6.1 ആമുഖം

ഒരു ത്രികോണം, നിങ്ങൾ കണ്ടിട്ടുണ്ട്, മൂന്ന് വരികളുടെ ഭാഗങ്ങൾ കൊണ്ട് നിർമ്മിച്ച ഒരു ലളിതമായ അടഞ്ഞ വക്രമാണ്. അതിന് മൂന്ന് ശീർഷങ്ങളും, മൂന്ന് വശങ്ങളും, മൂന്ന് കോണുകളുമുണ്ട്. ഇതാ $\triangle ABC$ (ചിത്രം 6.1). അതിന്

$\text{Sides}:\qquad \overline{AB}, \overline{BC}, \overline{CA}$

$\text{Angles}:\qquad \angle BAC, \angle ABC, \angle BCA$

$\text{Vertices}:\qquad A, B, C$

ചിത്രം 6.1

A ശീർഷത്തിന് എതിർവശത്തുള്ള വശം $BC$ ആണ്. AB വശത്തിന് എതിർവശത്തുള്ള കോൺ നിങ്ങൾക്ക് പേരിടാൻ കഴിയുമോ? ത്രികോണങ്ങളെ (i) വശങ്ങൾ (ii) കോണുകൾ എന്നിവയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി എങ്ങനെ തരം തിരിക്കാമെന്ന് നിങ്ങൾക്കറിയാം.

(i) വശങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി: അസമഭുജ ത്രികോണങ്ങൾ, സമദ്വിബാഹു ത്രികോണങ്ങൾ, സമഭുജ ത്രികോണങ്ങൾ.

(ii) കോണുകളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി: നിശിതകോണ ത്രികോണങ്ങൾ, വിഷമകോണ ത്രികോണങ്ങൾ, ലംബകോണ ത്രികോണങ്ങൾ.

മുകളിലുള്ള ത്രികോണാകൃതികളുടെ പേപ്പർ-കട്ട് മോഡലുകൾ നിർമ്മിക്കുക. നിങ്ങളുടെ മോഡലുകൾ നിങ്ങളുടെ സുഹൃത്തുക്കളുടെ മോഡലുകളുമായി താരതമ്യം ചെയ്ത് അവയെക്കുറിച്ച് ചർച്ച ചെയ്യുക.

ശ്രമിക്കുക

1. $\triangle ABC$ ന്റെ ആറ് ഘടകങ്ങൾ (അതായത്, 3 വശങ്ങളും 3 കോണുകളും) എഴുതുക.

2. എഴുതുക:

(i) $\triangle PQR$ ന്റെ $Q$ ശീർഷത്തിന് എതിർവശത്തുള്ള വശം

(ii) $\triangle LMN$ ന്റെ $LM$ വശത്തിന് എതിർവശത്തുള്ള കോൺ

(iii) $\triangle RST$ ന്റെ RT വശത്തിന് എതിർവശത്തുള്ള ശീർഷം

3. ചിത്രം 6.2 നോക്കി ഓരോ ത്രികോണവും അതിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ തരം തിരിക്കുക

(a) വശങ്ങൾ

(b) കോണുകൾ

ഇപ്പോൾ, ത്രികോണങ്ങളെക്കുറിച്ച് കൂടുതൽ എന്തെങ്കിലും പര്യവേക്ഷണം ചെയ്യാൻ ശ്രമിക്കാം.

6.2 ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ മധ്യമങ്ങൾ

ഒരു വരിഖണ്ഡം നൽകിയാൽ, പേപ്പർ മടക്കിക്കൊണ്ട് അതിന്റെ ലംബ സമഭാജി കണ്ടെത്താനുള്ള വഴി നിങ്ങൾക്കറിയാം. ഒരു കടലാസിൽ നിന്ന് ഒരു ത്രികോണം $ABC$ മുറിച്ചെടുക്കുക (ചിത്രം 6.3). അതിന്റെ ഏതെങ്കിലും ഒരു വശം പരിഗണിക്കുക, ഉദാഹരണത്തിന്, $\overline{BC}$. പേപ്പർ മടക്കിക്കൊണ്ട്, $\overline{BC}$ ന്റെ ലംബ സമഭാജി കണ്ടെത്തുക. മടക്കിയ മടക്ക് $\overline{BC}$ നെ $D$ ൽ, അതിന്റെ മധ്യബിന്ദുവിൽ, കണ്ടുമുട്ടുന്നു. $AD$ യോജിപ്പിക്കുക.

$\overline{BC}$ ന്റെ മധ്യബിന്ദുവിനെ അതിന്റെ എതിർവശത്തുള്ള ശീർഷം $A$ ലേക്ക് യോജിപ്പിക്കുന്ന വരിഖണ്ഡം $A D$, ത്രികോണത്തിന്റെ ഒരു മധ്യമം എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു.

$\overline{AB}$, $\overline{CA}$ എന്നീ വശങ്ങൾ പരിഗണിച്ച് ത്രികോണത്തിന്റെ രണ്ട് മധ്യമങ്ങൾ കൂടി കണ്ടെത്തുക.

ഒരു മധ്യമം ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ ഒരു ശീർഷത്തെ എതിർവശത്തിന്റെ മധ്യബിന്ദുവുമായി ബന്ധിപ്പിക്കുന്നു.

ചിന്തിക്കുക, ചർച്ച ചെയ്യുക, എഴുതുക

1. ഒരു ത്രികോണത്തിന് എത്ര മധ്യമങ്ങൾ ഉണ്ടാകാം?

2. ഒരു മധ്യമം പൂർണ്ണമായും ത്രികോണത്തിന്റെ ആന്തരികത്തിൽ കിടക്കുമോ? (ഇത് ശരിയല്ലെന്ന് നിങ്ങൾ കരുതുന്നുവെങ്കിൽ, അത്തരമൊരു കേസ് കാണിക്കാൻ ഒരു ചിത്രം വരയ്ക്കുക).

6.3 ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ ഉന്നതികൾ

ABC എന്ന ത്രികോണാകൃതിയിലുള്ള കാർഡ്ബോർഡ് നിർമ്മിക്കുക. അത് നിവർന്ന് ഒരു മേശപ്പുറത്ത് വയ്ക്കുക. ത്രികോണം എത്ര ‘ഉയരം’ ഉള്ളതാണ്? ഉയരം എന്നത് ശീർഷം A (ചിത്രം 6.4 ൽ) മുതൽ അടിത്തറ $\overline{BC}$ വരെയുള്ള ദൂരമാണ്.

$A$ മുതൽ $\overline{BC}$ വരെ, നിങ്ങൾക്ക് നിരവധി വരിഖണ്ഡങ്ങൾ സങ്കൽപ്പിക്കാം (അടുത്ത ചിത്രം 6.5 കാണുക). അവയിൽ ഏതാണ്

ഉയരം നൽകുന്നത് $A$ ൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുകയും, നേരെ താഴേക്ക് $\overline{BC}$ ലേക്ക് വരുകയും, $\overline{BC}$ ലേക്ക് ലംബമായിരിക്കുകയും ചെയ്യുന്ന വരിഖണ്ഡമാണ്. ഈ വരിഖണ്ഡം $\overline{AL}$ ത്രികോണത്തിന്റെ ഒരു ഉന്നതിയാണ്.

ഒരു ഉന്നതിക്ക് ഒരറ്റം ത്രികോണത്തിന്റെ ഒരു ശീർഷത്തിലും മറ്റേ അറ്റം എതിർവശം അടങ്ങുന്ന വരിയിലുമായിരിക്കും. ഓരോ

ചിത്രം 6.5 ശീർഷത്തിലൂടെയും, ഒരു ഉന്നതി വരയ്ക്കാം.

ചിന്തിക്കുക, ചർച്ച ചെയ്യുക, എഴുതുക

1. ഒരു ത്രികോണത്തിന് എത്ര ഉന്നതികൾ ഉണ്ടാകാം?

2. ഇനിപ്പറയുന്ന ത്രികോണങ്ങൾക്ക് (ചിത്രം 6.6) A മുതൽ $\overline{BC}$ വരെ ഉന്നതികളുടെ പരുക്കൻ രേഖാചിത്രങ്ങൾ വരയ്ക്കുക:

3. ഒരു ഉന്നതി എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ ആന്തരികത്തിൽ കിടക്കുമോ? ഇത് ശരിയാകണമെന്നില്ലെന്ന് നിങ്ങൾ കരുതുന്നുവെങ്കിൽ, അത്തരമൊരു കേസ് കാണിക്കാൻ ഒരു പരുക്കൻ രേഖാചിത്രം വരയ്ക്കുക.

4. ഒരു ത്രികോണത്തിൽ അതിന്റെ രണ്ട് വശങ്ങൾ തന്നെ രണ്ട് ഉന്നതികളായി വരുന്ന ത്രികോണം നിങ്ങൾക്ക് സങ്കൽപ്പിക്കാമോ?

5. ഒരു ത്രികോണത്തിന് ഉന്നതിയും മധ്യമവും ഒന്നുതന്നെയാകുമോ?

(സൂചന: ചോദ്യ നമ്പർ 4 ഉം 5 ഉം വേണ്ടി, എല്ലാത്തരം ത്രികോണങ്ങൾക്കും ഉന്നതികൾ വരയ്ക്കുന്നതിലൂടെ അന്വേഷിക്കുക).

ഇത് ചെയ്യുക

(i) ഒരു സമഭുജ ത്രികോണം

(ii) ഒരു സമദ്വിബാഹു ത്രികോണം

(iii) ഒരു അസമഭുജ ത്രികോണം

എന്നിവയുടെ നിരവധി കട്ട്-ഔട്ടുകൾ എടുക്കുക.

അവയുടെ ഉന്നതികളും മധ്യമങ്ങളും കണ്ടെത്തുക. അവയെക്കുറിച്ച് എന്തെങ്കിലും പ്രത്യേകത നിങ്ങൾ കാണുന്നുണ്ടോ? അത് നിങ്ങളുടെ സുഹൃത്തുക്കളുമായി ചർച്ച ചെയ്യുക.

അഭ്യാസം 6.1

1. $\Delta PQR, D$ ൽ $\overline{QR}$ ന്റെ മധ്യബിന്ദുവാണ്.

$\overline{PM}$ _____ ആണ്.

$PD$ _____ ആണ്.

$QM=MR$ ആണോ?

2. ഇനിപ്പറയുന്നവയ്ക്ക് പരുക്കൻ രേഖാചിത്രങ്ങൾ വരയ്ക്കുക:

(a) $\triangle ABC, BE$ ൽ ഒരു മധ്യമമാണ്.

(b) $\triangle PQR, PQ$ ൽ $PR$ എന്നിവ ത്രികോണത്തിന്റെ ഉന്നതികളാണ്.

(c) $\triangle X Y Z, Y L$ ൽ ത്രികോണത്തിന്റെ ബാഹ്യത്തിൽ ഒരു ഉന്നതിയാണ്.

3. ഒരു സമദ്വിബാഹു ത്രികോണത്തിന്റെ മധ്യമവും ഉന്നതിയും ഒന്നുതന്നെയാകുമോ എന്ന് ഒരു ചിത്രം വരച്ച് പരിശോധിക്കുക.

6.4 ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ ബാഹ്യകോണും അതിന്റെ ഗുണവും

ഇത് ചെയ്യുക

1. ഒരു ത്രികോണം $ABC$ വരയ്ക്കുക, അതിന്റെ ഒരു വശം, BC എന്ന് പറയാം, ചിത്രം 6.7 ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ നീട്ടുക. $C$ എന്ന ബിന്ദുവിൽ രൂപപ്പെടുന്ന ACD കോൺ നിരീക്ഷിക്കുക. ഈ കോൺ $\triangle ABC$ ന്റെ ബാഹ്യത്തിൽ കിടക്കുന്നു. $C$ ശീർഷത്തിൽ രൂപപ്പെടുന്ന $\triangle ABC$ ന്റെ ഒരു ബാഹ്യകോൺ എന്ന് ഞങ്ങൾ അതിനെ വിളിക്കുന്നു.

വ്യക്തമായും $\angle BCA$ $\angle ACD$ നോട് അടുത്തുള്ള ഒരു കോണാണ്. ത്രികോണത്തിന്റെ ശേഷിക്കുന്ന രണ്ട് കോണുകൾ അതായത് $\angle A$ ഉം

ചിത്രം 6.7 $\angle B$ ഉം $\angle ACD$ ന്റെ രണ്ട് ആന്തരിക എതിർകോണുകൾ അല്ലെങ്കിൽ രണ്ട് വിദൂര ആന്തരിക കോണുകൾ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു. ഇപ്പോൾ $\angle A$, $\angle B$ എന്നിവ മുറിച്ചെടുക്കുക (അല്ലെങ്കിൽ അവയുടെ പകർപ്പുകൾ ഉണ്ടാക്കുക) അവയെ ചിത്രം 6.8 ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ അടുത്തടുത്ത് വയ്ക്കുക.

ഈ രണ്ട് കഷണങ്ങളും ഒരുമിച്ച് $\angle ACD$ നെ പൂർണ്ണമായും മൂടുന്നുണ്ടോ?

നിങ്ങൾക്ക് ഇത് പറയാമോ:

$m \angle ACD=m \angle A+m \angle B$ ?

2. മുമ്പ് ചെയ്തതുപോലെ, ഒരു ത്രികോണം $ABC$ വരയ്ക്കുക, ഒരു ബാഹ്യകോൺ ACD രൂപപ്പെടുത്തുക. ഇപ്പോൾ ഒരു കോണ്മാപിനി എടുത്ത് $\angle ACD, \angle A$, $\angle B$ എന്നിവ അളക്കുക.

$\angle A+\angle B$ ന്റെ തുക കണ്ടെത്തുക, അത് $\angle ACD$ ന്റെ അളവുമായി താരതമ്യം ചെയ്യുക. $\angle ACD$ $\angle A+\angle B$ ന് തുല്യമാണെന്ന് (അല്ലെങ്കിൽ അളവെടുപ്പിൽ പിശകുണ്ടെങ്കിൽ ഏകദേശം തുല്യമാണെന്ന്) നിങ്ങൾ നിരീക്ഷിക്കുന്നുണ്ടോ?

ചിത്രം 6.8

അവയുടെ ബാഹ്യകോണുകളോടൊപ്പം കുറച്ച് കൂടുതൽ ത്രികോണങ്ങൾ വരച്ച് മുകളിൽ പറഞ്ഞ രണ്ട് പ്രവർത്തനങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് ആവർത്തിക്കാം. ഓരോ തവണയും, ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ ബാഹ്യകോൺ അതിന്റെ രണ്ട് ആന്തരിക എതിർകോണുകളുടെ തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണെന്ന് നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തും.

ഒരു യുക്തിപരമായ ഘട്ടം ഘട്ടമായുള്ള വാദം ഈ വസ്തുത കൂടുതൽ ഉറപ്പിക്കും.

ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ ബാഹ്യകോൺ അതിന്റെ ആന്തരിക എതിർകോണുകളുടെ തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.

നൽകിയിരിക്കുന്നത്: $\triangle ABC$ പരിഗണിക്കുക.

$\angle ACD$ ഒരു ബാഹ്യകോണാണ്.

കാണിക്കേണ്ടത്: $m \angle ACD=m \angle A+m \angle B$

$C$ വഴി $\overline{CE}$ വരയ്ക്കുക, $\overline{BA}$ നോട് സമാന്തരമായി.

ചിത്രം 6.9

യുക്തി

ഘട്ടങ്ങൾ

(a) $\angle 1=\angle x$

(b) $\angle 2=\angle y$

(c) $\angle 1+\angle 2=\angle x+\angle y$

(d) ഇപ്പോൾ, $\angle x+\angle y=m \angle ACD$

അതിനാൽ, $\angle 1+\angle 2=\angle ACD$

കാരണങ്ങൾ

$\overline{BA} || \overline{CE}$, $\overline{AC}$ ഒരു ഛേദികയാണ്.

അതിനാൽ, ഒന്നിടവിട്ട കോണുകൾ തുല്യമായിരിക്കണം.

$\overline{BA} || \overline{CE}$, $\overline{BD}$ ഒരു ഛേദികയാണ്.

അതിനാൽ, അനുരൂപ കോണുകൾ തുല്യമായിരിക്കണം.

ചിത്രം 6.9 ൽ നിന്ന്

ഒരു ബാഹ്യകോണും അതിന്റെ രണ്ട് ആന്തരിക എതിർകോണുകളും തമ്മിലുള്ള മുകളിലുള്ള ബന്ധം ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ ബാഹ്യകോൺ ഗുണം എന്നറിയപ്പെടുന്നു.

ചിന്തിക്കുക, ചർച്ച ചെയ്യുക, എഴുതുക

1. ഒരു ത്രികോണത്തിന് ബാഹ്യകോണുകൾ നിരവധി വിധങ്ങളിൽ രൂപപ്പെടുത്താം. അവയിൽ മൂന്ന് ഇവിടെ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു (ചിത്രം 6.10)

ബാഹ്യകോണുകൾ ലഭിക്കുന്നതിന് മൂന്ന് വഴികൾ കൂടിയുണ്ട്. ആ പരുക്കൻ രേഖാചിത്രങ്ങൾ ഉണ്ടാക്കാൻ ശ്രമിക്കുക.

2. ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ ഓരോ ശീർഷത്തിലും രൂപപ്പെടുന്ന ബാഹ്യകോണുകൾ തുല്യമാണോ?

3. ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ ഒരു ബാഹ്യകോണും അതിനോട് അടുത്തുള്ള ആന്തരിക കോണും തമ്മിലുള്ള തുകയെക്കുറിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് എന്ത് പറയാനുണ്ട്?

ഉദാഹരണം 1 ചിത്രം 6.11 ൽ കോൺ $x$ കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം

ആന്തരിക എതിർകോണുകളുടെ തുക $=$ ബാഹ്യകോൺ

$ \begin{aligned} 50^{\circ}+x & =110^{\circ} \\ or \quad x & =60^{\circ} \end{aligned} $

ചിത്രം 6.11

ചിന്തിക്കുക, ചർച്ച ചെയ്യുക, എഴുതുക

1. ബാഹ്യകോൺ ഇനിപ്പറയുന്നവയായിരിക്കുമ്പോൾ ഓരോ ആന്തരിക എതിർകോണിനെക്കുറിച്ചും നിങ്ങൾക്ക് എന്ത് പറയാനുണ്ട്?

(i) ഒരു ലംബകോണം?

(ii) ഒരു വിഷമകോണം?

(iii) ഒരു നിശിതകോണം?

2. ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ ബാഹ്യകോൺ ഒരു സരളകോണമാകുമോ?

ശ്രമിക്കുക

1. ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ ഒരു ബാഹ്യകോണിന്റെ അളവ് $70^{\circ}$ ഉം അതിന്റെ ഒരു ആന്തരിക എതിർകോണിന്റെ അളവ് $25^{\circ}$ ഉം ആണ്. മറ്റേ ആന്തരിക എതിർകോണിന്റെ അളവ് കണ്ടെത്തുക.

2. ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ ഒരു ബാഹ്യകോണിന്റെ രണ്ട് ആന്തരിക എതിർകോണുകൾ $60^{\circ}$ ഉം $80^{\circ}$ ഉം ആണ്. ബാഹ്യകോണിന്റെ അളവ് കണ്ടെത്തുക.

3. ഈ ചിത്രത്തിൽ (ചിത്രം 6.12) എന്തെങ്കിലും തെറ്റുണ്ടോ? അഭിപ്രായമിടുക.

ചിത്രം 6.12

അഭ്യാസം 6.2

1. ഇനിപ്പറയുന്ന ചിത്രങ്ങളിൽ അജ്ഞാത ബാഹ്യകോൺ $x$ ന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക:

2. ഇനിപ്പറയുന്ന ചിത്രങ്ങളിൽ അജ്ഞാത ആന്തരിക കോൺ $x$ ന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക:

6.5 ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ കോണുകളുടെ തുകയുടെ ഗുണം

ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ മൂന്ന് കോണുകളെയും ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ഒരു ശ്രദ്ധേയമായ ഗുണമുണ്ട്. ഇനിപ്പറയുന്ന നാല് പ്രവർത്തനങ്ങളിലൂടെ നിങ്ങൾ ഇത് കാണാൻ പോകുന്നു.

1. ഒരു ത്രികോണം വരയ്ക്കുക. മൂന്ന് കോണുകളും മുറിച്ചെടുക്കുക. അവയെ ചിത്രം 6.13 (i), (ii) ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ പുനഃക്രമീകരിക്കുക. മൂന്ന് കോണുകൾ ഇപ്പോൾ ഒരു കോണായി മാറുന്നു. ഈ കോൺ ഒരു സരളകോണാണ്, അതിനാൽ അളവ് $180^{\circ}$ ആണ്.

(i)

ചിത്രം 6.13

അങ്ങനെ, ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ മൂന്ന് കോണുകളുടെ അളവുകളുടെ തുക $180^{\circ}$ ആണ്.

2. അതേ വസ്തുത നിങ്ങൾക്ക് വ്യത്യസ്തമായ രീതിയിലും നിരീക്ഷിക്കാം. ഏതെങ്കിലും ത്രികോണത്തിന്റെ മൂന്ന് പകർപ്പുകൾ എടുക്കുക, $\triangle ABC$ എന്ന് പറയാം (ചിത്രം 6.14).

ചിത്രം 6.14

ചിത്രം 6.15 ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ അവ ക്രമീകരിക്കുക.

$\angle 1+\angle 2+\angle 3$ എന്നതിനെക്കുറിച്ച് നിങ്ങൾ എന്താണ് നിരീക്ഷിക്കുന്നത്?

(‘ബാഹ്യകോൺ ഗുണം’ നിങ്ങളും കാണുന്നുണ്ടോ?)

ചിത്രം 6.15

3. ഒരു കടലാസ് കഷണം എടുത്ത് ഒരു ത്രികോണം മുറിച്ചെടുക്കുക, $\triangle ABC$ എന്ന് പറയാം (ചിത്രം 6.16).

$\triangle ABC$ മടക്കിക്കൊണ്ട് ഉന്നതി $AM$ നിർമ്മിക്കുക, അത് $A$ വഴി കടന്നുപോകുന്ന തരത്തിൽ.

ഇപ്പോൾ മൂന്ന് കോണുകളും മടക്കുക, അങ്ങനെ മൂന്ന് ശീർഷങ്ങളും A, B, C എന്നിവ M ൽ തൊടുന്ന തരത്തിൽ.

(i)

(ii)

(iii)

ചിത്രം 6.16

മൂന്ന് കോണുകളും ഒരുമിച്ച് ഒരു സരളകോണം രൂപപ്പെടുത്തുന്നതായി നിങ്ങൾ കാണുന്നു. ഇത് വീണ്ടും കാണിക്കുന്നത് ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ മൂന്ന് കോണുകളുടെ അളവുകളുടെ തുക $180^{\circ}$ ആണെന്നാണ്.

4. ഏതെങ്കിലും മൂന്ന് ത്രികോണങ്ങൾ വരയ്ക്കുക, $\triangle ABC, \triangle PQR$, $\triangle XYZ$ എന്നിവ എന്ന് പറയാം, നിങ്ങളുടെ നോട്ട്ബുക്കിൽ.

നിങ്ങളുടെ കോണ്മാപിനി ഉപയോഗിച്ച് ഈ ത്രികോണങ്ങളുടെ ഓരോ കോണും അളക്കുക.

നിങ്ങളുടെ ഫലങ്ങൾ പട്ടികപ്പെടുത്തുക

അളവെടുപ്പിൽ അതിർത്തി പിശകുകൾ അനുവദിച്ചാൽ, അവസാന കോളം എല്ലായ്പ്പോഴും $180^{\circ}$ (അല്ലെങ്കിൽ ഏകദേശം $180^{\circ}$) നൽകുന്നതായി നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തും.

തികഞ്ഞ കൃത്യത സാധ്യമാകുമ്പോൾ, ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ മൂന്ന് കോണുകളുടെ അളവുകളുടെ തുക $180^{\circ}$ ആണെന്നും ഇത് കാണിക്കും.

യുക്തിപരമായ വാദത്തിലൂടെ നിങ്ങളുടെ അവകാശവാദത്തിന് ഒരു ഔപചാരിക ന്യായീകരണം നൽകാൻ നിങ്ങൾ ഇപ്പോൾ തയ്യാറാണ്.

പ്രസ്താവന ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ മൂന്ന് കോണുകളുടെ ആകെ അളവ് $180^{\circ}$ ആണ്.

ഇത് ന്യായീകരിക്കാൻ നമുക്ക് ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ ബാഹ്യകോൺ ഗുണം ഉപയോഗിക്കാം.

ചിത്രം 6.17

നൽകിയിരിക്കുന്നത് $\quad \angle 1, \angle 2, \angle 3$ എന്നിവ $\triangle ABC($ ന്റെ കോണുകളാണ് (ചിത്രം 6.17).

$BC$ $D$ ലേക്ക് നീട്ടുമ്പോൾ $\angle 4$ ബ