3.1 परिचय

आप पहले ही पढ़ चुके हैं कि संख्या रेखा पर एक बिंदु कैसे स्थित किया जाता है। आप रेखा पर एक बिंदु की स्थिति का वर्णन करना भी जानते हैं। ऐसी कई अन्य स्थितियाँ हैं, जिनमें किसी बिंदु को खोजने के लिए हमें एक से अधिक रेखाओं के सन्दर्भ में उसकी स्थिति का वर्णन करने की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित स्थितियों पर विचार करें:

I. चित्र 3.1 में, एक मुख्य सड़क पूर्व-पश्चिम दिशा में चल रही है और गलियाँ पश्चिम से पूर्व की ओर क्रमांकित हैं। साथ ही, प्रत्येक गली पर, मकानों के नंबर अंकित हैं। यहाँ किसी मित्र के घर को ढूँढ़ने के लिए, क्या केवल एक सन्दर्भ बिंदु जानना पर्याप्त है? उदाहरण के लिए, यदि हम केवल यह जानते हैं कि वह गली 2 पर रहती है, तो क्या हम उसका घर आसानी से ढूँढ़ पाएँगे? उतनी आसानी से नहीं जितनी तब जब हम उसके बारे में दो जानकारियाँ जानते हैं, अर्थात् वह गली जिस पर वह स्थित है और मकान नंबर। यदि हम उस घर तक पहुँचना चाहते हैं जो $2^{\text {nd }}$ गली में स्थित है और जिसका नंबर 5 है, तो सबसे पहले हम $2^{\text {nd }}$ गली की पहचान करेंगे और फिर उस पर 5 नंबर वाले मकान की। चित्र 3.1 में, H घर के स्थान को दर्शाता है। इसी प्रकार, P गली

चित्र 3.1 नंबर 7 और मकान नंबर 4 के संगत घर के स्थान को दर्शाता है।

II. मान लीजिए आप एक कागज़ की शीट पर एक बिंदु लगाते हैं [चित्र 3.2 (a)]। यदि हम आपसे कागज़ पर बिंदु की स्थिति बताने के लिए कहें, तो आप यह कैसे करेंगे? संभवतः आप कुछ इस तरह से प्रयास करेंगे: “बिंदु कागज़ के ऊपरी आधे भाग में है”, या “यह कागज़ के बाएँ किनारे के पास है”, या “यह शीट के बाएँ हाथ के ऊपरी कोने के बहुत निकट है”। क्या इनमें से कोई भी कथन बिंदु की स्थिति को सटीक रूप से निर्धारित करता है? नहीं! लेकिन, यदि आप कहते हैं “बिंदु कागज़ के बाएँ किनारे से लगभग $5 \mathrm{~cm}$ दूर है”, तो यह कुछ अंदाजा देने में तो मदद करता है लेकिन फिर भी बिंदु की स्थिति निर्धारित नहीं करता। थोड़ा सोचने पर आप यह कहने में सक्षम हो सकते हैं कि बिंदु नीचे वाली रेखा से $9 \mathrm{~cm}$ की दूरी पर भी है। अब हम ठीक-ठीक जानते हैं कि बिंदु कहाँ है!

चित्र 3.2

इस उद्देश्य के लिए, हमने बिंदु की स्थिति को दो निश्चित रेखाओं, कागज़ के बाएँ किनारे और कागज़ की निचली रेखा से उसकी दूरियाँ निर्दिष्ट करके निर्धारित की [चित्र 3.2 (b)]। दूसरे शब्दों में, बिंदु की स्थिति ज्ञात करने के लिए हमें दो स्वतंत्र सूचनाओं की आवश्यकता है।

अब, निम्नलिखित कक्षा गतिविधि करें जिसे ‘बैठने की योजना’ कहा जाता है।

गतिविधि 1 (बैठने की योजना) : अपनी कक्षा में बैठने की योजना बनाएँ, सभी डेस्कों को एक साथ धकेलते हुए। प्रत्येक डेस्क को एक वर्ग द्वारा निरूपित करें। प्रत्येक वर्ग में, उस छात्र का नाम लिखें जो उस डेस्क पर बैठता है, जिसे वह वर्ग निरूपित करता है। कक्षा में प्रत्येक छात्र की स्थिति दो स्वतंत्र सूचनाओं का उपयोग करके सटीक रूप से वर्णित की जाती है:

(i) वह स्तंभ जिसमें वह बैठता/बैठती है,

(ii) वह पंक्ति जिसमें वह बैठता/बैठती है।

यदि आप $5^{\text {th }}$ स्तंभ और $3^{\text {rd }}$ पंक्ति (चित्र 3.3 में छायांकित वर्ग द्वारा निरूपित) में स्थित डेस्क पर बैठे हैं, तो आपकी स्थिति को (5,3) के रूप में लिखा जा सकता है, पहले स्तंभ संख्या लिखकर, और फिर पंक्ति संख्या। क्या यह $(3,5)$ के समान है? अपनी कक्षा के अन्य छात्रों के नाम और स्थितियाँ लिखें। उदाहरण के लिए, यदि सोनिया $4^{\text {th }}$ स्तंभ और $1^{\text {st }}$ पंक्ति में बैठी है, तो $S(4,1)$ लिखें। शिक्षक की डेस्क आपकी बैठने की योजना का हिस्सा नहीं है। हम शिक्षक को केवल एक प्रेक्षक के रूप में मान रहे हैं।

T शिक्षक की डेस्क दर्शाता है S सोनिया की डेस्क दर्शाता है

चित्र 3.3

उपरोक्त चर्चा में, आप देखते हैं कि एक तल में स्थित किसी भी वस्तु की स्थिति को दो लंबवत रेखाओं की सहायता से निरूपित किया जा सकता है। ‘बिंदु’ के मामले में, हमें बिंदु की दूरी नीचे वाली रेखा से तथा कागज़ के बाएँ किनारे से चाहिए। बैठने की योजना के मामले में, हमें स्तंभ की संख्या और पंक्ति की संख्या चाहिए। इस सरल विचार के दूरगामी परिणाम हैं, और इसने गणित की एक बहुत महत्वपूर्ण शाखा को जन्म दिया है जिसे निर्देशांक ज्यामिति के नाम से जाना जाता है। इस अध्याय में, हमारा उद्देश्य निर्देशांक ज्यामिति की कुछ मूल अवधारणाओं का परिचय देना है। आप इनके बारे में अपनी उच्च कक्षाओं में और अधिक अध्ययन करेंगे। इस अध्ययन का प्रारंभिक विकास फ्रांसीसी दार्शनिक और गणितज्ञ रेने डेसकार्टेस ने किया था।

रेने डेसकार्टेस, सत्रहवीं शताब्दी के महान फ्रांसीसी गणितज्ञ, बिस्तर पर लेटकर सोचना पसंद करते थे! एक दिन, बिस्तर पर आराम करते हुए, उन्होंने एक तल में एक बिंदु की स्थिति का वर्णन करने की समस्या का समाधान किया। उनकी विधि अक्षांश और देशांतर के पुराने विचार का एक विकास थी। डेसकार्टेस के सम्मान में, एक तल में एक बिंदु की स्थिति का वर्णन करने के लिए उपयोग की जाने वाली प्रणाली को कार्तीय प्रणाली के नाम से भी जाना जाता है।

रेने डेसकार्टेस (1596 -1650)

चित्र 3.4

3.2 कार्तीय प्रणाली

आपने ‘संख्या पद्धति’ अध्याय में संख्या रेखा का अध्ययन किया है। संख्या रेखा पर, एक निश्चित बिंदु से दूरियाँ एक दिशा में धनात्मक और दूसरी दिशा में ऋणात्मक रूप में समान इकाइयों में अंकित की जाती हैं। वह बिंदु जिससे दूरियाँ अंकित की जाती हैं, मूलबिंदु कहलाता है। हम संख्याओं को निरूपित करने के लिए एक रेखा पर समान दूरी पर बिंदु अंकित करके संख्या रेखा का उपयोग करते हैं। यदि एक इकाई दूरी संख्या ‘1’ को निरूपित करती है, तो 3 इकाई दूरी संख्या ‘3’ को निरूपित करती है, ‘0’ मूलबिंदु पर होती है। मूलबिंदु से $r$ दूरी पर धनात्मक दिशा में स्थित बिंदु संख्या $r$ को निरूपित करता है। मूलबिंदु से $r$ दूरी पर ऋणात्मक दिशा में स्थित बिंदु संख्या $-r$ को निरूपित करता है। संख्या रेखा पर विभिन्न संख्याओं के स्थान चित्र 3.5 में दिखाए गए हैं।

चित्र 3.5

डेसकार्टेस ने एक तल पर दो ऐसी रेखाओं को एक-दूसरे के लंबवत रखने और तल पर बिंदुओं को इन रेखाओं के सन्दर्भ में स्थित करने का विचार दिया। लंबवत रेखाएँ किसी भी दिशा में हो सकती हैं जैसे चित्र 3.6 में। लेकिन, जब हम इस अध्याय में एक तल में एक बिंदु को स्थित करने के लिए इन दो रेखाओं को चुनते हैं, तो एक रेखा क्षैतिज होगी और दूसरी ऊर्ध्वाधर होगी, जैसा कि चित्र 3.6(c) में है। ये रेखाएँ वास्तव में निम्नलिखित प्रकार से प्राप्त की जाती हैं: दो संख्या रेखाएँ लें, उन्हें $ \mathrm{X}^{\prime} \mathrm{X}$ और $\mathrm{Y}^{\prime} \mathrm{Y}$ कहकर। $\mathrm{X}^{\prime} \mathrm{X}$ को क्षैतिज रखें [जैसा कि चित्र 3.7(a) में है] और उस पर संख्याएँ वैसे ही लिखें जैसे संख्या रेखा पर लिखी जाती हैं। हम $Y^{\prime} Y$ के साथ भी वही काम करते हैं सिवाय इसके कि $Y^{\prime} Y$ ऊर्ध्वाधर है, क्षैतिज नहीं [चित्र 3.7(b)]।

(a)

(b) चित्र 3.7

दोनों रेखाओं को इस प्रकार संयोजित करें कि दोनों रेखाएँ अपने शून्यों, या मूलबिंदुओं पर एक-दूसरे को काटें (चित्र 3.8)। क्षैतिज रेखा $\mathrm{X}^{\prime} \mathrm{X}$ को $x$-अक्ष कहा जाता है और ऊर्ध्वाधर रेखा $Y^{\prime}$ को $y$-अक्ष कहा जाता है। वह बिंदु जहाँ $X^{\prime} X$ और $Y^{\prime} Y$ काटते हैं, मूलबिंदु कहलाता है, और इसे $\mathrm{O}$ से निरूपित किया जाता है। चूँकि धनात्मक संख्याएँ $\mathrm{OX}$ और $\mathrm{OY}$ दिशाओं पर स्थित हैं, इसलिए $\mathrm{OX}$ और $\mathrm{OY}$ को क्रमशः $x$-अक्ष और $y$-अक्ष की धनात्मक दिशाएँ कहा जाता है। इसी प्रकार, $\mathrm{OX}^{\prime}$ और $\mathrm{OY}^{\prime}$ को क्रमशः $x$-अक्ष और $y$-अक्ष की ऋणात्मक दिशाएँ कहा जाता है।

चित्र 3.8

आप देखते हैं कि अक्ष (‘axis’ शब्द का बहुवचन) तल को चार भागों में विभाजित करते हैं। इन चार भागों को चतुर्थांश (एक चौथाई भाग) कहा जाता है, जिन्हें OX से वामावर्त I, II, III और IV क्रमांकित किया गया है (चित्र 3.9 देखें)। इसलिए, तल में अक्ष और ये चतुर्थांश होते हैं। हम तल को कार्तीय तल, या निर्देशांक तल, या xy-तल कहते हैं। अक्षों को निर्देशांक अक्ष कहा जाता है।

चित्र 3.9

अब, आइए देखें कि यह प्रणाली गणित के लिए इतनी मूलभूत क्यों है, और यह कैसे उपयोगी है। निम्नलिखित आरेख पर विचार करें जहाँ अक्ष ग्राफ पेपर पर खींचे गए हैं। आइए बिंदुओं $\mathrm{P}$ और $\mathrm{Q}$ की अक्षों से दूरियाँ देखें। इसके लिए, हम $x$-अक्ष पर PM और $y$-अक्ष पर PN लंब खींचते हैं। इसी प्रकार, हम QR और QS लंब खींचते हैं जैसा कि चित्र 3.10 में दिखाया गया है।

चित्र 3.10

आप पाते हैं कि

(i) बिंदु $\mathrm{P}$ की $y$-अक्ष से लंबवत दूरी, $x$-अक्ष की धनात्मक दिशा के अनुदिश मापी गई, $\mathrm{PN}=\mathrm{OM}=4$ इकाई है।

(ii) बिंदु $\mathrm{P}$ की $x$-अक्ष से लंबवत दूरी, $y$-अक्ष की धनात्मक दिशा के अनुदिश मापी गई, $\mathrm{PM}=\mathrm{ON}=3$ इकाई है।

(iii) बिंदु $\mathrm{Q}$ की $y$-अक्ष से लंबवत दूरी, $x$-अक्ष की ऋणात्मक दिशा के अनुदिश मापी गई, $\mathrm{OR}=\mathrm{SQ}=6$ इकाई है।

(iv) बिंदु $\mathrm{Q}$ की $x$-अक्ष से लंबवत दूरी, $y$-अक्ष की ऋणात्मक दिशा के अनुदिश मापी गई, $\mathrm{OS}=\mathrm{RQ}=2$ इकाई है।

अब, इन दूरियों का उपयोग करके, हम बिंदुओं का वर्णन कैसे कर सकते हैं ताकि कोई भ्रम न हो?

हम निम्नलिखित परिपाटियों का उपयोग करके एक बिंदु के निर्देशांक लिखते हैं:

(i) एक बिंदु का $x$-निर्देशांक $y$-अक्ष से उसकी लंबवत दूरी है जिसे $x$-अक्ष के अनुदिश मापा जाता है ($x$-अक्ष की धनात्मक दिशा के अनुदिश धनात्मक और $x$-अक्ष की ऋणात्मक दिशा के अनुदिश ऋणात्मक)। बिंदु $\mathrm{P}$ के लिए, यह +4 है और $\mathrm{Q}$ के लिए, यह -6 है। $x$-निर्देशांक को भुज भी कहा जाता है।

(ii) एक बिंदु का $y$-निर्देशांक $x$-अक्ष से उसकी लंबवत दूरी है जिसे $y$-अक्ष के अनुदिश मापा जाता है ($y$-अक्ष की धनात्मक दिशा के अनुदिश धनात्मक और $y$-अक्ष की ऋणात्मक दिशा के अनुदिश ऋणात्मक)। बिंदु $\mathrm{P}$ के लिए, यह +3 है और $\mathrm{Q}$ के लिए, यह -2 है। $y$-निर्देशांक को कोटि भी कहा जाता है।

(iii) निर्देशांक तल में एक बिंदु के निर्देशांक बताते समय, पहले $x$-निर्देशांक आता है, और फिर $y$-निर्देशांक। हम निर्देशांकों को कोष्ठक में रखते हैं।

अतः, $\mathrm{P}$ के निर्देशांक $(4,3)$ हैं और $\mathrm{Q}$ के निर्देशांक $(-6,-2)$ हैं।

ध्यान दें कि निर्देशांक तल में एक बिंदु को विशिष्ट रूप से वर्णित करते हैं। $(3,4)$, $(4,3)$ के समान नहीं है।

उदाहरण 1 : चित्र 3.11 देखें और निम्नलिखित कथनों को पूरा करें:

(i) बिंदु $\mathrm{B}$ की भुज और कोटि क्रमशः $\ldots \ldots$ और $\ldots \ldots$ हैं। अतः, $\mathrm{B}$ के निर्देशांक (__,__) हैं।

(ii) बिंदु $\mathrm{M}$ का $x$-निर्देशांक और $y$-निर्देशांक क्रमशः $\ldots$ और $\ldots$ हैं। अतः, $\mathrm{M}$ के निर्देशांक (__,__) हैं।

(iii) बिंदु $\mathrm{L}$ का $x$-निर्देशांक और $y$-निर्देशांक क्रमशः $\ldots$ और $\ldots$ हैं। अतः, $\mathrm{L}$ के निर्देशांक (__,__) हैं।

(iv) बिंदु $\mathrm{S}$ का $x$-निर्देशांक और $y$-निर्देशांक क्रमशः $\ldots \ldots$ और $\ldots$ हैं। अतः, $\mathrm{S}$ के निर्देशांक (__,__) हैं।

चित्र 3.11

हल: (i) चूँकि बिंदु B की $y$-अक्ष से दूरी 4 इकाई है, बिंदु B का $x$-निर्देशांक या भुज 4 है। बिंदु B की $x$-अक्ष से दूरी 3 इकाई है; इसलिए, बिंदु B का $y$-निर्देशांक, अर्थात् कोटि, 3 है। अतः, बिंदु B के निर्देशांक $(4,3)$ हैं।

(i) के समान:

(ii) बिंदु $\mathrm{M}$ का $x$-निर्देशांक और $y$-निर्देशांक क्रमशः -3 और 4 हैं। अतः, बिंदु $\mathrm{M}$ के निर्देशांक $(-3,4)$ हैं।

(iii) बिंदु $\mathrm{L}$ का $x$-निर्देशांक और $y$-निर्देशांक क्रमशः -5 और -4 हैं। अतः, बिंदु $\mathrm{L}$ के निर्देशांक $(-5,-4)$ हैं।

(iv) बिंदु $\mathrm{S}$ का $x$-निर्देशांक और $y$-निर्देशांक क्रमशः 3 और -4 हैं। अतः, बिंदु $\mathrm{S}$ के निर्देशांक $(3,-4)$ हैं।

उदाहरण 2 : चित्र 3.12 में अक्षों पर अंकित बिंदुओं के निर्देशांक लिखिए।

हल : आप देख सकते हैं कि:

(i) बिंदु $\mathrm{A}$, $y$-अक्ष से +4 इकाई दूरी पर और $x$-अक्ष से शून्य दूरी पर है। इसलिए, $\mathrm{A}$ का $x$-निर्देशांक 4 है और $y$-निर्देशांक 0 है। अतः, A के निर्देशांक $(4,0)$ हैं।

(ii) $\mathrm{B}$ के निर्देशांक $(0,3)$ हैं। क्यों?

(iii) $\mathrm{C}$ के निर्देशांक $(-5,0)$ हैं। क्यों?

(iv) $\mathrm{D}$ के निर्देशांक $(0,-4)$ हैं। क्यों?

(v) $\mathrm{E}$ के निर्देशांक $\left(\frac{2}{3}, 0\right)$ हैं। क्यों?

चूँकि $x$-अक्ष पर प्रत्येक बिंदु की $x$-अक्ष से कोई दूरी (शून्य दूरी) नहीं होती है, इसलिए, $y$-अक्ष पर स्थित प्रत्येक बिंदु का $x$-निर्देशांक सदैव शून्य होता है। इस प्रकार, $x$-अक्ष पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक $(x, 0)$ के रूप के होते हैं, जहाँ $x$ बिंदु की $y$-अक्ष से दूरी है। इसी प्रकार, $y$-अक्ष पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक $(0, y)$ के रूप के होते हैं, जहाँ $y$ बिंदु की $x$-अक्ष से दूरी है। क्यों?

मूलबिंदु $\mathbf{O}$ के निर्देशांक क्या हैं? इसकी दोनों अक्षों से शून्य दूरी है ताकि इसकी भुज और कोटि दोनों शून्य हों। इसलिए, मूलबिंदु के निर्देशांक $(\mathbf{0}, \mathbf{0})$ हैं।

उपरोक्त उदाहरणों में, आपने एक बिंदु के निर्देशांकों के चिह्नों और उस चतुर्थांश के बीच निम्नलिखित संबंध देखा होगा जिसमें वह बिंदु स्थित है।

(i) यदि कोई बिंदु प्रथम चतुर्थांश में है, तो बिंदु $(+,+)$ के रूप में होगा, क्योंकि प्रथम चतुर्थांश धनात्मक $x$-अक्ष और धनात्मक $y$-अक्ष से घिरा होता है।

(ii) यदि कोई बिंदु द्वितीय चतुर्थांश में है, तो बिंदु $(-,+)$ के रूप में होगा, क्योंकि द्वितीय चतुर्थांश ऋणात्मक $x$-अक्ष और धनात्मक $y$-अक्ष से घिरा होता है।

(iii) यदि कोई बिंदु तृतीय चतुर्थांश में है, तो बिंदु $(-,-)$ के रूप में होगा, क्योंकि तृतीय चतुर्थांश ऋणात्मक $x$-अक्ष और ऋणात्मक $y$-अक्ष से घिरा होता है।

(iv) यदि कोई बिंदु चतुर्थ चतुर्थांश में है, तो बिंदु $(+,-)$ के रूप में होगा, क्योंकि चतुर्थ चतुर्थांश धनात्मक $x$-अक्ष और ऋणात्मक $y$-अक्ष से घिरा होता है (चित्र 3.13 देखें)।

चित्र 3.13

टिप्पणी : हमने ऊपर एक तल में एक बिंदु का वर्णन करने के लिए जिस प्रणाली पर चर्चा की है, वह केवल एक परिपाटी है, जो पूरी दुनिया में स्वीकार की जाती है। प्रणाली, उदाहरण के लिए, पहले कोटि और फिर भुज भी हो सकती थी। हालाँकि, भ्रम से बचने के लिए पूरी दुनिया हमारे द्वारा वर्णित प्रणाली से चिपकी हुई है।

3.3 सारांश

इस अध्याय में, आपने निम्नलिखित बिंदुओं का अध्ययन किया है:

1. किसी वस्तु या बिंदु की स्थिति को एक तल में स्थित करने के लिए, हमें दो लंबवत रेखाओं की आवश्यकता होती है। उनमें से एक क्षैतिज होती है, और दूसरी ऊर्ध्वाधर।

2. तल को कार्तीय तल, या निर्देशांक तल कहा जाता है और रेखाओं को निर्देशांक अक्ष कहा जाता है।

3. क्षैतिज रेखा को $x$-अक्ष कहा जाता है, और ऊर्ध्वाधर रेखा को $y$-अक्ष कहा जाता है।

4. निर्देशांक अक्ष तल को चार भागों में विभाजित करते हैं जिन्हें चतुर्थांश कहा जाता है।

5. अक्षों के प्रतिच्छेदन बिंदु को मूलबिंदु कहा जाता है।

6. एक बिंदु की $y$-अक्ष से दूरी को उसका $x$-निर्देशांक, या भुज कहा जाता है, और बिंदु की $x$-अक्ष से दूरी को उसका $y$-निर्देशांक, या कोटि कहा जाता है।

7. यदि किसी बिंदु की भुज $x$ है और कोटि $y$ है, तो $(x, y)$ को बिंदु के निर्देशांक कहा जाता है।

8. $x$-अक्ष पर एक बिंदु के निर्देशांक $(x, 0)$ के रूप के होते हैं और $y$-अक्ष पर बिंदु के निर्देशांक $(0, y)$ होते हैं।

9. मूलबिंदु के निर्देशांक $(0,0)$ होते हैं।

10. एक बिंदु के निर्देशांक प्रथम चतुर्थांश में $(+,+)$ के रूप के, द्वितीय चतुर्थांश में $(-,+)$ के रूप के, तृतीय चतुर्थांश में $(-,-)$ के रूप के और चतुर्थ चतुर्थांश में $(+,-)$ के रूप के होते हैं, जहाँ + एक धनात्मक वास्तविक संख्या को दर्शाता है और - एक ऋणात्मक वास्तविक संख्या को दर्शाता है।

11. यदि $x \neq y$, तो $(x, y) \neq(y, x)$, और $(x, y)=(y, x)$, यदि $x=y$।