (Fig 12.11); కానీ మీకు ఏ సౌష్ఠవ రేఖ కనిపించదు. ఏ మడత కూడా మీకు ఏకీభవించే సగాలు ఉండేలా సహాయం చేయదు. అయితే మీరు దానిని స్థిర బిందువు చుట్టూ $90^{\circ}$ తిప్పినట్లయితే, గాలిమర సరిగ్గా అదే విధంగా కనిపిస్తుంది. గాలిమరకు భ్రమణ సౌష్ఠవం ఉంది అని మేము చెప్తాము.

Fig 12.12

ఒక పూర్తి మలుపులో, గాలిమర సరిగ్గా అదే విధంగా కనిపించే నాలుగు స్థానాలు ఖచ్చితంగా ఉన్నాయి (కోణాలు $90^{\circ}$, $180^{\circ}, 270^{\circ}$ మరియు $360^{\circ}$ ద్వారా భ్రమణం చెందినప్పుడు). దీని కారణంగా, దానికి ఆర్డర్ 4 యొక్క భ్రమణ సౌష్ఠవం ఉంది అని మేము చెప్తాము.

భ్రమణ సౌష్ఠవం కోసం ఇక్కడ ఇంకొక ఉదాహరణ ఉంది.

$P$ దాని మూలలలో ఒకటిగా ఉన్న ఒక చతురస్రాన్ని పరిగణించండి (Fig 12.13).

చతురస్రం యొక్క కేంద్రం చుట్టూ మనం క్వార్టర్-టర్న్లను చేద్దాం, దానిని $\mathbf{x}$ గుర్తించండి.

Fig 12.13 (i) ప్రారంభ స్థానం. కేంద్రం చుట్టూ $90^{\circ}$ ద్వారా భ్రమణం Fig 12.13 (ii) కి దారి తీస్తుంది. ఇప్పుడు $P$ యొక్క స్థానాన్ని గమనించండి. మళ్ళీ $90^{\circ}$ ద్వారా తిప్పండి మరియు మీరు Fig 12.13 (iii) ను పొందుతారు. ఈ విధంగా, మీరు నాలుగు క్వార్టర్-టర్న్లను పూర్తి చేసినప్పుడు, చతురస్రం దాని అసలు స్థానానికి చేరుకుంటుంది. ఇది ఇప్పుడు Fig12.13 (i) వలె అదే విధంగా కనిపిస్తుంది. ఇది $P$ తీసుకున్న స్థానాల సహాయంతో చూడవచ్చు.

అందువలన ఒక చతురస్రానికి దాని కేంద్రం చుట్టూ ఆర్డర్ $\mathbf{4}$ యొక్క భ్రమణ సౌష్ఠవం ఉంది. ఈ సందర్భంలో గమనించండి,

(i) భ్రమణ కేంద్రం చతురస్రం యొక్క కేంద్రం.

(ii) భ్రమణ కోణం $90^{\circ}$.

(iii) భ్రమణ దిశ దక్షిణావర్తం.

(iv) భ్రమణ సౌష్ఠవం యొక్క ఆర్డర్ 4.

ప్రయత్నించండి

1. (a) ఇప్పుడు మీరు ఒక సమబాహు త్రిభుజానికి భ్రమణ సౌష్ఠవం యొక్క ఆర్డర్ చెప్పగలరా? (Fig 12.14)

(b) త్రిభుజం దాని కేంద్రం చుట్టూ $120^{\circ}$ తిప్పినప్పుడు, అది సరిగ్గా అదే విధంగా కనిపించే ఎన్ని స్థానాలు ఉన్నాయి?

2. క్రింది ఆకారాలలో ఏవి (Fig 12.15) గుర్తించబడిన బిందువు గురించి భ్రమణ సౌష్ఠవాన్ని కలిగి ఉన్నాయి.

దీన్ని చేయండి

రెండు ఒకేలాంటి సమాంతర చతుర్భుజాలను గీయండి, ఒకటి-ABCD ఒక కాగితం ముక్కపై మరియు మరొకటి A’ B’ C’ D’ ఒక పారదర్శక షీట్పై. వాటి కర్ణాల ఖండన బిందువులను గుర్తించండి, వరుసగా $O$ మరియు $O^{\prime}$ (Fig 12.16). $O$ పై.

సమాంతర చతుర్భుజాలను అలా ఉంచండి $A^{\prime}$ $A, B^{\prime}$ పై ఉంటుంది $B$ పై ఉంటుంది మరియు అలాగే. $O^{\prime}$ అప్పుడు పడిపోతుంది

Fig 12.16

ఆకారాలలో బిందువు $O$ వద్ద ఒక పిన్ను కలపండి.

ఇప్పుడు పారదర్శక ఆకారాన్ని దక్షిణావర్త దిశలో తిప్పండి.

ఒక పూర్తి రౌండ్లో ఆకారాలు ఎన్నిసార్లు ఏకీభవిస్తాయి?

భ్రమణ సౌష్ఠవం యొక్క ఆర్డర్ ఏమిటి?

మనకు పిన్ ఉన్న బిందువు భ్రమణ కేంద్రం. ఇది ఈ సందర్భంలో కర్ణాల ఖండన బిందువు.

ప్రతి వస్తువు ఆర్డర్ 1 యొక్క భ్రమణ సౌష్ఠవాన్ని కలిగి ఉంటుంది, ఎందుకంటే అది $360^{\circ}$ (అంటే, ఒక పూర్తి విప్లవం) భ్రమణం తర్వాత అదే స్థానాన్ని ఆక్రమిస్తుంది. అటువంటి సందర్భాలు మనకు ఆసక్తి కలిగించవు.

మీ చుట్టూ అనేక ఆకారాలు ఉన్నాయి, అవి భ్రమణ సౌష్ఠవాన్ని కలిగి ఉంటాయి (Fig 12.17).

ఉదాహరణకు, మీరు కొన్ని పండ్లను ముక్కలు చేసినప్పుడు, క్రాస్-సెక్షన్లు భ్రమణ సౌష్ఠవం కలిగిన ఆకారాలు. మీరు వాటిని గమనించినప్పుడు ఇది మీకు ఆశ్చర్యం కలిగించవచ్చు [Fig 12.17(i)].

అప్పుడు అనేక రోడ్ సైన్లు ఉన్నాయి, అవి భ్రమణ సౌష్ఠవాన్ని ప్రదర్శిస్తాయి. తరువాత మీరు ఒక బిజీ రోడ్డు వెంట నడిచినప్పుడు, అటువంటి రోడ్ సైన్లను గుర్తించడానికి ప్రయత్నించండి మరియు భ్రమణ సౌష్ఠవం యొక్క ఆర్డర్ గురించి కనుగొనండి [Fig 12.17(ii)].

భ్రమణ సౌష్ఠవం కోసం మరికొన్ని ఉదాహరణలు ఆలోచించండి. ప్రతి సందర్భంలో చర్చించండి:

(i) భ్రమణ కేంద్రం (ii) భ్రమణ కోణం

(iii) భ్రమణ ప్రభావితమయ్యే దిశ మరియు

(iv) భ్రమణ సౌష్ఠవం యొక్క ఆర్డర్.

ప్రయత్నించండి

గుర్తించబడిన బిందువు $\times($ (Fig 12.17) గురించి ఇవ్వబడిన బొమ్మల భ్రమణ సౌష్ఠవం యొక్క ఆర్డర్ ఇవ్వండి.

అభ్యాసం 12.2

1. క్రింది బొమ్మలలో ఏవి ఆర్డర్ 1 కంటే ఎక్కువ భ్రమణ సౌష్ఠవాన్ని కలిగి ఉన్నాయి:

2. ప్రతి బొమ్మకు భ్రమణ సౌష్ఠవం యొక్క ఆర్డర్ ఇవ్వండి:

12.4 రేఖా సౌష్ఠవం మరియు భ్రమణ సౌష్ఠవం

మీరు ఇప్పటివరకు అనేక ఆకారాలు మరియు వాటి సౌష్ఠవాలను గమనిస్తున్నారు. ఇప్పటికే మీరు అర్థం చేసుకున్నారు, కొన్ని ఆకారాలకు కేవలం రేఖా సౌష్ఠవం మాత్రమే ఉంటుంది, కొన్నికి కేవలం భ్రమణ సౌష్ఠవం మాత్రమే ఉంటుంది మరియు కొన్నికి రేఖా సౌష్ఠవం మరియు భ్రమణ సౌష్ఠవం రెండూ ఉంటాయి.

ఉదాహరణకు, చతురస్ర ఆకారాన్ని పరిగణించండి (Fig 12.19).

దానికి ఎన్ని సౌష్ఠవ రేఖలు ఉన్నాయి?

దానికి ఏదైనా భ్రమణ సౌష్ఠవం ఉందా?

‘అవును’ అయితే, భ్రమణ సౌష్ఠవం యొక్క ఆర్డర్ ఏమిటి?

దాని గురించి ఆలోచించండి.

Fig 12.19

వృత్తం అత్యంత పరిపూర్ణ సౌష్ఠవపూర్వకమైన బొమ్మ, ఎందుకంటే దానిని దాని కేంద్రం చుట్టూ ఏ కోణంలోనైనా తిప్పవచ్చు మరియు అదే సమయంలో దానికి అపరిమిత సంఖ్యలో సౌష్ఠవ రేఖలు ఉన్నాయి. ఏదైనా వృత్త నమూనాను గమనించండి. కేంద్రం గుండా వెళ్ళే ప్రతి రేఖ (అ