৬.১ পৰিচয়

তুমি দেখিছা, এটা ত্ৰিভূজ হৈছে তিনিটা ৰেখাখণ্ডৰে গঠিত এটা সৰল আবদ্ধ বক্ৰ ৰেখা। ইয়াৰ তিনিটা শীৰ্ষবিন্দু, তিনিটা বাহু আৰু তিনিটা কোণ আছে। ইয়াত আছে $\triangle ABC$ (চিত্ৰ ৬.১)। ইয়াৰ আছে

$\text{Sides}:\qquad \overline{AB}, \overline{BC}, \overline{CA}$

$\text{Angles}:\qquad \angle BAC, \angle ABC, \angle BCA$

$\text{Vertices}:\qquad A, B, C$

চিত্ৰ ৬.১

শীৰ্ষবিন্দু A ৰ বিপৰীত বাহুটো হৈছে $BC$। তুমি AB বাহুটোৰ বিপৰীত কোণটো নামকৰণ কৰিব পাৰিবানে? তুমি ত্ৰিভূজবোৰক (i) বাহু (ii) কোণৰ ওপৰত ভিত্তি কৰি শ্ৰেণীভুক্ত কৰিবলৈ জনা।

(i) বাহুৰ ওপৰত ভিত্তি কৰি: বিষমবাহু, সমদ্বিবাহু আৰু সমবাহু ত্ৰিভূজ।

(ii) কোণৰ ওপৰত ভিত্তি কৰি: সূক্ষ্মকোণী, স্থূলকোণী আৰু সমকোণী ত্ৰিভূজ।

ওপৰৰ ত্ৰিভূজাকাৰবোৰৰ কাগজ কাটি মডেল বনোৱা। তোমাৰ মডেলবোৰ বন্ধুবৰ্গৰ মডেলৰ সৈতে তুলনা কৰা আৰু সেইবোৰৰ বিষয়ে আলোচনা কৰা।

চেষ্টা কৰা

১. $\triangle ABC$ ৰ ছয়টা উপাদান (অৰ্থাৎ, ৩টা বাহু আৰু ৩টা কোণ) লিখা।

২. লিখা:

(i) $\triangle PQR$ ৰ শীৰ্ষবিন্দু $Q$ ৰ বিপৰীত বাহু

(ii) $\triangle LMN$ ৰ বাহু $LM$ ৰ বিপৰীত কোণ

(iii) $\triangle RST$ ৰ RT বাহুৰ বিপৰীত শীৰ্ষবিন্দু

৩. চিত্ৰ ৬.২ চোৱা আৰু প্ৰতিটো ত্ৰিভূজক ইয়াৰ

(ক) বাহু

(খ) কোণ

ৰ ওপৰত ভিত্তি কৰি শ্ৰেণীভুক্ত কৰা।

এতিয়া, ত্ৰিভূজৰ বিষয়ে আৰু কিবা এক্সপ্লোৰ কৰিবলৈ চেষ্টা কৰোঁ আহক।

৬.২ ত্ৰিভূজৰ মধ্যমা

এটা ৰেখাখণ্ড দিয়া থাকিলে, তুমি কাগজ ভাঁজ কৰি ইয়াৰ লম্ব সমদ্বিখণ্ডক উলিয়াবলৈ জনা। এডোখৰ কাগজৰ পৰা এটা ত্ৰিভূজ $ABC$ কাটি উলিওৱা (চিত্ৰ ৬.৩)। ইয়াৰ যিকোনো এটা বাহু বিবেচনা কৰা, ধৰা, $\overline{BC}$। কাগজ ভাঁজ কৰি, $\overline{BC}$ ৰ লম্ব সমদ্বিখণ্ডকটো স্থানাংকন কৰা। ভাঁজ কৰা ৰেখাটোৱে $\overline{BC}$ ক $D$ ত, ইয়াৰ মধ্যবিন্দুত, কাটে। $AD$ সংযোগ কৰা।

ৰেখাখণ্ড $A D$, যিয়ে $\overline{BC}$ ৰ মধ্যবিন্দুক ইয়াৰ বিপৰীত শীৰ্ষবিন্দু $A$ লৈ সংযোগ কৰে, তাক ত্ৰিভূজটোৰ মধ্যমা বোলা হয়।

বাহু $\overline{AB}$ আৰু $\overline{CA}$ বিবেচনা কৰা আৰু ত্ৰিভূজটোৰ আৰু দুটা মধ্যমা উলিওৱা।

এটা মধ্যমাই ত্ৰিভূজৰ এটা শীৰ্ষবিন্দুক বিপৰীত বাহুৰ মধ্যবিন্দুলৈ সংযোগ কৰে।

চিন্তা কৰা, আলোচনা কৰা আৰু লিখা

১. এটা ত্ৰিভূজৰ কিমানটা মধ্যমা থাকিব পাৰে?

২. এটা মধ্যমাই সম্পূৰ্ণৰূপে ত্ৰিভূজৰ অভ্যন্তৰত থাকে নেকি? (যদি তুমি ভাবা যে এইটো সত্য নহয়, তেনে এটা ক্ষেত্ৰ দেখুৱাবলৈ এখন চিত্ৰ আঁকা)।

৬.৩ ত্ৰিভূজৰ উচ্চতা

এটা ত্ৰিভূজাকাৰ কাৰ্ডবোৰ্ড ABC বনোৱা। ইয়াক এখন টেবুলৰ ওপৰত থিয় কৰি ৰাখা। ত্ৰিভূজটো কিমান ‘ওখ’? উচ্চতাটো হৈছে শীৰ্ষবিন্দু A (চিত্ৰ ৬.৪ ত) ৰ পৰা ভূমি $\overline{BC}$ লৈৰ দূৰত্ব।

$A$ ৰ পৰা $\overline{BC}$ লৈ, তুমি বহুতো ৰেখাখণ্ডৰ কথা ভাবিব পাৰা (পৰৱৰ্তী চিত্ৰ ৬.৫ চোৱা)। সেইবোৰৰ ভিতৰত কোনটোৱে

উচ্চতাটো দিয়া হয় সেই ৰেখাখণ্ডৰ দ্বাৰা যিয়ে $A$ ৰ পৰা আৰম্ভ হয়, সৰলভাৱে $\overline{BC}$ লৈ নামি আহে, আৰু $\overline{BC}$ ৰ লম্ব হয়। এই ৰেখাখণ্ড $\overline{AL}$ হৈছে ত্ৰিভূজটোৰ উচ্চতা।

এটা উচ্চতাৰ এটা মূৰ ত্ৰিভূজৰ এটা শীৰ্ষবিন্দুত থাকে আৰু আনটো বিপৰীত বাহু ধাৰণ কৰা ৰেখাত থাকে। প্ৰতিটো

চিত্ৰ ৬.৫ শীৰ্ষবিন্দুৰ মাজেৰে, এটা উচ্চতা অংকন কৰিব পাৰি।

চিন্তা কৰা, আলোচনা কৰা আৰু লিখা

১. এটা ত্ৰিভূজৰ কিমানটা উচ্চতা থাকিব পাৰে?

২. তলৰ ত্ৰিভূজবোৰৰ (চিত্ৰ ৬.৬) বাবে A ৰ পৰা $\overline{BC}$ লৈ উচ্চতাৰ অসম্পূৰ্ণ চিত্ৰ আঁকা:

৩. উচ্চতাই সদায় ত্ৰিভূজৰ অভ্যন্তৰত থাকিব নেকি? যদি তুমি ভাবা যে এইটো সদায় সত্য নহ’বও পাৰে, তেনে এটা ক্ষেত্ৰ দেখুৱাবলৈ এটা অসম্পূৰ্ণ চিত্ৰ আঁকা।

৪. তুমি এনে এটা ত্ৰিভূজৰ কথা ভাবিব পাৰানে য’ত ত্ৰিভূজটোৰ দুটা উচ্চতা ইয়াৰ দুটা বাহু?

৫. ত্ৰিভূজ এটাৰ বাবে উচ্চতা আৰু মধ্যমা একে হ’ব পাৰেনে?

(ইংগিত: প্ৰশ্ন নং ৪ আৰু ৫ ৰ বাবে, প্ৰতিটো ধৰণৰ ত্ৰিভূজৰ উচ্চতা আঁকি অনুসন্ধান কৰা)।

ইয়াক কৰা

বহুতো কাট-আউট লোৱা

(i) এটা সমবাহু ত্ৰিভূজ

(ii) এটা সমদ্বিবাহু ত্ৰিভূজ আৰু

(iii) এটা বিষমবাহু ত্ৰিভূজৰ।

ইহঁতৰ উচ্চতা আৰু মধ্যমা উলিওৱা। তুমি ইহঁতৰ বিষয়ে কিবা বিশেষ কথা পোৱানে? ইয়াক তোমাৰ বন্ধুবৰ্গৰ সৈতে আলোচনা কৰা।

অনুশীলনী ৬.১

১. $\Delta PQR, D$ ত $\overline{QR}$ ৰ মধ্যবিন্দু।

$\overline{PM}$ হৈছে _____।

$PD$ হৈছে _____।

$QM=MR$ নেকি?

২. তলৰ বাবে অসম্পূৰ্ণ চিত্ৰ আঁকা:

(ক) $\triangle ABC, BE$ ত এটা মধ্যমা।

(খ) $\triangle PQR, PQ$ ত $PR$ আৰু ত্ৰিভূজটোৰ উচ্চতা।

(গ) $\triangle X Y Z, Y L$ ত ত্ৰিভূজটোৰ বাহিৰত এটা উচ্চতা।

৩. চিত্ৰ আঁকি পৰীক্ষা কৰা যে সমদ্বিবাহু ত্ৰিভূজ এটাৰ মধ্যমা আৰু উচ্চতা একে হ’ব পাৰেনে।

৬.৪ ত্ৰিভূজৰ বহিঃস্থ কোণ আৰু ইয়াৰ ধৰ্ম

ইয়াক কৰা

১. এটা ত্ৰিভূজ $ABC$ আঁকা আৰু ইয়াৰ এটা বাহু, ধৰা BC ক চিত্ৰ ৬.৭ ত দেখুওৱাৰ দৰে আগবঢ়োৱা। বিন্দু $C$ ত গঠিত কোণ ACD লৈ লক্ষ্য কৰা। এই কোণটো $\triangle ABC$ ৰ বাহিৰত অৱস্থিত। আমি ইয়াক $\triangle ABC$ ৰ শীৰ্ষবিন্দু $C$ ত গঠিত এটা বহিঃস্থ কোণ বুলি কওঁ।

স্পষ্টভাৱে $\angle BCA$ হৈছে $\angle ACD$ ৰ সংলগ্ন কোণ। ত্ৰিভূজটোৰ বাকী দুটা কোণ অৰ্থাৎ $\angle A$ আৰু

চিত্ৰ ৬.৭ $\angle B$ ক $\angle ACD$ ৰ দুটা অন্তৰ্বৰ্তী বিপৰীত কোণ বা দুটা দূৰৱৰ্তী অন্তৰ্বৰ্তী কোণ বুলি কোৱা হয়। এতিয়া $\angle A$ আৰু $\angle B$ কাটি উলিওৱা (বা ট্ৰেইচ কপি বনোৱা) আৰু চিত্ৰ ৬.৮ ত দেখুওৱাৰ দৰে ইহঁতক পৰস্পৰৰ সংলগ্নভাৱে ৰাখা।

এই দুটা টুকুৰাই একেলগে সম্পূৰ্ণৰূপে $\angle ACD$ ক আৱৰি পেলায় নেকি?

তুমি ক’ব পাৰানে যে

$m \angle ACD=m \angle A+m \angle B$ ?

২. আগতে কৰাৰ দৰে, এটা ত্ৰিভূজ $ABC$ আঁকা আৰু এটা বহিঃস্থ কোণ ACD গঠন কৰা। এতিয়া এটা প্ৰট্ৰেক্টৰ লৈ $\angle ACD, \angle A$ আৰু $\angle B$ জোখা।

$\angle A+\angle B$ ৰ যোগফল উলিওৱা আৰু ইয়াক $\angle ACD$ ৰ জোখৰ সৈতে তুলনা কৰা। তুমি লক্ষ্য কৰানে যে $\angle ACD$ হৈছে $\angle A+\angle B$ ৰ সমান (বা প্ৰায় সমান, যদি জোখত ত্ৰুটি থাকে)?

চিত্ৰ ৬.৮

তুমি ইহঁতৰ বহিঃস্থ কোণবোৰৰ সৈতে আৰু কেইবাটাও ত্ৰিভূজ আঁকি উল্লেখ কৰা দুয়োটা কাৰ্যকলাপ পুনৰাবৃত্তি কৰিব পাৰা। প্ৰতিবাৰেই, তুমি দেখিবা যে ত্ৰিভূজ এটাৰ বহিঃস্থ কোণটো ইয়াৰ দুটা অন্তৰ্বৰ্তী বিপৰীত কোণৰ যোগফলৰ সমান।

এটা যুক্তিসংগত ধাপে ধাপে যুক্তিৰে এই সত্যক আৰু নিশ্চিত কৰিব পাৰি।

ত্ৰিভূজ এটাৰ বহিঃস্থ কোণটো ইয়াৰ অন্তৰ্বৰ্তী বিপৰীত কোণবোৰৰ যোগফলৰ সমান।

দিয়া আছে: $\triangle ABC$ বিবেচনা কৰা।

$\angle ACD$ হৈছে এটা বহিঃস্থ কোণ।

দেখুৱাবলৈ: $m \angle ACD=m \angle A+m \angle B$

$C$ ৰ মাজেৰে $\overline{CE}$ অংকন কৰা, $\overline{BA}$ ৰ সমান্তৰাল।

চিত্ৰ ৬.৯

ন্যায্যতা

ধাপসমূহ

(ক) $\angle 1=\angle x$

(খ) $\angle 2=\angle y$

(গ) $\angle 1+\angle 2=\angle x+\angle y$

(ঘ) এতিয়া, $\angle x+\angle y=m \angle ACD$

সেয়েহে, $\angle 1+\angle 2=\angle ACD$

কাৰণসমূহ

$\overline{BA} || \overline{CE}$ আৰু $\overline{AC}$ হৈছে এটা ছেদক।

সেয়েহে, একান্তৰ কোণবোৰ সমান হ’ব লাগে।

$\overline{BA} || \overline{CE}$ আৰু $\overline{BD}$ হৈছে এটা ছেদক।

সেয়েহে, অনূৰূপ কোণবোৰ সমান হ’ব লাগে।

চিত্ৰ ৬.৯ ৰ পৰা

ওপৰৰ সম্পৰ্কটো ত্ৰিভূজ এটাৰ বহিঃস্থ কোণ আৰু ইয়াৰ দুটা অন্তৰ্বৰ্তী বিপৰীত কোণৰ মাজত ত্ৰিভূজৰ বহিঃস্থ কোণ ধৰ্ম বুলি উল্লেখ কৰা হয়।

চিন্তা কৰা, আলোচনা কৰা আৰু লিখা

১. ত্ৰিভূজ এটাৰ বাবে বহিঃস্থ কোণবোৰ বহুতো ধৰণেৰে গঠন কৰিব পাৰি। ইয়াৰ ভিতৰত তিনিটা ইয়াত দেখুওৱা হৈছে (চিত্ৰ ৬.১০)

বহিঃস্থ কোণ পোৱাৰ আৰু তিনিটা ধৰণ আছে। সেইবোৰৰ অসম্পূৰ্ণ চিত্ৰ উৎপন্ন কৰিবলৈ চেষ্টা কৰা।

২. ত্ৰিভূজ এটাৰ প্ৰতিটো শীৰ্ষবিন্দুত গঠিত বহিঃস্থ কোণবোৰ সমান নেকি?

৩. ত্ৰিভূজ এটাৰ এটা বহিঃস্থ কোণ আৰু ইয়াৰ সংলগ্ন অন্তৰ্বৰ্তী কোণৰ যোগফলৰ বিষয়ে তুমি কি ক’ব পাৰা?

উদাহৰণ ১ চিত্ৰ ৬.১১ ত কোণ $x$ উলিওৱা।

সমাধান

অন্তৰ্বৰ্তী বিপৰীত কোণবোৰৰ যোগফল $=$ বহিঃস্থ কোণ

$ \begin{aligned} 50^{\circ}+x & =110^{\circ} \\ or \quad x & =60^{\circ} \end{aligned} $

চিত্ৰ ৬.১১

চিন্তা কৰা, আলোচনা কৰা আৰু লিখা

১. প্ৰতিটো অন্তৰ্বৰ্তী বিপৰীত কোণৰ বিষয়ে তুমি কি ক’ব পাৰা, যেতিয়া বহিঃস্থ কোণটো

(i) এটা সমকোণ?

(ii) এটা স্থূলকোণ?

(iii) এটা সূক্ষ্মকোণ?

২. ত্ৰিভূজ এটাৰ বহিঃস্থ কোণটো এটা সৰল কোণ হ’ব পাৰেনে?

চেষ্টা কৰা

১. ত্ৰিভূজ এটাৰ বহিঃস্থ কোণটোৰ জোখ $70^{\circ}$ আৰু ইয়াৰ এটা অন্তৰ্বৰ্তী বিপৰীত কোণৰ জোখ $25^{\circ}$। আনটো অন্তৰ্বৰ্তী বিপৰীত কোণৰ জোখ উলিওৱা।

২. ত্ৰিভূজ এটাৰ বহিঃস্থ কোণ এটাৰ দুটা অন্তৰ্বৰ্তী বিপৰীত কোণ হৈছে $60^{\circ}$ আৰু $80^{\circ}$। বহিঃস্থ কোণটোৰ জোখ উলিওৱা।

৩. এই চিত্ৰত (চিত্ৰ ৬.১২) কিবা ভুল আছে নেকি? মন্তব্য কৰা।

চিত্ৰ ৬.১২

অনুশীলনী ৬.২

১. তলৰ চিত্ৰবোৰত অজ্ঞাত বহিঃস্থ কোণ $x$ ৰ মান উলিওৱা:

২. তলৰ চিত্ৰবোৰত অজ্ঞাত অন্তৰ্বৰ্তী কোণ $x$ ৰ মান উলিওৱা:

৬.৫ ত্ৰিভূজৰ কোণৰ যোগফল ধৰ্ম

ত্ৰিভূজৰ তিনিটা কোণক সংযোগ কৰা এটা উল্লেখযোগ্য ধৰ্ম আছে। তলৰ চাৰিটা কাৰ্যকলাপৰ মাজেৰে তুমি এইটো দেখিবলৈ ওলোৱা।

১. এটা ত্ৰিভূজ আঁকা। তিনিটা কোণ কাটি উলিওৱা। চিত্ৰ ৬.১৩ (i), (ii) ত দেখুওৱাৰ দৰে ইহঁতক পুনৰ সজোৱা। তিনিটা কোণে এতিয়া এটা কোণ গঠন কৰে। এই কোণটো এটা সৰল কোণ আৰু সেয়েহে ইয়াৰ জোখ $180^{\circ}$।

(i)

চিত্ৰ ৬.১৩

সেয়েহে, ত্ৰিভূজ এটাৰ তিনিটা কোণৰ জোখৰ যোগফল হৈছে $180^{\circ}$।

২. একে সত্য তুমি বেলেগ ধৰণেও লক্ষ্য কৰিব পাৰা। যিকোনো ত্ৰিভূজৰ তিনিটা কপি লোৱা, ধৰা $\triangle ABC$ (চিত্ৰ ৬.১৪)।

চিত্ৰ ৬.১৪

চিত্ৰ ৬.১৫ ত দেখুওৱাৰ দৰে ইহঁতক সজোৱা।

$\angle 1+\angle 2+\angle 3$ ৰ বিষয়ে তুমি কি লক্ষ্য কৰা?

(তুমিও ‘বহিঃস্থ কোণ ধৰ্ম’ দেখিবলৈ পোৱানে?)

চিত্ৰ ৬.১৫

৩. কাগজ এডোখৰ লোৱা আৰু এটা ত্ৰিভূজ, ধৰা, $\triangle ABC$ (চিত্ৰ ৬.১৬) কাটি উলিওৱা।

$AM$ ভাঁজ কৰি উচ্চতা $\triangle ABC$ বনোৱা যাতে ই $A$ ৰ মাজেৰে পাৰ হয়।

এতিয়া তিনিটা কোণ ভাঁজ কৰা যাতে তিনিওটা শীৰ্ষবিন্দু A, B আৰু C এ M ত স্পৰ্শ কৰে।

(i)

(ii)

(iii)

চিত্ৰ ৬.১৬

তুমি দেখিবা যে তিনিওটা কোণে একেলগে এটা সৰল কোণ গঠন কৰে। এইটোৱে আকৌ দেখুৱায় যে ত্ৰিভূজ এটাৰ তিনিটা কোণৰ জোখৰ যোগফল হৈছে $180^{\circ}$।

৪. যিকোনো তিনিটা ত্ৰিভূজ, ধৰা $\triangle ABC, \triangle PQR$ আৰু $\triangle XYZ$ তোমাৰ বহীত আঁকা।

তোমাৰ প্ৰট্ৰেক্টৰ ব্যৱহাৰ কৰি আৰু এই ত্ৰিভূজবোৰৰ প্ৰতিটো কোণ জোখা।

তোমাৰ ফলাফলবোৰ তালিকাভুক্ত কৰা

জোখত সামান্য ত্ৰুটিৰ অনুমতি দিলে, তুমি দেখিবা যে শেষ স্তম্ভটোৱে সদায় $180^{\circ}$ (বা প্ৰায় $180^{\circ}$) দিয়ে।

যেতিয়া নিখুঁত সূক্ষ্মতা সম্ভৱ, এইটোৱেও দেখুৱাব যে ত্ৰিভূজ এটাৰ তিনিটা কোণৰ জোখৰ যোগফল হৈছে $180^{\circ}$।

তুমি এতিয়া যুক্তিসংগত যুক্তিৰ মাজেৰে তোমাৰ দাবীৰ আনুষ্ঠানিক ন্যায্যতা দিবলৈ সাজু হৈছা।

বিবৃতি ত্ৰিভূজ এটাৰ তিনিটা কোণৰ মুঠ জোখ হৈছে $180^{\circ}$।

ইয়াক ন্যায্যতা দিবলৈ ত্ৰিভূজৰ বহিঃস্থ কোণ ধৰ্ম ব্যৱহাৰ কৰোঁ আহক।

চিত্ৰ ৬.১৭

দিয়া আছে $\quad \angle 1, \angle 2, \angle 3$ হৈছে $\triangle ABC($ (চিত্ৰ ৬.১৭) ৰ কোণ।

$\angle 4$ হৈছে বহিঃস্থ কোণ যেতিয়া $BC$ ক $D$ লৈ আগবঢ়োৱা হয়।

ন্যায্যতা

$\quad \angle 1+\angle 2=\angle 4$ (বহিঃস্থ কোণ ধৰ্মৰ দ্বাৰা)

$\angle 1+\angle 2+\angle 3=\angle 4+\angle 3$ (উভয় পক্ষত $\angle 3$ যোগ কৰি)

কিন্তু $\angle 4$ আৰু $\angle 3$ এটা ৰৈখিক যোৰ গঠন কৰে সেয়েহে ই হৈছে $180^{\circ}$। সেয়েহে, $\angle 1+\angle 2+\angle 3=180^{\circ}$।

চাওঁ আহক কেনেকৈ আমি এই ধৰ্মক বহুতো ধৰণে ব্যৱহাৰ কৰিব পাৰোঁ।

উদাহৰণ ২ দিয়া চিত্ৰত (চিত্ৰ ৬.১৮) $m \angle$ P উলিওৱা।

সমাধান

ত্ৰিভূজৰ কোণৰ যোগফল ধৰ্মৰ দ্বাৰা,

সেয়েহে

$ m \angle P+47^{\circ}+52^{\circ}=180^{\circ} $

$ \begin{aligned} m \angle P & =180^{\circ}-47^{\circ}-52^{\circ} \\ & =180^{\circ}-99^{\circ}=81^{\circ} \end{aligned} $

চিত্ৰ ৬.১৮

অনুশীলনী ৬.৩

১. তলৰ চিত্ৰবোৰত অজ্ঞাত $x$ ৰ মান উলিওৱা:

২. তলৰ চিত্ৰবোৰত অজ্ঞাত $x$ আৰু $y$ ৰ মান উলিওৱা:

চেষ্টা কৰা

১. ত্ৰিভূজ এটাৰ দুটা কোণ হৈছে $30^{\circ}$ আৰু $80^{\circ}$। তৃতীয় কোণটো উলিওৱা।

২. ত্ৰিভূজ এটাৰ এটা কোণ হৈছে $80^{\circ}$ আৰু আন দুটা কোণ সমান। প্ৰতিটো সমান কোণৰ জোখ উলিওৱা।

৩. ত্ৰিভূজ এটাৰ তিনিটা কোণৰ অনুপাত হৈছে $1: 2: 1$। ত্ৰিভূজটোৰ সকলো কোণ উলিওৱা। ত্ৰিভূজটোক দুটা বেলেগ ধৰণে শ্ৰেণীভুক্ত কৰা।

চিন্তা কৰা, আলোচনা কৰা আৰু লিখা

১. তুমি দুটা সমকোণ থকা ত্ৰিভূজ এটা ল’ব পাৰানে?

২. তুমি দুটা স্থূলকোণ থকা ত্ৰিভূজ এটা ল’ব পাৰানে?

৩. তুমি দুটা সূক্ষ্মকোণ থকা ত্ৰিভূজ এটা ল’ব পাৰানে?

৪. তুমি তিনিওটা কোণ $60^{\circ}$ তকৈ ডাঙৰ হোৱা ত্ৰিভূজ এটা ল’ব পাৰানে?

৫. তুমি তিনিওটা কোণ $60^{\circ}$ ৰ সমান হোৱা ত্ৰিভূজ এটা ল’ব পাৰানে?

৬. তুমি তিনিওটা কোণ $60^{\circ}$ তকৈ সৰু হোৱা ত্ৰিভূজ এটা ল’ব পাৰানে?

৬.৬ দুটা বিশেষ ত্ৰিভূজ : সমবাহু আৰু সমদ্বিবাহু

যি ত্ৰিভূজৰ তিনিওটা বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য সমান, তাক সমবাহু ত্ৰিভূজ বোলা হয়।

সমবাহু ত্ৰিভূজ ABC (চিত্ৰ ৬.১৯) ৰ দুটা কপি লোৱা। ইয়াৰ এটাক স্থিৰ ৰাখা। দ্বিতীয় ত্ৰিভূজটো ইয়াৰ ওপৰত ৰাখা। ই প্ৰথমটোত ঠিক মিলি যায়। যিকোনো ধৰণে ঘূৰাই দিলেও সিহঁত এটাক আনটোৰ সৈতে ঠিক মিলি থাকে। তুমি দেখিবলৈ পাবা নেকি যে যেতিয়া ত্ৰিভূজ এটাৰ তিনিটা বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য সমান হয় তেতিয়া তিনিওটা কোণৰো একে মাপৰ হয়?

আমি এই সিদ্ধান্তত উপনীত হওঁ যে সমবাহু ত্ৰিভূজত:

(i) সকলো বাহুৰ একে দৈৰ্ঘ্য থাকে।

(ii) প্ৰতিটো কোণৰ জোখ $60^{\circ}$।

যি ত্ৰিভূজৰ দুটা বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য সমান, তাক সমদ্বিবাহু ত্ৰিভূজ বোলা হয়।

চিত্ৰ ৬.২০

কাগজ এডোখৰৰ পৰা এটা সমদ্বিবাহু ত্ৰিভূজ XYZ কাটি উলিওৱা, XY=XZ হোৱাকৈ (চিত্ৰ ৬.২০)। ইয়াক ভাঁজ কৰা যাতে $Z$, $Y$ ৰ ওপৰত থাকে। $X$ ৰ মাজেৰে যোৱা ৰেখা $XM$ এতিয়া সমমিতিৰ অক্ষ (যিটো তুমি অধ্যায় ১৪ ত পঢ়িবা)। তুমি দেখিবা যে $\angle Y$ আৰু $\angle Z$ পৰস্পৰৰ ওপৰত ঠিক মিলি যায়। $XY$ আৰু $XZ$ ক সমান বাহু বোলা হয়; $YZ$ ক ভূমি বোলা হয়; $\angle Y$ আৰু $\angle Z$ ক ভূমি কোণ বোলা হয় আৰু এইবোৰো সমান।

সেয়েহে, সমদ্বিবাহু ত্ৰিভূজত:

(i) দুটা বাহুৰ একে দৈৰ্ঘ্য থাকে।

(ii) সমান বাহুবোৰৰ বিপৰীত ভূমি কোণবোৰ সমান।

চেষ্টা কৰা

১. প্ৰতিটো চিত্ৰত x কোণ উলিওৱা:

২. প্ৰতিটো চিত্ৰত $x$ আৰু $y$ কোণ উলিওৱা।

৬.৭ ত্ৰিভূজৰ দুটা বাহুৰ দৈৰ্ঘ্যৰ যোগফল

১. তোমাৰ খেলপথাৰত তিনিটা অসমৰেখীয় স্থান A, B আৰু C চিহ্নিত কৰা। চূণ গুড়ি ব্যৱহাৰ কৰি পথ $AB, BC$ আৰু $AC$ চিহ্নিত কৰা।

তোমাৰ বন্ধুক $A$ ৰ পৰা আৰম্ভ কৰি $C$ লৈ যাবলৈ ক’বা, এই পথবোৰৰ এটা বা ততোধিকৰ বাবে হৈ। তেওঁ, উদাহৰণস্বৰূপে, প্ৰথমে $\overline{AB}$ ৰ বাবে হৈ যাব পাৰে আৰু তাৰ পিছত $\overline{BC}$ ৰ বাবে হৈ $C$ লৈ যাব পাৰে; বা তেওঁ সৰলৰূপে $\overline{AC}$ ৰ বাবে হৈ যাব পাৰে। তেওঁ স্বাভাৱিকতে প্ৰত্যক্ষ পথ $AC$ পছন্দ কৰিব। যদি তেওঁ আন পথটো লয় ($\overline{AB}$ আৰু তাৰ পিছত $\overline{BC}$), তেওঁ বেছি খোজ কাঢ়িব লাগিব। আন কথাত,

চিত্ৰ ৬.২১

$$ \begin{equation*} AB+BC>AC \tag{i} \end{equation*} $$

একেদৰে, যদি কোনোবাই $B$ ৰ পৰা আৰম্ভ কৰি $A$ লৈ যায়, তেওঁ $\overline{BC}$ আৰু $\overline{CA}$ ৰ পথটো নলয় বৰঞ্চ $\overline{BA}$ পছন্দ কৰিব। ইয়াৰ কাৰণ হৈছে

$$ \begin{equation*} BC+CA>AB \tag{ii} \end{equation*} $$

একেধৰণৰ যুক্তিৰে, তুমি দেখিবা যে

$$ \begin{equation*} CA+AB>BC \tag{iii} \end{equation*} $$

এই পৰ্যবেক্ষণবোৰে সূচায় যে ত্ৰিভূজৰ যিকোনো দুটা বাহুৰ দৈৰ্ঘ্যৰ যোগফল তৃতীয় বাহুটোতকৈ ডাঙৰ।

২. বেলেগ দৈৰ্ঘ্যৰ পোন্ধৰডাল সৰু কাঠি (বা ফালি) সংগ্ৰহ কৰা, ধৰা, $6 cm, 7 cm, 8 cm$, $9 cm, \ldots, 20 cm$।

এই কাঠিবোৰৰ যিকোনো তিনিডাল লোৱা আৰু এটা ত্ৰিভূজ গঠন কৰিবলৈ চেষ্টা কৰা। তিনিডাল কাঠিৰ বেলেগ বেলেগ সংযোগ বাছনি কৰি এইটো পুনৰাবৃত্তি কৰা।

ধৰা তুমি প্ৰথমে দৈৰ্ঘ্য $6 cm$ আৰু $12 cm$ ৰ দুডাল কাঠি বাছনি কৰা। তোমাৰ তৃতীয় কাঠিডালৰ দৈৰ্ঘ্য $12-6=6 cm$ তকৈ বেছি আৰু $12+6=18 cm$ তকৈ কম হ’ব লাগিব। এইটো চেষ্টা কৰা আৰু কিয় এইদৰে হয় উলিওৱা।

ত্ৰিভূজ এটা গঠন কৰিবলৈ তোমাক যিকোনো তিনিডাল কাঠিৰ প্ৰয়োজন হ’ব যাতে ইহঁতৰ যিকোনো দুডালৰ দৈৰ্ঘ্যৰ যোগফল সদায় তৃতীয় কাঠিডালৰ দৈৰ্ঘ্যতকৈ ডাঙৰ হয়।

এইটোৱেও সূচায় যে ত্ৰিভূজৰ যিকোনো দুটা বাহুৰ দৈৰ্ঘ্যৰ যোগফল তৃতীয় বাহুটোতকৈ ডাঙৰ।

৩. যিকোনো তিনিটা ত্ৰিভূজ, ধৰা $\triangle ABC, \triangle PQR$ আৰু $\triangle XYZ$ তোমাৰ বহীত আঁকা (চিত্ৰ ৬.২২)।

চিত্ৰ ৬.২২

ইহঁতৰ বাহুবোৰৰ দৈৰ্ঘ্য উলিয়াবলৈ তোমাৰ ৰুলৰ ব্যৱহাৰ কৰা আৰু তাৰ পিছত তোমাৰ ফলাফলবোৰ তলত দিয়া ধৰণে তালিকাভুক্ত কৰা:

এইটোৱেও আমাৰ আগৰ অনুমানক শক্তিশালী কৰে। সেয়েহে, আমি এই সিদ্ধান্তত উপনীত হওঁ যে ত্ৰিভূজৰ যিকোনো দুটা বাহুৰ দৈৰ্ঘ্যৰ যোগফল তৃতীয় বাহুটোৰ দৈৰ্ঘ্যতকৈ ডাঙৰ।

আমি ইয়াও দেখ