৩.১ ভূমিকা

তুমি ইতিমধ্যে সংখ্যাৰেখাত এটা বিন্দু কেনেকৈ স্থানাংকিত কৰিব লাগে সেই বিষয়ে অধ্যয়ন কৰিছা। তুমি ৰেখাত থকা এটা বিন্দুৰ অৱস্থান কেনেকৈ বৰ্ণনা কৰিব লাগে তাকো জানা। আন বহুতো পৰিস্থিতি আছে, য’ত এটা বিন্দু বিচাৰিবলৈ আমি একাধিক ৰেখাৰ সাপেক্ষে ইয়াৰ অৱস্থান বৰ্ণনা কৰিবলগীয়া হয়। উদাহৰণস্বৰূপে, তলৰ পৰিস্থিতিবোৰ বিবেচনা কৰা:

I. চিত্ৰ ৩.১ত, পূৰ্ব-পশ্চিম দিশত এখন মুখ্য ৰাস্তা আৰু পশ্চিমৰ পৰা পূৰ্বলৈ ক্ৰমাংকিত কৰা ৰাস্তা আছে। প্ৰতিটো ৰাস্তাত, ঘৰৰ নম্বৰবোৰ চিহ্নিত কৰা হৈছে। ইয়াত এজন বন্ধুৰ ঘৰ বিচাৰিবলৈ, কেৱল এটা নিৰ্দেশক বিন্দু জানিলেই যথেষ্ট নেকি? উদাহৰণস্বৰূপে, যদি আমি কেৱল ইয়াকেহে জানো যে তাই ২ নং ৰাস্তাত থাকে, তেন্তে আমি তাইৰ ঘৰ সহজে বিচাৰি পাম নেকি? যেতিয়া আমি ইয়াৰ বিষয়ে দুটা তথ্য জানো, অৰ্থাৎ যিটো ৰাস্তাত ই অৱস্থিত তাৰ নম্বৰ আৰু ঘৰৰ নম্বৰ, তেতিয়া যিমান সহজে পাম তিমান সহজে নাপাওঁ। যদি আমি $2^{\text {nd }}$ ৰাস্তাত অৱস্থিত আৰু ৫ নম্বৰৰ ঘৰটোলৈ যাব বিচাৰো, তেন্তে প্ৰথমে আমি $2^{\text {nd }}$ ৰাস্তাটো চিনাক্ত কৰিম আৰু তাৰ পিছত তাত ৫ নম্বৰৰ ঘৰটো চিনাক্ত কৰিম। চিত্ৰ ৩.১ত, H-এ ঘৰটোৰ অৱস্থান দেখুৱাইছে। একেদৰে, P-এ ৰাস্তা নম্বৰ ৭ আৰু ঘৰ নম্বৰ ৪ৰ সৈতে মিল থকা ঘৰটোৰ অৱস্থান দেখুৱাইছে।

চিত্ৰ ৩.১

II. ধৰা তুমি এখন কাগজত এটা বিন্দু (ডট) লিখিলা [চিত্ৰ ৩.২ (ক)]। যদি আমি তোমাক কাগজখনত থকা বিন্দুটোৰ অৱস্থান আমাক ক’বলৈ কওঁ, তুমি কেনেকৈ ক’বা? সম্ভৱতঃ তুমি এনেধৰণেৰে ক’বলৈ চেষ্টা কৰিবা: “বিন্দুটো কাগজখনৰ ওপৰৰ আধা অংশত আছে”, বা “ই কাগজখনৰ বাওঁ কাষৰ ওচৰত আছে”, বা “ই কাগজখনৰ বাওঁহাতৰ ওপৰৰ কোণটোৰ অতি ওচৰত আছে”। এই বিবৃতিবোৰৰ কোনোটোৱে বিন্দুটোৰ অৱস্থান সঠিকভাৱে নিৰ্ধাৰণ কৰেনে? নকৰে! কিন্তু, যদি তুমি কওঁ যে “বিন্দুটো কাগজখনৰ বাওঁ কাষৰ পৰা প্ৰায় $5 \mathrm{~cm}$ দূৰত আছে”, ই অৱস্থানৰ কিছু ধাৰণা দিয়াত সহায় কৰে যদিও বিন্দুটোৰ অৱস্থান সঠিকভাৱে নিৰ্ধাৰণ নকৰে। অলপ চিন্তা কৰিলে তুমি ক’ব পাৰিবা যে বিন্দুটো তলৰ ৰেখাৰ পৰা $9 \mathrm{~cm}$ দূৰত্বতো আছে। আমি এতিয়া সঠিকভাৱে জানো যে বিন্দুটো ক’ত আছে!

চিত্ৰ ৩.২

এই উদ্দেশ্যে, আমি দুটা স্থিৰ ৰেখাৰ পৰা ইয়াৰ দূৰত্ব নিৰ্ধাৰণ কৰি বিন্দুটোৰ অৱস্থান স্থিৰ কৰিলোঁ, কাগজখনৰ বাওঁ কাষ আৰু কাগজখনৰ তলৰ ৰেখা [চিত্ৰ ৩.২ (খ)]। অন্য কথাত, বিন্দুটোৰ অৱস্থান বিচাৰিবলৈ আমি দুটা স্বতন্ত্ৰ তথ্যৰ প্ৰয়োজন।

এতিয়া, তলৰ শ্ৰেণীকক্ষ কাৰ্যকলাপটো কৰা যাক ‘আসন বিন্যাস’ বুলি জনা যায়।

কাৰ্যকলাপ ১ (আসন বিন্যাস) : তোমাৰ শ্ৰেণীকক্ষৰ সকলো ডেস্ক একেলগ কৰি বহাৰ বিন্যাসৰ এখন পৰিকল্পনা আঁকা। প্ৰতিটো ডেস্কক এটা বৰ্গৰ দ্বাৰা প্ৰতিনিধিত্ব কৰা। প্ৰতিটো বৰ্গত, যিটো বৰ্গে প্ৰতিনিধিত্ব কৰে সেই ডেস্কত বহা ছাত্ৰ-ছাত্ৰীৰ নাম লিখা। শ্ৰেণীকক্ষত প্ৰতিজন ছাত্ৰ-ছাত্ৰীৰ অৱস্থান দুটা স্বতন্ত্ৰ তথ্য ব্যৱহাৰ কৰি সঠিকভাৱে বৰ্ণনা কৰা হৈছে:

(i) যিটো স্তম্ভত তেওঁ বহে,

(ii) যিটো শাৰীত তেওঁ বহে।

যদি তুমি $5^{\text {th }}$ স্তম্ভ আৰু $3^{\text {rd }}$ শাৰীত থকা ডেস্কত বহি আছা (চিত্ৰ ৩.৩ত ছাঁযুক্ত বৰ্গৰ দ্বাৰা প্ৰতিনিধিত্ব কৰা হৈছে), তোমাৰ অৱস্থান (৫,৩) হিচাপে লিখিব পাৰি, প্ৰথমে স্তম্ভ নম্বৰ, আৰু তাৰ পিছত শাৰী নম্বৰ লিখি। এইটো $(3,5)$ ৰ সৈতে একে নেকি? তোমাৰ শ্ৰেণীৰ আন ছাত্ৰ-ছাত্ৰীৰ নাম আৰু অৱস্থানবোৰ লিখা। উদাহৰণস্বৰূপে, যদি ছোনিয়া $4^{\text {th }}$ স্তম্ভ আৰু $1^{\text {st }}$ শাৰীত বহি আছে, তেন্তে $S(4,1)$ লিখা। শিক্ষকৰ ডেস্কটো তোমাৰ আসন বিন্যাসৰ অংশ নহয়। আমি শিক্ষকজনক কেৱল এজন পৰ্যবেক্ষক হিচাপে গণ্য কৰিছোঁ।

T-এ শিক্ষকৰ ডেস্ক দেখুৱাইছে S-এ ছোনিয়াৰ ডেস্ক দেখুৱাইছে

চিত্ৰ ৩.৩

ওপৰৰ আলোচনাত, তুমি লক্ষ্য কৰিছা যে সমতলত থকা যিকোনো বস্তুৰ অৱস্থান দুটা লম্ব ৰেখাৰ সহায়ত প্ৰতিনিধিত্ব কৰিব পাৰি। ‘বিন্দু’ৰ ক্ষেত্ৰত, আমাক বিন্দুটোৰ দূৰত্ব কাগজখনৰ তলৰ ৰেখাৰ পৰা আৰু বাওঁ কাষৰ পৰা বিচাৰিবলগীয়া হয়। আসন বিন্যাসৰ ক্ষেত্ৰত, আমাক স্তম্ভৰ নম্বৰ আৰু শাৰীৰ নম্বৰৰ প্ৰয়োজন। এই সৰল ধাৰণাৰ বহু দূৰগামী পৰিণতি আছে, আৰু ই গণিতৰ এক অতি গুৰুত্বপূৰ্ণ শাখা ‘স্থানাংক জ্যামিতি’ৰ সৃষ্টি কৰিছে। এই অধ্যায়ত, আমি স্থানাংক জ্যামিতিৰ কিছুমান মৌলিক ধাৰণাৰ সৈতে পৰিচয় কৰাব বিচাৰো। তুমি তোমাৰ উচ্চ শ্ৰেণীত এইবোৰৰ বিষয়ে অধিক অধ্যয়ন কৰিবা। এই অধ্যয়ন প্ৰথমতে ফৰাচী দাৰ্শনিক আৰু গণিতজ্ঞ ৰেনে ডেকাৰ্টে বিকশিত কৰিছিল।

ৰেনে ডেকাৰ্ট, সপ্তদশ শতিকাৰ মহান ফৰাচী গণিতজ্ঞ, বিচনাত পৰি চিন্তা কৰি ভাল পাইছিল! এদিনা, বিচনাত জিৰণি লৈ থাকোঁতে, তেওঁ সমতলত এটা বিন্দুৰ অৱস্থান বৰ্ণনা কৰাৰ সমস্যাটো সমাধান কৰিলে। তেওঁৰ পদ্ধতিটো আছিল অক্ষাংশ আৰু দ্ৰাঘিমাংশৰ পুৰণি ধাৰণাৰ এক বিকাশ। ডেকাৰ্টৰ সন্মানাৰ্থে, সমতলত এটা বিন্দুৰ অৱস্থান বৰ্ণনা কৰিবলৈ ব্যৱহৃত পদ্ধতিক কাৰ্টেজিয়ান পদ্ধতি বুলিও জনা যায়।

ৰেনে ডেকাৰ্ট (১৫৯৬ -১৬৫০)

চিত্ৰ ৩.৪

৩.২ কাৰ্টেজিয়ান পদ্ধতি

তুমি ‘সংখ্যা পদ্ধতি’ অধ্যায়ত সংখ্যাৰেখাৰ বিষয়ে অধ্যয়ন কৰিছা। সংখ্যাৰেখাত, এটা স্থিৰ বিন্দুৰ পৰা দূৰত্ববোৰ সমান এককত এটা দিশত ধনাত্মকভাৱে আৰু আনটো দিশত ঋণাত্মকভাৱে চিহ্নিত কৰা হয়। যিটো বিন্দুৰ পৰা দূৰত্ববোৰ চিহ্নিত কৰা হয় তাক মূলবিন্দু বোলে। আমি সংখ্যাবোৰক সমান দূৰত্বত ৰেখাত বিন্দু চিহ্নিত কৰি প্ৰতিনিধিত্ব কৰিবলৈ সংখ্যাৰেখা ব্যৱহাৰ কৰো। যদি এটা একক দূৰত্বই ‘১’ সংখ্যাটো প্ৰতিনিধিত্ব কৰে, তেন্তে ৩ একক দূৰত্বই ‘৩’ সংখ্যাটো প্ৰতিনিধিত্ব কৰে, ‘০’ মূলবিন্দুত থাকে। মূলবিন্দুৰ পৰা $r$ দূৰত্বত ধনাত্মক দিশত থকা বিন্দুটোৱে $r$ সংখ্যাটো প্ৰতিনিধিত্ব কৰে। মূলবিন্দুৰ পৰা $r$ দূৰত্বত ঋণাত্মক দিশত থকা বিন্দুটোৱে $-r$ সংখ্যাটো প্ৰতিনিধিত্ব কৰে। সংখ্যাৰেখাত বিভিন্ন সংখ্যাৰ অৱস্থান চিত্ৰ ৩.৫ত দেখুওৱা হৈছে।

চিত্ৰ ৩.৫

ডেকাৰ্টে এনে দুডাল ৰেখাক সমতলত পৰস্পৰ লম্বভাৱে ৰাখি, আৰু সমতলৰ বিন্দুবোৰক এই ৰেখাবোৰৰ সৈতে সংযোগ কৰি স্থানাংকিত কৰাৰ ধাৰণাটো আৱিষ্কাৰ কৰিছিল। লম্ব ৰেখাবোৰ যিকোনো দিশত হ’ব পাৰে যেনে চিত্ৰ ৩.৬ত। কিন্তু, যেতিয়া আমি

চিত্ৰ ৩.৬

এই অধ্যায়ত সমতলত এটা বিন্দু স্থানাংকিত কৰিবলৈ এই দুডাল ৰেখা বাছি লওঁ, তেতিয়া এডাল ৰেখা অনুভূমিক হ’ব আৰু আনডাল উলম্ব হ’ব, যেনে চিত্ৰ ৩.৬(গ)ত। এই ৰেখাবোৰ প্ৰকৃততে তলত দিয়া ধৰণেৰে পোৱা যায়: দুডাল সংখ্যাৰেখা লোৱা, $ \mathrm{X}^{\prime} \mathrm{X}$ আৰু $\mathrm{Y}^{\prime} \mathrm{Y}$ বুলি কৈ। $\mathrm{X}^{\prime} \mathrm{X}$ ক অনুভূমিকভাৱে ৰাখা [যেনে চিত্ৰ ৩.৭(ক)ত] আৰু ইয়াত সংখ্যাবোৰ লিখা যেনেকৈ সংখ্যাৰেখাত লিখা হয়। $Y^{\prime} Y$ ৰ সৈতে একে কাম কৰো, কিন্তু ইয়াত $Y^{\prime} Y$ উলম্ব, অনুভূমিক নহয় [চিত্ৰ ৩.৭(খ)]।

(ক)

(খ) চিত্ৰ ৩.৭

দুয়োডাল ৰেখাক এনেদৰে একেলগ কৰা যাতে ৰেখা দুডালে ইটোৱে সিটোক তেওঁলোকৰ শূন্য বা মূলবিন্দুত ছেদ কৰে (চিত্ৰ ৩.৮)। অনুভূমিক ৰেখা $\mathrm{X}^{\prime} \mathrm{X}$ ক $x$-অক্ষ বোলে আৰু উলম্ব ৰেখা $Y^{\prime}$ ক $y$-অক্ষ বোলে। যিটো বিন্দুত $X^{\prime} X$ আৰু $Y^{\prime} Y$ ইটোৱে সিটোক ছেদ কৰে তাক মূলবিন্দু বোলে, আৰু $\mathrm{O}$ ৰ দ্বাৰা চিহ্নিত কৰা হয়। যিহেতু ধনাত্মক সংখ্যাবোৰ $\mathrm{OX}$ আৰু $\mathrm{OY}$ দিশত থাকে, সেয়েহে $\mathrm{OX}$ আৰু $\mathrm{OY}$ ক ক্ৰমে $x$-অক্ষ আৰু $y$-অক্ষৰ ধনাত্মক দিশ বোলে। একেদৰে, $\mathrm{OX}^{\prime}$ আৰু $\mathrm{OY}^{\prime}$ ক ক্ৰমে $x$-অক্ষ আৰু $y$-অক্ষৰ ঋণাত্মক দিশ বোলে।

চিত্ৰ ৩.৮

তুমি লক্ষ্য কৰিবা যে অক্ষবোৰে (‘axis’ শব্দৰ বহুবচন) সমতলটোক চাৰিটা ভাগত ভাগ কৰে। এই চাৰিটা ভাগক চতুৰ্থাংশ (এক চতুৰ্থাংশ ভাগ) বোলে, OX ৰ পৰা ঘড়ীৰ কাঁটাৰ বিপৰীত দিশত I, II, III আৰু IV নম্বৰ দিয়া হৈছে (চিত্ৰ ৩.৯ চোৱা)। গতিকে, সমতলটোত অক্ষবোৰ আৰু এই চতুৰ্থাংশবোৰ থাকে। আমি সমতলটোক কাৰ্টেজিয়ান সমতল, বা স্থানাংক সমতল, বা xy-সমতল বুলি কওঁ। অক্ষবোৰক স্থানাংক অক্ষ বোলে।

চিত্ৰ ৩.৯

এতিয়া, চাওঁ আহা এই পদ্ধতিটো গণিতৰ বাবে ইমান মৌলিক কিয়, আৰু ই কেনেকৈ উপযোগী। তলৰ চিত্ৰটো বিবেচনা কৰা য’ত অক্ষবোৰ গ্ৰাফ কাগজত আঁকা হৈছে। $\mathrm{P}$ আৰু $\mathrm{Q}$ বিন্দুবোৰৰ অক্ষৰ পৰা দূৰত্ববোৰ চাওঁ আহা। এই বাবে, আমি $x$-অক্ষত PM লম্ব আৰু $y$-অক্ষত PN লম্ব আঁকো। একেদৰে, আমি QR আৰু QS লম্ববোৰ চিত্ৰ ৩.১০ত দেখুওৱাৰ দৰে আঁকো।

চিত্ৰ ৩.১০

তুমি দেখিবা যে

(i) $\mathrm{P}$ বিন্দুটোৰ পৰা $y$-অক্ষলৈ লম্ব দূৰত্ব $x$-অক্ষৰ ধনাত্মক দিশ বৰাবৰ জোখা হৈছে $\mathrm{PN}=\mathrm{OM}=4$ একক।

(ii) $\mathrm{P}$ বিন্দুটোৰ পৰা $x$-অক্ষলৈ লম্ব দূৰত্ব $y$-অক্ষৰ ধনাত্মক দিশ বৰাবৰ জোখা হৈছে $\mathrm{PM}=\mathrm{ON}=3$ একক।

(iii) $\mathrm{Q}$ বিন্দুটোৰ পৰা $y$-অক্ষলৈ লম্ব দূৰত্ব $x$-অক্ষৰ ঋণাত্মক দিশ বৰাবৰ জোখা হৈছে $\mathrm{OR}=\mathrm{SQ}=6$ একক।

(iv) $\mathrm{Q}$ বিন্দুটোৰ পৰা $x$-অক্ষলৈ লম্ব দূৰত্ব $y$-অক্ষৰ ঋণাত্মক দিশ বৰাবৰ জোখা হৈছে $\mathrm{OS}=\mathrm{RQ}=2$ একক।

এতিয়া, এই দূৰত্ববোৰ ব্যৱহাৰ কৰি, আমি কেনেকৈ বিন্দুবোৰ বৰ্ণনা কৰিব পাৰো যাতে কোনো গোলমাল নাথাকে?

আমি তলত দিয়া নিয়মবোৰ ব্যৱহাৰ কৰি এটা বিন্দুৰ স্থানাংক লিখো:

(i) এটা বিন্দুৰ $x$-স্থানাংক হৈছে $y$-অক্ষৰ পৰা ইয়াৰ লম্ব দূৰত্ব $x$-অক্ষ বৰাবৰ জোখা ($x$-অক্ষৰ ধনাত্মক দিশ বৰাবৰ ধনাত্মক আৰু $x$-অক্ষৰ ঋণাত্মক দিশ বৰাবৰ ঋণাত্মক)। $\mathrm{P}$ বিন্দুটোৰ বাবে, ই +৪ আৰু $\mathrm{Q}$ ৰ বাবে, ই -৬। $x$-স্থানাংকক ভুজো বোলে।

(ii) এটা বিন্দুৰ $y$-স্থানাংক হৈছে $x$-অক্ষৰ পৰা ইয়াৰ লম্ব দূৰত্ব $y$-অক্ষ বৰাবৰ জোখা ($y$-অক্ষৰ ধনাত্মক দিশ বৰাবৰ ধনাত্মক আৰু $y$-অক্ষৰ ঋণাত্মক দিশ বৰাবৰ ঋণাত্মক)। $\mathrm{P}$ বিন্দুটোৰ বাবে, ই +৩ আৰু $\mathrm{Q}$ ৰ বাবে, ই -২। $y$-স্থানাংকক কোটি বোলে।

(iii) স্থানাংক সমতলত এটা বিন্দুৰ স্থানাংক উল্লেখ কৰোতে, প্ৰথমে $x$-স্থানাংক আহে, আৰু তাৰ পিছত $y$-স্থানাংক আহে। আমি স্থানাংকবোৰ বন্ধনীত ৰাখো।

গতিকে, $\mathrm{P}$ ৰ স্থানাংক হৈছে $(4,3)$ আৰু $\mathrm{Q}$ ৰ স্থানাংক হৈছে $(-6,-2)$।

মনত ৰাখিবা যে স্থানাংকবোৰে সমতলত এটা বিন্দুক অদ্বিতীয়ভাৱে বৰ্ণনা কৰে। $(3,4)$ $(4,3)$ ৰ সৈতে একে নহয়।

উদাহৰণ ১ : চিত্ৰ ৩.১১ চোৱা আৰু তলৰ বিবৃতিবোৰ সম্পূৰ্ণ কৰা:

(i) $\mathrm{B}$ বিন্দুটোৰ ভুজ আৰু কোটি ক্ৰমে $\ldots \ldots$ আৰু $\ldots \ldots$। গতিকে, $\mathrm{B}$ ৰ স্থানাংক হৈছে (__, __).

(ii) $\mathrm{M}$ বিন্দুটোৰ $x$-স্থানাংক আৰু $y$-স্থানাংক ক্ৰমে $\ldots$ আৰু $\ldots$। গতিকে, $\mathrm{M}$ ৰ স্থানাংক হৈছে (__, __).

(iii) $\mathrm{L}$ বিন্দুটোৰ $x$-স্থানাংক আৰু $y$-স্থানাংক ক্ৰমে $\ldots$ আৰু $\ldots$। গতিকে, $\mathrm{L}$ ৰ স্থানাংক হৈছে (__, __).

(iv) $\mathrm{S}$ বিন্দুটোৰ $x$-স্থানাংক আৰু $y$-স্থানাংক ক্ৰমে $\ldots \ldots$ আৰু $\ldots$। গতিকে, $\mathrm{S}$ ৰ স্থানাংক হৈছে (__, __).

চিত্ৰ ৩.১১

সমাধান: (i) যিহেতু B বিন্দুটোৰ পৰা $y$-অক্ষলৈ দূৰত্ব ৪ একক, সেয়েহে B বিন্দুটোৰ $x$-স্থানাংক বা ভুজ হৈছে ৪। B বিন্দুটোৰ পৰা $x$-অক্ষলৈ দূৰত্ব ৩ একক; গতিকে, $y$-স্থানাংক, অৰ্থাৎ কোটি, B বিন্দুটোৰ বাবে ৩। গতিকে, B বিন্দুটোৰ স্থানাংক হৈছে $(4,3)$।

(ক) ত দিয়াৰ দৰে:

(ii) $\mathrm{M}$ বিন্দুটোৰ $x$-স্থানাংক আৰু $y$-স্থানাংক ক্ৰমে -৩ আৰু ৪। গতিকে, $\mathrm{M}$ বিন্দুটোৰ স্থানাংক হৈছে $(-3,4)$।

(iii) $\mathrm{L}$ বিন্দুটোৰ $x$-স্থানাংক আৰু $y$-স্থানাংক ক্ৰমে -৫ আৰু -৪। গতিকে, $\mathrm{L}$ বিন্দুটোৰ স্থানাংক হৈছে $(-5,-4)$।

(iv) $\mathrm{S}$ বিন্দুটোৰ $x$-স্থানাংক আৰু $y$-স্থানাংক ক্ৰমে ৩ আৰু -৪। গতিকে, $\mathrm{S}$ বিন্দুটোৰ স্থানাংক হৈছে $(3,-4)$।

উদাহৰণ ২ : চিত্ৰ ৩.১২ত অক্ষত চিহ্নিত কৰা বিন্দুবোৰৰ স্থানাংক লিখা।

সমাধান : তুমি দেখিবা যে:

(i) $\mathrm{A}$ বিন্দুটো $y$-অক্ষৰ পৰা +৪ একক দূৰত্বত আৰু $x$-অক্ষৰ পৰা শূন্য দূৰত্বত আছে। গতিকে, $\mathrm{A}$ ৰ $x$-স্থানাংক হৈছে ৪ আৰু $y$-স্থানাংক হৈছে ০। গতিকে, A ৰ স্থানাংক হৈছে $(4,0)$।

(ii) $\mathrm{B}$ ৰ স্থানাংক হৈছে $(0,3)$। কিয়?

(iii) $\mathrm{C}$ ৰ স্থানাংক হৈছে $(-5,0)$। কিয়?

(iv) $\mathrm{D}$ ৰ স্থানাংক হৈছে $(0,-4)$। কিয়?

(v) $\mathrm{E}$ ৰ স্থানাংক হৈছে $\left(\frac{2}{3}, 0\right)$। কিয়?

যিহেতু $x$-অক্ষত থকা প্ৰতিটো বিন্দুৰ $x$-অক্ষৰ পৰা কোনো দূৰত্ব নাথাকে (শূন্য দূৰত্ব), সেয়েহে $x$-অক্ষত থকা প্ৰতিটো বিন্দুৰ $y$-স্থানাংক সদায় শূন্য হয়। গতিকে, $x$-অক্ষত থকা যিকোনো বিন্দুৰ স্থানাংক $(x, 0)$ ৰূপৰ হয়, য’ত $x$ হৈছে বিন্দুটোৰ পৰা $y$-অক্ষলৈ দূৰত্ব। একেদৰে, $y$-অক্ষত থকা যিকোনো বিন্দুৰ স্থানাংক $(0, y)$ ৰূপৰ হয়, য’ত $y$ হৈছে বিন্দুটোৰ পৰা $x$-অক্ষলৈ দূৰত্ব। কিয়?

মূলবিন্দু $\mathbf{O}$ ৰ স্থানাংক কি? ইয়াৰ দুয়োটা অক্ষৰ পৰা শূন্য দূৰত্ব আছে যাতে ইয়াৰ ভুজ আৰু কোটি দুয়োটা শূন্য। গতিকে, মূলবিন্দুৰ স্থানাংক হৈছে $(\mathbf{0}, \mathbf{0})$।

ওপৰৰ উদাহৰণবোৰত, তুমি এটা বিন্দুৰ স্থানাংকৰ চিন আৰু বিন্দুটো থকা চতুৰ্থাংশৰ মাজত তলৰ সম্পৰ্কটো লক্ষ্য কৰিছা হ’ব পাৰে।

(i) যদি এটা বিন্দু ১ম চতুৰ্থাংশত থাকে, তেন্তে বিন্দুটো $(+,+)$ ৰূপৰ হ’ব, কাৰণ ১ম চতুৰ্থাংশটো ধনাত্মক $x$-অক্ষ আৰু ধনাত্মক $y$-অক্ষৰ দ্বাৰা আবদ্ধ।

(ii) যদি এটা বিন্দু ২য় চতুৰ্থাংশত থাকে, তেন্তে বিন্দুটো $(-,+)$ ৰূপৰ হ’ব, কাৰণ ২য় চতুৰ্থাংশটো ঋণাত্মক $x$-অক্ষ আৰু ধনাত্মক $y$-অক্ষৰ দ্বাৰা আবদ্ধ।

(iii) যদি এটা বিন্দু ৩য় চতুৰ্থাংশত থাকে, তেন্তে বিন্দুটো $(-,-)$ ৰূপৰ হ’ব, কাৰণ ৩য় চতুৰ্থাংশটো ঋণাত্মক $x$-অক্ষ আৰু ঋণাত্মক $y$-অক্ষৰ দ্বাৰা আবদ্ধ।

(iv) যদি এটা বিন্দু ৪ৰ্থ চতুৰ্থাংশত থাকে, তেন্তে বিন্দুটো $(+,-)$ ৰূপৰ হ’ব, কাৰণ ৪ৰ্থ চতুৰ্থাংশটো ধনাত্মক $x$-অক্ষ আৰু ঋণাত্মক $y$-অক্ষৰ দ্বাৰা আবদ্ধ (চিত্ৰ ৩.১৩ চোৱা)।

চিত্ৰ ৩.১৩

টোকা : সমতলত এটা বিন্দু বৰ্ণনা কৰিবলৈ আমি ওপৰত আলোচনা কৰা পদ্ধতিটো কেৱল এটা ৰীতি, যিটো সমগ্ৰ বিশ্বতে গ্ৰহণ কৰা হয়। পদ্ধতিটো আন ধৰণেও হ’ব পাৰিলেহেঁতেন, উদাহৰণস্বৰূপে, প্ৰথমে কোটি, আৰু তাৰ পিছত ভুজ। কিন্তু, যিকোনো গোলমালৰ পৰা বাচিবলৈ সমগ্ৰ বিশ্বে আমি বৰ্ণনা কৰা পদ্ধতিটোতেই থাকে।

৩.৩ সাৰাংশ

এই অধ্যায়ত, তুমি তলৰ কথাবোৰ অধ্যয়ন কৰিছা:

১. সমতলত এটা বস্তু বা বিন্দুৰ অৱস্থান স্থানাংকিত কৰিবলৈ, আমাক দুডাল লম্ব ৰেখাৰ প্ৰয়োজন। তাৰে এডাল অনুভূমিক, আৰু আনডাল উলম্ব।

২. সমতলটোক কাৰ্টেজিয়ান, বা স্থানাংক সমতল বোলে আৰু ৰেখাবোৰক স্থানাংক অক্ষ বোলে।

৩. অনুভূমিক ৰেখাডালক $x$-অক্ষ বোলে, আৰু উলম্ব ৰেখাডালক $y$-অক্ষ বোলে।

৪. স্থানাংক অক্ষবোৰে সমতলটোক চাৰিটা ভাগত ভাগ কৰে যাক চতুৰ্থাংশ বোলে।

৫. অক্ষবোৰৰ ছেদ বিন্দুটোক মূলবিন্দু বোলে।

৬. এটা বিন্দুৰ পৰা $y$-অক্ষলৈ দূৰত্বক ইয়াৰ $x$-স্থানাংক, বা ভুজ বোলে, আৰু বিন্দুটোৰ পৰা $x$-অক্ষলৈ দূৰত্বক ইয়াৰ $y$-স্থানাংক, বা কোটি বোলে।

৭. যদি এটা বিন্দুৰ ভুজ $x$ আৰু কোটি $y$ হয়, তেন্তে $(x, y)$ ক বিন্দুটোৰ স্থানাংক বোলে।

৮. $x$-অক্ষত থকা এটা বিন্দুৰ স্থানাংক $(x, 0)$ ৰূপৰ হয় আৰু $y$-অক্ষত থকা বিন্দুটোৰ স্থানাংক $(0, y)$ হয়।

৯. মূলবিন্দুৰ স্থানাংক হৈছে $(0,0)$।

১০. এটা বিন্দুৰ স্থানাংক প্ৰথম চতুৰ্থাংশত $(+,+)$ ৰূপৰ, দ্বিতীয় চতুৰ্থাংশত $(-,+)$ ৰূপৰ, তৃতীয় চতুৰ্থাংশত $(-,-)$ ৰূপৰ আৰু চতুৰ্থ চতুৰ্থাংশত $(+,-)$ ৰূপৰ হয়, য’ত + এ এটা ধনাত্মক বাস্তৱ সংখ্যা আৰু - এ এটা ঋণাত্মক বাস্তৱ সংখ্যা সূচায়।

১১. যদি $x \neq y$, তেন্তে $(x, y) \neq(y, x)$, আৰু $(x, y)=(y, x)$, যদি $x=y$।