6.1 परिचय

एक त्रिभुज, जैसा कि आपने देखा है, तीन रेखाखंडों से बनी एक सरल बंद वक्र है। इसके तीन शीर्ष, तीन भुजाएँ और तीन कोण होते हैं। यहाँ $\triangle ABC$ है (चित्र 6.1)। इसके हैं

$\text{Sides}:\qquad \overline{AB}, \overline{BC}, \overline{CA}$

$\text{Angles}:\qquad \angle BAC, \angle ABC, \angle BCA$

$\text{Vertices}:\qquad A, B, C$

चित्र 6.1

शीर्ष A के सम्मुख भुजा $BC$ है। क्या आप भुजा AB के सम्मुख कोण का नाम बता सकते हैं? आप जानते हैं कि त्रिभुजों को (i) भुजाओं (ii) कोणों के आधार पर कैसे वर्गीकृत किया जाता है।

(i) भुजाओं के आधार पर: विषमबाहु, समद्विबाहु और समबाहु त्रिभुज।

(ii) कोणों के आधार पर: न्यूनकोण, अधिककोण और समकोण त्रिभुज।

उपरोक्त त्रिभुजाकार आकृतियों के कागज़ी मॉडल बनाइए। अपने मॉडलों की अपने मित्रों के मॉडलों से तुलना कीजिए और उनके बारे में चर्चा कीजिए।

आइए इसे करके देखें

1. $\triangle ABC$ के छह अवयव (अर्थात्, 3 भुजाएँ और 3 कोण) लिखिए।

2. लिखिए:

(i) $\triangle PQR$ के शीर्ष $Q$ के सम्मुख भुजा

(ii) $\triangle LMN$ की भुजा $LM$ के सम्मुख कोण

(iii) $\triangle RST$ की भुजा RT के सम्मुख शीर्ष

3. चित्र 6.2 को देखिए और प्रत्येक त्रिभुज को उसके अनुसार वर्गीकृत कीजिए

(क) भुजाओं के आधार पर

(ख) कोणों के आधार पर

अब, आइए त्रिभुजों के बारे में कुछ और जानने का प्रयास करते हैं।

6.2 त्रिभुज की माध्यिकाएँ

एक रेखाखंड दिया हो, तो आप कागज़ मोड़कर उसका लंब समद्विभाजक ज्ञात करना जानते हैं। कागज़ के एक टुकड़े से एक त्रिभुज $ABC$ काट लीजिए (चित्र 6.3)। इसकी किसी एक भुजा, मान लीजिए $\overline{BC}$ पर विचार कीजिए। कागज़ मोड़कर, $\overline{BC}$ का लंब समद्विभाजक ज्ञात कीजिए। मोड़ने पर बनी तह $\overline{BC}$ को उसके मध्य-बिंदु $D$ पर मिलती है। $AD$ को मिलाइए।

रेखाखंड $A D$, जो $\overline{BC}$ के मध्य-बिंदु को उसके सम्मुख शीर्ष $A$ से मिलाता है, त्रिभुज की एक माध्यिका कहलाता है।

भुजाओं $\overline{AB}$ और $\overline{CA}$ पर विचार कीजिए और त्रिभुज की दो और माध्यिकाएँ ज्ञात कीजिए।

एक माध्यिका त्रिभुज के एक शीर्ष को सम्मुख भुजा के मध्य-बिंदु से जोड़ती है।

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

1. एक त्रिभुज में कितनी माध्यिकाएँ हो सकती हैं?

2. क्या एक माध्यिका पूर्णतः त्रिभुज के अभ्यंतर में स्थित होती है? (यदि आपको लगता है कि यह सत्य नहीं है, तो ऐसा मामला दिखाने के लिए एक आकृति बनाइए)।

6.3 त्रिभुज के शीर्षलंब

एक त्रिभुजाकार कार्डबोर्ड ABC बनाइए। इसे एक मेज पर सीधा खड़ा रखिए। त्रिभुज कितना ‘लंबा’ है? ऊँचाई शीर्ष A (चित्र 6.4 में) से आधार $\overline{BC}$ की दूरी है।

$A$ से $\overline{BC}$ तक, आप कई रेखाखंडों की कल्पना कर सकते हैं (अगला चित्र 6.5 देखिए)। उनमें से कौन-सा

ऊँचाई उस रेखाखंड द्वारा दी जाती है जो $A$ से शुरू होता है, सीधा नीचे $\overline{BC}$ पर आता है, और $\overline{BC}$ पर लंब होता है। यह रेखाखंड $\overline{AL}$ त्रिभुज का एक शीर्षलंब है।

एक शीर्षलंब का एक सिरा त्रिभुज के एक शीर्ष पर होता है और दूसरा सम्मुख भुजा वाली रेखा पर होता है। प्रत्येक

चित्र 6.5 शीर्ष से होकर, एक शीर्षलंब खींचा जा सकता है।

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

1. एक त्रिभुज के कितने शीर्षलंब हो सकते हैं?

2. निम्नलिखित त्रिभुजों (चित्र 6.6) के लिए A से $\overline{BC}$ तक के शीर्षलंबों के रफ रेखाचित्र बनाइए:

3. क्या एक शीर्षलंब सदैव त्रिभुज के अभ्यंतर में स्थित होगा? यदि आपको लगता है कि यह सत्य नहीं होना चाहिए, तो ऐसा मामला दिखाने के लिए एक रफ रेखाचित्र बनाइए।

4. क्या आप ऐसे त्रिभुज के बारे में सोच सकते हैं जिसमें त्रिभुज के दो शीर्षलंब उसकी दो भुजाएँ हों?

5. क्या किसी त्रिभुज के लिए शीर्षलंब और माध्यिका एक ही हो सकते हैं?

(संकेत: प्रश्न संख्या 4 और 5 के लिए, प्रत्येक प्रकार के त्रिभुज के लिए शीर्षलंब खींचकर जाँच कीजिए)।

यह कीजिए

कई कट-आउट लीजिए

(i) एक समबाहु त्रिभुज

(ii) एक समद्विबाहु त्रिभुज और

(iii) एक विषमबाहु त्रिभुज के।

उनके शीर्षलंब और माध्यिकाएँ ज्ञात कीजिए। क्या आपको उनके बारे में कुछ विशेष पता चलता है? इस पर अपने मित्रों से चर्चा कीजिए।

प्रश्नावली 6.1

1. $\Delta PQR, D$ में, $\overline{QR}$ का मध्य-बिंदु है।

$\overline{PM}$ _____ है।

$PD$ _____ है।

क्या $QM=MR$ है?

2. निम्नलिखित के लिए रफ रेखाचित्र बनाइए:

(क) $\triangle ABC, BE$ में, एक माध्यिका है।

(ख) $\triangle PQR, PQ$ में, $PR$ त्रिभुज के शीर्षलंब हैं।

(ग) $\triangle X Y Z, Y L$ में, $ABC$ त्रिभुज के बाह्य क्षेत्र में एक शीर्षलंब है।

3. एक आरेख खींचकर सत्यापित कीजिए कि क्या एक समद्विबाहु त्रिभुज की माध्यिका और शीर्षलंब एक ही हो सकते हैं।

6.4 त्रिभुज का बहिष्कोण और उसका गुण

यह कीजिए

1. एक त्रिभुज $C$ बनाइए और इसकी एक भुजा, मान लीजिए BC को बढ़ाइए जैसा कि चित्र 6.7 में दिखाया गया है। बिंदु $\triangle ABC$ पर बने कोण ACD को देखिए। यह कोण $\triangle ABC$ के बाह्य क्षेत्र में स्थित है। हम इसे शीर्ष $C$ पर बने $\angle BCA$ का एक बहिष्कोण कहते हैं।

स्पष्टतः $\angle ACD$, $\angle A$ का एक संलग्न कोण है। त्रिभुज के शेष दो कोण अर्थात् $\angle B$ और

चित्र 6.7 $\angle ACD$ को $\angle A$ के दो अंतः सम्मुख कोण या दो दूरस्थ अंतः कोण कहा जाता है। अब $\angle B$ और $\angle ACD$ को काटकर अलग कर लीजिए (या उनकी नकल बनाइए) और उन्हें चित्र 6.8 में दिखाए अनुसार एक-दूसरे से सटाकर रखिए।

क्या ये दोनों टुकड़े मिलकर $m \angle ACD=m \angle A+m \angle B$ को पूरी तरह ढक लेते हैं?

क्या आप कह सकते हैं कि

$ABC$ ?

2. पहले की तरह, एक त्रिभुज $\angle ACD, \angle A$ बनाइए और एक बहिष्कोण ACD बनाइए। अब एक चाँदा लीजिए और $\angle B$ और $\angle A+\angle B$ मापिए।

योग $\angle ACD$ ज्ञात कीजिए और इसकी तुलना $\angle ACD$ के माप से कीजिए। क्या आप देखते हैं कि $\angle A+\angle B$, $\triangle ABC$ के बराबर (या लगभग बराबर, यदि माप में त्रुटि हो) है?

चित्र 6.8

आप उनके बहिष्कोणों सहित कुछ और त्रिभुज बनाकर उपरोक्त दोनों क्रियाकलापों को दोहरा सकते हैं। हर बार, आप पाएँगे कि त्रिभुज का बहिष्कोण उसके दो अंतः सम्मुख कोणों के योग के बराबर होता है।

एक तार्किक चरणबद्ध तर्क इस तथ्य की और पुष्टि कर सकता है।

एक त्रिभुज का बहिष्कोण उसके अंतः सम्मुख कोणों के योग के बराबर होता है।

दिया है: $\angle ACD$ पर विचार कीजिए।

$m \angle ACD=m \angle A+m \angle B$ एक बहिष्कोण है।

दर्शाना है: $C$

$\overline{CE}$ से होकर, $\overline{BA}$ के समांतर, $\angle 1=\angle x$ खींचिए।

चित्र 6.9

उपपत्ति

चरण

(क) $\angle 2=\angle y$

(ख) $\angle 1+\angle 2=\angle x+\angle y$

(ग) $\angle x+\angle y=m \angle ACD$

(घ) अब, $\angle 1+\angle 2=\angle ACD$

अतः, $\overline{BA} || \overline{CE}$

कारण

$\overline{AC}$ और $\overline{BA} || \overline{CE}$ एक तिर्यक रेखा है।

अतः, एकांतर कोण बराबर होने चाहिए।

$\overline{BD}$ और $x$ एक तिर्यक रेखा है।

अतः, संगत कोण बराबर होने चाहिए।

चित्र 6.9 से

बहिष्कोण और उसके दो अंतः सम्मुख कोणों के बीच उपरोक्त संबंध को त्रिभुज का बहिष्कोण गुण कहा जाता है।

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

1. एक त्रिभुज के लिए बहिष्कोण कई तरीकों से बनाए जा सकते हैं। उनमें से तीन यहाँ दिखाए गए हैं (चित्र 6.10)

बहिष्कोण प्राप्त करने के तीन और तरीके हैं। उनके रफ रेखाचित्र बनाने का प्रयास कीजिए।

2. क्या एक त्रिभुज के प्रत्येक शीर्ष पर बने बहिष्कोण बराबर होते हैं?

3. त्रिभुज के एक बहिष्कोण और उसके संलग्न अंतः कोण के योग के बारे में आप क्या कह सकते हैं?

उदाहरण 1 चित्र 6.11 में कोण $=$ ज्ञात कीजिए।

हल

अंतः सम्मुख कोणों का योग $70^{\circ}$ बहिष्कोण

$ \begin{aligned} 50^{\circ}+x & =110^{\circ} \\ or \quad x & =60^{\circ} \end{aligned} $

चित्र 6.11

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

1. जब बहिष्कोण

(i) एक समकोण हो?

(ii) एक अधिक कोण हो?

(iii) एक न्यून कोण हो?

तो आप प्रत्येक अंतः सम्मुख कोण के बारे में क्या कह सकते हैं?

2. क्या त्रिभुज का बहिष्कोण एक ऋजु कोण हो सकता है?

आइए इसे करके देखें

1. एक त्रिभुज का बहिष्कोण $25^{\circ}$ का है और उसका एक अंतः सम्मुख कोण $60^{\circ}$ का है। दूसरे अंतः सम्मुख कोण का माप ज्ञात कीजिए।

2. एक त्रिभुज के एक बहिष्कोण के दो अंतः सम्मुख कोण $80^{\circ}$ और $x$ हैं। बहिष्कोण का माप ज्ञात कीजिए।

3. क्या इस आरेख (चित्र 6.12) में कुछ गलत है? टिप्पणी कीजिए।

चित्र 6.12

प्रश्नावली 6.2

1. निम्नलिखित आरेखों में अज्ञात बहिष्कोण $x$ का मान ज्ञात कीजिए:

2. निम्नलिखित आकृतियों में अज्ञात अंतः कोण $180^{\circ}$ का मान ज्ञात कीजिए:

6.5 त्रिभुज के कोणों का योग गुण

त्रिभुज के तीनों कोणों को जोड़ने वाला एक उल्लेखनीय गुण है। आप निम्नलिखित चार क्रियाकलापों के माध्यम से इसे देखने जा रहे हैं।

1. एक त्रिभुज बनाइए। तीनों कोणों को काट लीजिए। उन्हें चित्र 6.13 (i), (ii) में दिखाए अनुसार पुनर्व्यवस्थित कीजिए। तीनों कोण अब एक कोण बनाते हैं। यह कोण एक ऋजु कोण है और इसलिए इसका माप $180^{\circ}$ है।

(i)

चित्र 6.13

अतः, त्रिभुज के तीनों कोणों के मापों का योग $\triangle ABC$ है।

2. आप इसी तथ्य को एक भिन्न तरीके से भी देख सकते हैं। किसी भी त्रिभुज, मान लीजिए $\angle 1+\angle 2+\angle 3$ की तीन प्रतिलिपियाँ लीजिए (चित्र 6.14)।

चित्र 6.14

उन्हें चित्र 6.15 में दिखाए अनुसार व्यवस्थित कीजिए।

आप $\triangle ABC$ के बारे में क्या देखते हैं?

(क्या आप ‘बहिष्कोण गुण’ भी देखते हैं?)

चित्र 6.15

3. कागज़ का एक टुकड़ा लीजिए और एक त्रिभुज, मान लीजिए $AM$ काट लीजिए (चित्र 6.16)।

$\triangle ABC$ को मोड़कर शीर्षलंब $A$ बनाइए ताकि यह $180^{\circ}$ से होकर जाए।

अब तीनों कोनों को इस प्रकार मोड़िए कि तीनों शीर्ष A, B और C, M पर स्पर्श करें।

(i)

(ii)

(iii)

चित्र 6.16

आप पाते हैं कि तीनों कोण मिलकर एक ऋजु कोण बनाते हैं। यह फिर से दर्शाता है कि त्रिभुज के तीनों कोणों के मापों का योग $\triangle ABC, \triangle PQR$ है।

4. अपनी नोटबुक में कोई तीन त्रिभुज, मान लीजिए $\triangle XYZ$ और $\Delta$ बनाइए।

अपने चाँदे का प्रयोग करके इन त्रिभुजों के प्रत्येक कोण को मापिए।

अपने परिणाम सारणीबद्ध कीजिए

माप में सीमांत त्रुटियों को स्वीकार करते हुए, आप पाएँगे कि अंतिम स्तंभ सदैव $180^{\circ}$ देता है (या लगभग $180^{\circ}$)।

जब पूर्ण परिशुद्धता संभव हो, तो यह भी दर्शाएगा कि त्रिभुज के तीनों कोणों के मापों का योग $180^{\circ}$ है।

अब आप तार्किक तर्क के माध्यम से अपने कथन की औपचारिक उपपत्ति देने के लिए तैयार हैं।

कथन त्रिभुज के तीनों कोणों का कुल माप $\quad \angle 1, \angle 2, \angle 3$ है।

इसे सिद्ध करने के लिए आइए त्रिभुज के बहिष्कोण गुण का प्रयोग करें।

चित्र 6.17

दिया है $\triangle ABC($, $\angle 4$ के कोण हैं (चित्र 6.17)।

जब $BC$ को $D$ तक बढ़ाया जाता है, तो $\quad \angle 1+\angle 2=\angle 4$ बहिष्कोण है।

उपपत्ति

$\angle 1+\angle 2+\angle 3=\angle 4+\angle 3$ (बहिष्कोण गुण से)

$\angle 3$ (दोनों पक्षों में $\angle 4$ जोड़ने पर)

परंतु $\angle 3$ और $180^{\circ}$ एक रैखिक युग्म बनाते हैं, अतः यह $\angle 1+\angle 2+\angle 3=180^{\circ}$ है। इसलिए, $m \angle$।

आइए देखें कि हम इस गुण का प्रयोग कितने तरीकों से कर सकते हैं।

उदाहरण 2 दी गई आकृति (चित्र 6.18) में $x$ P ज्ञात कीजिए।

हल

त्रिभुज के कोण योग गुण से,

अतः

$ m \angle P+47^{\circ}+52^{\circ}=180^{\circ} $

$ \begin{aligned} m \angle P & =180^{\circ}-47^{\circ}-52^{\circ} \\ & =180^{\circ}-99^{\circ}=81^{\circ} \end{aligned} $

चित्र 6.18

प्रश्नावली 6.3

1. निम्नलिखित आरेखों में अज्ञात $x$ का मान ज्ञात कीजिए:

2. निम्नलिखित आरेखों में अज्ञात $y$ और $30^{\circ}$ के मान ज्ञात कीजिए:

आइए इसे करके देखें

1. एक त्रिभुज के दो कोण $80^{\circ}$ और $80^{\circ}$ हैं। तीसरा कोण ज्ञात कीजिए।

2. एक त्रिभुज का एक कोण $1: 2: 1$ है और अन्य दो कोण बराबर हैं। प्रत्येक बराबर कोण का माप ज्ञात कीजिए।

3. एक त्रिभुज के तीन कोण $60^{\circ}$ के अनुपात में हैं। त्रिभुज के सभी कोण ज्ञात कीजिए। त्रिभुज को दो भिन्न तरीकों से वर्गीकृत कीजिए।

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

1. क्या आपके पास दो समकोणों वाला एक त्रिभुज हो सकता है?

2. क्या आपके पास दो अधिक कोणों वाला एक त्रिभुज हो सकता है?

3. क्या आपके पास दो न्यून कोणों वाला एक त्रिभुज हो सकता है?

4. क्या आपके पास ऐसा त्रिभुज हो सकता है जिसके सभी तीनों कोण $60^{\circ}$ से अधिक हों?

5. क्या आपके पास ऐसा त्रिभुज हो सकता है जिसके सभी तीनों कोण $60^{\circ}$ के बराबर हों?

6. क्या आपके पास ऐसा त्रिभुज हो सकता है जिसके सभी तीनों कोण $60^{\circ}$ से कम हों?

6.6 दो विशेष त्रिभुज : समबाहु और समद्विबाहु

एक त्रिभुज जिसकी सभी तीन भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं, समबाहु त्रिभुज कहलाता है।

एक समबाहु त्रिभुज ABC की दो प्रतिलिपियाँ लीजिए (चित्र 6.19)। उनमें से एक को स्थिर रखिए। दूसरे त्रिभुज को इस पर रखिए। यह पहले में ठीक बैठ जाता है। इसे किसी भी तरह घुमाइए और फिर भी वे एक-दूसरे में ठीक बैठते हैं। क्या आप यह देख पा रहे हैं कि जब त्रिभुज की तीनों भुजाओं की लंबाई समान होती है तो तीनों कोण भी समान माप के होते हैं?

हम निष्कर्ष निकालते हैं कि एक समबाहु त्रिभुज में:

(i) सभी भुजाओं की लंबाई समान होती है।

(ii) प्रत्येक कोण का माप $Z$ होता है।

एक त्रिभुज जिसकी दो भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं, समद्विबाहु त्रिभुज कहलाता है।

चित्र 6.20

कागज़ के एक टुकड़े से एक समद्विबाहु त्रिभुज XYZ काटिए, जिसमें XY=XZ हो (चित्र 6.20)। इसे इस प्रकार मोड़िए कि $Y$, $XM$ पर स्थित हो जाए। $X$ से होकर जाने वाली रेखा $\angle Y$ अब सममिति की अक्ष है (जिसे आप अध्याय 14 में पढ़ेंगे)। आप पाते हैं कि $\angle Z$ और $XY$ एक-दूसरे पर ठीक बैठते हैं। $XZ$ और $YZ$ को समान भुजाएँ कहा जाता है; $\angle Y$ को आधार कहा जाता है; $\angle Z$ और $x$ को आधार कोण कहा जाता है और ये भी बराबर होते हैं।

अतः, एक समद्विबाहु त्रिभुज में:

(i) दो भुजाओं की लंबाई समान होती है।

(ii) समान भुजाओं के सम्मुख आधार कोण बराबर होते हैं।

आइए इसे करके देखें

1. प्रत्येक आकृति में कोण x ज्ञात कीजिए:

2. प्रत्येक आकृति में कोण $y$ और $AB, BC$ ज्ञात कीजिए।

6.7 त्रिभुज की दो भुजाओं की लंबाइयों का योग

1. अपने खेल के मैदान में तीन असंरेखीय स्थान A, B और C अंकित कीजिए। चूने के पाउडर का प्रयोग करके पथों $AC$ और $A$ को चिह्नित कीजिए।

अपने मित्र से $C$ से शुरू करके $\overline{AB}$ तक पहुँचने के लिए कहिए, इनमें से एक या अधिक पथों पर चलकर। वह, उदाहरण के लिए, पहले $\overline{BC}$ के साथ चल सकती है और फिर $C$ के साथ चलकर $\overline{AC}$ तक पहुँच सकती है; या वह सीधे $AC$ के साथ चल सकती है। वह स्वाभाविक रूप से सीधे पथ $\overline{AB}$ को पसंद करेगी। यदि वह दूसरा पथ ($\overline{BC}$ और फिर $B$) लेती है, तो उसे अधिक चलना पड़ेगा। दूसरे शब्दों में,

चित्र 6.21

$$ \begin{equation*} AB+BC>AC \tag{i} \end{equation*} $$

इसी प्रकार, यदि कोई $A$ से शुरू करके $\overline{BC}$ जाना चाहे, तो वह $\overline{CA}$ और $\overline{BA}$ का मार्ग नहीं लेगा बल्कि $6 cm, 7 cm, 8 cm$ को पसंद करेगा। इसका कारण है

$$ \begin{equation*} BC+CA>AB \tag{ii} \end{equation*} $$

एक समान तर्क से, आप पाते हैं कि

$$ \begin{equation*} CA+AB>BC \tag{iii} \end{equation*} $$

ये प्रेक्षण सुझाव देते हैं कि त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं की लंबाइयों का योग तीसरी भुजा से अधिक होता है।

2. विभिन्न लंबाइयों, मान लीजिए $9 cm, \ldots, 20 cm$, $6 cm$ की पंद्रह छोटी छड़ें (या पट्टियाँ) एकत्रित कीजिए।

इनमें से कोई तीन छड़ें लीजिए और एक त्रिभुज बनाने का प्रयास कीजिए। तीन छड़ों के विभिन्न संयोजन चुनकर इसे दोहराइए।

मान लीजिए आप पहले लंबाई $12 cm$ और $12-6=6 cm$ की दो छड़ें चुनते हैं। आपकी तीसरी छड़ की लंबाई $12+6=18 cm$ से अधिक और $\triangle ABC, \triangle PQR$ से कम होनी चाहिए। इसे आज़माइए और पता लगाइए कि ऐसा क्यों है।

एक त्रिभुज बनाने के लिए आपको ऐसी कोई तीन छड़ें चाहिए होंगी कि उनमें से किन्हीं दो की लंबाइयों का योग सदैव तीसरी छड़ की लंबाई से अधिक हो।

यह भी सुझाव देता है कि त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं की लंबाइयों का योग तीसरी भुजा से अधिक होता है।

3. अपनी नोटबुक में कोई तीन त्रिभुज, मान लीजिए $\triangle XYZ$ और $10.2 cm, 5.8 cm$ बनाइए (चित्र 6.22)।

चित्र 6.22

उनकी भुजाओं की लंबाइयाँ ज्ञात करने के लिए अपने रूलर का प्रयोग कीजिए और फिर अपने परिणाम निम्नानुसार सारणीबद्ध कीजिए:

य