6.1 ਜਾਣ-ਪਛਾਣ

ਤਿਕੋਣ, ਜਿਵੇਂ ਤੁਸੀਂ ਦੇਖਿਆ ਹੈ, ਤਿੰਨ ਰੇਖਾ ਖੰਡਾਂ ਨਾਲ ਬਣੀ ਇੱਕ ਸਧਾਰਨ ਬੰਦ ਵਕਰ ਹੈ। ਇਸਦੇ ਤਿੰਨ ਸਿਖਰ, ਤਿੰਨ ਭੁਜਾਵਾਂ ਅਤੇ ਤਿੰਨ ਕੋਣ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇੱਥੇ $\triangle ABC$ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 6.1)। ਇਸਦੇ

$\text{Sides}:\qquad \overline{AB}, \overline{BC}, \overline{CA}$

$\text{Angles}:\qquad \angle BAC, \angle ABC, \angle BCA$

$\text{Vertices}:\qquad A, B, C$

ਚਿੱਤਰ 6.1

ਸਿਖਰ A ਦੇ ਸਾਹਮਣੇ ਵਾਲੀ ਭੁਜਾ $BC$ ਹੈ। ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਭੁਜਾ AB ਦੇ ਸਾਹਮਣੇ ਵਾਲੇ ਕੋਣ ਦਾ ਨਾਮ ਦੱਸ ਸਕਦੇ ਹੋ? ਤੁਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹੋ ਕਿ ਤਿਕੋਣਾਂ ਨੂੰ (i) ਭੁਜਾਵਾਂ (ii) ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਆਧਾਰ ‘ਤੇ ਕਿਵੇਂ ਵਰਗੀਕ੍ਰਿਤ ਕਰਨਾ ਹੈ।

(i) ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੇ ਆਧਾਰ ‘ਤੇ: ਅਸਮ-ਭੁਜੀ, ਸਮਦੋਭੁਜੀ ਅਤੇ ਸਮਭੁਜੀ ਤਿਕੋਣ।

(ii) ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਆਧਾਰ ‘ਤੇ: ਨਿਊਨ-ਕੋਣੀ, ਅਧਿਕ-ਕੋਣੀ ਅਤੇ ਸਮਕੋਣੀ ਤਿਕੋਣ।

ਉੱਪਰ ਦਿੱਤੀਆਂ ਤਿਕੋਣੀ ਆਕ੍ਰਿਤੀਆਂ ਦੇ ਕਾਗਜ਼ ਨਾਲ ਕੱਟੇ ਮਾਡਲ ਬਣਾਓ। ਆਪਣੇ ਮਾਡਲਾਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਆਪਣੇ ਦੋਸਤਾਂ ਦੇ ਮਾਡਲਾਂ ਨਾਲ ਕਰੋ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਬਾਰੇ ਚਰਚਾ ਕਰੋ।

ਇਹ ਕਰਕੇ ਵੇਖੋ

1. $\triangle ABC$ ਦੇ ਛੇ ਅੰਸ਼ (ਭਾਵ, 3 ਭੁਜਾਵਾਂ ਅਤੇ 3 ਕੋਣ) ਲਿਖੋ।

2. ਲਿਖੋ:

(i) $\triangle PQR$ ਦੇ ਸਿਖਰ $Q$ ਦੇ ਸਾਹਮਣੇ ਵਾਲੀ ਭੁਜਾ

(ii) $\triangle LMN$ ਦੀ ਭੁਜਾ $LM$ ਦੇ ਸਾਹਮਣੇ ਵਾਲਾ ਕੋਣ

(iii) $\triangle RST$ ਦੀ ਭੁਜਾ RT ਦੇ ਸਾਹਮਣੇ ਵਾਲਾ ਸਿਖਰ

3. ਚਿੱਤਰ 6.2 ਵੱਲ ਦੇਖੋ ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਤਿਕੋਣ ਨੂੰ ਇਸਦੇ

(a) ਭੁਜਾਵਾਂ

(b) ਕੋਣਾਂ

ਦੇ ਆਧਾਰ ‘ਤੇ ਵਰਗੀਕ੍ਰਿਤ ਕਰੋ।

ਹੁਣ, ਆਓ ਤਿਕੋਣਾਂ ਬਾਰੇ ਕੁਝ ਹੋਰ ਖੋਜਣ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੀਏ।

6.2 ਤਿਕੋਣ ਦੀਆਂ ਮੱਧਿਕਾਵਾਂ

ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਦਿੱਤਾ ਹੋਣ ‘ਤੇ, ਤੁਸੀਂ ਕਾਗਜ਼ ਨੂੰ ਮੋੜ ਕੇ ਇਸਦਾ ਲੰਬ-ਸਮਦੁਭਾਜਕ ਕਿਵੇਂ ਲੱਭਣਾ ਹੈ, ਜਾਣਦੇ ਹੋ। ਇੱਕ ਕਾਗਜ਼ ਦੇ ਟੁਕੜੇ ਤੋਂ ਇੱਕ ਤਿਕੋਣ $ABC$ ਕੱਟੋ (ਚਿੱਤਰ 6.3)। ਇਸਦੀ ਕੋਈ ਇੱਕ ਭੁਜਾ, ਮੰਨ ਲਓ, $\overline{BC}$, ਲਓ। ਕਾਗਜ਼ ਨੂੰ ਮੋੜ ਕੇ, $\overline{BC}$ ਦਾ ਲੰਬ-ਸਮਦੁਭਾਜਕ ਲੱਭੋ। ਮੋੜੀ ਗਈ ਤਹਿ $\overline{BC}$ ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਮੱਧ-ਬਿੰਦੂ $D$ ‘ਤੇ ਮਿਲਦੀ ਹੈ। $AD$ ਨੂੰ ਮਿਲਾਓ।

ਰੇਖਾ ਖੰਡ $A D$, ਜੋ $\overline{BC}$ ਦੇ ਮੱਧ-ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਸਾਹਮਣੇ ਵਾਲੇ ਸਿਖਰ $A$ ਨਾਲ ਜੋੜਦਾ ਹੈ, ਤਿਕੋਣ ਦੀ ਇੱਕ ਮੱਧਿਕਾ ਕਹਾਉਂਦਾ ਹੈ।

ਭੁਜਾਵਾਂ $\overline{AB}$ ਅਤੇ $\overline{CA}$ ਲਓ ਅਤੇ ਤਿਕੋਣ ਦੀਆਂ ਦੋ ਹੋਰ ਮੱਧਿਕਾਵਾਂ ਲੱਭੋ।

ਇੱਕ ਮੱਧਿਕਾ ਤਿਕੋਣ ਦੇ ਇੱਕ ਸਿਖਰ ਨੂੰ ਸਾਹਮਣੇ ਵਾਲੀ ਭੁਜਾ ਦੇ ਮੱਧ-ਬਿੰਦੂ ਨਾਲ ਜੋੜਦੀ ਹੈ।

ਸੋਚੋ, ਚਰਚਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਲਿਖੋ

1. ਇੱਕ ਤਿਕੋਣ ਦੀਆਂ ਕਿੰਨੀਆਂ ਮੱਧਿਕਾਵਾਂ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ?

2. ਕੀ ਇੱਕ ਮੱਧਿਕਾ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਤਿਕੋਣ ਦੇ ਅੰਦਰੂਨੀ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਪੈਂਦੀ ਹੈ? (ਜੇ ਤੁਸੀਂ ਸੋਚਦੇ ਹੋ ਕਿ ਇਹ ਸੱਚ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਜਿਹਾ ਕੇਸ ਦਿਖਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਚਿੱਤਰ ਬਣਾਓ)।

6.3 ਤਿਕੋਣ ਦੀਆਂ ਉਚਾਈਆਂ

ਕਾਰਡਬੋਰਡ ਦਾ ਇੱਕ ਤਿਕੋਣੀ ਆਕਾਰ ABC ਬਣਾਓ। ਇਸਨੂੰ ਸਿੱਧਾ ਇੱਕ ਮੇਜ਼ ‘ਤੇ ਖੜ੍ਹਾ ਕਰੋ। ਤਿਕੋਣ ਕਿੰਨਾ ‘ਉੱਚਾ’ ਹੈ? ਉਚਾਈ ਸਿਖਰ A (ਚਿੱਤਰ 6.4 ਵਿੱਚ) ਤੋਂ ਆਧਾਰ $\overline{BC}$ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਹੈ।

$A$ ਤੋਂ $\overline{BC}$ ਤੱਕ, ਤੁਸੀਂ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਰੇਖਾ ਖੰਡਾਂ ਬਾਰੇ ਸੋਚ ਸਕਦੇ ਹੋ (ਅਗਲਾ ਚਿੱਤਰ 6.5 ਵੇਖੋ)। ਉਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਹੜਾ

ਉਚਾਈ ਉਸ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਜੋ $A$ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਸਿੱਧਾ $\overline{BC}$ ਤੱਕ ਹੇਠਾਂ ਆਉਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ $\overline{BC}$ ‘ਤੇ ਲੰਬ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਰੇਖਾ ਖੰਡ $\overline{AL}$ ਤਿਕੋਣ ਦੀ ਇੱਕ ਉਚਾਈ ਹੈ।

ਇੱਕ ਉਚਾਈ ਦਾ ਇੱਕ ਸਿਰਾ ਤਿਕੋਣ ਦੇ ਇੱਕ ਸਿਖਰ ‘ਤੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਦੂਜਾ ਸਿਰਾ ਸਾਹਮਣੇ ਵਾਲੀ ਭੁਜਾ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ‘ਤੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਹਰੇਕ

ਚਿੱਤਰ 6.5 ਸਿਖਰ ਰਾਹੀਂ, ਇੱਕ ਉਚਾਈ ਖਿੱਚੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।

ਸੋਚੋ, ਚਰਚਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਲਿਖੋ

1. ਇੱਕ ਤਿਕੋਣ ਦੀਆਂ ਕਿੰਨੀਆਂ ਉਚਾਈਆਂ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ?

2. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਤਿਕੋਣਾਂ (ਚਿੱਤਰ 6.6) ਲਈ A ਤੋਂ $\overline{BC}$ ਤੱਕ ਦੀਆਂ ਉਚਾਈਆਂ ਦੇ ਖੁਰਦਰੇ ਚਿੱਤਰ ਬਣਾਓ:

3. ਕੀ ਇੱਕ ਉਚਾਈ ਹਮੇਸ਼ਾ ਤਿਕੋਣ ਦੇ ਅੰਦਰੂਨੀ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਪਵੇਗੀ? ਜੇ ਤੁਸੀਂ ਸੋਚਦੇ ਹੋ ਕਿ ਇਹ ਸੱਚ ਹੋਣਾ ਜ਼ਰੂਰੀ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਜਿਹਾ ਕੇਸ ਦਿਖਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਖੁਰਦਰਾ ਚਿੱਤਰ ਬਣਾਓ।

4. ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਅਜਿਹੇ ਤਿਕੋਣ ਬਾਰੇ ਸੋਚ ਸਕਦੇ ਹੋ ਜਿਸਦੀਆਂ ਦੋ ਉਚਾਈਆਂ ਇਸਦੀਆਂ ਦੋ ਭੁਜਾਵਾਂ ਹੋਣ?

5. ਕੀ ਇੱਕ ਤਿਕੋਣ ਲਈ ਉਚਾਈ ਅਤੇ ਮੱਧਿਕਾ ਇੱਕੋ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ?

(ਸੰਕੇਤ: ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਨੰਬਰ 4 ਅਤੇ 5 ਲਈ, ਹਰ ਕਿਸਮ ਦੇ ਤਿਕੋਣ ਲਈ ਉਚਾਈਆਂ ਖਿੱਚ ਕੇ ਖੋਜ ਕਰੋ)।

ਇਹ ਕਰੋ

ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਿਆਂ ਦੇ ਕਈ ਕੱਟੇ ਹੋਏ ਟੁਕੜੇ ਲਓ:

(i) ਇੱਕ ਸਮਭੁਜੀ ਤਿਕੋਣ

(ii) ਇੱਕ ਸਮਦੋਭੁਜੀ ਤਿਕੋਣ ਅਤੇ

(iii) ਇੱਕ ਅਸਮ-ਭੁਜੀ ਤਿਕੋਣ।

ਉਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਉਚਾਈਆਂ ਅਤੇ ਮੱਧਿਕਾਵਾਂ ਲੱਭੋ। ਕੀ ਤੁਹਾਨੂੰ ਉਹਨਾਂ ਬਾਰੇ ਕੁਝ ਖਾਸ ਪਤਾ ਲੱਗਦਾ ਹੈ? ਇਸ ਬਾਰੇ ਆਪਣੇ ਦੋਸਤਾਂ ਨਾਲ ਚਰਚਾ ਕਰੋ।

ਅਭਿਆਸ 6.1

1. $\Delta PQR, D$ ਵਿੱਚ, $\overline{QR}$ ਦਾ ਮੱਧ-ਬਿੰਦੂ ਹੈ।

$\overline{PM}$ _____ ਹੈ।

$PD$ _____ ਹੈ।

ਕੀ $QM=MR$ ਹੈ?

2. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਿਆਂ ਲਈ ਖੁਰਦਰੇ ਚਿੱਤਰ ਬਣਾਓ:

(a) $\triangle ABC, BE$ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਮੱਧਿਕਾ ਹੈ।

(b) $\triangle PQR, PQ$ ਵਿੱਚ, $PR$ ਤਿਕੋਣ ਦੀਆਂ ਉਚਾਈਆਂ ਹਨ।

(c) $\triangle X Y Z, Y L$ ਵਿੱਚ, ਤਿਕੋਣ ਦੇ ਬਾਹਰੀ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਉਚਾਈ ਹੈ।

3. ਇੱਕ ਚਿੱਤਰ ਖਿੱਚ ਕੇ ਪੜਤਾਲ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਇੱਕ ਸਮਦੋਭੁਜੀ ਤਿਕੋਣ ਦੀ ਮੱਧਿਕਾ ਅਤੇ ਉਚਾਈ ਇੱਕੋ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ।

6.4 ਤਿਕੋਣ ਦਾ ਬਾਹਰੀ ਕੋਣ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਗੁਣ

ਇਹ ਕਰੋ

1. ਇੱਕ ਤਿਕੋਣ $ABC$ ਬਣਾਓ ਅਤੇ ਇਸਦੀ ਇੱਕ ਭੁਜਾ, ਮੰਨ ਲਓ BC ਨੂੰ ਚਿੱਤਰ 6.7 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਅਨੁਸਾਰ ਲੰਮਾ ਕਰੋ। ਬਿੰਦੂ $C$ ‘ਤੇ ਬਣੇ ਕੋਣ ACD ਨੂੰ ਦੇਖੋ। ਇਹ ਕੋਣ $\triangle ABC$ ਦੇ ਬਾਹਰੀ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਪੈਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਸਿਖਰ $C$ ‘ਤੇ ਬਣੇ $\triangle ABC$ ਦਾ ਇੱਕ ਬਾਹਰੀ ਕੋਣ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ।

ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ ਕਿ $\angle BCA$, $\angle ACD$ ਦਾ ਇੱਕ ਸੰਲਗਨ ਕੋਣ ਹੈ। ਤਿਕੋਣ ਦੇ ਬਾਕੀ ਦੋ ਕੋਣ, ਭਾਵ $\angle A$ ਅਤੇ

ਚਿੱਤਰ 6.7 $\angle B$, $\angle ACD$ ਦੇ ਦੋ ਅੰਦਰੂਨੀ ਸਮਝੋਤੇ ਕੋਣ ਜਾਂ ਦੋ ਦੂਰ-ਅੰਦਰੂਨੀ ਕੋਣ ਕਹਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਹੁਣ $\angle A$ ਅਤੇ $\angle B$ ਨੂੰ ਕੱਟੋ (ਜਾਂ ਇਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਨਕਲਾਂ ਬਣਾਓ) ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਚਿੱਤਰ 6.8 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਅਨੁਸਾਰ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਨੇੜੇ ਰੱਖੋ।

ਕੀ ਇਹ ਦੋਵੇਂ ਟੁਕੜੇ ਮਿਲ ਕੇ $\angle ACD$ ਨੂੰ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਢੱਕਦੇ ਹਨ?

ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ

$m \angle ACD=m \angle A+m \angle B$ ?

2. ਪਹਿਲਾਂ ਵਾਂਗ, ਇੱਕ ਤਿਕੋਣ $ABC$ ਬਣਾਓ ਅਤੇ ਇੱਕ ਬਾਹਰੀ ਕੋਣ ACD ਬਣਾਓ। ਹੁਣ ਇੱਕ ਪ੍ਰੋਟ੍ਰੈਕਟਰ ਲਓ ਅਤੇ $\angle ACD, \angle A$ ਅਤੇ $\angle B$ ਨੂੰ ਮਾਪੋ।

ਯੋਗ $\angle A+\angle B$ ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਇਸਦੀ ਤੁਲਨਾ $\angle ACD$ ਦੇ ਮਾਪ ਨਾਲ ਕਰੋ। ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹੋ ਕਿ $\angle ACD$, $\angle A+\angle B$ ਦੇ ਬਰਾਬਰ (ਜਾਂ ਲਗਭਗ ਬਰਾਬਰ, ਜੇ ਮਾਪਣ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਗਲਤੀ ਹੋਵੇ) ਹੈ?

ਚਿੱਤਰ 6.8

ਤੁਸੀਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੋਹਾਂ ਕਿਰਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਕੁਝ ਹੋਰ ਤਿਕੋਣ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਬਾਹਰੀ ਕੋਣਾਂ ਸਮੇਤ ਬਣਾ ਕੇ ਦੁਹਰਾ ਸਕਦੇ ਹੋ। ਹਰ ਵਾਰ, ਤੁਹਾਨੂੰ ਪਤਾ ਲੱਗੇਗਾ ਕਿ ਇੱਕ ਤਿਕੋਣ ਦਾ ਬਾਹਰੀ ਕੋਣ ਇਸਦੇ ਦੋ ਅੰਦਰੂਨੀ ਸਮਝੋਤੇ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਯੋਗ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਇੱਕ ਤਾਰਕਿਕ ਕਦਮ-ਦਰ-ਕਦਮ ਦਲੀਲ ਇਸ ਤੱਥ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਹੋਰ ਕਰ ਸਕਦੀ ਹੈ।

ਇੱਕ ਤਿਕੋਣ ਦਾ ਬਾਹਰੀ ਕੋਣ ਇਸਦੇ ਅੰਦਰੂਨੀ ਸਮਝੋਤੇ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਯੋਗ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਦਿੱਤਾ ਹੈ: $\triangle ABC$ ਲਓ।

$\angle ACD$ ਇੱਕ ਬਾਹਰੀ ਕੋਣ ਹੈ।

ਦਿਖਾਉਣਾ ਹੈ: $m \angle ACD=m \angle A+m \angle B$

$C$ ਰਾਹੀਂ, $\overline{CE}$ ਖਿੱਚੋ, ਜੋ ਕਿ $\overline{BA}$ ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਹੈ।

ਚਿੱਤਰ 6.9

ਪ੍ਰਮਾਣਿਕਤਾ

ਕਦਮ

(a) $\angle 1=\angle x$

(b) $\angle 2=\angle y$

(c) $\angle 1+\angle 2=\angle x+\angle y$

(d) ਹੁਣ, $\angle x+\angle y=m \angle ACD$

ਇਸ ਲਈ, $\angle 1+\angle 2=\angle ACD$

ਕਾਰਨ

$\overline{BA} || \overline{CE}$ ਅਤੇ $\overline{AC}$ ਇੱਕ ਤਿਰਛੀ ਰੇਖਾ ਹੈ।

ਇਸ ਲਈ, ਇੱਕਾਂਤਰ ਕੋਣ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ।

$\overline{BA} || \overline{CE}$ ਅਤੇ $\overline{BD}$ ਇੱਕ ਤਿਰਛੀ ਰੇਖਾ ਹੈ।

ਇਸ ਲਈ, ਸੰਗਤ ਕੋਣ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ।

ਚਿੱਤਰ 6.9 ਤੋਂ

ਉੱਪਰਲਾ ਸੰਬੰਧ, ਇੱਕ ਬਾਹਰੀ ਕੋਣ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਦੋ ਅੰਦਰੂਨੀ ਸਮਝੋਤੇ ਕੋਣਾਂ ਵਿਚਕਾਰ, ਤਿਕੋਣ ਦੇ ਬਾਹਰੀ ਕੋਣ ਗੁਣ ਵਜੋਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਸੋਚੋ, ਚਰਚਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਲਿਖੋ

1. ਇੱਕ ਤਿਕੋਣ ਲਈ ਬਾਹਰੀ ਕੋਣ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਬਣਾਏ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਉਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਤਿੰਨ ਇੱਥੇ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਹਨ (ਚਿੱਤਰ 6.10)

ਬਾਹਰੀ ਕੋਣ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦੇ ਤਿੰਨ ਹੋਰ ਤਰੀਕੇ ਹਨ। ਉਹ ਖੁਰਦਰੇ ਚਿੱਤਰ ਬਣਾਉਣ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ।

2. ਕੀ ਇੱਕ ਤਿਕੋਣ ਦੇ ਹਰੇਕ ਸਿਖਰ ‘ਤੇ ਬਣੇ ਬਾਹਰੀ ਕੋਣ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ?

3. ਇੱਕ ਤਿਕੋਣ ਦੇ ਬਾਹਰੀ ਕੋਣ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਸੰਲਗਨ ਅੰਦਰੂਨੀ ਕੋਣ ਦੇ ਯੋਗ ਬਾਰੇ ਤੁਸੀਂ ਕੀ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹੋ?

ਉਦਾਹਰਨ 1 ਚਿੱਤਰ 6.11 ਵਿੱਚ ਕੋਣ $x$ ਲੱਭੋ।

ਹੱਲ

ਅੰਦਰੂਨੀ ਸਮਝੋਤੇ ਕੋਣਾਂ ਦਾ ਯੋਗ $=$ ਬਾਹਰੀ ਕੋਣ

$ \begin{aligned} 50^{\circ}+x & =110^{\circ} \\ or \quad x & =60^{\circ} \end{aligned} $

ਚਿੱਤਰ 6.11

ਸੋਚੋ, ਚਰਚਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਲਿਖੋ

1. ਜਦੋਂ ਬਾਹਰੀ ਕੋਣ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਹਰੇਕ ਅੰਦਰੂਨੀ ਸਮਝੋਤੇ ਕੋਣ ਬਾਰੇ ਕੀ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹੋ?

(i) ਇੱਕ ਸਮਕੋਣ?

(ii) ਇੱਕ ਅਧਿਕ-ਕੋਣ?

(iii) ਇੱਕ ਨਿਊਨ-ਕੋਣ?

2. ਕੀ ਇੱਕ ਤਿਕੋਣ ਦਾ ਬਾਹਰੀ ਕੋਣ ਇੱਕ ਸਰਲ ਕੋਣ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ?

ਇਹ ਕਰਕੇ ਵੇਖੋ

1. ਇੱਕ ਤਿਕੋਣ ਦਾ ਬਾਹਰੀ ਕੋਣ $70^{\circ}$ ਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਇੱਕ ਅੰਦਰੂਨੀ ਸਮਝੋਤਾ ਕੋਣ $25^{\circ}$ ਦਾ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਅੰਦਰੂਨੀ ਸਮਝੋਤੇ ਕੋਣ ਦਾ ਮਾਪ ਲੱਭੋ।

2. ਇੱਕ ਤਿਕੋਣ ਦੇ ਇੱਕ ਬਾਹਰੀ ਕੋਣ ਦੇ ਦੋ ਅੰਦਰੂਨੀ ਸਮਝੋਤੇ ਕੋਣ $60^{\circ}$ ਅਤੇ $80^{\circ}$ ਹਨ। ਬਾਹਰੀ ਕੋਣ ਦਾ ਮਾਪ ਲੱਭੋ।

3. ਕੀ ਇਸ ਚਿੱਤਰ (ਚਿੱਤਰ 6.12) ਵਿੱਚ ਕੁਝ ਗਲਤ ਹੈ? ਟਿੱਪਣੀ ਕਰੋ।

ਚਿੱਤਰ 6.12

ਅਭਿਆਸ 6.2

1. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਚਿੱਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਅਣਜਾਣ ਬਾਹਰੀ ਕੋਣ $x$ ਦਾ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ:

2. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਚਿੱਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਅਣਜਾਣ ਅੰਦਰੂਨੀ ਕੋਣ $x$ ਦਾ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ:

6.5 ਤਿਕੋਣ ਦਾ ਕੋਣ-ਯੋਗ ਗੁਣ

ਤਿਕੋਣ ਦੇ ਤਿੰਨ ਕੋਣਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਉੱਲੇਖਯੋਗ ਗੁਣ ਹੈ। ਤੁਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਚਾਰ ਕਿਰਿਆਵਾਂ ਰਾਹੀਂ ਦੇਖਣ ਜਾ ਰਹੇ ਹੋ।

1. ਇੱਕ ਤਿਕੋਣ ਬਣਾਓ। ਇਸਦੇ ਤਿੰਨ ਕੋਣ ਕੱਟੋ। ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਚਿੱਤਰ 6.13 (i), (ii) ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਅਨੁਸਾਰ ਦੁਬਾਰਾ ਵਿਵਸਥਿਤ ਕਰੋ। ਤਿੰਨ ਕੋਣ ਹੁਣ ਇੱਕ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਕੋਣ ਇੱਕ ਸਰਲ ਕੋਣ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਮਾਪ $180^{\circ}$ ਹੈ।

(i)

ਚਿੱਤਰ 6.13

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਇੱਕ ਤਿਕੋਣ ਦੇ ਤਿੰਨ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਮਾਪਾਂ ਦਾ ਯੋਗ $180^{\circ}$ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

2. ਇਹੋ ਤੱਥ ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਵੱਖਰੇ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਵੀ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹੋ। ਕਿਸੇ ਵੀ ਤਿਕੋਣ ਦੀਆਂ ਤਿੰਨ ਨਕਲਾਂ ਲਓ, ਮੰਨ ਲਓ $\triangle ABC$ (ਚਿੱਤਰ 6.14)।

ਚਿੱਤਰ 6.14

ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਚਿੱਤਰ 6.15 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਅਨੁਸਾਰ ਵਿਵਸਥਿਤ ਕਰੋ।

ਤੁਸੀਂ $\angle 1+\angle 2+\angle 3$ ਬਾਰੇ ਕੀ ਦੇਖਦੇ ਹੋ?

(ਕੀ ਤੁਸੀਂ ‘ਬਾਹਰੀ ਕੋਣ ਗੁਣ’ ਵੀ ਦੇਖਦੇ ਹੋ?)

ਚਿੱਤਰ 6.15

3. ਕਾਗਜ਼ ਦਾ ਇੱਕ ਟੁਕੜਾ ਲਓ ਅਤੇ ਇੱਕ ਤਿਕੋਣ, ਮੰਨ ਲਓ, $\triangle ABC$ ਕੱਟੋ (ਚਿੱਤਰ 6.16)।

ਉਚਾਈ $AM$ ਬਣਾਓ, $\triangle ABC$ ਨੂੰ ਮੋੜ ਕੇ ਤਾਂ ਜੋ ਇਹ $A$ ਰਾਹੀਂ ਲੰਘੇ।

ਹੁਣ ਤਿੰਨ ਕੋਨਿਆਂ ਨੂੰ ਮੋੜੋ ਤਾਂ ਜੋ ਤਿੰਨੋਂ ਸਿਖਰ A, B ਅਤੇ C, M ‘ਤੇ ਛੂਹਣ।

(i)

(ii)

(iii)

ਚਿੱਤਰ 6.16

ਤੁਸੀਂ ਦੇਖੋਗੇ ਕਿ ਤਿੰਨੋਂ ਕੋਣ ਮਿਲ ਕੇ ਇੱਕ ਸਰਲ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਦੁਬਾਰਾ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਤਿਕੋਣ ਦੇ ਤਿੰਨ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਮਾਪਾਂ ਦਾ ਯੋਗ $180^{\circ}$ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

4. ਆਪਣੀ ਨੋਟਬੁੱਕ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਵੀ ਤਿੰਨ ਤਿਕੋਣ, ਮੰਨ ਲਓ $\triangle ABC, \triangle PQR$ ਅਤੇ $\triangle XYZ$ ਬਣਾਓ।

ਆਪਣਾ ਪ੍ਰੋਟ੍ਰੈਕਟਰ ਵਰਤੋਂ ਅਤੇ ਇਨ੍ਹਾਂ ਤਿਕੋਣਾਂ ਦੇ ਹਰੇਕ ਕੋਣ ਨੂੰ ਮਾਪੋ।

ਆਪਣੇ ਨਤੀਜਿਆਂ ਨੂੰ ਸਾਰਣੀਬੱਧ ਕਰੋ

ਮਾਪਣ ਵਿੱਚ ਸੀਮਾਂਤ ਗਲਤੀਆਂ ਦੀ ਇਜਾਜ਼ਤ ਦੇਣ ‘ਤੇ, ਤੁਸੀਂ ਦੇਖੋਗੇ ਕਿ ਆਖਰੀ ਕਾਲਮ ਹਮੇਸ਼ਾ $180^{\circ}$ (ਜਾਂ ਲਗਭਗ $180^{\circ}$) ਦਿੰਦਾ ਹੈ।

ਜਦੋਂ ਪੂਰੀ ਸ਼ੁੱਧਤਾ ਸੰਭਵ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਇਹ ਵੀ ਦਰਸਾਏਗਾ ਕਿ ਇੱਕ ਤਿਕੋਣ ਦੇ ਤਿੰਨ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਮਾਪਾਂ ਦਾ ਯੋਗ $180^{\circ}$ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਤੁਸੀਂ ਹੁਣ ਤਾਰਕਿਕ ਦਲੀਲ ਰਾਹੀਂ ਆਪਣੇ ਦਾਅਵੇ ਦੀ ਇੱਕ ਰਸਮੀ ਪ੍ਰਮਾਣਿਕਤਾ ਦੇਣ ਲਈ ਤਿਆਰ ਹੋ।

ਕਥਨ ਇੱਕ ਤਿਕੋਣ ਦੇ ਤਿੰਨ ਕੋਣਾਂ ਦਾ ਕੁੱਲ ਮਾਪ $180^{\circ}$ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਇਸਨੂੰ ਪ੍ਰਮਾਣਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਆਓ ਤਿਕੋਣ ਦੇ ਬਾਹਰੀ ਕੋਣ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੀਏ।

ਚਿੱਤਰ 6.17

ਦਿੱਤਾ ਹੈ $\quad \angle 1, \angle 2, \angle 3$, $\triangle ABC($ ਦੇ ਕੋਣ ਹਨ (ਚਿੱਤਰ 6.17)।

$\angle 4$ ਬਾਹਰੀ ਕੋਣ ਹੈ ਜਦੋਂ $BC$ ਨੂੰ $D$ ਤੱਕ ਲੰਮਾ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਪ੍ਰਮਾਣਿਕਤਾ

$\quad \angle 1+\angle 2=\angle 4$ (ਬਾਹਰੀ ਕੋਣ ਗੁਣ ਦੁਆਰਾ)

$\angle 1+\angle 2+\angle 3=\angle 4+\angle 3$ (ਦੋਹਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਵਿੱਚ $\angle 3$ ਜੋੜ ਕੇ)

ਪਰ $\angle 4$ ਅਤੇ $\angle 3$ ਇੱਕ ਰੇਖਿਕ ਜੋੜਾ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਇਹ $180^{\circ}$ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, $\angle 1+\angle 2+\angle 3=180^{\circ}$।

ਆਓ ਦੇਖੀਏ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇਸ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਕਈ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।

ਉਦਾਹਰਨ 2 ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਚਿੱਤਰ (ਚਿੱਤਰ 6.18) ਵਿੱਚ $m \angle$ P ਲੱਭੋ।

ਹੱਲ

ਤਿਕੋਣ ਦੇ ਕੋਣ-ਯੋਗ ਗੁਣ ਦੁਆਰਾ,

ਇਸ ਲਈ

$ m \angle P+47^{\circ}+52^{\circ}=180^{\circ} $

$ \begin{aligned} m \angle P & =180^{\circ}-47^{\circ}-52^{\circ} \\ & =180^{\circ}-99^{\circ}=81^{\circ} \end{aligned} $

ਚਿੱਤਰ 6.18

ਅਭਿਆਸ 6.