೬.೧ ಪರಿಚಯ

ತ್ರಿಕೋನವು, ನೀವು ನೋಡಿದಂತೆ, ಮೂರು ರೇಖಾಖಂಡಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ಒಂದು ಸರಳ ಮುಚ್ಚಿದ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಮೂರು ಶೃಂಗಗಳು, ಮೂರು ಬಾಹುಗಳು ಮತ್ತು ಮೂರು ಕೋನಗಳಿವೆ. ಇಲ್ಲಿ $\triangle ABC$ ಇದೆ (ಚಿತ್ರ ೬.೧). ಇದಕ್ಕೆ

$\text{Sides}:\qquad \overline{AB}, \overline{BC}, \overline{CA}$

$\text{Angles}:\qquad \angle BAC, \angle ABC, \angle BCA$

$\text{Vertices}:\qquad A, B, C$

ಚಿತ್ರ ೬.೧

ಶೃಂಗ A ಗೆ ಎದುರಾಗಿರುವ ಬಾಹುವು $BC$ ಆಗಿದೆ. AB ಬಾಹುವಿಗೆ ಎದುರಾಗಿರುವ ಕೋನವನ್ನು ನೀವು ಹೆಸರಿಸಬಹುದೇ? ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು (i) ಬಾಹುಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ (ii) ಕೋನಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವರ್ಗೀಕರಿಸುವುದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ.

(i) ಬಾಹುಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ: ಅಸಮಬಾಹು, ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ಮತ್ತು ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಗಳು.

(ii) ಕೋನಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ: ಲಘುಕೋನ, ಗುರುಕೋನ ಮತ್ತು ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನಗಳು.

ಮೇಲಿನ ತ್ರಿಕೋನಾಕೃತಿಗಳ ಕಾಗದದ ಕಟೌಟ್ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ತಯಾರಿಸಿ. ನಿಮ್ಮ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ನಿಮ್ಮ ಸ್ನೇಹಿತರ ಮಾದರಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಚರ್ಚಿಸಿ.

ಇದನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

1. $\triangle ABC$ ನ ಆರು ಅಂಶಗಳನ್ನು (ಅಂದರೆ, ೩ ಬಾಹುಗಳು ಮತ್ತು ೩ ಕೋನಗಳು) ಬರೆಯಿರಿ.

2. ಬರೆಯಿರಿ:

(i) $\triangle PQR$ ನ ಶೃಂಗ $Q$ ಗೆ ಎದುರಾಗಿರುವ ಬಾಹು

(ii) $\triangle LMN$ ನ ಬಾಹು $LM$ ಗೆ ಎದುರಾಗಿರುವ ಕೋನ

(iii) $\triangle RST$ ನ RT ಬಾಹುವಿಗೆ ಎದುರಾಗಿರುವ ಶೃಂಗ

3. ಚಿತ್ರ ೬.೨ ಅನ್ನು ನೋಡಿ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಅದರ

(ಅ) ಬಾಹುಗಳು

(ಆ) ಕೋನಗಳು

ಈ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವರ್ಗೀಕರಿಸಿ.

ಈಗ, ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಇನ್ನಷ್ಟು ಅನ್ವೇಷಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ.

೬.೨ ತ್ರಿಕೋನದ ಮಧ್ಯಗೆರೆಗಳು

ಒಂದು ರೇಖಾಖಂಡವನ್ನು ನೀಡಿದಾಗ, ಕಾಗದ ಮಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅದರ ಲಂಬ ಸಮದ್ವಿಖಂಡನ ರೇಖೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಒಂದು ಕಾಗದದ ತುಂಡಿನಿಂದ $ABC$ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಿ (ಚಿತ್ರ ೬.೩). ಅದರ ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದು ಬಾಹುವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $\overline{BC}$. ಕಾಗದ ಮಡಿಸುವ ಮೂಲಕ, $\overline{BC}$ ನ ಲಂಬ ಸಮದ್ವಿಖಂಡನ ರೇಖೆಯನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ. ಮಡಿಸಿದ ಮಡಿಕೆಯು $\overline{BC}$ ಅನ್ನು ಅದರ ಮಧ್ಯಬಿಂದು $D$ ನಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸುತ್ತದೆ. $AD$ ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಿ.

ರೇಖಾಖಂಡ $A D$, $\overline{BC}$ ನ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವನ್ನು ಅದರ ಎದುರು ಶೃಂಗ $A$ ಗೆ ಸೇರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ತ್ರಿಕೋನದ ಮಧ್ಯಗೆರೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಬಾಹುಗಳು $\overline{AB}$ ಮತ್ತು $\overline{CA}$ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನದ ಇನ್ನೆರಡು ಮಧ್ಯಗೆರೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಒಂದು ಮಧ್ಯಗೆರೆಯು ತ್ರಿಕೋನದ ಒಂದು ಶೃಂಗವನ್ನು ಎದುರು ಬಾಹುವಿನ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಿಗೆ ಸೇರಿಸುತ್ತದೆ.

ಯೋಚಿಸಿ, ಚರ್ಚಿಸಿ ಮತ್ತು ಬರೆಯಿರಿ

1. ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ಎಷ್ಟು ಮಧ್ಯಗೆರೆಗಳು ಇರಬಹುದು?

2. ಮಧ್ಯಗೆರೆಯು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ತ್ರಿಕೋನದ ಒಳಭಾಗದಲ್ಲಿಯೇ ಇರುತ್ತದೆಯೇ? (ಇದು ನಿಜವಲ್ಲ ಎಂದು ನೀವು ಭಾವಿಸಿದರೆ, ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭವನ್ನು ತೋರಿಸಲು ಒಂದು ಚಿತ್ರವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ).

೬.೩ ತ್ರಿಕೋನದ ಲಂಬಗಳು (ಎತ್ತರಗಳು)

ತ್ರಿಕೋನಾಕಾರದ ಕಾರ್ಡ್ಬೋರ್ಡ್ ABC ಯನ್ನು ತಯಾರಿಸಿ. ಅದನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಮೇಜಿನ ಮೇಲೆ ನಿಲ್ಲಿಸಿ. ತ್ರಿಕೋನವು ಎಷ್ಟು ‘ಎತ್ತರ’ವಾಗಿದೆ? ಎತ್ತರವು ಶೃಂಗ A ನಿಂದ (ಚಿತ್ರ ೬.೪ ರಲ್ಲಿ) ಪಾದ $\overline{BC}$ ಗೆ ಇರುವ ದೂರವಾಗಿದೆ.

$A$ ನಿಂದ $\overline{BC}$ ಗೆ, ನೀವು ಅನೇಕ ರೇಖಾಖಂಡಗಳನ್ನು ಊಹಿಸಬಹುದು (ಮುಂದಿನ ಚಿತ್ರ ೬.೫ ನೋಡಿ). ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದು

ಎತ್ತರವನ್ನು ಆ ರೇಖಾಖಂಡದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು $A$ ನಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗಿ, ನೇರವಾಗಿ $\overline{BC}$ ಗೆ ಇಳಿದು ಬರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು $\overline{BC}$ ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ರೇಖಾಖಂಡ $\overline{AL}$ ತ್ರಿಕೋನದ ಒಂದು ಲಂಬವಾಗಿದೆ (ಎತ್ತರವಾಗಿದೆ).

ಒಂದು ಲಂಬಕ್ಕೆ ಒಂದು ತುದಿ ತ್ರಿಕೋನದ ಶೃಂಗದಲ್ಲಿಯೂ ಮತ್ತೊಂದು ತುದಿ ಎದುರು ಬಾಹುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆಯೂ ಇರುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು

ಚಿತ್ರ ೬.೫ ಶೃಂಗದ ಮೂಲಕ, ಒಂದು ಲಂಬವನ್ನು (ಎತ್ತರವನ್ನು) ಎಳೆಯಬಹುದು.

ಯೋಚಿಸಿ, ಚರ್ಚಿಸಿ ಮತ್ತು ಬರೆಯಿರಿ

1. ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ಎಷ್ಟು ಲಂಬಗಳು (ಎತ್ತರಗಳು) ಇರಬಹುದು?

2. ಕೆಳಗಿನ ತ್ರಿಕೋನಗಳಿಗೆ (ಚಿತ್ರ ೬.೬) A ಯಿಂದ $\overline{BC}$ ಗೆ ಲಂಬಗಳ (ಎತ್ತರಗಳ) ಒರಟು ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ:

3. ಲಂಬವು (ಎತ್ತರವು) ಯಾವಾಗಲೂ ತ್ರಿಕೋನದ ಒಳಭಾಗದಲ್ಲಿಯೇ ಇರುತ್ತದೆಯೇ? ಇದು ನಿಜವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ನೀವು ಭಾವಿಸಿದರೆ, ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭವನ್ನು ತೋರಿಸಲು ಒರಟು ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

4. ಎರಡು ಲಂಬಗಳು (ಎತ್ತರಗಳು) ಅದರ ಎರಡು ಬಾಹುಗಳಾಗಿರುವ ತ್ರಿಕೋನದ ಬಗ್ಗೆ ನೀವು ಯೋಚಿಸಬಹುದೇ?

5. ತ್ರಿಕೋನದ ಲಂಬ (ಎತ್ತರ) ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಗೆರೆ ಒಂದೇ ಆಗಿರಬಹುದೇ?

(ಸೂಚನೆ: ಪ್ರಶ್ನೆ ಸಂಖ್ಯೆ ೪ ಮತ್ತು ೫ ಗಳಿಗೆ, ಪ್ರತಿ ರೀತಿಯ ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೂ ಲಂಬಗಳನ್ನು (ಎತ್ತರಗಳನ್ನು) ಎಳೆದು ತನಿಖೆ ಮಾಡಿ).

ಇದನ್ನು ಮಾಡಿ

(i) ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನ

(ii) ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನ ಮತ್ತು

(iii) ಅಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನ

ಇವುಗಳ ಹಲವಾರು ಕಟೌಟ್ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ.

ಅವುಗಳ ಲಂಬಗಳನ್ನು (ಎತ್ತರಗಳನ್ನು) ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಗೆರೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಅವುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನಿಮಗೆ ಏನಾದರೂ ವಿಶೇಷತೆ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆಯೇ? ಅದನ್ನು ನಿಮ್ಮ ಸ್ನೇಹಿತರೊಂದಿಗೆ ಚರ್ಚಿಸಿ.

ಅಭ್ಯಾಸ ೬.೧

1. $\Delta PQR, D$ ರಲ್ಲಿ $\overline{QR}$ ನ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಾಗಿದೆ.

$\overline{PM}$ _____ ಆಗಿದೆ.

$PD$ _____ ಆಗಿದೆ.

$QM=MR$ ಆಗಿದೆಯೇ ?

2. ಕೆಳಗಿನವುಗಳಿಗೆ ಒರಟು ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ:

(ಅ) $\triangle ABC, BE$ ರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮಧ್ಯಗೆರೆಯಾಗಿದೆ.

(ಆ) $\triangle PQR, PQ$ ರಲ್ಲಿ $PR$ ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನದ ಲಂಬಗಳಾಗಿವೆ (ಎತ್ತರಗಳಾಗಿವೆ).

(ಇ) $\triangle X Y Z, Y L$ ರಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನದ ಬಾಹ್ಯಭಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಲಂಬವಾಗಿದೆ (ಎತ್ತರವಾಗಿದೆ).

3. ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನದ ಮಧ್ಯಗೆರೆ ಮತ್ತು ಲಂಬ (ಎತ್ತರ) ಒಂದೇ ಆಗಿರಬಹುದೇ ಎಂದು ಚಿತ್ರ ಎಳೆದು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.

೬.೪ ತ್ರಿಕೋನದ ಬಾಹ್ಯಕೋನ ಮತ್ತು ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣ

ಇದನ್ನು ಮಾಡಿ

1. ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನ $ABC$ ಅನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಒಂದು ಬಾಹುವನ್ನು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ BC ಯನ್ನು ಚಿತ್ರ ೬.೭ ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ವರ್ಧಿಸಿ. ಬಿಂದು $C$ ನಲ್ಲಿ ರೂಪುಗೊಂಡ ಕೋನ ACD ಅನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಈ ಕೋನವು $\triangle ABC$ ನ ಬಾಹ್ಯಭಾಗದಲ್ಲಿದೆ. ನಾವು ಇದನ್ನು $C$ ಶೃಂಗದಲ್ಲಿ ರೂಪುಗೊಂಡ $\triangle ABC$ ನ ಬಾಹ್ಯಕೋನ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ $\angle BCA$ ಕೋನವು $\angle ACD$ ಕೋನಕ್ಕೆ ಅನುಲಗ್ನ ಕೋನವಾಗಿದೆ. ತ್ರಿಕೋನದ ಉಳಿದ ಎರಡು ಕೋನಗಳು ಅಂದರೆ $\angle A$ ಮತ್ತು

ಚಿತ್ರ ೬.೭ $\angle B$ ಕೋನಗಳನ್ನು $\angle ACD$ ಕೋನದ ಎರಡು ಅಂತರಾಭಿಮುಖ ಕೋನಗಳು ಅಥವಾ ಎರಡು ದೂರದ ಅಂತರಿಕ ಕೋನಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈಗ $\angle A$ ಮತ್ತು $\angle B$ ಕೋನಗಳ ಕಾಗದ ಕಟೌಟ್ಗಳನ್ನು (ಅಥವಾ ಟ್ರೇಸ್ ನಕಲುಗಳನ್ನು) ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಚಿತ್ರ ೬.೮ ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಪರಸ್ಪರ ಅನುಲಗ್ನವಾಗಿ ಇರಿಸಿ.

ಈ ಎರಡು ತುಂಡುಗಳು ಒಟ್ಟಿಗೆ $\angle ACD$ ಕೋನವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಆವರಿಸುತ್ತವೆಯೇ?

ನೀವು ಇದನ್ನು ಹೇಳಬಹುದೇ

$m \angle ACD=m \angle A+m \angle B$ ?

2. ಮೊದಲಿನಂತೆ, ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನ $ABC$ ಅನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಒಂದು ಬಾಹ್ಯಕೋನ ACD ಅನ್ನು ರೂಪಿಸಿ. ಈಗ ಒಂದು ಪ್ರೊಟ್ರ್ಯಾಕ್ಟರ್ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು $\angle ACD, \angle A$ ಮತ್ತು $\angle B$ ಅನ್ನು ಅಳೆಯಿರಿ.

$\angle A+\angle B$ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು $\angle ACD$ ಕೋನದ ಅಳತೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿ. $\angle ACD$ ಕೋನವು $\angle A+\angle B$ ಕೋನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದೆ (ಅಥವಾ ಅಳತೆಯಲ್ಲಿ ದೋಷ ಇದ್ದರೆ ಸುಮಾರು ಸಮನಾಗಿದೆ) ಎಂದು ನೀವು ಗಮನಿಸುತ್ತೀರಾ?

ಚಿತ್ರ ೬.೮

ನೀವು ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಬಾಹ್ಯಕೋನಗಳೊಂದಿಗೆ ಎಳೆದು ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದ ಎರಡು ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬಹುದು. ಪ್ರತಿ ಬಾರಿಯೂ, ತ್ರಿಕೋನದ ಬಾಹ್ಯಕೋನವು ಅದರ ಎರಡು ಅಂತರಾಭಿಮುಖ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೀವು ಕಾಣುವಿರಿ.

ಒಂದು ತಾರ್ಕಿಕ ಹಂತ-ಹಂತದ ವಾದವು ಈ ವಾಸ್ತವವನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ದೃಢಪಡಿಸಬಹುದು.

ತ್ರಿಕೋನದ ಒಂದು ಬಾಹ್ಯಕೋನವು ಅದರ ಅಂತರಾಭಿಮುಖ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನೀಡಲಾಗಿದೆ: $\triangle ABC$ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

$\angle ACD$ ಒಂದು ಬಾಹ್ಯಕೋನವಾಗಿದೆ.

ತೋರಿಸಬೇಕಾದದ್ದು: $m \angle ACD=m \angle A+m \angle B$

$C$ ಮೂಲಕ $\overline{BA}$ ಗೆ ಸಮಾಂತರವಾಗಿರುವ ರೇಖೆ $\overline{CE}$ ಅನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ.

ಚಿತ್ರ ೬.೯

ಯುಕ್ತೀಕರಣ

ಹಂತಗಳು

(ಅ) $\angle 1=\angle x$

(ಆ) $\angle 2=\angle y$

(ಇ) $\angle 1+\angle 2=\angle x+\angle y$

(ಈ) ಈಗ, $\angle x+\angle y=m \angle ACD$

ಆದ್ದರಿಂದ, $\angle 1+\angle 2=\angle ACD$

ಕಾರಣಗಳು

$\overline{BA} || \overline{CE}$ ಮತ್ತು $\overline{AC}$ ಒಂದು ಛೇದಕ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಏಕಾಂತರ ಕೋನಗಳು ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು.

$\overline{BA} || \overline{CE}$ ಮತ್ತು $\overline{BD}$ ಒಂದು ಛೇದಕ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಅನುರೂಪ ಕೋನಗಳು ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು.

ಚಿತ್ರ ೬.೯ ರಿಂದ

ಬಾಹ್ಯಕೋನ ಮತ್ತು ಅದರ ಎರಡು ಅಂತರಾಭಿಮುಖ ಕೋನಗಳ ನಡುವಿನ ಮೇಲಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ತ್ರಿಕೋನದ ಬಾಹ್ಯಕೋನ ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಯೋಚಿಸಿ, ಚರ್ಚಿಸಿ ಮತ್ತು ಬರೆಯಿರಿ

1. ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ಬಾಹ್ಯಕೋನಗಳನ್ನು ಅನೇಕ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸಬಹುದು. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಮೂರು ಇಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ (ಚಿತ್ರ ೬.೧೦)

ಬಾಹ್ಯಕೋನಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಇನ್ನೂ ಮೂರು ವಿಧಾನಗಳಿವೆ. ಆ ಒರಟು ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ತಯಾರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ.

2. ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗದಲ್ಲಿ ರೂಪುಗೊಂಡ ಬಾಹ್ಯಕೋನಗಳು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತವೆಯೇ?

3. ತ್ರಿಕೋನದ ಒಂದು ಬಾಹ್ಯಕೋನ ಮತ್ತು ಅದರ ಅನುಲಗ್ನ ಅಂತರಿಕ ಕೋನದ ಮೊತ್ತದ ಬಗ್ಗೆ ನೀವು ಏನು ಹೇಳಬಹುದು?

ಉದಾಹರಣೆ 1 ಚಿತ್ರ ೬.೧೧ ರಲ್ಲಿ ಕೋನ $x$ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ

ಅಂತರಾಭಿಮುಖ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ $=$ ಬಾಹ್ಯಕೋನ

$ \begin{aligned} 50^{\circ}+x & =110^{\circ} \\ or \quad x & =60^{\circ} \end{aligned} $

ಚಿತ್ರ ೬.೧೧

ಯೋಚಿಸಿ, ಚರ್ಚಿಸಿ ಮತ್ತು ಬರೆಯಿರಿ

1. ಬಾಹ್ಯಕೋನವು

(i) ಲಂಬಕೋನವಾಗಿದ್ದಾಗ

(ii) ಗುರುಕೋನವಾಗಿದ್ದಾಗ

(iii) ಲಘುಕೋನವಾಗಿದ್ದಾಗ

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂತರಾಭಿಮುಖ ಕೋನದ ಬಗ್ಗೆ ನೀವು ಏನು ಹೇಳಬಹುದು?

2. ತ್ರಿಕೋನದ ಬಾಹ್ಯಕೋನವು ಸರಳಕೋನವಾಗಿರಬಹುದೇ?

ಇದನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

1. ತ್ರಿಕೋನದ ಒಂದು ಬಾಹ್ಯಕೋನದ ಅಳತೆ $70^{\circ}$ ಮತ್ತು ಅದರ ಒಂದು ಅಂತರಾಭಿಮುಖ ಕೋನದ ಅಳತೆ $25^{\circ}$ ಆಗಿದೆ. ಇನ್ನೊಂದು ಅಂತರಾಭಿಮುಖ ಕೋನದ ಅಳತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

2. ತ್ರಿಕೋನದ ಒಂದು ಬಾಹ್ಯಕೋನದ ಎರಡು ಅಂತರಾಭಿಮುಖ ಕೋನಗಳು $60^{\circ}$ ಮತ್ತು $80^{\circ}$ ಆಗಿವೆ. ಬಾಹ್ಯಕೋನದ ಅಳತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

3. ಈ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ (ಚಿತ್ರ ೬.೧೨) ಏನಾದರೂ ತಪ್ಪಿದೆಯೇ? ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ.

ಚಿತ್ರ ೬.೧೨

ಅಭ್ಯಾಸ ೬.೨

1. ಕೆಳಗಿನ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಅಜ್ಞಾತ ಬಾಹ್ಯಕೋನ $x$ ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

2. ಕೆಳಗಿನ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಅಜ್ಞಾತ ಅಂತರಿಕ ಕೋನ $x$ ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

೬.೫ ತ್ರಿಕೋನದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣ

ತ್ರಿಕೋನದ ಮೂರು ಕೋನಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಒಂದು ಗಮನಾರ್ಹ ಗುಣಲಕ್ಷಣವಿದೆ. ನೀವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ನಾಲ್ಕು ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ನೋಡಲಿದ್ದೀರಿ.

1. ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. ಮೂರು ಕೋನಗಳನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಿ. ಅವುಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರ ೬.೧೩ (i), (ii) ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಮರುಹೊಂದಿಸಿ. ಮೂರು ಕೋನಗಳು ಈಗ ಒಂದೇ ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಕೋನವು ಒಂದು ಸರಳಕೋನವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದರ ಅಳತೆ $180^{\circ}$ ಆಗಿದೆ.

(i)

ಚಿತ್ರ ೬.೧೩

ಹೀಗಾಗಿ, ತ್ರಿಕೋನದ ಮೂರು ಕೋನಗಳ ಅಳತೆಗಳ ಮೊತ್ತವು $180^{\circ}$ ಆಗಿದೆ.

2. ಅದೇ ವಾಸ್ತವವನ್ನು ನೀವು ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಹ ಗಮನಿಸಬಹುದು. ಯಾವುದೇ ತ್ರಿಕೋನದ ಮೂರು ನಕಲುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ $\triangle ABC$ (ಚಿತ್ರ ೬.೧೪).

ಚಿತ್ರ ೬.೧೪

ಅವುಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರ ೬.೧೫ ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಜೋಡಿಸಿ.

$\angle 1+\angle 2+\angle 3$ ಬಗ್ಗೆ ನೀವು ಏನು ಗಮನಿಸುತ್ತೀರಿ?

(‘ಬಾಹ್ಯಕೋನ ಗುಣಲಕ್ಷಣ’ವೂ ನಿಮಗೆ ಕಾಣುತ್ತದೆಯೇ?)

ಚಿತ್ರ ೬.೧೫

3. ಒಂದು ಕಾಗದದ ತುಂಡನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $\triangle ABC$ (ಚಿತ್ರ ೬.೧೬).

$\triangle ABC$ ಅನ್ನು ಮಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಲಂಬ $AM$ ಅನ್ನು ತಯಾರಿಸಿ, ಅದು $A$ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವಂತೆ ಮಾಡಿ.

ಈಗ ಮೂರು ಮೂಲೆಗಳನ್ನು ಮಡಿಸಿ, ಆಗ ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಶೃಂಗಗಳು A, B ಮತ್ತು C ಗಳು M ನಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಿಸುವಂತೆ ಮಾಡಿ.

(i)

(ii)

(iii)

ಚಿತ್ರ ೬.೧೬

ಮೂರು ಕೋನಗಳೆಲ್ಲವೂ ಒಟ್ಟಿಗೆ ಒಂದು ಸರಳಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ನೀವು ಕಾಣುವಿರಿ. ಇದು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ತ್ರಿಕೋನದ ಮೂರು ಕೋನಗಳ ಅಳತೆಗಳ ಮೊತ್ತವು $180^{\circ}$ ಆಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

4. ನಿಮ್ಮ ನೋಟ್ಬುಕ್ನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಮೂರು ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ $\triangle ABC, \triangle PQR$ ಮತ್ತು $\triangle XYZ$.

ನಿಮ್ಮ ಪ್ರೊಟ್ರ್ಯಾಕ್ಟರ್ ಬಳಸಿ ಮತ್ತು ಈ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕೋನವನ್ನು ಅಳೆಯಿರಿ.

ನಿಮ್ಮ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ

ಅಳತೆಯಲ್ಲಿ ಸೀಮಾಂತ ದೋಷಗಳನ್ನು ಅನುಮತಿಸಿದರೆ, ಕೊನೆಯ ಕಾಲಮ್ ಯಾವಾಗಲೂ $180^{\circ}$ (ಅಥವಾ ಸುಮಾರು $180^{\circ}$) ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೀವು ಕಾಣುವಿರಿ.

ಪರಿಪೂರ್ಣ ನಿಖರತೆ ಸಾಧ್ಯವಾದಾಗ, ತ್ರಿಕೋನದ ಮೂರು ಕೋನಗಳ ಅಳತೆಗಳ ಮೊತ್ತವು $180^{\circ}$ ಆಗಿದೆ ಎಂದು ಇದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ನೀವು ಈಗ ತಾರ್ಕಿಕ ವಾದದ ಮೂಲಕ ನಿಮ್ಮ ಹೇಳಿಕೆಯ ಔಪಚಾರಿಕ ಯುಕ್ತೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡಲು ಸಿದ್ಧರಾಗಿದ್ದೀರಿ.

ಹೇಳಿಕೆ ತ್ರಿಕೋನದ ಮೂರು ಕೋನಗಳ ಒಟ್ಟು ಅಳತೆಯು $180^{\circ}$ ಆಗಿದೆ.

ಇದನ್ನು ಯುಕ್ತೀಕರಿಸಲು ತ್ರಿಕೋನದ ಬಾಹ್ಯಕೋನ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಬಳಸೋಣ.

ಚಿತ್ರ ೬.೧೭

ನೀಡಲಾಗಿದೆ $\quad \angle 1, \angle 2, \angle 3$ ಕೋನಗಳು $\triangle ABC($ ತ್ರಿಕೋನದ ಕೋನಗಳಾಗಿವೆ (ಚಿತ್ರ ೬.೧೭).

$\angle 4$ ಕೋನವು $BC$ ಕೋನವನ್ನು $D$ ವರೆಗೆ ವರ್ಧಿಸಿದಾಗ ರೂಪುಗೊಂಡ ಬಾಹ್ಯಕೋನವಾಗಿದೆ.

ಯುಕ್ತೀಕರಣ

$\quad \angle 1+\angle 2=\angle 4$ (ಬಾಹ್ಯಕೋನ ಗುಣಲಕ್ಷಣದಿಂದ)

$\angle 1+\angle 2+\angle 3=\angle 4+\angle 3$ (ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ $\angle 3$ ಕೋನವನ್ನು ಸೇರಿಸಿದಾಗ)

ಆದರೆ $\angle 4$ ಮತ್ತು $\angle 3$ ಕೋನಗಳು ಒಂದು ರೇಖೀಯ ಜೋಡಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದು $180^{\circ}$ ಆಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, $\angle 1+\angle 2+\angle 3=180^{\circ}$.

ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ನಾನಾ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಗೆ ಬಳಸಬಹುದು ಎಂದು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 2 ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ (ಚಿತ್ರ ೬.೧೮) $m \angle$ P ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ

ತ್ರಿಕೋನದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣದಿಂದ,

ಆದ್ದರಿಂದ

$ m \angle P+47^{\circ}+52^{\circ}=180^{\circ} $

$ \begin{aligned} m \angle P & =180^{\circ}-47^{\circ}-52^{\circ} \\ & =180^{\circ}-99^{\circ}=81^{\circ} \end{aligned} $

ಚಿತ್ರ ೬.೧೮

ಅಭ್ಯಾಸ ೬.೩

1. ಕೆಳಗಿನ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಅಜ್ಞಾತ $x$ ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

2. ಕೆಳಗಿನ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಅಜ್ಞಾತಗಳು $x$ ಮತ್ತು $y$ ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

ಇದನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

1. ತ್ರಿಕೋನದ ಎರಡು ಕೋನಗಳು $30^{\circ}$ ಮತ್ತು $80^{\circ}$ ಆಗಿವೆ. ಮೂರನೇ ಕೋನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

2. ತ್ರಿಕೋನದ ಒಂದು ಕೋನವು $80^{\circ}$ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಎರಡು ಕೋನಗಳು ಸಮನಾಗಿವೆ. ಪ್ರತಿ ಸಮ ಕೋನದ ಅಳತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

3. ತ್ರಿಕೋನದ ಮೂರು ಕೋನಗಳ ಅನುಪಾತ $1: 2: 1$ ಆಗಿದೆ. ತ್ರಿಕೋನದ ಎಲ್ಲಾ ಕೋನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವರ್ಗೀಕರಿಸಿ.

ಯೋಚಿಸಿ, ಚರ್ಚಿಸಿ ಮತ್ತು ಬರೆಯಿರಿ

1. ಎರಡು ಲಂಬಕೋನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ನೀವು ಹೊಂದಬಹುದೇ?

2. ಎರಡು ಗುರುಕೋನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ನೀವು ಹೊಂದಬಹುದೇ?

3. ಎರಡು ಲಘುಕೋನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ನೀವು ಹೊಂದಬಹುದೇ?

4. ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಕೋನಗಳು $60^{\circ}$ ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿರುವ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ನೀವು ಹೊಂದಬಹುದೇ?

5. ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಕೋನಗಳು $60^{\circ}$ ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುವ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ನೀವು ಹೊಂದಬಹುದೇ?

6. ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಕೋನಗಳು $60^{\circ}$ ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುವ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ನೀವು ಹೊಂದಬಹುದೇ?

೬.೬ ಎರಡು ವಿಶೇಷ ತ್ರಿಕೋನಗಳು : ಸಮಬಾಹು ಮತ್ತು ಸಮದ್ವಿಬಾಹು

ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಬಾಹುಗಳ ಉದ್ದಗಳು ಸಮನಾಗಿರುವ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದ