6.1 تعارف

آپ نے دیکھا ہے کہ مثلث تین خطی قطعات سے بنی ایک سادہ بند منحنی ہوتی ہے۔ اس کے تین راس، تین اضلاع اور تین زاویے ہوتے ہیں۔ یہاں $\triangle ABC$ ہے (شکل 6.1)۔ اس میں

$\text{Sides}:\qquad \overline{AB}, \overline{BC}, \overline{CA}$

$\text{Angles}:\qquad \angle BAC, \angle ABC, \angle BCA$

$\text{Vertices}:\qquad A, B, C$

شکل 6.1

راس A کے مقابل ضلع $BC$ ہے۔ کیا آپ ضلع AB کے مقابل زاویے کا نام بتا سکتے ہیں؟ آپ جانتے ہیں کہ مثلثوں کو (i) اضلاع (ii) زاویوں کی بنیاد پر کیسے درجہ بندی کیا جاتا ہے۔

(i) اضلاع کی بنیاد پر: مختلف الاضلاع، متساوی الساقین اور متساوی الاضلاع مثلثیں۔

(ii) زاویوں کی بنیاد پر: حادہ الزاویہ، منفرجہ الزاویہ اور قائمہ الزاویہ مثلثیں۔

مذکورہ بالا مثلثی اشکال کے کاغذی ماڈل بنائیں۔ اپنے ماڈلز اپنے دوستوں کے ماڈلز سے موازنہ کریں اور ان پر بات کریں۔

کوشش کریں

1. $\triangle ABC$ کے چھ عناصر (یعنی، 3 اضلاع اور 3 زاویے) لکھیں۔

2. لکھیں:

(i) $\triangle PQR$ کے راس $Q$ کے مقابل ضلع

(ii) $\triangle LMN$ کے ضلع $LM$ کے مقابل زاویہ

(iii) $\triangle RST$ کے ضلع RT کے مقابل راس

3. شکل 6.2 دیکھیں اور ہر مثلث کو اس کی بنیاد پر درجہ بندی کریں

(الف) اضلاع

(ب) زاویے

اب، آئیے مثلثوں کے بارے میں کچھ اور دریافت کرنے کی کوشش کریں۔

6.2 مثلث کے وسطانیے

ایک خطی قطعہ دیا ہو، آپ کاغذ موڑ کر اس کا عمودی منصف کیسے تلاش کرتے ہیں۔ کاغذ کے ایک ٹکڑے سے ایک مثلث $ABC$ کاٹیں (شکل 6.3)۔ اس کے کسی ایک ضلع پر غور کریں، فرض کریں، $\overline{BC}$۔ کاغذ موڑ کر، $\overline{BC}$ کا عمودی منصف معلوم کریں۔ موڑا ہوا تہ $\overline{BC}$ کو اس کے وسطی نقطہ $D$ پر ملتا ہے۔ $AD$ کو ملائیں۔

خطی قطعہ $A D$، جو $\overline{BC}$ کے وسطی نقطہ کو اس کے مقابل راس $A$ سے ملاتا ہے، مثلث کا ایک وسطانیہ کہلاتا ہے۔

اضلاع $\overline{AB}$ اور $\overline{CA}$ پر غور کریں اور مثلث کے دو مزید وسطانیے تلاش کریں۔

ایک وسطانیہ مثلث کے ایک راس کو مقابل ضلع کے وسطی نقطہ سے ملاتا ہے۔

سوچیں، بحث کریں اور لکھیں

1. ایک مثلث کے کتنے وسطانیے ہو سکتے ہیں؟

2. کیا ایک وسطانیہ مثلث کے اندرونی حصے میں مکمل طور پر واقع ہوتا ہے؟ (اگر آپ کو لگتا ہے کہ یہ سچ نہیں ہے، تو ایسا معاملہ دکھانے کے لیے ایک شکل بنائیں)۔

6.3 مثلث کے ارتفاع

کارڈ بورڈ کی ایک مثلثی شکل ABC بنائیں۔ اسے میز پر سیدھا کھڑا کریں۔ مثلث کتنی ‘اونچی’ ہے؟ اونچائی راس A (شکل 6.4 میں) سے قاعدہ $\overline{BC}$ تک کا فاصلہ ہے۔

$A$ سے $\overline{BC}$ تک، آپ بہت سے خطی قطعات کا تصور کر سکتے ہیں (اگلی شکل 6.5 دیکھیں)۔ ان میں سے کون سا

اونچائی وہ خطی قطعہ دیتا ہے جو $A$ سے شروع ہوتا ہے، سیدھا $\overline{BC}$ تک نیچے آتا ہے، اور $\overline{BC}$ پر عمود ہوتا ہے۔ یہ خطی قطعہ $\overline{AL}$ مثلث کا ایک ارتفاع ہے۔

ایک ارتفاع کا ایک سرا مثلث کے ایک راس پر ہوتا ہے اور دوسرا مقابل ضلع پر مشتمل خط پر ہوتا ہے۔ ہر

شکل 6.5 راس سے، ایک ارتفاع کھینچا جا سکتا ہے۔

سوچیں، بحث کریں اور لکھیں

1. ایک مثلث کے کتنے ارتفاع ہو سکتے ہیں؟

2. درج ذیل مثلثوں (شکل 6.6) کے لیے A سے $\overline{BC}$ تک کے ارتفاع کے خاکے بنائیں:

3. کیا ارتفاع ہمیشہ مثلث کے اندرونی حصے میں واقع ہوگا؟ اگر آپ کو لگتا ہے کہ یہ ضروری نہیں ہے، تو ایسا معاملہ دکھانے کے لیے ایک خاکہ بنائیں۔

4. کیا آپ ایسی مثلث کے بارے میں سوچ سکتے ہیں جس میں مثلث کے دو ارتفاع اس کے دو اضلاع ہوں؟

5. کیا ارتفاع اور وسطانیہ ایک مثلث کے لیے ایک ہی ہو سکتے ہیں؟

(اشارہ: سوال نمبر 4 اور 5 کے لیے، ہر قسم کی مثلث کے ارتفاع کھینچ کر تحقیق کریں)۔

یہ کریں

کئی کٹ آؤٹ لیں

(i) ایک متساوی الاضلاع مثلث

(ii) ایک متساوی الساقین مثلث اور

(iii) ایک مختلف الاضلاع مثلث کے۔

ان کے ارتفاع اور وسطانیے تلاش کریں۔ کیا آپ ان کے بارے میں کچھ خاص پاتے ہیں؟ اس پر اپنے دوستوں سے بات کریں۔

مشق 6.1

1. $\Delta PQR, D$ میں $\overline{QR}$ کا وسطی نقطہ ہے۔

$\overline{PM}$ _____ ہے۔

$PD$ _____ ہے۔

کیا $QM=MR$ ہے؟

2. درج ذیل کے لیے خاکے بنائیں:

(الف) $\triangle ABC, BE$ میں ایک وسطانیہ ہے۔

(ب) $\triangle PQR, PQ$ میں $PR$ مثلث کے ارتفاع ہیں۔

(ج) $\triangle X Y Z, Y L$ میں مثلث کے بیرونی حصے میں ایک ارتفاع ہے۔

3. ایک خاکہ بنا کر تصدیق کریں کہ کیا ایک متساوی الساقین مثلث کا وسطانیہ اور ارتفاع ایک ہی ہو سکتے ہیں۔

6.4 مثلث کا بیرونی زاویہ اور اس کی خاصیت

یہ کریں

1. ایک مثلث $ABC$ بنائیں اور اس کے ایک ضلع، فرض کریں BC کو بڑھائیں جیسا کہ شکل 6.7 میں دکھایا گیا ہے۔ نقطہ $C$ پر بننے والے زاویہ ACD کا مشاہدہ کریں۔ یہ زاویہ $\triangle ABC$ کے بیرونی حصے میں واقع ہے۔ ہم اسے راس $C$ پر بننے والی $\triangle ABC$ کا بیرونی زاویہ کہتے ہیں۔

واضح طور پر $\angle BCA$، $\angle ACD$ کا متصل زاویہ ہے۔ مثلث کے باقی دو زاویے یعنی $\angle A$ اور

شکل 6.7 $\angle B$ کو $\angle ACD$ کے دو اندرونی مقابل زاویے یا دو بعید اندرونی زاویے کہتے ہیں۔ اب $\angle A$ اور $\angle B$ کو کاٹیں (یا ان کی نقل بنائیں) اور انہیں ایک دوسرے کے متصل رکھیں جیسا کہ شکل 6.8 میں دکھایا گیا ہے۔

کیا یہ دو ٹکڑے مل کر $\angle ACD$ کو مکمل طور پر ڈھانپتے ہیں؟

کیا آپ کہہ سکتے ہیں کہ

$m \angle ACD=m \angle A+m \angle B$؟

2. پہلے کی طرح، ایک مثلث $ABC$ بنائیں اور ایک بیرونی زاویہ ACD بنائیں۔ اب ایک پروٹریکٹر لیں اور $\angle ACD, \angle A$ اور $\angle B$ ناپیں۔

مجموعہ $\angle A+\angle B$ تلاش کریں اور اس کا موازنہ $\angle ACD$ کی پیمائش سے کریں۔ کیا آپ مشاہدہ کرتے ہیں کہ $\angle ACD$، $\angle A+\angle B$ کے برابر (یا تقریباً برابر، اگر پیمائش میں کوئی غلطی ہو) ہے؟

شکل 6.8

آپ ان دو سرگرمیوں کو کچھ مزید مثلثیں ان کے بیرونی زاویوں کے ساتھ بنا کر دہرا سکتے ہیں۔ ہر بار، آپ پائیں گے کہ مثلث کا بیرونی زاویہ اس کے دو اندرونی مقابل زاویوں کے مجموعے کے برابر ہوتا ہے۔

ایک منطقی قدم بہ قدم دلیل اس حقیقت کی مزید تصدیق کر سکتی ہے۔

ایک مثلث کا بیرونی زاویہ اس کے اندرونی مقابل زاویوں کے مجموعے کے برابر ہوتا ہے۔

دی گئی: $\triangle ABC$ پر غور کریں۔

$\angle ACD$ ایک بیرونی زاویہ ہے۔

دکھانا ہے: $m \angle ACD=m \angle A+m \angle B$

$C$ سے ہو کر، $\overline{CE}$ کھینچیں، جو $\overline{BA}$ کے متوازی ہے۔

شکل 6.9

توجیہ

مراحل

(الف) $\angle 1=\angle x$

(ب) $\angle 2=\angle y$

(ج) $\angle 1+\angle 2=\angle x+\angle y$

(د) اب، $\angle x+\angle y=m \angle ACD$

لہذا، $\angle 1+\angle 2=\angle ACD$

وجوہات

$\overline{BA} || \overline{CE}$ اور $\overline{AC}$ ایک قاطع ہے۔

لہذا، یکے بعد دیگرے زاویے برابر ہونے چاہئیں۔

$\overline{BA} || \overline{CE}$ اور $\overline{BD}$ ایک قاطع ہے۔

لہذا، متناظر زاویے برابر ہونے چاہئیں۔

شکل 6.9 سے

بیرونی زاویہ اور اس کے دو اندرونی مقابل زاویوں کے درمیان مذکورہ بالا تعلق کو مثلث کی بیرونی زاویہ خاصیت کہا جاتا ہے۔

سوچیں، بحث کریں اور لکھیں

1. مثلث کے لیے بیرونی زاویے کئی طریقوں سے بنائے جا سکتے ہیں۔ ان میں سے تین یہاں دکھائے گئے ہیں (شکل 6.10)

بیرونی زاویے حاصل کرنے کے تین اور طریقے ہیں۔ ان کے خاکے بنانے کی کوشش کریں۔

2. کیا مثلث کے ہر راس پر بننے والے بیرونی زاویے برابر ہوتے ہیں؟

3. آپ مثلث کے بیرونی زاویے اور اس کے متصل اندرونی زاویے کے مجموعے کے بارے میں کیا کہہ سکتے ہیں؟

مثال 1 شکل 6.11 میں زاویہ $x$ تلاش کریں۔

حل

اندرونی مقابل زاویوں کا مجموعہ $=$ بیرونی زاویہ

$ \begin{aligned} 50^{\circ}+x & =110^{\circ} \\ or \quad x & =60^{\circ} \end{aligned} $

شکل 6.11

سوچیں، بحث کریں اور لکھیں

1. جب بیرونی زاویہ ہو تو آپ ہر اندرونی مقابل زاویے کے بارے میں کیا کہہ سکتے ہیں؟

(i) ایک قائمہ زاویہ؟

(ii) ایک منفرجہ زاویہ؟

(iii) ایک حادہ زاویہ؟

2. کیا مثلث کا بیرونی زاویہ ایک سیدھا زاویہ ہو سکتا ہے؟

کوشش کریں

1. ایک مثلث کا بیرونی زاویہ $70^{\circ}$ کا ہے اور اس کے ایک اندرونی مقابل زاویے کی پیمائش $25^{\circ}$ ہے۔ دوسرے اندرونی مقابل زاویے کی پیمائش تلاش کریں۔

2. مثلث کے ایک بیرونی زاویے کے دو اندرونی مقابل زاویے $60^{\circ}$ اور $80^{\circ}$ ہیں۔ بیرونی زاویے کی پیمائش تلاش کریں۔

3. کیا اس شکل (شکل 6.12) میں کچھ غلط ہے؟ تبصرہ کریں۔

شکل 6.12

مشق 6.2

1. درج ذیل اشکال میں نامعلوم بیرونی زاویہ $x$ کی قیمت تلاش کریں:

2. درج ذیل اشکال میں نامعلوم اندرونی زاویہ $x$ کی قیمت تلاش کریں:

6.5 مثلث کی زاویہ مجموعی خاصیت

مثلث کے تینوں زاویوں کو جوڑنے والی ایک قابل ذکر خاصیت ہے۔ آپ اسے درج ذیل چار سرگرمیوں کے ذریعے دیکھنے جا رہے ہیں۔

1. ایک مثلث بنائیں۔ تینوں زاویے کاٹیں۔ انہیں دوبارہ ترتیب دیں جیسا کہ شکل 6.13 (i)، (ii) میں دکھایا گیا ہے۔ تینوں زاویے اب ایک زاویہ بناتے ہیں۔ یہ زاویہ ایک سیدھا زاویہ ہے اور اس لیے اس کی پیمائش $180^{\circ}$ ہے۔

(i)

شکل 6.13

اس طرح، مثلث کے تینوں زاویوں کی پیمائشوں کا مجموعہ $180^{\circ}$ ہے۔

2. یہی حقیقت آپ ایک مختلف طریقے سے بھی مشاہدہ کر سکتے ہیں۔ کسی بھی مثلث، فرض کریں $\triangle ABC$ کی تین نقلیں لیں (شکل 6.14)۔

شکل 6.14

انہیں شکل 6.15 کی طرح ترتیب دیں۔

آپ $\angle 1+\angle 2+\angle 3$ کے بارے میں کیا مشاہدہ کرتے ہیں؟

(کیا آپ ‘بیرونی زاویہ خاصیت’ بھی دیکھتے ہیں؟)

شکل 6.15

3. کاغذ کا ایک ٹکڑا لیں اور ایک مثلث، فرض کریں، $\triangle ABC$ کاٹیں (شکل 6.16)۔

ارتفاع $AM$ بنائیں، $\triangle ABC$ کو موڑ کر تاکہ یہ $A$ سے گزرے۔

اب تینوں کونوں کو موڑیں تاکہ تینوں راس A، B اور C، M پر مل جائیں۔

(i)

(ii)

(iii)

شکل 6.16

آپ دیکھتے ہیں کہ تینوں زاویے مل کر ایک سیدھا زاویہ بناتے ہیں۔ یہ پھر سے دکھاتا ہے کہ مثلث کے تینوں زاویوں کی پیمائشوں کا مجموعہ $180^{\circ}$ ہے۔

4. اپنی نوٹ بک میں کوئی تین مثلثیں، فرض کریں $\triangle ABC, \triangle PQR$ اور $\triangle XYZ$ بنائیں۔

اپنا پروٹریکٹر استعمال کریں اور ان مثلثوں کے ہر زاویے کی پیمائش کریں۔

اپنے نتائج کو جدول میں لکھیں

پیمائش میں معمولی غلطیوں کو مدنظر رکھتے ہوئے، آپ دیکھیں گے کہ آخری کالم ہمیشہ $180^{\circ}$ دیتا ہے (یا تقریباً $180^{\circ}$)۔

جب کامل درستگی ممکن ہو، تو یہ بھی دکھائے گا کہ مثلث کے تینوں زاویوں کی پیمائشوں کا مجموعہ $180^{\circ}$ ہے۔

آپ اب منطقی دلیل کے ذریعے اپنے دعوے کی رسمی توجیہ دینے کے لیے تیار ہیں۔

بیان مثلث کے تینوں زاویوں کی کل پیمائش $180^{\circ}$ ہے۔

اس کی توجیہ کے لیے آئیے مثلث کی بیرونی زاویہ خاصیت استعمال کریں۔

شکل 6.17

دی گئی $\quad \angle 1, \angle 2, \angle 3$، $\triangle ABC($ کے زاویے ہیں (شکل 6.17)۔

$\angle 4$ بیرونی زاویہ ہے جب $BC$ کو $D$ تک بڑھایا جاتا ہے۔

توجیہ

$\quad \angle 1+\angle 2=\angle 4$ (بیرونی زاویہ خاصیت سے)

$\angle 1+\angle 2+\angle 3=\angle 4+\angle 3$ (دونوں طرف $\angle 3$ جمع کرنے سے)

لیکن $\angle 4$ اور $\angle 3$ ایک خطی جوڑا بناتے ہیں اس لیے یہ $180^{\circ}$ ہے۔ لہذا، $\angle 1+\angle 2+\angle 3=180^{\circ}$۔

آئیے دیکھیں کہ ہم اس خاصیت کو کئی طریقوں سے کیسے استعمال کر سکتے ہیں۔

مثال 2 دی گئی شکل (شکل 6.18) میں $m \angle$ P تلاش کریں۔

حل

مثلث کی زاویہ مجموعی خاصیت سے،

لہذا

$ m \angle P+47^{\circ}+52^{\circ}=180^{\circ} $

$ \begin{aligned} m \angle P & =180^{\circ}-47^{\circ}-52^{\circ} \\ & =180^{\circ}-99^{\circ}=81^{\circ} \end{aligned} $

شکل 6.18

مشق 6.3

1. درج ذیل اشکال میں نامعلوم $x$ کی قیمت تلاش کریں:

2. درج ذیل اشکال میں نامعلوم $x$ اور $y$ کی قیمتیں تلاش کریں:

کوشش کریں

1. ایک مثلث کے دو زاویے $30^{\circ}$ اور $80^{\circ}$ ہیں۔ تیسرا زاویہ تلاش کریں۔

2. ایک مثلث کا ایک زاویہ $80^{\circ}$ ہے اور دوسرے دو زاویے برابر ہیں۔ ہر برابر زاویے کی پیمائش تلاش کریں۔

3. ایک مثلث کے تینوں زاویے $1: 2: 1$ کے تناسب میں ہیں۔ مثلث کے تمام زاویے تلاش کریں۔ مثلث کو دو مختلف طریقوں سے درجہ بندی کریں۔

سوچیں، بحث کریں اور لکھیں

1. کیا آپ کے پاس دو قائمہ زاویوں والی مثلث ہو سکتی ہے؟

2. کیا آپ کے پاس دو منفرجہ زاویوں والی مثلث ہو سکتی ہے؟

3. کیا آپ کے پاس دو حادہ زاویوں والی مثلث ہو سکتی ہے؟

4. کیا آپ کے پاس ایسی مثلث ہو سکتی ہے جس کے تینوں زاویے $60^{\circ}$ سے زیادہ ہوں؟

5. کیا آپ کے پاس ایسی مثلث ہو سکتی ہے جس کے تینوں زاویے $60^{\circ}$ کے برابر ہوں؟

6. کیا آپ کے پاس ایسی مثلث ہو سکتی ہے جس کے تینوں زاویے $60^{\circ}$ سے کم ہوں؟

6.6 دو خاص مثلثیں: متساوی الاضلاع اور متساوی الساقین

ایسی مثلث جس کے تینوں اضلاع کی لمبائیاں برابر ہوں، متساوی الاضلاع مثلث کہلاتی ہے۔

متساوی الاضلاع مثلث ABC (شکل 6.19) کی دو نقلیں لیں۔ ان میں سے ایک کو مقرر رکھیں۔ دوسری مثلث اس پر رکھیں۔ یہ پہلی میں بالکل فٹ بیٹھتی ہے۔ اسے کسی بھی طرح گھمائیں اور پھر بھی وہ ایک دوسرے میں بالکل فٹ بیٹھتی ہیں۔ کیا آپ دیکھ پا رہے ہیں کہ جب مثلث کے تینوں اضلاع کی لمبائیاں برابر ہوں تو تینوں زاویے بھی ایک ہی سائز کے ہوتے ہیں؟

ہم نتیجہ اخذ کرتے ہیں کہ ایک متساوی الاضلاع مثلث میں:

(i) تمام اضلاع کی لمبائی یکساں ہوتی ہے۔

(ii) ہر زاویے کی پیمائش $60^{\circ}$ ہوتی ہے۔

ایسی مثلث جس کے دو اضلاع کی لمبائیاں برابر ہوں، متساوی الساقین مثلث کہلاتی ہے۔

شکل 6.20

کاغذ کے ایک ٹکڑے سے ایک متساوی الساقین مثلث XYZ کاٹیں، جہاں XY=XZ ہو (شکل 6.20)۔ اسے موڑیں تاکہ $Z$، $Y$ پر آ جائے۔ خط $XM$ جو $X$ سے گزرتا ہے، اب محور تناظر ہے (جسے آپ باب 14 میں پڑھیں گے)۔ آپ دیکھتے ہیں کہ $\angle Y$ اور $\angle Z$ ایک دوسرے پر بالکل فٹ بیٹھتے ہیں۔ $XY$ اور $XZ$ کو برابر اضلاع کہتے ہیں؛ $YZ$ کو قاعدہ کہتے ہیں؛ $\angle Y$ اور $\angle Z$ کو قاعدہ کے زاویے کہتے ہیں اور یہ بھی برابر ہوتے ہیں۔

اس طرح، ایک متساوی الساقین مثلث میں:

(i) دو اضلاع کی لمبائی یکساں ہوتی ہے۔

(ii) برابر اضلاع کے مقابل قاعدہ کے زاویے برابر ہوتے ہیں۔

کوشش کریں

1. ہر شکل میں زاویہ x تلاش کریں:

2. ہر شکل میں زاویے $x$ اور $y$ تلاش کریں۔

6.7 مثلث کے دو اضلاع کی لمبائیوں کا مجموعہ

1. اپنے کھیل کے میدان میں تین غیر خطی نقاط A، B اور C نشان زد کریں۔ چونے کے پاؤڈر کا استعمال کرتے ہوئے راستوں $AB, BC$ اور $AC$ کو نشان زد کریں۔

اپنے دوست سے کہیں کہ وہ $A$ سے شروع کرے اور $C$ تک پہنچے، ان میں سے ایک یا زیادہ راستوں پر چل کر۔ وہ مثال کے طور پر، پہلے $\overline{AB}$ کے ساتھ چل سکتی ہے اور پھر $\overline{BC}$ کے ساتھ چل کر $C$ تک پہنچ سکتی ہے؛ یا وہ سیدھا $\overline{AC}$ کے ساتھ چل سکتی ہے۔ وہ قدرتی طور پر سیدھے راستے $AC$ کو ترجیح دے گی۔ اگر وہ دوسرا راستہ لیتی ہے ($\overline{AB}$ اور پھر $\overline{BC}$)، تو اسے زیادہ چلنا پڑے گا۔ دوسرے الفاظ میں،

شکل 6.21

$$ \begin{equation*} AB+BC>AC \tag{i} \end{equation*} $$

اسی طرح، اگر کوئی $B$ سے شروع کرے اور $A$ جانا چاہے، تو وہ $\overline{BC}$ اور $\overline{CA}$ کا راستہ نہیں لے گا بلکہ $\overline{BA}$ کو ترجیح دے گا۔ اس کی وجہ یہ ہے کہ

$$ \begin{equation*} BC+CA>AB \tag{ii} \end{equation*} $$

اسی طرح کے دلیل سے، آپ پاتے ہیں کہ

$$ \begin{equation*} CA+AB>BC \tag{iii} \end{equation*} $$

یہ مشاہدات تجویز کرتے ہیں کہ مثلث کے کسی بھی دو اضلاع کی لمبائیوں کا مجموعہ تیسرے ضلع سے زیادہ ہوتا ہے۔

2. مختلف لمبائیوں کے پندرہ چھوٹے ڈنڈے (یا پٹیاں) جمع کریں، فرض کریں، $6 cm, 7 cm, 8 cm$، $9 cm, \ldots, 20 cm$۔

ان میں سے کوئی تین ڈنڈے لیں اور مثلث بنانے کی کوشش کریں۔ تین ڈنڈوں کے مختلف مجموعے منتخب کر کے اسے دہرائیں۔

فرض کریں آپ پہلے لمبائی $6 cm$ اور $12 cm$ کے دو ڈنڈے منتخب کرتے ہیں۔ آپ کے تیسرے ڈنڈے کی لمبائی $12-6=6 cm$ سے زیادہ اور $12+6=18 cm$ سے کم ہونی چاہیے۔ اسے آزمائیں اور معلوم کریں کہ ایسا کیوں ہے۔

مثلث بنانے کے لیے آپ کو ایسے کوئی تین ڈنڈے چاہئیں کہ ان میں سے کسی دو کی لمبائیوں کا مجموعہ ہمیشہ تیسرے ڈنڈے کی لمبائی سے زیادہ ہو۔

یہ بھی تجویز کرتا ہے کہ مثلث کے کسی بھی دو اضلاع کی لمبائیوں کا مجموعہ تیسرے ضلع سے زیادہ ہوتا ہے۔

3. اپنی نوٹ بک میں کوئی تین مثلثیں، فرض کریں $\triangle ABC, \triangle PQR$ اور $\triangle XYZ$ بنائیں (شکل 6.22)۔

شکل 6.22

اپنے پیمانے کا استعمال کرتے ہوئے ان کے اضلاع کی لمبائیاں تلاش کریں اور پھر اپنے نتائج کو جدول میں لکھیں جیسا کہ ذیل میں ہے:

یہ بھی ہمارے پہلے اندازے کو مضبوط کرتا ہے۔ لہذا، ہم نتیجہ اخذ کرتے ہیں کہ مثلث کے کسی بھی دو اضلاع کی لمبائیوں کا مجموعہ تیسرے ضلع کی لمبائی سے زیادہ ہوتا ہے۔

ہم یہ بھی پاتے ہیں کہ مثلث کے کسی بھی دو اضلاع کی لمبائیوں کا فرق تیسرے ضلع کی لمبائی سے چھوٹا ہوتا ہے۔

مثال 3کیا ایسی مثلث ممکن ہے جس کے اضلاع کی لمبائیاں $10.2 cm, 5.8 cm$ اور $4.5 cm$ ہوں؟

حل فرض کریں ایسی مثلث ممکن ہے۔ پھر کسی بھی دو اضلاع کی لمبائیوں کا مجموعہ تیسرے ضلع کی لمبائی سے زیادہ ہوگا۔ آئیے اس کی جانچ کریں۔

$ \begin{matrix} \text{ کیا } 4.5+5.8>10.2 ? & \text{ ہاں } \\ \text{ کیا } 5.8+10.2>4.5 ? & \text{ ہاں } \\ \text{ کیا } 10.2+4.5>5.8 ? & \text{ ہاں } \end{matrix} $

لہذا، مثلث ممکن ہے۔

مثال 4 ایک مثلث کے دو اضلاع کی لمبائیاں $6 cm$ اور $8 cm$ ہیں۔ تیسرے ضلع کی لمبائی کن دو نمبروں کے درمیان ہو سکتی ہے؟

حل

ہم جانتے ہیں کہ مثلث کے دو اضلاع کا مجموعہ ہمیشہ تیسرے سے زیادہ ہوتا ہے۔

لہذا، تیسرا ضلع دو اضلاع کے مجموعے سے کم ہونا چاہیے۔ تیسرا ضلع اس طرح، $8+6=14 cm$ سے کم ہے۔

ضلع دو اضلاع کے فرق سے کم نہیں ہو سکتا۔ اس طرح، تیسرے ضلع کو $8-6=2 cm$ سے زیادہ ہونا چاہیے۔

تیسرے ضلع کی لمبائی 2 سے زیادہ اور $14 cm$ سے کم کوئی بھی لمبائی ہو سکتی ہے۔

مشق 6.4

1. کیا درج ذیل اضلاع والی مثلث ممکن ہے؟ (i) $2 cm, 3 cm, 5 cm$ (ii) $3 cm, 6 cm, 7 cm$ (iii) $6 cm, 3 cm, 2 cm$

2. مثلث $PQR$ کے اندرونی حصے میں کوئی نقطہ $O$ لیں۔ کیا

(i) $OP+OQ>PQ$؟

(ii) $OQ+OR>QR$؟

(iii) $OR+OP>RP$؟

3. $A M$، مثلث $A B C$ کا ایک وسطانیہ ہے۔

کیا $AB+BC+CA>2 AM$؟

(مثلثوں

$\triangle ABM$ اور $\triangle AMC$ کے اضلاع پر غور کریں۔)

4. $ABCD$ ایک چوکور ہے۔

کیا $AB+BC+CD+DA>AC+BD$؟

5. $A B C D$ چوکور ہے۔ کیا

$AB+BC+CD+DA<2(AC+BD)$؟

6. ایک مثلث کے دو اضلاع کی لمبائیاں $12 cm$ اور $15 cm$ ہیں۔ تیسرے ضلع کی لمبائی کن دو پیمائشوں کے درمیان ہونی چاہیے؟

سوچیں، بحث کریں اور لکھیں

1. کیا مثلث کے کسی بھی دو زاویوں کا مجموعہ ہمیشہ تیسرے زاویے سے زیادہ ہوتا ہے؟

6.8 قائمہ الزاویہ مثلثیں اور فیثاغورث خاصیت

فیثاغورث، چھ