৩.১ ভূমিকা

আপনি ইতিমধ্যেই সংখ্যারেখায় একটি বিন্দুর অবস্থান নির্ণয় করার পদ্ধতি অধ্যয়ন করেছেন। রেখার উপর একটি বিন্দুর অবস্থান বর্ণনা করাও আপনি জানেন। আরও অনেক পরিস্থিতি আছে, যেখানে একটি বিন্দু খুঁজে পেতে আমাদের একাধিক রেখার সাপেক্ষে তার অবস্থান বর্ণনা করতে হয়। উদাহরণস্বরূপ, নিচের পরিস্থিতিগুলো বিবেচনা করুন:

I. চিত্র ৩.১-এ, একটি প্রধান সড়ক পূর্ব-পশ্চিম দিকে বিস্তৃত এবং পশ্চিম থেকে পূর্ব দিকে ক্রমাঙ্কিত রাস্তা আছে। এছাড়াও, প্রতিটি রাস্তায় বাড়ির নম্বর চিহ্নিত করা আছে। এখানে একজন বন্ধুর বাড়ি খুঁজতে গেলে, শুধুমাত্র একটি নির্দেশক বিন্দু জানা কি যথেষ্ট? উদাহরণস্বরূপ, যদি আমরা শুধু জানি যে সে ২ নম্বর রাস্তায় থাকে, তাহলে কি আমরা সহজেই তার বাড়ি খুঁজে পাব? তখন যতটা সহজে পাব না, যখন আমরা এর সম্পর্কে দুটি তথ্য জানব, যথা যে রাস্তায় এটি অবস্থিত তার নম্বর এবং বাড়ির নম্বর। যদি আমরা সেই বাড়িতে পৌঁছাতে চাই যা $2^{\text {nd }}$ নম্বর রাস্তায় অবস্থিত এবং যার নম্বর ৫, তাহলে প্রথমে আমরা $2^{\text {nd }}$ নম্বর রাস্তাটি চিহ্নিত করব এবং তারপর সেই রাস্তায় ৫ নম্বর বাড়িটি। চিত্র ৩.১-এ, H বাড়িটির অবস্থান দেখায়। একইভাবে, P রাস্তার

চিত্র ৩.১ নম্বর ৭ এবং বাড়ি নম্বর ৪-এর সাথে সম্পর্কিত বাড়ির অবস্থান দেখায়।

II. ধরুন আপনি একটি কাগজের শীটে একটি বিন্দু রাখলেন [চিত্র ৩.২(ক)]। আমরা যদি আপনাকে কাগজের উপর বিন্দুটির অবস্থান বলতে বলি, আপনি কীভাবে বলবেন? সম্ভবত আপনি এইরকমভাবে বলার চেষ্টা করবেন: “বিন্দুটি কাগজের উপরের অর্ধাংশে আছে”, বা “এটি কাগজের বাম প্রান্তের কাছাকাছি আছে”, বা “এটি শীটের বাম হাতের উপরের কোণের খুব কাছাকাছি আছে”। এই বিবৃতিগুলোর কোনোটিই কি বিন্দুটির অবস্থান সুনির্দিষ্টভাবে নির্ধারণ করে? না! কিন্তু, যদি আপনি বলেন “বিন্দুটি কাগজের বাম প্রান্ত থেকে প্রায় $5 \mathrm{~cm}$ দূরে আছে”, তাহলে এটি কিছু ধারণা দিতে সাহায্য করে কিন্তু তবুও বিন্দুটির অবস্থান নির্ধারণ করে না। একটু চিন্তা করলে আপনি বলতে পারবেন যে বিন্দুটি নিচের রেখা থেকে $9 \mathrm{~cm}$ দূরত্বেও উপরে আছে। এখন আমরা ঠিক জানি বিন্দুটি কোথায়!

চিত্র ৩.২

এই উদ্দেশ্যে, আমরা বিন্দুটির অবস্থান নির্ধারণ করেছি কাগজের বাম প্রান্ত এবং কাগজের নিচের রেখা [চিত্র ৩.২(খ)] - এই দুটি নির্দিষ্ট রেখা থেকে এর দূরত্ব উল্লেখ করে। অন্য কথায়, বিন্দুটির অবস্থান খুঁজে পেতে আমাদের দুটি স্বাধীন তথ্যের প্রয়োজন।

এখন, নিচের শ্রেণীকক্ষ কার্যকলাপটি সম্পাদন করুন যার নাম ‘আসন বিন্যাস পরিকল্পনা’।

কার্যকলাপ ১ (আসন বিন্যাস পরিকল্পনা) : আপনার শ্রেণীকক্ষে সব ডেস্ক একসাথে ঠেলে দিয়ে আসন বিন্যাসের একটি পরিকল্পনা আঁকুন। প্রতিটি ডেস্ককে একটি বর্গক্ষেত্র দ্বারা উপস্থাপন করুন। প্রতিটি বর্গক্ষেত্রে, যে ডেস্কটি বর্গক্ষেত্রটি উপস্থাপন করে সেই ডেস্কে বসা শিক্ষার্থীর নাম লিখুন। শ্রেণীকক্ষে প্রতিটি শিক্ষার্থীর অবস্থান দুটি স্বাধীন তথ্য ব্যবহার করে সুনির্দিষ্টভাবে বর্ণনা করা হয়েছে:

(i) যে কলামে সে বসে,

(ii) যে সারিতে সে বসে।

যদি আপনি $5^{\text {th }}$ নম্বর কলাম এবং $3^{\text {rd }}$ নম্বর সারিতে (চিত্র ৩.৩-এ ছায়াযুক্ত বর্গক্ষেত্র দ্বারা উপস্থাপিত) থাকা ডেস্কে বসে থাকেন, তাহলে আপনার অবস্থান (৫,৩) হিসাবে লেখা যেতে পারে, প্রথমে কলাম নম্বর, তারপর সারি নম্বর লেখা হয়। এটি কি $(3,5)$ এর মতো একই? আপনার শ্রেণীর অন্যান্য শিক্ষার্থীদের নাম এবং অবস্থান লিখুন। উদাহরণস্বরূপ, যদি সোনিয়া $4^{\text {th }}$ নম্বর কলাম এবং $1^{\text {st }}$ নম্বর সারিতে বসে থাকে, তাহলে $S(4,1)$ লিখুন। শিক্ষকের ডেস্কটি আপনার আসন বিন্যাস পরিকল্পনার অংশ নয়। আমরা শিক্ষককে শুধু একজন পর্যবেক্ষক হিসাবে বিবেচনা করছি।

T শিক্ষকের ডেস্ক দেখায় S সোনিয়ার ডেস্ক দেখায়

চিত্র ৩.৩

উপরের আলোচনায়, আপনি লক্ষ্য করেছেন যে একটি সমতলে অবস্থিত যেকোনো বস্তুর অবস্থান দুটি লম্ব রেখার সাহায্যে উপস্থাপন করা যেতে পারে। ‘বিন্দু’র ক্ষেত্রে, আমাদের কাগজের নিচের রেখা থেকে এবং বাম প্রান্ত থেকে বিন্দুটির দূরত্ব প্রয়োজন। আসন বিন্যাস পরিকল্পনার ক্ষেত্রে, আমাদের কলামের নম্বর এবং সারির নম্বর প্রয়োজন। এই সহজ ধারণাটির সুদূরপ্রসারী ফলাফল আছে এবং গণিতের একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ শাখার সূচনা করেছে যার নাম স্থানাঙ্ক জ্যামিতি। এই অধ্যায়ে, আমরা স্থানাঙ্ক জ্যামিতির কিছু মৌলিক ধারণা উপস্থাপন করার লক্ষ্য রাখি। আপনি আপনার উচ্চতর শ্রেণীতে এগুলি সম্পর্কে আরও অধ্যয়ন করবেন। এই অধ্যয়ন প্রাথমিকভাবে ফরাসি দার্শনিক এবং গণিতবিদ রেনে দেকার্ত দ্বারা বিকশিত হয়েছিল।

সপ্তদশ শতাব্দীর মহান ফরাসি গণিতবিদ রেনে দেকার্ত, বিছানায় শুয়ে চিন্তা করতে পছন্দ করতেন! একদিন, বিছানায় বিশ্রাম নেওয়ার সময়, তিনি একটি সমতলে একটি বিন্দুর অবস্থান বর্ণনার সমস্যার সমাধান করেন। তার পদ্ধতিটি ছিল অক্ষাংশ ও দ্রাঘিমাংশের পুরনো ধারণার একটি উন্নয়ন। দেকার্তের সম্মানে, একটি সমতলে একটি বিন্দুর অবস্থান বর্ণনার জন্য ব্যবহৃত পদ্ধতিকে কার্তেসীয় পদ্ধতিও বলা হয়।

রেনে দেকার্ত (১৫৯৬ -১৬৫০)

চিত্র ৩.৪

৩.২ কার্তেসীয় পদ্ধতি

আপনি ‘সংখ্যা পদ্ধতি’ অধ্যায়ে সংখ্যারেখা অধ্যয়ন করেছেন। সংখ্যারেখায়, একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে দূরত্ব সমান এককে ধনাত্মকভাবে এক দিকে এবং ঋণাত্মকভাবে অন্যদিকে চিহ্নিত করা হয়। যে বিন্দু থেকে দূরত্ব চিহ্নিত করা হয় তাকে মূলবিন্দু বলে। আমরা সংখ্যাগুলোকে একটি রেখায় সমান দূরত্বে বিন্দু চিহ্নিত করে উপস্থাপন করতে সংখ্যারেখা ব্যবহার করি। যদি একটি একক দূরত্ব ‘১’ সংখ্যাটিকে উপস্থাপন করে, তাহলে ৩ একক দূরত্ব ‘৩’ সংখ্যাটিকে উপস্থাপন করে, ‘০’ মূলবিন্দুতে থাকে। মূলবিন্দু থেকে $r$ দূরত্বে ধনাত্মক দিকের বিন্দুটি $r$ সংখ্যাটিকে উপস্থাপন করে। মূলবিন্দু থেকে $r$ দূরত্বে ঋণাত্মক দিকের বিন্দুটি $-r$ সংখ্যাটিকে উপস্থাপন করে। সংখ্যারেখায় বিভিন্ন সংখ্যার অবস্থান চিত্র ৩.৫-এ দেখানো হয়েছে।

চিত্র ৩.৫

দেকার্ত একটি সমতলে দুটি এমন রেখাকে পরস্পর লম্বভাবে স্থাপন করার এবং এই রেখাগুলোর সাপেক্ষে সমতলে বিন্দুগুলোর অবস্থান নির্ণয় করার ধারণা উদ্ভাবন করেন। লম্ব রেখাগুলো যেকোনো দিকে হতে পারে যেমন চিত্র ৩.৬-এ। কিন্তু, যখন আমরা

চিত্র ৩.৬

এই অধ্যায়ে একটি সমতলে একটি বিন্দুর অবস্থান নির্ণয় করতে এই দুটি রেখা বেছে নিই, তখন একটি রেখা অনুভূমিক এবং অন্যটি উল্লম্ব হবে, যেমন চিত্র ৩.৬(গ)-এ। এই রেখাগুলো প্রকৃতপক্ষে নিম্নরূপে পাওয়া যায়: দুটি সংখ্যারেখা নিন, তাদের $ \mathrm{X}^{\prime} \mathrm{X}$ এবং $\mathrm{Y}^{\prime} \mathrm{Y}$ নাম দিন। $\mathrm{X}^{\prime} \mathrm{X}$ কে অনুভূমিকভাবে স্থাপন করুন [যেমন চিত্র ৩.৭(ক)-এ] এবং সংখ্যারেখায় যেভাবে সংখ্যাগুলো লেখা হয় সেভাবেই এটিতে সংখ্যাগুলো লিখুন। আমরা $Y^{\prime} Y$ এর সাথেও একই কাজ করি, শুধু এই পার্থক্য যে $Y^{\prime} Y$ উল্লম্ব, অনুভূমিক নয় [চিত্র ৩.৭(খ)]।

(ক)

(খ) চিত্র ৩.৭

উভয় রেখাকে এমনভাবে একত্রিত করুন যাতে দুটি রেখা তাদের শূন্য বা মূলবিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করে (চিত্র ৩.৮)। অনুভূমিক রেখা $\mathrm{X}^{\prime} \mathrm{X}$ কে $x$-অক্ষ এবং উল্লম্ব রেখা $Y^{\prime}$ কে $y$-অক্ষ বলে। যে বিন্দুতে $X^{\prime} X$ এবং $Y^{\prime} Y$ ছেদ করে তাকে মূলবিন্দু বলে এবং $\mathrm{O}$ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। যেহেতু ধনাত্মক সংখ্যাগুলো $\mathrm{OX}$ এবং $\mathrm{OY}$ দিকে অবস্থিত, তাই $\mathrm{OX}$ এবং $\mathrm{OY}$ যথাক্রমে $x$-অক্ষ এবং $y$-অক্ষের ধনাত্মক দিক বলে। একইভাবে, $\mathrm{OX}^{\prime}$ এবং $\mathrm{OY}^{\prime}$ যথাক্রমে $x$-অক্ষ এবং $y$-অক্ষের ঋণাত্মক দিক বলে।

চিত্র ৩.৮

আপনি লক্ষ্য করবেন যে অক্ষগুলি (‘axis’ শব্দের বহুবচন) সমতলকে চারটি ভাগে বিভক্ত করে। এই চারটি ভাগকে চতুর্ভুজ (এক চতুর্থাংশ) বলে, যেগুলোকে OX থেকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে I, II, III এবং IV নম্বর দেওয়া হয়েছে (চিত্র ৩.৯ দেখুন)। সুতরাং, সমতলটি অক্ষ এবং এই চতুর্ভুজগুলি নিয়ে গঠিত। আমরা সমতলটিকে কার্তেসীয় সমতল, বা স্থানাঙ্ক সমতল, বা xy-সমতল বলি। অক্ষগুলিকে স্থানাঙ্ক অক্ষ বলে।

চিত্র ৩.৯

এখন, দেখা যাক কেন এই পদ্ধতিটি গণিতের জন্য এত মৌলিক, এবং এটি কীভাবে উপযোগী। নিচের চিত্রটি বিবেচনা করুন যেখানে অক্ষগুলি গ্রাফ পেপারে আঁকা হয়েছে। আসুন $\mathrm{P}$ এবং $\mathrm{Q}$ বিন্দুগুলির অক্ষ থেকে দূরত্ব দেখি। এর জন্য, আমরা $x$-অক্ষের উপর PM এবং $y$-অক্ষের উপর PN লম্ব আঁকি। একইভাবে, আমরা চিত্র ৩.১০-এ দেখানো হিসাবে QR এবং QS লম্ব আঁকি।

চিত্র ৩.১০

আপনি দেখতে পাবেন যে

(i) $\mathrm{P}$ বিন্দুর $y$-অক্ষ থেকে লম্ব দূরত্ব $x$-অক্ষের ধনাত্মক দিক বরাবর পরিমাপ করলে $\mathrm{PN}=\mathrm{OM}=4$ একক।

(ii) $\mathrm{P}$ বিন্দুর $x$-অক্ষ থেকে লম্ব দূরত্ব $y$-অক্ষের ধনাত্মক দিক বরাবর পরিমাপ করলে $\mathrm{PM}=\mathrm{ON}=3$ একক।

(iii) $\mathrm{Q}$ বিন্দুর $y$-অক্ষ থেকে লম্ব দূরত্ব $x$-অক্ষের ঋণাত্মক দিক বরাবর পরিমাপ করলে $\mathrm{OR}=\mathrm{SQ}=6$ একক।

(iv) $\mathrm{Q}$ বিন্দুর $x$-অক্ষ থেকে লম্ব দূরত্ব $y$-অক্ষের ঋণাত্মক দিক বরাবর পরিমাপ করলে $\mathrm{OS}=\mathrm{RQ}=2$ একক।

এখন, এই দূরত্বগুলি ব্যবহার করে, আমরা কীভাবে বিন্দুগুলিকে বর্ণনা করব যাতে কোনও বিভ্রান্তি না থাকে?

আমরা নিম্নলিখিত নিয়মাবলী ব্যবহার করে একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক লিখি:

(i) একটি বিন্দুর $x$-স্থানাঙ্ক হল $y$-অক্ষ থেকে এর লম্ব দূরত্ব যা $x$-অক্ষ বরাবর পরিমাপ করা হয় ($x$-অক্ষের ধনাত্মক দিক বরাবর ধনাত্মক এবং $x$-অক্ষের ঋণাত্মক দিক বরাবর ঋণাত্মক)। $\mathrm{P}$ বিন্দুর জন্য, এটি +৪ এবং $\mathrm{Q}$ বিন্দুর জন্য, এটি -৬। $x$-স্থানাঙ্ককে ভুজও বলে।

(ii) একটি বিন্দুর $y$-স্থানাঙ্ক হল $x$-অক্ষ থেকে এর লম্ব দূরত্ব যা $y$-অক্ষ বরাবর পরিমাপ করা হয় ($y$-অক্ষের ধনাত্মক দিক বরাবর ধনাত্মক এবং $y$-অক্ষের ঋণাত্মক দিক বরাবর ঋণাত্মক)। $\mathrm{P}$ বিন্দুর জন্য, এটি +৩ এবং $\mathrm{Q}$ বিন্দুর জন্য, এটি -২। $y$-স্থানাঙ্ককে কোটি বা ক্রমাঙ্কও বলে।

(iii) স্থানাঙ্ক সমতলে একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক উল্লেখ করার সময়, $x$-স্থানাঙ্ক প্রথমে আসে, এবং তারপর $y$-স্থানাঙ্ক আসে। আমরা স্থানাঙ্কগুলি বন্ধনীর মধ্যে রাখি।

সুতরাং, $\mathrm{P}$ এর স্থানাঙ্কগুলি হল $(4,3)$ এবং $\mathrm{Q}$ এর স্থানাঙ্কগুলি হল $(-6,-2)$।

লক্ষ্য করুন যে স্থানাঙ্কগুলি সমতলে একটি বিন্দুকে অনন্যভাবে বর্ণনা করে। $(3,4)$ হল $(4,3)$ এর মতো নয়।

উদাহরণ ১ : চিত্র ৩.১১ দেখুন এবং নিচের বিবৃতিগুলি সম্পূর্ণ করুন:

(i) $\mathrm{B}$ বিন্দুর ভুজ এবং কোটি যথাক্রমে $\ldots \ldots$ এবং $\ldots \ldots$। সুতরাং, $\mathrm{B}$ এর স্থানাঙ্কগুলি হল (__,__)।

(ii) $\mathrm{M}$ বিন্দুর $x$-স্থানাঙ্ক এবং $y$-স্থানাঙ্ক যথাক্রমে $\ldots$ এবং $\ldots$। সুতরাং, $\mathrm{M}$ এর স্থানাঙ্কগুলি হল (__,__)।

(iii) $\mathrm{L}$ বিন্দুর $x$-স্থানাঙ্ক এবং $y$-স্থানাঙ্ক যথাক্রমে $\ldots$ এবং $\ldots$। সুতরাং, $\mathrm{L}$ এর স্থানাঙ্কগুলি হল (__,__)।

(iv) $\mathrm{S}$ বিন্দুর $x$-স্থানাঙ্ক এবং $y$-স্থানাঙ্ক যথাক্রমে $\ldots \ldots$ এবং $\ldots$। সুতরাং, $\mathrm{S}$ এর স্থানাঙ্কগুলি হল (__,__)।

চিত্র ৩.১১

সমাধান: (i) যেহেতু B বিন্দুর $y$-অক্ষ থেকে দূরত্ব ৪ একক, তাই B বিন্দুর $x$-স্থানাঙ্ক বা ভুজ হল ৪। B বিন্দুর $x$-অক্ষ থেকে দূরত্ব ৩ একক; সুতরাং, B বিন্দুর $y$-স্থানাঙ্ক, অর্থাৎ কোটি, হল ৩। সুতরাং, B বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি হল $(4,3)$।

(i) এর মতোই:

(ii) $\mathrm{M}$ বিন্দুর $x$-স্থানাঙ্ক এবং $y$-স্থানাঙ্ক যথাক্রমে -৩ এবং ৪। সুতরাং, $\mathrm{M}$ বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি হল $(-3,4)$।

(iii) $\mathrm{L}$ বিন্দুর $x$-স্থানাঙ্ক এবং $y$-স্থানাঙ্ক যথাক্রমে -৫ এবং -৪। সুতরাং, $\mathrm{L}$ বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি হল $(-5,-4)$।

(iv) $\mathrm{S}$ বিন্দুর $x$-স্থানাঙ্ক এবং $y$-স্থানাঙ্ক যথাক্রমে ৩ এবং -৪। সুতরাং, $\mathrm{S}$ বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি হল $(3,-4)$।

উদাহরণ ২ : চিত্র ৩.১২-এ অক্ষগুলির উপর চিহ্নিত বিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক লিখুন।

সমাধান : আপনি দেখতে পাচ্ছেন:

(i) $\mathrm{A}$ বিন্দুটি $y$-অক্ষ থেকে +৪ একক দূরত্বে এবং $x$-অক্ষ থেকে শূন্য দূরত্বে অবস্থিত। সুতরাং, $\mathrm{A}$ এর $x$-স্থানাঙ্ক হল ৪ এবং $y$-স্থানাঙ্ক হল ০। সুতরাং, A এর স্থানাঙ্কগুলি হল $(4,0)$।

(ii) $\mathrm{B}$ এর স্থানাঙ্কগুলি হল $(0,3)$। কেন?

(iii) $\mathrm{C}$ এর স্থানাঙ্কগুলি হল $(-5,0)$। কেন?

(iv) $\mathrm{D}$ এর স্থানাঙ্কগুলি হল $(0,-4)$। কেন?

(v) $\mathrm{E}$ এর স্থানাঙ্কগুলি হল $\left(\frac{2}{3}, 0\right)$। কেন?

যেহেতু $x$-অক্ষের উপর অবস্থিত প্রতিটি বিন্দুর $x$-অক্ষ থেকে কোন দূরত্ব (শূন্য দূরত্ব) নেই, তাই $x$-অক্ষের উপর অবস্থিত প্রতিটি বিন্দুর $y$-স্থানাঙ্ক সর্বদা শূন্য হয়। সুতরাং, $x$-অক্ষের উপর অবস্থিত যেকোনো বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি $(x, 0)$ আকারের হয়, যেখানে $x$ হল বিন্দুটির $y$-অক্ষ থেকে দূরত্ব। একইভাবে, $y$-অক্ষের উপর অবস্থিত যেকোনো বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি $(0, y)$ আকারের হয়, যেখানে $y$ হল বিন্দুটির $x$-অক্ষ থেকে দূরত্ব। কেন?

মূলবিন্দু $\mathbf{O}$ এর স্থানাঙ্কগুলি কী? উভয় অক্ষ থেকে এর দূরত্ব শূন্য, তাই এর ভুজ এবং কোটি উভয়ই শূন্য। সুতরাং, মূলবিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি হল $(\mathbf{0}, \mathbf{0})$।

উপরের উদাহরণগুলিতে, আপনি একটি বিন্দুর স্থানাঙ্কের চিহ্ন এবং যে চতুর্ভুজে বিন্দুটি অবস্থিত তার মধ্যে নিম্নলিখিত সম্পর্ক লক্ষ্য করেছেন হতে পারে।

(i) যদি একটি বিন্দু ১ম চতুর্ভুজে থাকে, তাহলে বিন্দুটি $(+,+)$ আকারে হবে, যেহেতু ১ম চতুর্ভুজটি ধনাত্মক $x$-অক্ষ এবং ধনাত্মক $y$-অক্ষ দ্বারা আবদ্ধ।

(ii) যদি একটি বিন্দু ২য় চতুর্ভুজে থাকে, তাহলে বিন্দুটি $(-,+)$ আকারে হবে, যেহেতু ২য় চতুর্ভুজটি ঋণাত্মক $x$-অক্ষ এবং ধনাত্মক $y$-অক্ষ দ্বারা আবদ্ধ।

(iii) যদি একটি বিন্দু ৩য় চতুর্ভুজে থাকে, তাহলে বিন্দুটি $(-,-)$ আকারে হবে, যেহেতু ৩য় চতুর্ভুজটি ঋণাত্মক $x$-অক্ষ এবং ঋণাত্মক $y$-অক্ষ দ্বারা আবদ্ধ।

(iv) যদি একটি বিন্দু ৪র্থ চতুর্ভুজে থাকে, তাহলে বিন্দুটি $(+,-)$ আকারে হবে, যেহেতু ৪র্থ চতুর্ভুজটি ধনাত্মক $x$-অক্ষ এবং ঋণাত্মক $y$-অক্ষ দ্বারা আবদ্ধ (চিত্র ৩.১৩ দেখুন)।

চিত্র ৩.১৩

মন্তব্য : একটি সমতলে একটি বিন্দু বর্ণনার জন্য আমরা উপরে যে পদ্ধতি আলোচনা করেছি তা শুধুমাত্র একটি প্রচলিত রীতি, যা সারা বিশ্বে গৃহীত। পদ্ধতিটি অন্যরকমও হতে পারত, উদাহরণস্বরূপ, প্রথমে কোটি, এবং তারপর ভুজ। যাইহোক, বিভ্রান্তি এড়াতে সমগ্র বিশ্ব আমরা যে পদ্ধতি বর্ণনা করেছি সেটিতেই থাকে।

৩.৩ সারসংক্ষেপ

এই অধ্যায়ে, আপনি নিম্নলিখিত বিষয়গুলি অধ্যয়ন করেছেন:

১. একটি সমতলে কোনো বস্তু বা বিন্দুর অবস্থান নির্ণয় করতে, আমাদের দুটি লম্ব রেখার প্রয়োজন। তাদের মধ্যে একটি অনুভূমিক, এবং অন্যটি উল্লম্ব।

২. সমতলটিকে কার্তেসীয় সমতল, বা স্থানাঙ্ক সমতল এবং রেখাগুলিকে স্থানাঙ্ক অক্ষ বলে।

৩. অনুভূমিক রেখাটিকে $x$-অক্ষ বলে, এবং উল্লম্ব রেখাটিকে $y$-অক্ষ বলে।

৪. স্থানাঙ্ক অক্ষগুলি সমতলকে চারটি অংশে বিভক্ত করে যাদের চতুর্ভুজ বলে।

৫. অক্ষগুলির ছেদবিন্দুকে মূলবিন্দু বলে।

৬. একটি বিন্দুর $y$-অক্ষ থেকে দূরত্বকে এর $x$-স্থানাঙ্ক, বা ভুজ বলে, এবং বিন্দুটির $x$-অক্ষ থেকে দূরত্বকে এর $y$-স্থানাঙ্ক, বা কোটি বলে।

৭. যদি একটি বিন্দুর ভুজ $x$ হয় এবং কোটি $y$ হয়, তাহলে $(x, y)$ কে বিন্দুটির স্থানাঙ্ক বলে।

৮. $x$-অক্ষের উপর অবস্থিত একটি বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি $(x, 0)$ আকারের হয় এবং $y$-অক্ষের উপর অবস্থিত বিন্দুটির স্থানাঙ্কগুলি $(0, y)$ হয়।

৯. মূলবিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি হল $(0,0)$।

১০. একটি বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি প্রথম চতুর্ভুজে $(+,+)$ আকারের, দ্বিতীয় চতুর্ভুজে $(-,+)$ আকারের, তৃতীয় চতুর্ভুজে $(-,-)$ আকারের এবং চতুর্থ চতুর্ভুজে $(+,-)$ আকারের হয়, যেখানে + একটি ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা এবং - একটি ঋণাত্মক বাস্তব সংখ্যা বোঝায়।

১১. যদি $x \neq y$ হয়, তাহলে $(x, y) \neq(y, x)$ হয়, এবং $(x, y)=(y, x)$ হয়, যদি $x=y$ হয়।