12.1 تعارف

تناظر ایک اہم ہندسی تصور ہے، جو عام طور پر فطرت میں پایا جاتا ہے اور تقریباً ہر شعبہ سرگرمی میں استعمال ہوتا ہے۔ فنکار، پیشہ ور افراد، کپڑوں یا زیورات کے ڈیزائنر، کار ساز، معمار اور بہت سے دوسرے لوگ تناظر کے تصور سے فائدہ اٹھاتے ہیں۔ شہد کی مکھیوں کے چھتے، پھول، درخت کے پتے، مذہبی علامات، قالین اور رومال ہر جگہ آپ کو متقارن ڈیزائن ملتے ہیں۔

آپ نے اپنی پچھلی کلاس میں لائن سمیٹری کا ‘احساس’ پہلے ہی حاصل کر لیا ہے۔

کسی شکل میں لائن سمیٹری ہوتی ہے، اگر کوئی ایسی لائن موجود ہو جس کے گرد شکل کو موڑا جا سکے تاکہ شکل کے دو حصے ایک دوسرے پر منطبق ہو جائیں۔

آپ ان تصورات کو یاد کرنا پسند کریں گے۔ آپ کی مدد کے لیے یہاں کچھ سرگرمیاں ہیں۔

آپ جو ڈیزائن جمع کرتے ہیں ان میں تناظر کی لکیروں (جنہیں محور بھی کہا جاتا ہے) کی شناخت کرنے کا لطف اٹھائیں۔

آئیے اب ہم تناظر کے بارے میں اپنے خیالات کو مزید مضبوط بنائیں۔ درج ذیل اشکال کا مطالعہ کریں جن میں تناظر کی لکیریں بندھی ہوئی لکیروں سے نشان زد ہیں۔ [شکل 12.1 (i) سے (iv)]

12.2 باقاعدہ کثیرالاضلاع کے لیے تناظر کی لکیریں

آپ جانتے ہیں کہ کثیرالاضلاع کئی لکیری قطعات سے بنی ایک بند شکل ہے۔ سب سے کم تعداد میں لکیری قطعات سے بننے والا کثیرالاضلاع مثلث ہے۔ (کیا کوئی ایسا کثیرالاضلاع ہو سکتا ہے جسے آپ اس سے بھی کم لکیری قطعات کے ساتھ بنا سکتے ہیں؟ اس کے بارے میں سوچیں)۔

ایک کثیرالاضلاع کو باقاعدہ کہا جاتا ہے اگر اس کی تمام اضلاع کی لمبائی برابر ہو اور اس کے تمام زاویے برابر پیمائش کے ہوں۔ اس طرح، ایک مساوی الاضلاع مثلث تین اضلاع کا ایک باقاعدہ کثیرالاضلاع ہے۔ کیا آپ چار اضلاع والے باقاعدہ کثیرالاضلاع کا نام بتا سکتے ہیں؟

ایک مساوی الاضلاع مثلث باقاعدہ ہے کیونکہ اس کی ہر ضلع کی لمبائی یکساں ہے اور اس کے ہر زاویے کی پیمائش $60^{\circ}$ ہے (شکل 12.2)۔

شکل 12.2

ایک مربع بھی باقاعدہ ہے کیونکہ اس کی تمام اضلاع برابر لمبائی کی ہیں اور اس کا ہر زاویہ قائمہ زاویہ ہے (یعنی، $90^{\circ}$ )۔ اس کے اخترن ایک دوسرے کے عمودی ناصف نظر آتے ہیں (شکل 12.3)۔

شکل 12.3

اگر کوئی مخمس باقاعدہ ہے، تو فطری طور پر، اس کی اضلاع کی لمبائی برابر ہونی چاہیے۔ آپ بعد میں سیکھیں گے کہ اس کے ہر زاویے کی پیمائش $108^{\circ}$ ہے (شکل 12.4)۔

شکل 12.4

شکل 12.5

ایک باقاعدہ مسدس کی تمام اضلاع برابر ہوتی ہیں اور اس کے ہر زاویے کی پیمائش $120^{\circ}$ ہوتی ہے۔ آپ ان اشکال کے بارے میں مزید بعد میں سیکھیں گے (شکل 12.5)۔

باقاعدہ کثیرالاضلاع متقارن اشکال ہیں اور اس لیے ان کی تناظر کی لکیریں کافی دلچسپ ہیں،

ہر باقاعدہ کثیرالاضلاع میں تناظر کی اتنی ہی لکیریں ہوتی ہیں جتنی اس کی اضلاع ہوتی ہیں [شکل 12.6 (i) - (iv)]۔ ہم کہتے ہیں کہ ان میں تناظر کی متعدد لکیریں ہوتی ہیں۔

شاید، آپ کاغذ موڑ کر اس کی تحقیق کرنا پسند کریں گے۔ آگے بڑھیں!

لائن سمیٹری کا تصور آئینے کی عکاسی سے گہرا تعلق رکھتا ہے۔ کسی شکل میں لائن سمیٹری ہوتی ہے جب اس کا ایک نصف دوسرے نصف کا آئینہ تصویر ہوتا ہے (شکل 12.7)۔ اس طرح، ایک آئینہ لکیر، تناظر کی ایک لکیر کو تصور کرنے میں مدد کرتی ہے (شکل 12.8)۔

شکل ایک جیسی ہے، لیکن دوسری طرف سے!

اس پنچنگ گیم کو کھیلیں!

تہ تناظر کی ایک لکیر (یا محور) ہے۔ تہ شدہ کاغذ پر مختلف مقامات پر پنچوں اور تناظر کی متعلقہ لکیروں کا مطالعہ کریں (شکل 12.10)۔

مشق 12.1

1. پنچ ہولز والی اشکال کی نقل کریں اور درج ذیل کے لیے تناظر کے محور تلاش کریں:

2. تناظر کی دی گئی لکیر(وں) کو دیکھتے ہوئے، دوسرے سوراخ(وں) کو تلاش کریں:

3. درج ذیل اشکال میں، آئینہ لکیر (یعنی، تناظر کی لکیر) ایک بندھی ہوئی لکیر کے طور پر دی گئی ہے۔ بندھی ہوئی (آئینہ) لکیر میں عکاسی کرتے ہوئے ہر شکل کو مکمل کریں۔ (شاید آپ بندھی ہوئی لکیر کے ساتھ ایک آئینہ رکھیں اور تصویر کے لیے آئینے میں دیکھیں)۔ کیا آپ مکمل ہونے والی شکل کا نام یاد کر پا رہے ہیں؟

4. درج ذیل اشکال میں تناظر کی ایک سے زیادہ لکیریں ہیں۔ ایسی اشکال کو تناظر کی متعدد لکیروں والی کہا جاتا ہے۔

درج ذیل اشکال میں سے ہر ایک میں تناظر کی متعدد لکیریں، اگر کوئی ہوں، کی شناخت کریں:

5. یہاں دی گئی شکل کی نقل کریں۔

کسی ایک اخترن کو تناظر کی لکیر کے طور پر لیں اور شکل کو اخترن کے بارے میں متقارن بنانے کے لیے مزید کچھ مربعات کو رنگ دیں۔ کیا ایسا کرنے کا ایک سے زیادہ طریقہ ہے؟ کیا شکل دونوں اخترنوں کے بارے میں متقارن ہوگی؟

6. خاکہ کی نقل کریں اور ہر شکل کو آئینہ لکیر(وں) کے بارے میں متقارن بنانے کے لیے مکمل کریں:

7. درج ذیل اشکال کے لیے تناظر کی لکیروں کی تعداد بتائیں:

(الف) ایک مساوی الاضلاع مثلث

(ب) ایک متساوی الساقین مثلث

(ج) ایک مختلف الاضلاع مثلث

(د) ایک مربع

(ہ) ایک مستطیل

(و) ایک معین

(ز) ایک متوازی الاضلاع

(ح) ایک چوکور

(ط) ایک باقاعدہ مسدس

(ی) ایک دائرہ

8. انگریزی حروف تہجی کے کون سے حروف میں انعکاسی تناظر (یعنی، آئینے کی عکاسی سے متعلق تناظر) ہوتا ہے:

(الف) ایک عمودی آئینے کے بارے میں

(ب) ایک افقی آئینے کے بارے میں

(ج) دونوں افقی اور عمودی آئینوں کے بارے میں

9. تناظر کی کوئی لکیر نہ رکھنے والی اشکال کی تین مثالیں دیں۔

10. آپ تناظر کی لکیر کو کیا دوسرا نام دے سکتے ہیں:

(الف) ایک متساوی الساقین مثلث کی؟

(ب) ایک دائرے کی؟

12.3 گردشی تناظر

جب گھڑی کے کانٹے گھومتے ہیں تو آپ کیا کہتے ہیں؟

آپ کہتے ہیں کہ وہ گھومتے ہیں۔ گھڑی کے کانٹے صرف ایک سمت میں، ایک مقررہ نقطہ کے گرد، گھڑی کے چہرے کے مرکز کے گرد گھومتے ہیں۔

گردش، جیسے گھڑی کے کانٹوں کی حرکت، گھڑیال گردش کہلاتی ہے؛ ورنہ اسے گھڑیال مخالف گردش کہا جاتا ہے۔

آپ چھت کے پنکھے کے پنکھوں کی گردش کے بارے میں کیا کہہ سکتے ہیں؟ کیا وہ گھڑیال گھومتے ہیں یا گھڑیال مخالف؟ یا وہ دونوں طرف گھومتے ہیں؟

اگر آپ سائیکل کے پہیے کو گھمائیں، تو وہ گھومتا ہے۔ یہ کسی بھی سمت میں گھوم سکتا ہے: گھڑیال اور گھڑیال مخالف دونوں۔ (i) گھڑیال گردش اور (ii) گھڑیال مخالف گردش کے لیے تین تین مثالیں دیں۔

جب کوئی شے گھومتی ہے، تو اس کی شکل اور سائز نہیں بدلتے۔ گردش کسی شے کو ایک مقررہ نقطہ کے گرد گھماتی ہے۔ یہ مقررہ نقطہ گردش کا مرکز ہوتا ہے۔ گھڑی کے کانٹوں کے گردش کا مرکز کیا ہے؟ اس کے بارے میں سوچیں۔

شکل 12.11

گردش کے دوران موڑنے کے زاویے کو گردش کا زاویہ کہتے ہیں۔ آپ جانتے ہیں، ایک مکمل موڑ کا مطلب ہے $360^{\circ}$ کی گردش۔ (i) آدھے موڑ کے لیے گردش کے زاویے کی ڈگری پیمائش کیا ہے؟ (ii) چوتھائی موڑ کے لیے؟

آدھے موڑ کا مطلب ہے $180^{\circ}$ کی گردش؛ چوتھائی موڑ $90^{\circ}$ کی گردش ہے۔

جب 12 بجے ہوتے ہیں، تو گھڑی کے کانٹے ایک ساتھ ہوتے ہیں۔ 3 بجے تک، منٹ والا کانٹہ تین مکمل چکر لگا چکا ہوگا؛ لیکن گھنٹے والا کانٹہ صرف ایک چوتھائی موڑ ہی لگا پائے گا۔ 6 بجے ان کی پوزیشنز کے بارے میں آپ کیا کہہ سکتے ہیں؟

کیا آپ نے کبھی کاغذ کی پون چکی بنائی ہے؟ تصویر میں کاغذ کی پون چکی متقارن نظر آتی ہے (شکل 12.11)؛ لیکن آپ کو تناظر کی کوئی لکیر نہیں ملتی۔ کوئی تہ آپ کو منطبق ہونے والے نصف حصے حاصل کرنے میں مدد نہیں کر سکتی۔ تاہم اگر آپ اسے مقررہ نقطہ کے گرد $90^{\circ}$ گھمائیں، تو پون چکی بالکل ایک جیسی نظر آئے گی۔ ہم کہتے ہیں کہ پون چکی میں گردشی تناظر ہے۔

شکل 12.12

ایک مکمل موڑ میں، بالکل چار پوزیشنیں ہوتی ہیں ($90^{\circ}$, $180^{\circ}, 270^{\circ}$ اور $360^{\circ}$ کے زاویوں سے گردش کرنے پر) جب پون چکی بالکل ایک جیسی نظر آتی ہے۔ اس کی وجہ سے، ہم کہتے ہیں کہ اس میں ترتیب 4 کا گردشی تناظر ہے۔

یہاں گردشی تناظر کی ایک اور مثال ہے۔

ایک مربع پر غور کریں جس کا ایک کونا $P$ ہے (شکل 12.13)۔

آئیے مربع کے مرکز کے گرد چوتھائی موڑ انجام دیں جسے $\mathbf{x}$ سے نشان زد کیا گیا ہے۔

شکل 12.13 (i) ابتدائی پوزیشن ہے۔ مرکز کے گرد $90^{\circ}$ کی گردش شکل 12.13 (ii) کی طرف لے جاتی ہے۔ اب $P$ کی پوزیشن نوٹ کریں۔ دوبارہ $90^{\circ}$ سے گھمائیں اور آپ کو شکل 12.13 (iii) ملتی ہے۔ اس طرح، جب آپ چار چوتھائی موڑ مکمل کرتے ہیں، تو مربع اپنی اصل پوزیشن پر پہنچ جاتا ہے۔ اب یہ شکل 12.13 (i) کی طرح ہی نظر آتا ہے۔ یہ $P$ کی طرف سے لی گئی پوزیشنز کی مدد سے دیکھا جا سکتا ہے۔

اس طرح ایک مربع میں اس کے مرکز کے گرد ترتیب $\mathbf{4}$ کا گردشی تناظر ہوتا ہے۔ نوٹ کریں کہ اس صورت میں،

(i) گردش کا مرکز مربع کا مرکز ہے۔

(ii) گردش کا زاویہ $90^{\circ}$ ہے۔

(iii) گردش کی سمت گھڑیال ہے۔

(iv) گردشی تناظر کی ترتیب 4 ہے۔

کوشش کریں

1. (الف) کیا آپ اب ایک مساوی الاضلاع مثلث کے لیے گردشی تناظر کی ترتیب بتا سکتے ہیں؟ (شکل 12.14)

(ب) ایسی کتنی پوزیشنیں ہیں جن پر مثلث بالکل ایک جیسی نظر آتی ہے، جب اسے اس کے مرکز کے گرد $120^{\circ}$ سے گھمایا جائے؟

2. درج ذیل میں سے کون سی اشکال (شکل 12.15) میں نشان زد نقطہ کے گرد گردشی تناظر ہے۔

یہ کریں

دو یکساں متوازی الاضلاع بنائیں، ایک کاغذ کے ٹکڑے پر ABCD اور دوسرا شفاف شیٹ پر A’ B’ C’ D’۔ ان کے اخترنوں کے تقاطع کے نقاط کو بالترتیب $O$ اور $O^{\prime}$ سے نشان زد کریں (شکل 12.16)۔ $O$ پر۔

متوازی الاضلاعوں کو اس طرح رکھیں کہ $A^{\prime}$ $A, B^{\prime}$ پر پڑے، $B$ پر پڑے اور اسی طرح۔ پھر $O^{\prime}$ پڑتا ہے۔

شکل 12.16

اشکال میں نقطہ $O$ پر ایک پن چبھوئیں۔

اب شفاف شکل کو گھڑیال سمت میں گھمائیں۔

ایک مکمل چکر میں اشکال کتنی بار منطبق ہوتی ہیں؟

گردشی تناظر کی ترتیب کیا ہے؟

جہاں ہمارے پاس پن ہے وہ نقطہ گردش کا مرکز ہے۔ یہ اس صورت میں اخترنوں کا تقاطع نقطہ ہے۔

ہر شے میں ترتیب 1 کا گردشی تناظر ہوتا ہے، کیونکہ یہ $360^{\circ}$ کی گردش (یعنی، ایک مکمل چکر) کے بعد ایک ہی پوزیشن پر قابض ہوتی ہے۔ ایسے معاملات ہمارے لیے دلچسپی کے حامل نہیں ہیں۔

آپ کے اردگرد بہت سی اشکال ہیں، جن میں گردشی تناظر ہوتا ہے (شکل 12.17)۔

مثال کے طور پر، جب آپ کچھ پھلوں کو کاٹتے ہیں، تو کراس سیکشنز گردشی تناظر والی اشکال ہوتی ہیں۔ جب آپ انہیں نوٹس کرتے ہیں تو یہ آپ کو حیران کر سکتا ہے [شکل 12.17(i)]۔

پھر بہت سے روڈ سائنز ہیں جو گردشی تناظر کا مظاہرہ کرتے ہیں۔ اگلی بار جب آپ مصروف سڑک پر چلیں، تو ایسے روڈ سائنز کی شناخت کرنے کی کوشش کریں اور گردشی تناظر کی ترتیب کے بارے میں معلوم کریں [شکل 12.17(ii)]۔

گردشی تناظر کی کچھ اور مثالیں سوچیں۔ ہر صورت میں بحث کریں:

(i) گردش کا مرکز (ii) گردش کا زاویہ

(iii) وہ سمت جس میں گردش متاثر ہوتی ہے اور

(iv) گردشی تناظر کی ترتیب۔

کوشش کریں

دی گئی اشکال (شکل 12.17) میں نشان زد نقطہ $\times($ کے گرد گردشی تناظر کی ترتیب دیں۔

مشق 12.2

1. درج ذیل میں سے کون سی اشکال میں ترتیب 1 سے زیادہ کا گردشی تناظر ہے:

2. ہر شکل کے لیے گردشی تناظر کی ترتیب دیں:

12.4 لائن سمیٹری اور گردشی تناظر

آپ اب تک بہت سی اشکال اور ان کے تناظر کا مشاہدہ کرتے آئے ہیں۔ اب تک آپ سمجھ گئے ہوں گے کہ کچھ اشکال میں صرف لائن سمیٹری ہوتی ہے، کچھ میں صرف گردشی تناظر ہوتا ہے اور کچھ میں دونوں لائن سمیٹری اور گردشی تناظر ہوتا ہے۔

مثال کے طور پر، مربع شکل پر غور کریں (شکل 12.19)۔

اس میں تناظر کی کتنی لکیریں ہیں؟

کیا اس میں کوئی گردشی تناظر ہے؟

اگر ‘ہاں’، تو گردشی تناظر کی ترتیب کیا ہے؟

اس کے بارے میں سوچیں۔

شکل 12.19

دائرہ سب سے کامل متقارن شکل ہے، کیونکہ اسے اس کے مرکز کے گرد کسی بھی زاویے سے گھمایا جا سکتا ہے اور ساتھ ہی اس میں تناظر کی لامحدود تعداد میں لکیریں ہوتی ہیں۔ کسی بھی دائرہ پیٹرن کا مشاہدہ کریں۔ مرکز سے گزرنے والی ہر لکیر (یعنی ہر قطر) (انعکاسی) تناظر کی ایک لکیر بناتی ہے اور اس میں ہر زاویے کے لیے مرکز کے گرد گردشی تناظر ہوتا ہے۔

یہ کریں

انگریزی حروف تہجی کے کچھ حروف میں دلچسپ متقارن ڈھانچے ہوتے ہیں۔ کون سے بڑے حروف میں صرف ایک لائن سمیٹری ہوتی ہے (جیسے $\mathbf{E}$ )؟ کون سے بڑے حروف میں ترتیب 2 کا گردشی تناظر ہوتا ہے (جیسے I)؟

ایسی لائنوں پر سوچنے کی کوشش کر کے، آپ درج ذیل جدول کو پُر کرنے کے قابل ہو جائیں گے:

مشق 12.3

1. ایسی کوئی دو اشکال کے نام بتائیں جن میں لائن سمیٹری اور گردشی تناظر دونوں ہوں۔

2. جہاں ممکن ہو، ایک خاکہ بنائیں:

(i) ایک ایسے مثلث کا جس میں ترتیب 1 سے زیادہ کی لائن اور گردشی دونوں طرح کا تناظر ہو۔

(ii) ایک ایسے مثلث کا جس میں صرف لائن سمیٹری ہو اور ترتیب 1 سے زیادہ کا کوئی گردشی تناظر نہ ہو۔

(iii) ایک ایسے چوکور کا جس میں ترتیب 1 سے زیادہ کا گردشی تناظر ہو لیکن لائن سمیٹری نہ ہو۔

(iv) ایک ایسے چوکور کا جس میں لائن سمیٹری ہو لیکن ترتیب 1 سے زیادہ کا گردشی تناظر نہ ہو۔

3. اگر کسی شکل میں تناظر کی دو یا دو سے زیادہ لکیریں ہوں، تو کیا اس میں ترتیب 1 سے زیادہ کا گردشی تناظر ہونا چاہیے؟

4. خالی جگہیں پُر کریں:

5. ان چوکوروں کے نام بتائیں جن میں ترتیب 1 سے زیادہ کی لائن اور گردشی دونوں طرح کا تناظر ہو۔

6. ایک مرکز کے گرد $60^{\circ}$ گھمانے کے بعد، ایک شکل بالکل اسی طرح نظر آتی ہے جیسے اس کی اصل پوزیشن تھی۔ شکل کے لیے یہ دوسرے کون سے زاویوں پر ہوگا؟

7. کیا ہمارے پاس ترتیب 1 سے زیادہ کا گردشی تناظر ہو سکتا ہے جس کا گردش کا زاویہ ہو:

(i) $45^{\circ}$ ؟

(ii) $17^{\circ}$ ؟

ہم نے کیا بحث کی؟

1. کسی شکل میں لائن سمیٹری ہوتی ہے، اگر کوئی ایسی لائن موجود ہو جس کے گرد شکل کو موڑا جا سکے تاکہ شکل کے دو حصے ایک دوسرے پر منطبق ہو جائیں۔

2. باقاعدہ کثیرالاضلاع میں برابر اضلاع اور برابر زاویے ہوتے ہیں۔ ان میں تناظر کی متعدد (یعنی، ایک سے زیادہ) لکیریں ہوتی ہیں۔

3. ہر باقاعدہ کثیرالاضلاع میں تناظر کی اتنی ہی لکیریں ہوتی ہیں جتنی اس کی اضلاع ہوتی ہیں۔

4. آئینہ عکاسی تناظر کی طرف لے جاتی ہے، جس کے تحت بائیں-دائیں سمت کا خیال رکھنا پڑتا ہے۔

5. گردش کسی شے کو ایک مقررہ نقطہ کے گرد گھماتی ہے۔

یہ مقررہ نقطہ گردش کا مرکز ہوتا ہے۔

جس زاویے سے شے گھومتی ہے وہ گردش کا زاویہ ہوتا ہے۔

آدھے موڑ کا مطلب ہے $180^{\circ}$ کی گردش؛ چوتھائی موڑ کا مطلب ہے $90^{\circ}$ کی گردش۔ گردش گھڑیال یا گھڑیال مخالف ہو سکتی ہے۔

6. اگر، گردش کے بعد، کوئی شے بالکل ایک جیسی نظر آتی ہے، تو ہم کہتے ہیں کہ اس میں گردشی تناظر ہے۔

7. ایک مکمل موڑ ($360^{\circ}$ کا) میں، جتنی بار کوئی شے بالکل ایک جیسی نظر آتی ہے اسے گردشی تناظر کی ترتیب کہتے ہیں۔ مثال کے طور پر، مربع کی تناظر کی ترتیب 4 ہے جبکہ، ایک مساوی الاضلاع مثلث کے لیے، یہ 3 ہے۔

8. کچھ اشکال میں صرف ایک لائن سمیٹری ہوتی ہے، جیسے حرف E؛ کچھ میں صرف گردشی تناظر ہوتا ہے، جیسے حرف $S$؛ اور کچھ میں دونوں طرح کا تناظر ہوتا ہے جیسے حرف $H$۔

تناظر کا مطالعہ اہم ہے کیونکہ اس کا روزمرہ زندگی میں بار بار استعمال ہوتا ہے اور زیادہ اس لیے کہ یہ ہمیں خوبصورت ڈیزائن فراہم کر سکتا ہے۔