6.1 પરિચય

ત્રિકોણ, તમે જોયું છે, એ ત્રણ રેખાખંડોથી બનેલી એક સરળ બંધ વક્ર છે. તેના ત્રણ શિરોબિંદુઓ, ત્રણ બાજુઓ અને ત્રણ ખૂણાઓ હોય છે. અહીં $\triangle ABC$ છે (આકૃતિ 6.1). તેમાં છે

$\text{Sides}:\qquad \overline{AB}, \overline{BC}, \overline{CA}$

$\text{Angles}:\qquad \angle BAC, \angle ABC, \angle BCA$

$\text{Vertices}:\qquad A, B, C$

આકૃતિ 6.1

શિરોબિંદુ A ની સામેની બાજુ $BC$ છે. શું તમે બાજુ AB ની સામેના ખૂણાનું નામ આપી શકો છો? તમે જાણો છો કે ત્રિકોણોને (i) બાજુઓ (ii) ખૂણાઓના આધારે કેવી રીતે વર્ગીકૃત કરવા.

(i) બાજુઓના આધારે: સ્કેલેન, સમદ્વિબાજુ અને સમબાજુ ત્રિકોણ.

(ii) ખૂણાઓના આધારે: લઘુકોણ, વિશાળકોણ અને કાટકોણ ત્રિકોણ.

ઉપરોક્ત ત્રિકોણાકાર આકારોના કાગળ-કાપ મોડલ બનાવો. તમારા મોડલો તમારા મિત્રોના મોડલો સાથે સરખાવો અને તેમના વિશે ચર્ચા કરો.

આ પ્રયાસ કરો

1. $\triangle ABC$ ના છ ઘટકો (એટલે કે, 3 બાજુઓ અને 3 ખૂણાઓ) લખો.

2. લખો:

(i) $\triangle PQR$ ના શિરોબિંદુ $Q$ ની સામેની બાજુ

(ii) $\triangle LMN$ ની બાજુ $LM$ ની સામેનો ખૂણો

(iii) $\triangle RST$ ની બાજુ RT ની સામેનું શિરોબિંદુ

3. આકૃતિ 6.2 જુઓ અને દરેક ત્રિકોણને તેના આધારે વર્ગીકૃત કરો

(a) બાજુઓ

(b) ખૂણાઓ

હવે, ચાલો ત્રિકોણો વિશે કંઈક વધુ શોધવાનો પ્રયાસ કરીએ.

6.2 ત્રિકોણની મધ્યગાઓ

એક રેખાખંડ આપેલ હોય, તો તમે જાણો છો કે કાગળ વાળીને તેનો લંબદ્વિભાજક કેવી રીતે શોધવો. કાગળના ટુકડામાંથી એક ત્રિકોણ $ABC$ કાપો (આકૃતિ 6.3). તેની કોઈ પણ એક બાજુ ધ્યાનમાં લો, ધારો કે, $\overline{BC}$. કાગળ વાળીને, $\overline{BC}$ નો લંબદ્વિભાજક શોધો. વાળેલી ચોટ $\overline{BC}$ ને તેના મધ્યબિંદુ $D$ પર મળે છે. $AD$ જોડો.

રેખાખંડ $A D$, જે $\overline{BC}$ ના મધ્યબિંદુને તેના સામેના શિરોબિંદુ $A$ સાથે જોડે છે, તેને ત્રિકોણની મધ્યગા કહેવાય.

બાજુઓ $\overline{AB}$ અને $\overline{CA}$ ધ્યાનમાં લો અને ત્રિકોણની બીજી બે મધ્યગાઓ શોધો.

મધ્યગા ત્રિકોણના એક શિરોબિંદુને સામેની બાજુના મધ્યબિંદુ સાથે જોડે છે.

વિચારો, ચર્ચા કરો અને લખો

1. એક ત્રિકોણમાં કેટલી મધ્યગાઓ હોઈ શકે?

2. શું મધ્યગા ત્રિકોણના આંતરિક ભાગમાં સંપૂર્ણ રીતે આવેલી હોય છે? (જો તમને લાગે કે આ સાચું નથી, તો આવો કેસ દર્શાવવા માટે આકૃતિ દોરો).

6.3 ત્રિકોણની ઊંચાઈઓ

ત્રિકોણાકાર આકારનો કાર્ડબોર્ડ ABC બનાવો. તેને ટેબલ પર સીધો ઊભો રાખો. ત્રિકોણ કેટલો ‘ઊંચો’ છે? ઊંચાઈ એ શિરોબિંદુ A (આકૃતિ 6.4 માં) થી પાયા $\overline{BC}$ સુધીનું અંતર છે.

$A$ થી $\overline{BC}$ સુધી, તમે ઘણા રેખાખંડોની કલ્પના કરી શકો છો (નીચેની આકૃતિ 6.5 જુઓ). તેમાંથી કયો

ઊંચાઈ એ રેખાખંડ દ્વારા આપવામાં આવે છે જે $A$ થી શરૂ થાય છે, સીધો $\overline{BC}$ પર આવે છે, અને $\overline{BC}$ પર લંબ હોય છે. આ રેખાખંડ $\overline{AL}$ ત્રિકોણની ઊંચાઈ છે.

ઊંચાઈનો એક છેડો ત્રિકોણના શિરોબિંદુ પર હોય છે અને બીજો સામેની બાજુ ધરાવતી રેખા પર હોય છે. દરેક

આકૃતિ 6.5 શિરોબિંદુ દ્વારા, એક ઊંચાઈ દોરી શકાય છે.

વિચારો, ચર્ચા કરો અને લખો

1. એક ત્રિકોણમાં કેટલી ઊંચાઈઓ હોઈ શકે?

2. નીચેના ત્રિકોણો માટે A થી $\overline{BC}$ સુધીની ઊંચાઈઓના રફ રેખાચિત્રો દોરો (આકૃતિ 6.6):

3. શું ઊંચાઈ હંમેશા ત્રિકોણના આંતરિક ભાગમાં આવેલી હોય છે? જો તમને લાગે કે આ સાચું હોવું જરૂરી નથી, તો આવો કેસ દર્શાવવા માટે રફ રેખાચિત્ર દોરો.

4. શું તમે એવા ત્રિકોણની કલ્પના કરી શકો છો જેમાં ત્રિકોણની બે ઊંચાઈઓ તેની બે બાજુઓ હોય?

5. શું ત્રિકોણ માટે ઊંચાઈ અને મધ્યગા સમાન હોઈ શકે?

(સંકેત: પ્રશ્ન નંબર 4 અને 5 માટે, દરેક પ્રકારના ત્રિકોણ માટે ઊંચાઈઓ દોરીને તપાસો).

આ કરો

નીચેના ત્રિકોણોના ઘણા કાપ લો:

(i) સમબાજુ ત્રિકોણ

(ii) સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ અને

(iii) સ્કેલેન ત્રિકોણ.

તેમની ઊંચાઈઓ અને મધ્યગાઓ શોધો. શું તમને તેમના વિશે કંઈ ખાસ જણાય છે? તે તમારા મિત્રો સાથે ચર્ચા કરો.

કસરત 6.1

1. $\Delta PQR, D$ માં $\overline{QR}$ નું મધ્યબિંદુ છે.

$\overline{PM}$ _____ છે.

$PD$ _____ છે.

શું $QM=MR$ ?

2. નીચેના માટે રફ રેખાચિત્રો દોરો:

(a) $\triangle ABC, BE$ માં એક મધ્યગા છે.

(b) $\triangle PQR, PQ$ માં $PR$ અને ત્રિકોણની ઊંચાઈઓ છે.

(c) $\triangle X Y Z, Y L$ માં ત્રિકોણની બહાર એક ઊંચાઈ છે.

3. દોરેલી આકૃતિ દ્વારા ચકાસો કે સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણની મધ્યગા અને ઊંચાઈ સમાન હોઈ શકે છે કે નહીં.

6.4 ત્રિકોણનો બાહ્ય ખૂણો અને તેનો ગુણધર્મ

આ કરો

1. એક ત્રિકોણ $ABC$ દોરો અને તેની એક બાજુ, ધારો કે BC ને આકૃતિ 6.7 માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે લંબાવો. બિંદુ $C$ પર બનેલો ખૂણો ACD જુઓ. આ ખૂણો $\triangle ABC$ ના બાહ્ય ભાગમાં આવેલો છે. આપણે તેને $\triangle ABC$ ના શિરોબિંદુ $C$ પર બનેલો બાહ્ય ખૂણો કહીએ છીએ.

સ્પષ્ટ છે કે $\angle BCA$ એ $\angle ACD$ નો નજીકનો ખૂણો છે. ત્રિકોણના બાકીના બે ખૂણાઓ એટલે કે $\angle A$ અને

આકૃતિ 6.7 $\angle B$ ને $\angle ACD$ ના બે આંતરિક વિરુદ્ધ ખૂણાઓ અથવા બે દૂરના આંતરિક ખૂણાઓ કહેવાય છે. હવે $\angle A$ અને $\angle B$ ના કાપ (અથવા ટ્રેસ નકલો) લો અને તેમને આકૃતિ 6.8 માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે એકબીજાની બાજુમાં મૂકો.

શું આ બે ટુકડાઓ સંપૂર્ણ રીતે $\angle ACD$ ને ઢાંકી દે છે?

શું તમે કહી શકો છો કે

$m \angle ACD=m \angle A+m \angle B$ ?

2. પહેલાની જેમ, એક ત્રિકોણ $ABC$ દોરો અને બાહ્ય ખૂણો ACD બનાવો. હવે પ્રોટ્રેક્ટર લો અને $\angle ACD, \angle A$ અને $\angle B$ ને માપો.

$\angle A+\angle B$ નો સરવાળો શોધો અને તેને $\angle ACD$ ના માપ સાથે સરખાવો. શું તમે જોયું કે $\angle ACD$ એ $\angle A+\angle B$ ની બરાબર (અથવા લગભગ બરાબર, જો માપમાં ભૂલ હોય તો) છે?

આકૃતિ 6.8

તમે કેટલાક વધુ ત્રિકોણો તેમના બાહ્ય ખૂણાઓ સાથે દોરીને ઉલ્લેખિત બે પ્રવૃત્તિઓ પુનરાવર્તિત કરી શકો છો. દરેક વખતે, તમે જોશો કે ત્રિકોણનો બાહ્ય ખૂણો તેના બે આંતરિક વિરુદ્ધ ખૂણાઓના સરવાળા જેટલો હોય છે.

તાર્કિક પગલાવાર દલીલ આ હકીકતની વધુ પુષ્ટિ કરી શકે છે.

ત્રિકોણનો બાહ્ય ખૂણો તેના આંતરિક વિરુદ્ધ ખૂણાઓના સરવાળા જેટલો હોય છે.

આપેલ છે: $\triangle ABC$ ધ્યાનમાં લો.

$\angle ACD$ એક બાહ્ય ખૂણો છે.

બતાવવાનું છે: $m \angle ACD=m \angle A+m \angle B$

$C$ માંથી $\overline{CE}$ દોરો, જે $\overline{BA}$ ને સમાંતર છે.

આકૃતિ 6.9

યથાર્થતા

પગલાં

(a) $\angle 1=\angle x$

(b) $\angle 2=\angle y$

(c) $\angle 1+\angle 2=\angle x+\angle y$

(d) હવે, $\angle x+\angle y=m \angle ACD$

આથી, $\angle 1+\angle 2=\angle ACD$

કારણો

$\overline{BA} || \overline{CE}$ અને $\overline{AC}$ એ છેદક છે.

આથી, એકાંતર ખૂણાઓ સમાન હોવા જોઈએ.

$\overline{BA} || \overline{CE}$ અને $\overline{BD}$ એ છેદક છે.

આથી, સંગત ખૂણાઓ સમાન હોવા જોઈએ.

આકૃતિ 6.9 માંથી

બાહ્ય ખૂણો અને તેના બે આંતરિક વિરુદ્ધ ખૂણાઓ વચ્ચેનો ઉપરોક્ત સંબંધ ત્રિકોણના બાહ્ય ખૂણાના ગુણધર્મ તરીકે ઓળખાય છે.

વિચારો, ચર્ચા કરો અને લખો

1. ત્રિકોણ માટે બાહ્ય ખૂણાઓ ઘણી રીતે બનાવી શકાય છે. તેમાંથી ત્રણ અહીં દર્શાવેલ છે (આકૃતિ 6.10)

બાહ્ય ખૂણાઓ મેળવવાની ત્રણ વધુ રીતો છે. તે રફ રેખાચિત્રો બનાવવાનો પ્રયાસ કરો.

2. શું ત્રિકોણના દરેક શિરોબિંદુ પર બનેલા બાહ્ય ખૂણાઓ સમાન હોય છે?

3. ત્રિકોણના બાહ્ય ખૂણો અને તેના નજીકના આંતરિક ખૂણાના સરવાળા વિશે તમે શું કહી શકો?

ઉદાહરણ 1 આકૃતિ 6.11 માં ખૂણો $x$ શોધો.

ઉકેલ

આંતરિક વિરુદ્ધ ખૂણાઓનો સરવાળો $=$ બાહ્ય ખૂણો

$ \begin{aligned} 50^{\circ}+x & =110^{\circ} \\ or \quad x & =60^{\circ} \end{aligned} $

આકૃતિ 6.11

વિચારો, ચર્ચા કરો અને લખો

1. જ્યારે બાહ્ય ખૂણો હોય ત્યારે તમે દરેક આંતરિક વિરુદ્ધ ખૂણા વિશે શું કહી શકો?

(i) કાટખૂણો?

(ii) વિશાળકોણ?

(iii) લઘુકોણ?

2. શું ત્રિકોણનો બાહ્ય ખૂણો સરળ ખૂણો હોઈ શકે?

આ પ્રયાસ કરો

1. ત્રિકોણનો બાહ્ય ખૂણો $70^{\circ}$ ના માપનો છે અને તેના એક આંતરિક વિરુદ્ધ ખૂણો $25^{\circ}$ ના માપનો છે. બીજા આંતરિક વિરુદ્ધ ખૂણાનું માપ શોધો.

2. ત્રિકોણના બાહ્ય ખૂણાના બે આંતરિક વિરુદ્ધ ખૂણાઓ $60^{\circ}$ અને $80^{\circ}$ છે. બાહ્ય ખૂણાનું માપ શોધો.

3. શું આ રેખાકૃતિમાં કંઈક ખોટું છે (આકૃતિ 6.12)? ટિપ્પણી કરો.

આકૃતિ 6.12

કસરત 6.2

1. નીચેની આકૃતિઓમાં અજ્ઞાત બાહ્ય ખૂણો $x$ ની કિંમત શોધો:

2. નીચેની આકૃતિઓમાં અજ્ઞાત આંતરિક ખૂણો $x$ ની કિંમત શોધો:

6.5 ત્રિકોણનો ખૂણાઓનો સરવાળો ગુણધર્મ

ત્રિકોણના ત્રણ ખૂણાઓને જોડતો એક નોંધપાત્ર ગુણધર્મ છે. તમે આ નીચેની ચાર પ્રવૃત્તિઓ દ્વારા જોવા જઈ રહ્યા છો.

1. એક ત્રિકોણ દોરો. ત્રણ ખૂણાઓ કાપો. તેમને આકૃતિ 6.13 (i), (ii) માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે ગોઠવો. ત્રણ ખૂણાઓ હવે એક ખૂણો બનાવે છે. આ ખૂણો એક સરળ ખૂણો છે અને તેથી તેનું માપ $180^{\circ}$ છે.

(i)

આકૃતિ 6.13

આમ, ત્રિકોણના ત્રણ ખૂણાઓના માપનો સરવાળો $180^{\circ}$ છે.

2. આ જ હકીકત તમે અલગ રીતે પણ જોઈ શકો છો. કોઈ પણ ત્રિકોણ, ધારો કે $\triangle ABC$ ની ત્રણ નકલો લો (આકૃતિ 6.14).

આકૃતિ 6.14

તેમને આકૃતિ 6.15 માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે ગોઠવો.

$\angle 1+\angle 2+\angle 3$ વિશે તમે શું જોયું?

(શું તમે ‘બાહ્ય ખૂણાનો ગુણધર્મ’ પણ જોયો?)

આકૃતિ 6.15

3. કાગળનો ટુકડો લો અને એક ત્રિકોણ, ધારો કે, $\triangle ABC$ કાપો (આકૃતિ 6.16).

$AM$ ને વાળીને ઊંચાઈ $\triangle ABC$ બનાવો જેથી તે $A$ માંથી પસાર થાય.

હવે ત્રણ ખૂણાઓને વાળો જેથી ત્રણેય શિરોબિંદુઓ A, B અને C એ M પર સ્પર્શ કરે.

(i)

(ii)

(iii)

આકૃતિ 6.16

તમે જોશો કે ત્રણેય ખૂણાઓ મળીને એક સરળ ખૂણો બનાવે છે. આ ફરીથી દર્શાવે છે કે ત્રિકોણના ત્રણ ખૂણાઓના માપનો સરવાળો $180^{\circ}$ છે.

4. તમારી નોટબુકમાં કોઈ પણ ત્રણ ત્રિકોણો, ધારો કે $\triangle ABC, \triangle PQR$ અને $\triangle XYZ$ દોરો.

તમારા પ્રોટ્રેક્ટરનો ઉપયોગ કરો અને આ ત્રિકોણોના દરેક ખૂણાને માપો.

તમારા પરિણામો કોષ્ટકમાં લખો

માપમાં સીમાંત ભૂલોને માન્યતા આપતા, તમે જોશો કે છેલ્લો સ્તંભ હંમેશા $180^{\circ}$ આપે છે (અથવા લગભગ $180^{\circ}$ ).

જ્યારે સંપૂર્ણ ચોકસાઈ શક્ય હોય, ત્યારે આ એ પણ દર્શાવશે કે ત્રિકોણના ત્રણ ખૂણાઓના માપનો સરવાળો $180^{\circ}$ છે.

તમે હવે તાર્કિક દલીલ દ્વારા તમારા વિધાનની ઔપચારિક યથાર્થતા આપવા માટે તૈયાર છો.

વિધાન ત્રિકોણના ત્રણ ખૂણાઓનું કુલ માપ $180^{\circ}$ છે.

આને યથાર્થ ઠેરવવા માટે ચાલો ત્રિકોણના બાહ્ય ખૂણાના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીએ.

આકૃતિ 6.17

આપેલ છે $\quad \angle 1, \angle 2, \angle 3$ એ $\triangle ABC($ ના ખૂણાઓ છે (આકૃતિ 6.17).

$\angle 4$ એ બાહ્ય ખૂણો છે જ્યારે $BC$ ને $D$ સુધી લંબાવવામાં આવે છે.

યથાર્થતા

$\quad \angle 1+\angle 2=\angle 4$ (બાહ્ય ખૂણાના ગુણધર્મ દ્વારા)

$\angle 1+\angle 2+\angle 3=\angle 4+\angle 3$ (બંને બાજુઓ પર $\angle 3$ ઉમેરતા)

પરંતુ $\angle 4$ અને $\angle 3$ એક રેખીય જોડી બનાવે છે તેથી તે $180^{\circ}$ છે. આથી, $\angle 1+\angle 2+\angle 3=180^{\circ}$.

ચાલો જોઈએ કે આપણે આ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કેટલી રીતે કરી શકીએ.

ઉદાહરણ 2 આપેલ આકૃતિમાં (આકૃતિ 6.18) $m \angle$ P શોધો.

ઉકેલ

ત્રિકોણના ખૂણાઓના સરવાળાના ગુણધર્મ દ્વારા,

આથી

$ m \angle P+47^{\circ}+52^{\circ}=180^{\circ} $

$ \begin{aligned} m \angle P & =180^{\circ}-47^{\circ}-52^{\circ} \\ & =180^{\circ}-99^{\circ}=81^{\circ} \end{aligned} $

આકૃતિ 6.18

કસરત 6.3

1. નીચેની આકૃતિઓમાં અજ્ઞાત $x$ ની કિંમત શોધો:

2. નીચેની આકૃતિઓમાં અજ્ઞાત $x$ અને $y$ ની કિંમતો શોધો:

આ પ્રયાસ કરો

1. ત્રિકોણના બે ખૂણાઓ $30^{\circ}$ અને $80^{\circ}$ છે. ત્રીજો ખૂણો શોધો.

2. ત્રિકોણનો એક ખૂણો $80^{\circ}$ છે અને બીજા બે ખૂણાઓ સમાન છે. દરેક સમાન ખૂણાનું માપ શોધો.

3. ત્રિકોણના ત્રણ ખૂણાઓનો ગુણોત્તર $1: 2: 1$ છે. ત્રિકોણના બધા ખૂણાઓ શોધો. ત્રિકોણને બે અલગ રીતે વર્ગીકૃત કરો.

વિચારો, ચર્ચા કરો અને લખો

1. શું તમારી પાસે બે કાટખૂણાવાળો ત્રિકોણ હોઈ શકે?

2. શું તમારી પાસે બે વિશાળકોણવાળો ત્રિકોણ હોઈ શકે?

3. શું તમારી પાસે બે લઘુકોણવાળો ત્રિકોણ હોઈ શકે?

4. શું તમારી પાસે એવો ત્રિકોણ હોઈ શકે જેના ત્રણેય ખૂણાઓ $60^{\circ}$ કરતા વધારે હોય?

5. શું તમારી પાસે એવો ત્રિકોણ હોઈ શકે જેના ત્રણેય ખૂણાઓ $60^{\circ}$ બરાબર હોય?

6. શું તમારી પાસે એવો ત્રિકોણ હોઈ શકે જેના ત્રણેય ખૂણાઓ $60^{\circ}$ કરતા ઓછા હોય?

6.6 બે વિશેષ ત્રિકોણો: સમબાજુ અને સમદ્વિબાજુ

જે ત્રિકોણની બધી બાજુઓ સમાન લંબાઈની હોય તેને સમબાજુ ત્રિકોણ કહેવાય.

સમબાજુ ત્રિકોણ ABC (આકૃતિ 6.19) ની બે નકલો લો. તેમાંથી એકને સ્થિર રાખો. બીજો ત્રિકોણ તેના પર મૂકો. તે પહેલા ત્રિકોણમાં બરાબર બેસે છે. તેને કોઈ પણ રીતે ફેરવો અને હજુ પણ તે એકબીજામાં બરાબર બેસે છે. શું તમે જોઈ