৬.১ ভূমিকা

একটি ত্রিভুজ, তুমি দেখেছ, তিনটি রেখাংশ দ্বারা গঠিত একটি সরল বদ্ধ বক্ররেখা। এর তিনটি শীর্ষবিন্দু, তিনটি বাহু এবং তিনটি কোণ আছে। এখানে $\triangle ABC$ (চিত্র ৬.১)। এর আছে

$\text{Sides}:\qquad \overline{AB}, \overline{BC}, \overline{CA}$

$\text{Angles}:\qquad \angle BAC, \angle ABC, \angle BCA$

$\text{Vertices}:\qquad A, B, C$

চিত্র ৬.১

শীর্ষবিন্দু A এর বিপরীত বাহু হল $BC$। তুমি কি AB বাহুর বিপরীত কোণের নাম বলতে পার? তুমি জান কিভাবে ত্রিভুজগুলিকে (i) বাহু (ii) কোণের ভিত্তিতে শ্রেণীবিভাগ করতে হয়।

(i) বাহুর ভিত্তিতে: বিষমবাহু, সমদ্বিবাহু এবং সমবাহু ত্রিভুজ।

(ii) কোণের ভিত্তিতে: সূক্ষ্মকোণী, স্থূলকোণী এবং সমকোণী ত্রিভুজ।

উপরের ত্রিভুজাকার আকৃতিগুলির কাগজ কেটে মডেল তৈরি কর। তোমার মডেলগুলি তোমার বন্ধুদের মডেলের সাথে তুলনা কর এবং সেগুলি নিয়ে আলোচনা কর।

চেষ্টা করো

১. $\triangle ABC$ এর ছয়টি উপাদান (অর্থাৎ, ৩টি বাহু এবং ৩টি কোণ) লেখ।

২. লেখ:

(i) $\triangle PQR$ এর শীর্ষবিন্দু $Q$ এর বিপরীত বাহু

(ii) $\triangle LMN$ এর বাহু $LM$ এর বিপরীত কোণ

(iii) $\triangle RST$ এর RT বাহুর বিপরীত শীর্ষবিন্দু

৩. চিত্র ৬.২ দেখ এবং প্রতিটি ত্রিভুজকে এর ভিত্তিতে শ্রেণীবিভাগ কর

(ক) বাহু

(খ) কোণ

এখন, চল ত্রিভুজ সম্পর্কে আরও কিছু অন্বেষণ করার চেষ্টা করি।

৬.২ একটি ত্রিভুজের মধ্যমা

একটি রেখাংশ দেওয়া থাকলে, তুমি কাগজ ভাঁজ করে এর লম্ব সমদ্বিখণ্ডক কিভাবে বের করতে হয় তা জান। একটি কাগজের টুকরো থেকে একটি ত্রিভুজ $ABC$ কেটে নাও (চিত্র ৬.৩)। এর যেকোনো একটি বাহু বিবেচনা কর, ধরা যাক, $\overline{BC}$। কাগজ ভাঁজ করে, $\overline{BC}$ এর লম্ব সমদ্বিখণ্ডক নির্ণয় কর। ভাঁজ করা রেখা $\overline{BC}$ কে $D$, এর মধ্যবিন্দুতে ছেদ করে। $AD$ যুক্ত কর।

রেখাংশ $A D$, যা $\overline{BC}$ এর মধ্যবিন্দুকে এর বিপরীত শীর্ষবিন্দু $A$ এর সাথে যুক্ত করে, তাকে ত্রিভুজটির একটি মধ্যমা বলে।

$\overline{AB}$ এবং $\overline{CA}$ বাহু দুটি বিবেচনা কর এবং ত্রিভুজটির আরও দুটি মধ্যমা নির্ণয় কর।

একটি মধ্যমা একটি ত্রিভুজের একটি শীর্ষবিন্দুকে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দুর সাথে যুক্ত করে।

চিন্তা কর, আলোচনা কর এবং লেখ

১. একটি ত্রিভুজের কয়টি মধ্যমা থাকতে পারে?

২. একটি মধ্যমা কি সম্পূর্ণরূপে ত্রিভুজের অভ্যন্তরে অবস্থান করে? (যদি তুমি মনে কর এটি সত্য নয়, এমন একটি ক্ষেত্রে দেখানোর জন্য একটি চিত্র অঙ্কন কর)।

৬.৩ একটি ত্রিভুজের উচ্চতা

একটি ত্রিভুজাকার কার্ডবোর্ড ABC তৈরি কর। এটিকে একটি টেবিলের উপর সোজা করে রাখ। ত্রিভুজটি কত ‘উঁচু’? উচ্চতা হল চিত্র ৬.৪ এ শীর্ষবিন্দু A থেকে ভূমি $\overline{BC}$ এর দূরত্ব।

$A$ থেকে $\overline{BC}$, তুমি অনেকগুলি রেখাংশ কল্পনা করতে পার (পরবর্তী চিত্র ৬.৫ দেখ)। তাদের মধ্যে কোনটি

উচ্চতা দেওয়া হয় সেই রেখাংশ দ্বারা যা $A$ থেকে শুরু হয়, সরাসরি $\overline{BC}$ এ নেমে আসে এবং $\overline{BC}$ এর উপর লম্ব হয়। এই রেখাংশ $\overline{AL}$ হল ত্রিভুজটির একটি উচ্চতা।

একটি উচ্চতার একটি প্রান্তবিন্দু ত্রিভুজের একটি শীর্ষবিন্দুতে এবং অপর প্রান্ত বিপরীত বাহু ধারণকারী রেখার উপর অবস্থিত। প্রতিটি

চিত্র ৬.৫ শীর্ষবিন্দুর মাধ্যমে, একটি উচ্চতা অঙ্কন করা যায়।

চিন্তা কর, আলোচনা কর এবং লেখ

১. একটি ত্রিভুজের কয়টি উচ্চতা থাকতে পারে?

২. নিম্নলিখিত ত্রিভুজগুলির জন্য A থেকে $\overline{BC}$ পর্যন্ত উচ্চতার রুক্ষ স্কেচ অঙ্কন কর (চিত্র ৬.৬):

৩. একটি উচ্চতা কি সর্বদা ত্রিভুজের অভ্যন্তরে অবস্থান করবে? যদি তুমি মনে কর এটি সত্য হওয়া আবশ্যক নয়, এমন একটি ক্ষেত্রে দেখানোর জন্য একটি রুক্ষ স্কেচ অঙ্কন কর।

৪. তুমি কি এমন একটি ত্রিভুজ চিন্তা করতে পার যার দুটি উচ্চতা হল এর দুটি বাহু?

৫. একটি ত্রিভুজের জন্য উচ্চতা এবং মধ্যমা কি একই হতে পারে?

(ইঙ্গিত: প্রশ্ন নং ৪ এবং ৫ এর জন্য, প্রতিটি ধরনের ত্রিভুজের উচ্চতা অঙ্কন করে অনুসন্ধান কর)।

এটি কর

নিম্নলিখিতগুলির কয়েকটি কাট-আউট নাও

(i) একটি সমবাহু ত্রিভুজ

(ii) একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ এবং

(iii) একটি বিষমবাহু ত্রিভুজ।

তাদের উচ্চতা এবং মধ্যমা নির্ণয় কর। তুমি কি তাদের সম্পর্কে কিছু বিশেষ কিছু খুঁজে পাচ্ছ? এটি তোমার বন্ধুদের সাথে আলোচনা কর।

অনুশীলনী ৬.১

১. $\Delta PQR, D$ হল $\overline{QR}$ এর মধ্যবিন্দু।

$\overline{PM}$ হল _____।

$PD$ হল _____।

$QM=MR$ কি ?

২. নিম্নলিখিতগুলির জন্য রুক্ষ স্কেচ অঙ্কন কর:

(ক) $\triangle ABC, BE$ এ একটি মধ্যমা।

(খ) $\triangle PQR, PQ$ এ $PR$ এবং হল ত্রিভুজের উচ্চতা।

(গ) $\triangle X Y Z, Y L$ এ হল ত্রিভুজের বাইরে একটি উচ্চতা।

৩. একটি চিত্র অঙ্কন করে যাচাই কর যে একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের মধ্যমা এবং উচ্চতা একই হতে পারে কিনা।

৬.৪ একটি ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ এবং এর ধর্ম

এটি কর

১. একটি ত্রিভুজ $ABC$ অঙ্কন কর এবং এর একটি বাহু, ধরা যাক BC কে চিত্র ৬.৭ এর মত বর্ধিত কর। $C$ বিন্দুতে গঠিত ACD কোণটি লক্ষ্য কর। এই কোণটি $\triangle ABC$ এর বাইরে অবস্থিত। আমরা একে $\triangle ABC$ এর $C$ শীর্ষবিন্দুতে গঠিত একটি বহিঃস্থ কোণ বলি।

স্পষ্টতই $\angle BCA$ হল $\angle ACD$ এর সংলগ্ন কোণ। ত্রিভুজের অবশিষ্ট দুটি কোণ যথা $\angle A$ এবং

চিত্র ৬.৭ $\angle B$ কে $\angle ACD$ এর দুটি অন্তঃস্থ বিপরীত কোণ বা দুটি দূরবর্তী অন্তঃস্থ কোণ বলা হয়। এখন $\angle A$ এবং $\angle B$ কেটে নাও (বা ট্রেস কপি তৈরি কর) এবং সেগুলিকে চিত্র ৬.৮ এর মত পাশাপাশি রাখ।

এই দুটি টুকরা কি একসাথে সম্পূর্ণরূপে $\angle ACD$ কে আবৃত করে?

তুমি কি বলতে পার যে

$m \angle ACD=m \angle A+m \angle B$ ?

২. আগের মত, একটি ত্রিভুজ $ABC$ অঙ্কন কর এবং একটি বহিঃস্থ কোণ ACD গঠন কর। এখন একটি প্রট্র্যাক্টর নিয়ে $\angle ACD, \angle A$ এবং $\angle B$ পরিমাপ কর।

$\angle A+\angle B$ এর যোগফল নির্ণয় কর এবং এটি $\angle ACD$ এর পরিমাপের সাথে তুলনা কর। তুমি কি লক্ষ্য কর যে $\angle ACD$ $\angle A+\angle B$ এর সমান (বা প্রায় সমান, যদি পরিমাপে ত্রুটি থাকে)?

চিত্র ৬.৮

তুমি আরও কিছু ত্রিভুজ তাদের বহিঃস্থ কোণ সহ অঙ্কন করে উল্লিখিত দুটি ক্রিয়াকলাপ পুনরাবৃত্তি করতে পার। প্রতিবার, তুমি দেখবে যে একটি ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ তার দুটি অন্তঃস্থ বিপরীত কোণের যোগফলের সমান।

একটি যৌক্তিক ধাপে ধাপে যুক্তি এই সত্যটিকে আরও নিশ্চিত করতে পারে।

একটি ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ তার অন্তঃস্থ বিপরীত কোণগুলির যোগফলের সমান।

প্রদত্ত: $\triangle ABC$ বিবেচনা কর।

$\angle ACD$ একটি বহিঃস্থ কোণ।

প্রমাণ করতে হবে: $m \angle ACD=m \angle A+m \angle B$

$C$ এর মাধ্যমে $\overline{CE}$ অঙ্কন কর, $\overline{BA}$ এর সমান্তরাল।

চিত্র ৬.৯

ন্যায্যতা

ধাপসমূহ

(ক) $\angle 1=\angle x$

(খ) $\angle 2=\angle y$

(গ) $\angle 1+\angle 2=\angle x+\angle y$

(ঘ) এখন, $\angle x+\angle y=m \angle ACD$

সুতরাং, $\angle 1+\angle 2=\angle ACD$

কারণ

$\overline{BA} || \overline{CE}$ এবং $\overline{AC}$ একটি ছেদক।

অতএব, একান্তর কোণগুলি সমান হওয়া উচিত।

$\overline{BA} || \overline{CE}$ এবং $\overline{BD}$ একটি ছেদক।

অতএব, অনুরূপ কোণগুলি সমান হওয়া উচিত।

চিত্র ৬.৯ থেকে

একটি বহিঃস্থ কোণ এবং তার দুটি অন্তঃস্থ বিপরীত কোণের মধ্যে উপরের সম্পর্কটিকে ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ ধর্ম বলে উল্লেখ করা হয়।

চিন্তা কর, আলোচনা কর এবং লেখ

১. একটি ত্রিভুজের জন্য বহিঃস্থ কোণ অনেকভাবে গঠন করা যায়। তাদের মধ্যে তিনটি এখানে দেখানো হল (চিত্র ৬.১০)

বহিঃস্থ কোণ পাওয়ার আরও তিনটি উপায় আছে। সেই রুক্ষ স্কেচগুলি তৈরি করার চেষ্টা কর।

২. একটি ত্রিভুজের প্রতিটি শীর্ষবিন্দুতে গঠিত বহিঃস্থ কোণগুলি কি সমান?

৩. একটি ত্রিভুজের একটি বহিঃস্থ কোণ এবং তার সংলগ্ন অন্তঃস্থ কোণের যোগফল সম্পর্কে তুমি কি বলতে পার?

উদাহরণ ১ চিত্র ৬.১১ এ কোণ $x$ নির্ণয় কর।

সমাধান

অন্তঃস্থ বিপরীত কোণের যোগফল $=$ বহিঃস্থ কোণ

$ \begin{aligned} 50^{\circ}+x & =110^{\circ} \\ বা \quad x & =60^{\circ} \end{aligned} $

চিত্র ৬.১১

চিন্তা কর, আলোচনা কর এবং লেখ

১. যখন বহিঃস্থ কোণটি হয়

(i) একটি সমকোণ?

(ii) একটি স্থূলকোণ?

(iii) একটি সূক্ষ্মকোণ?

তখন প্রতিটি অন্তঃস্থ বিপরীত কোণ সম্পর্কে তুমি কি বলতে পার?

২. একটি ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ কি একটি সরলকোণ হতে পারে?

চেষ্টা করো

১. একটি ত্রিভুজের একটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাপ $70^{\circ}$ এবং এর একটি অন্তঃস্থ বিপরীত কোণের পরিমাপ $25^{\circ}$। অপর অন্তঃস্থ বিপরীত কোণের পরিমাপ নির্ণয় কর।

২. একটি ত্রিভুজের একটি বহিঃস্থ কোণের দুটি অন্তঃস্থ বিপরীত কোণ হল $60^{\circ}$ এবং $80^{\circ}$। বহিঃস্থ কোণের পরিমাপ নির্ণয় কর।

৩. এই চিত্রটিতে (চিত্র ৬.১২) কি কিছু ভুল আছে? মন্তব্য কর।

চিত্র ৬.১২

অনুশীলনী ৬.২

১. নিম্নলিখিত চিত্রগুলিতে অজানা বহিঃস্থ কোণ $x$ এর মান নির্ণয় কর:

২. নিম্নলিখিত চিত্রগুলিতে অজানা অন্তঃস্থ কোণ $x$ এর মান নির্ণয় কর:

৬.৫ একটি ত্রিভুজের কোণ সমষ্টি ধর্ম

ত্রিভুজের তিনটি কোণকে সংযুক্ত করে একটি উল্লেখযোগ্য ধর্ম আছে। তুমি নিম্নলিখিত চারটি ক্রিয়াকলাপের মাধ্যমে এটি দেখতে যাচ্ছ।

১. একটি ত্রিভুজ অঙ্কন কর। তিনটি কোণ কেটে নাও। সেগুলিকে চিত্র ৬.১৩ (i), (ii) এর মত সাজাও। তিনটি কোণ এখন একটি কোণ গঠন করে। এই কোণটি একটি সরলকোণ এবং তাই এর পরিমাপ $180^{\circ}$।

(i)

চিত্র ৬.১৩

সুতরাং, একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাপের সমষ্টি হল $180^{\circ}$।

২. একই সত্যটি তুমি অন্য উপায়েও পর্যবেক্ষণ করতে পার। যেকোনো ত্রিভুজের তিনটি কপি নাও, ধরা যাক $\triangle ABC$ (চিত্র ৬.১৪)।

চিত্র ৬.১৪

সেগুলিকে চিত্র ৬.১৫ এর মত সাজাও।

$\angle 1+\angle 2+\angle 3$ সম্পর্কে তুমি কি পর্যবেক্ষণ কর?

(তুমি কি ‘বহিঃস্থ কোণ ধর্ম’ ও দেখছ?)

চিত্র ৬.১৫

৩. একটি কাগজের টুকরো নাও এবং একটি ত্রিভুজ কেটে নাও, ধরা যাক, $\triangle ABC$ (চিত্র ৬.১৬)।

$AM$ ভাঁজ করে উচ্চতা $\triangle ABC$ তৈরি কর যাতে এটি $A$ এর মধ্য দিয়ে যায়।

এখন তিনটি কোণা ভাঁজ কর যাতে তিনটি শীর্ষবিন্দু A, B এবং C সবগুলি M এ স্পর্শ করে।

(i)

(ii)

(iii)

চিত্র ৬.১৬

তুমি দেখবে যে তিনটি কোণ একসাথে একটি সরলকোণ গঠন করে। এটি আবার দেখায় যে একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাপের সমষ্টি হল $180^{\circ}$।

৪. তোমার নোটবুকে যেকোনো তিনটি ত্রিভুজ অঙ্কন কর, ধরা যাক $\triangle ABC, \triangle PQR$ এবং $\triangle XYZ$।

তোমার প্রট্র্যাক্টর ব্যবহার করে এই ত্রিভুজগুলির প্রতিটি কোণ পরিমাপ কর।

তোমার ফলাফলগুলি সারণিবদ্ধ কর

পরিমাপে প্রান্তিক ত্রুটি অনুমোদন করে, তুমি দেখবে যে শেষ কলামটি সর্বদা $180^{\circ}$ দেয় (বা প্রায় $180^{\circ}$)।

যখন নিখুঁত সূক্ষ্মতা সম্ভব, এটি এও দেখাবে যে একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাপের সমষ্টি হল $180^{\circ}$।

তুমি এখন যৌক্তিক যুক্তির মাধ্যমে তোমার দাবির একটি আনুষ্ঠানিক ন্যায্যতা দিতে প্রস্তুত।

বিবৃতি একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের মোট পরিমাপ হল $180^{\circ}$।

এটি ন্যায্যতা দিতে চল আমরা একটি ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ ধর্ম ব্যবহার করি।

চিত্র ৬.১৭

প্রদত্ত $\quad \angle 1, \angle 2, \angle 3$ হল $\triangle ABC($ এর কোণ (চিত্র ৬.১৭)।

$\angle 4$ হল বহিঃস্থ কোণ যখন $BC$ কে $D$ পর্যন্ত বর্ধিত করা হয়।

ন্যায্যতা

$\quad \angle 1+\angle 2=\angle 4$ (বহিঃস্থ কোণ ধর্ম দ্বারা)

$\angle 1+\angle 2+\angle 3=\angle 4+\angle 3$ (উভয় পাশে $\angle 3$ যোগ করে)

কিন্তু $\angle 4$ এবং $\angle 3$ একটি রৈখিক যুগল গঠন করে তাই এটি হল $180^{\circ}$। অতএব, $\angle 1+\angle 2+\angle 3=180^{\circ}$।

দেখি কিভাবে আমরা এই ধর্মটি বিভিন্নভাবে ব্যবহার করতে পারি।

উদাহরণ ২ প্রদত্ত চিত্রে (চিত্র ৬.১৮) $m \angle$ P নির্ণয় কর।

সমাধান

একটি ত্রিভুজের কোণ সমষ্টি ধর্ম দ্বারা,

অতএব

$ m \angle P+47^{\circ}+52^{\circ}=180^{\circ} $

$ \begin{aligned} m \angle P & =180^{\circ}-47^{\circ}-52^{\circ} \\ & =180^{\circ}-99^{\circ}=81^{\circ} \end{aligned} $

চিত্র ৬.১৮

অনুশীলনী ৬.৩

১. নিম্নলিখিত চিত্রগুলিতে অজানা $x$ এর মান নির্ণয় কর:

২. নিম্নলিখিত চিত্রগুলিতে অজানা $x$ এবং $y$ এর মান নির্ণয় কর:

চেষ্টা করো

১. একটি ত্রিভুজের দুটি কোণ হল $30^{\circ}$ এবং $80^{\circ}$। তৃতীয় কোণটি নির্ণয় কর।

২. একটি ত্রিভুজের একটি কোণ হল $80^{\circ}$ এবং অপর দুটি কোণ সমান। সমান কোণগুলির প্রতিটির পরিমাপ নির্ণয় কর।

৩. একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত হল $1: 2: 1$। ত্রিভুজটির সবগুলি কোণ নির্ণয় কর। ত্রিভুজটিকে দুটি ভিন্নভাবে শ্রেণীবিভাগ কর।

চিন্তা কর, আলোচনা কর এবং লেখ

১. তুমি কি দুটি সমকোণ বিশিষ্ট একটি ত্রিভুজ পেতে পার?

২. তুমি কি দুটি স্থূলকোণ বিশিষ্ট একটি ত্রিভুজ পেতে পার?

৩. তুমি কি দুটি সূক্ষ্মকোণ বিশিষ্ট একটি ত্রিভুজ পেতে পার?

৪. তুমি কি এমন একটি ত্রিভুজ পেতে পার যার তিনটি কোণই $60^{\circ}$ এর চেয়ে বড়?

৫. তুমি কি এমন একটি ত্রিভুজ পেতে পার যার তিনটি কোণই $60^{\circ}$ এর সমান?

৬. তুমি কি এমন একটি ত্রিভুজ পেতে পার যার তিনটি কোণই $60^{\circ}$ এর চেয়ে ছোট?

৬.৬ দুইটি বিশেষ ত্রিভুজ: সমবাহু এবং সমদ্বিবাহু

একটি ত্রিভুজ যার সবগুলি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান তাকে সমবাহু ত্রিভুজ বলে।

একটি সমবাহু ত্রিভুজ ABC (চিত্র ৬.১৯) এর দুটি কপি নাও। তাদের একটি স্থির রাখ। দ্বিতীয় ত্রিভুজটি তার উপর রাখ। এটি প্রথমটির মধ্যে ঠিক মাপে মিশে যায়। এটিকে যেকোনো ভাবে ঘোরাও এবং তবুও তারা একে অপরের সাথে ঠিক মাপে মিশে যায়। তুমি কি দেখতে পাচ্ছ যে যখন একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান হয় তখন তিনটি কোণের পরিমাপও একই হয়?

আমরা সিদ্ধান্তে পৌঁছাই যে একটি সমবাহু ত্রিভুজে:

(i) সব বাহুর দৈর্ঘ্য সমান।

(ii) প্রতিটি কোণের পরিমাপ $60^{\circ}$।

একটি ত্রিভুজ যার দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান তাকে সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ বলে।

চিত্র ৬.২০

একটি কাগজের টুকরো থেকে একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ XYZ কেটে নাও, যেখানে XY=XZ (চিত্র ৬.২০)। এটিকে এমনভাবে ভাঁজ কর যাতে $Z$ $Y$ এর উপর পড়ে। $X$ এর মধ্য দিয়ে যাওয়া রেখা $XM$ এখন প্রতিসাম্যের অক্ষ (যা তুমি অধ্যায় ১৪ এ পড়বে)। তুমি দেখবে যে $\angle Y$ এবং $\angle Z$ একে অপরের উপর ঠিক মাপে মিশে যায়। $XY$ এবং $XZ$ কে সমান বাহু বলা হয়; $YZ$ কে ভূমি বলা হয়; $\angle Y$ এবং $\angle Z$ কে ভূমিসংলগ্ন কোণ বলা হয় এবং এগুলিও সমান।

সুতরাং, একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে:

(i) দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান।

(ii) সমান বাহুর বিপরীত ভূমিসংলগ্ন কোণগুলি সমান।

চেষ্টা করো

১. প্রতিটি চিত্রে কোণ x নির্ণয় কর:

২. প্রতিটি চিত্রে কোণ $x$ এবং $y$ নির্ণয় কর।

৬.৭ একটি ত্রিভুজের দুটি বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি

১. তোমার খেলার মাঠে তিনটি অসমরেখ বিন্দু A, B এবং C চিহ্নিত কর। চুনের গুঁড়ো দিয়ে পথগুলি $AB, BC$ এবং $AC$ চিহ্নিত কর।

তোমার বন্ধুকে $A$ থেকে শুরু করে $C$ এ পৌঁছাতে বল, এই পথগুলির এক বা একাধিক বরাবর হেঁটে। সে, উদাহরণস্বরূপ, প্রথমে $\overline{AB}$ বরাবর এবং তারপর $\overline{BC}$ বরাবর হেঁটে $C$ এ পৌঁছাতে পারে; অথবা সে সরাসরি $\overline{AC}$ বরাবর হাঁটতে পারে। সে স্বাভাবিকভাবেই সরাসরি পথ $AC$ পছন্দ করবে। যদি সে অন্য পথ নেয় ($\overline{AB}$ এবং তারপর $\overline{BC}$), তাহলে তাকে বেশি হাঁটতে হবে। অন্য কথায়,

চিত্র ৬.২১

$$ \begin{equation*} AB+BC>AC \tag{i} \end{equation*} $$

একইভাবে, যদি কেউ $B$ থেকে শুরু করে $A$ এ যেতে চায়, সে $\overline{BC}$ এবং $\overline{CA}$ রুট নেবে না বরং $\overline{BA}$ পছন্দ করবে। এর কারণ

$$ \begin{equation*} BC+CA>AB \tag{ii} \end{equation*} $$

একই রকম যুক্তি দ্বারা, তুমি দেখবে যে

$$ \begin{equation*} CA+AB>BC \tag{iii} \end{equation*} $$

এই পর্যবেক্ষণগুলি সুপারিশ করে যে একটি ত্রিভুজের যেকোনো দুটি বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্যের চেয়ে বড়।

২. বিভিন্ন দৈর্ঘ্যের পনেরোটি ছোট কাঠি (বা ফালি) সংগ্রহ কর, ধরা যাক, $6 cm, 7 cm, 8 cm$, $9 cm, \ldots, 20 cm$।

এই কাঠিগুলির যেকোনো তিনটি নিয়ে একটি ত্রিভুজ গঠন করার চেষ্টা কর। তিনটি কাঠির বিভিন্ন সমন্বয় বেছে নিয়ে এটি পুনরাবৃত্তি কর।

ধরা যাক তুমি প্রথমে $6 cm$ এবং $12 cm$ দৈর্ঘ্যের দুটি কাঠি বেছে নিলে। তোমার তৃতীয় কাঠিটির দৈর্ঘ্য হতে হবে $12-6=6 cm$ এর চেয়ে বেশি এবং $12+6=18 cm$ এর চেয়ে কম। এটি চেষ্টা কর এবং খুঁজে বের কর কেন এটি তাই।

একটি ত্রিভুজ গঠন করতে তোমার যেকোনো তিনটি কাঠির প্রয়োজন হবে যাতে যেকোনো দুটির দৈর্ঘ্যের সমষ্টি সর্বদা তৃতীয় কাঠির দৈর্ঘ্যের চেয়ে বেশি হয়।

এটিও সুপারিশ করে যে একটি ত্রিভুজের যেকোনো দুটি বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্যের চেয়ে বেশি।

৩. তোমার নোটবুকে যেকোনো তিনটি ত্রিভুজ অঙ্কন কর, ধরা যাক $\triangle ABC, \triangle PQR$ এবং $\triangle XYZ$ (চিত্র ৬.২২)।

চিত্র ৬.২২

তোমার রুলার ব্যবহার করে তাদের বাহুগুলির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর এবং তারপর তোমার ফলাফলগুলি নিম্নরূপ সারণিবদ্ধ কর:

এটিও আমাদের আগের অনুমানকে শক্তিশালী করে। অতএব, আমরা সিদ্ধান্তে পৌঁছাই যে একটি ত্রিভুজের যেকোনো দুটি বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্যের চেয়ে বেশি।

আমরা আরও দেখি যে একটি ত্রিভুজের যেকোনো দুটি বাহুর দৈর্ঘ্যের পার্থক্য তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্যের চেয়ে ছোট।

উদাহরণ ৩ এমন একটি ত্রিভুজ আছে কি যার বাহুগুলির দৈর্ঘ্য $10.2 cm, 5.8 cm$ এবং $4.5 cm$?

সমাধান ধরা যাক এমন একটি ত্রিভুজ সম্ভব। তাহলে যেকোনো দুটি বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্যের চেয়ে বেশি হবে। আসুন এটি পরীক্ষা করি।

$ \begin{matrix} \text{ ৪.৫+৫.৮>১০.২ কি? } & \text{ হ্যাঁ } \\ \text{ ৫.৮+১০.২>৪.৫ কি? } & \text{ হ্যাঁ } \\ \text{ ১০.২+৪.৫>৫.৮ কি? } & \text{ হ্যাঁ } \end{matrix} $

অতএব, ত্রিভুজটি সম্ভব।

উদাহরণ ৪ একটি ত্রিভুজের দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য হল $6 cm$ এবং $8 cm$। তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য কোন দুটি সংখ্যার মধ্যে পড়তে পারে?

সমাধান

আমরা জানি যে একটি ত্রিভুজের দুটি বাহুর সমষ্টি সর্বদা তৃতীয় বাহুর চেয়ে বেশি।

অতএব, তৃতীয় বাহুটি দুটি বাহুর সমষ্টির চেয়ে কম হতে হবে। সুতরাং, তৃতীয় বাহুটি $8+6=14 cm$ এর চেয়ে কম।

বাহুটি দুটি বাহুর পার্থক্যের চেয়ে কম হতে পারে না। সুতরাং, তৃতীয় বাহুটি $8-6=2 cm$ এর চেয়ে বেশি হতে হবে।

তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য হতে পারে ২ এর চেয়ে বেশি এবং $14 cm$ এর চেয়ে কম যেকোনো দৈর্ঘ্য।

অনুশীলনী ৬.৪

১. নিম্নলিখিত বাহুবিশিষ্ট একটি ত্রিভুজ সম্ভব কি? (i) $2 cm, 3 cm, 5 cm$ (ii) $3 cm, 6 cm, 7 cm$ (iii) $6 cm, 3 cm, 2 cm$

২. একটি ত্রিভুজ $PQR$ এর অভ্যন্তরে যেকোনো বিন্দু $O$ নাও। কি

(i) $OP+OQ>PQ$ ?

(ii) $OQ+OR>QR$ ?

(iii) $OR+OP>RP$ ?

৩. $A M$ হল একটি ত্রিভুজ $A B C$ এর একটি মধ্যমা।

$AB+BC+CA>2 AM$ কি ?

(ত্রিভুজগুলির বাহু বিবেচনা কর

$\triangle ABM$ এবং $\triangle AMC$।)

৪. $ABCD$ হল একটি চতুর্ভুজ।

$AB+BC+CD+DA>AC+BD$ কি ?

৫. $A B C D$ হল চতুর্ভুজ। কি

$AB+BC+CD+DA<2(AC+BD)$ ?

৬. একটি ত্রিভুজের দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য হল $12 cm$ এবং $15 cm$। তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য কোন দুটি পরিমাপের মধ্যে পড়া উচিত?

চিন্তা কর, আলোচনা কর এবং লেখ

১. একটি ত্রিভুজের যেকোনো দুটি কোণের সমষ্টি কি সর্বদা তৃতীয় কোণের চেয়ে বেশি?

৬.৮ সমকোণী ত্রিভুজ এবং পিথাগোরাসের ধর্ম

পিথাগোরাস, ষষ্ঠ শতাব্দী খ্রিস্টপূর্বের একজন গ্রিক দার্শনিক, এই বিভাগে দেওয়া সমকোণী ত্রিভুজের একটি খুব গুরুত্বপূর্ণ এবং দরকারী ধর্ম আবিষ্কার করেছিলেন বলে কথিত আছে। ধর্মটি, তাই, তার নামে নামকরণ করা হয়েছে। বাস্তবে, এই ধর্মটি অনেক অন্যান্য দেশের মানুষদেরও জানা ছিল। ভারতীয় গণিতবিদ বৌধায়নও এই ধর্মের একটি সমতুল্য রূপ দিয়েছেন। আমরা এখন পিথাগোরাসের ধর্মটি ব্যাখ্যা করার চেষ্টা করি।

একটি সমকোণী ত্রিভুজে, বাহুগুলির কিছু

চিত্র ৬.২৩ বিশেষ নাম আছে। সমকোণের বিপরীত বাহুটিকে অতিভুজ বলে; অপর দুটি বাহুকে সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব বাহু বলে পরিচিত।

$\triangle ABC$ (চিত্র ৬.২৩) এ, সমকোণটি B তে। সুতরাং, $AC$ হল অতিভুজ। $\overline{AB}$ এবং $\overline{BC}$ হল $\triangle ABC$ এর লম্ব বাহু।

তুমি পছন্দমতো যেকোনো আকারের সমকোণী ত্রিভুজের আটটি অভিন্ন কপি তৈরি কর। উদাহরণস্বরূপ, তুমি একটি সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি কর যার অতিভুজ $a$ একক দীর্ঘ এবং লম্ব বাহুগুলির দৈর্ঘ্য $b$ একক এবং $c$ একক (চিত্র ৬.২৪)।

একটি শীটে দৈর্ঘ্য $b+c$ বিশিষ্ট বাহু সহ দুটি অভিন্ন বর্গ অঙ্কন কর।

চিত্র ৬.২৪

তুমি একটি বর্গে চারটি ত্রিভুজ এবং অপর বর্গে অবশিষ্ট চারটি ত্রিভুজ স্থাপন করবে, নিম্নলিখিত চিত্রে (চিত্র ৬.২৫) দেখানো হয়েছে।

বর্গ A

বর্গ B

চিত্র ৬.২৫

বর্গগুলি অভিন্ন; সন্নিবেশিত আটটি ত্রিভুজও অভিন্ন।

সুতরাং বর্গ $A=$ এর আবরণহীন ক্ষেত্রফল = বর্গ B এর আবরণহীন ক্ষেত্রফল।

অর্থাৎ, বর্গ $A=$ এর অভ্যন্তরীণ বর্গের ক্ষ