3.1 ਜਾਣ-ਪਛਾਣ

ਤੁਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਪੜ੍ਹ ਚੁੱਕੇ ਹੋ ਕਿ ਇੱਕ ਨੰਬਰ ਲਾਈਨ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਲੱਭਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਜਾਣਦੇ ਹੋ ਕਿ ਲਾਈਨ ‘ਤੇ ਬਿੰਦੂ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ ਹੈ। ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਹੋਰ ਸਥਿਤੀਆਂ ਹਨ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਲੱਭਣ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਲਾਈਨਾਂ ਦੇ ਹਵਾਲੇ ਨਾਲ ਇਸਦੀ ਸਥਿਤੀ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ:

I. ਚਿੱਤਰ 3.1 ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਮੁੱਖ ਸੜਕ ਪੂਰਬ-ਪੱਛਮ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਚੱਲ ਰਹੀ ਹੈ ਅਤੇ ਗਲੀਆਂ ਦੀ ਨੰਬਰਿੰਗ ਪੱਛਮ ਤੋਂ ਪੂਰਬ ਵੱਲ ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਹਰ ਗਲੀ ‘ਤੇ, ਘਰਾਂ ਦੇ ਨੰਬਰ ਅੰਕਿਤ ਹਨ। ਇੱਥੇ ਇੱਕ ਦੋਸਤ ਦੇ ਘਰ ਦੀ ਭਾਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਕੀ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਹਵਾਲਾ ਬਿੰਦੂ ਜਾਣਨਾ ਕਾਫ਼ੀ ਹੈ? ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਸਾਨੂੰ ਸਿਰਫ਼ ਇਹ ਪਤਾ ਹੈ ਕਿ ਉਹ ਗਲੀ 2 ‘ਤੇ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਕੀ ਅਸੀਂ ਉਸਦਾ ਘਰ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਲੱਭ ਸਕਾਂਗੇ? ਉਦੋਂ ਜਿੰਨੀ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਨਹੀਂ ਜਿੰਨੀ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇਸ ਬਾਰੇ ਦੋ ਜਾਣਕਾਰੀ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ, ਅਰਥਾਤ, ਗਲੀ ਦਾ ਨੰਬਰ ਜਿਸ ‘ਤੇ ਇਹ ਸਥਿਤ ਹੈ, ਅਤੇ ਘਰ ਦਾ ਨੰਬਰ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਉਸ ਘਰ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਜੋ $2^{\text {nd }}$ ਗਲੀ ਵਿੱਚ ਸਥਿਤ ਹੈ ਅਤੇ ਜਿਸਦਾ ਨੰਬਰ 5 ਹੈ, ਤਾਂ ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਅਸੀਂ $2^{\text {nd }}$ ਗਲੀ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਾਂਗੇ ਅਤੇ ਫਿਰ ਉਸ ‘ਤੇ ਨੰਬਰ 5 ਵਾਲਾ ਘਰ। ਚਿੱਤਰ 3.1 ਵਿੱਚ, H ਘਰ ਦੀ ਟਿਕਾਣਾ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, P ਗਲੀ ਨੰਬਰ 7 ਅਤੇ ਘਰ ਨੰਬਰ 4 ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਘਰ ਦੀ ਟਿਕਾਣਾ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।

ਚਿੱਤਰ 3.1

II. ਮੰਨ ਲਓ ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਕਾਗਜ਼ ਦੀ ਸ਼ੀਟ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਲਗਾਉਂਦੇ ਹੋ [ਚਿੱਤਰ 3.2 (a)]। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਤੁਹਾਨੂੰ ਕਾਗਜ਼ ‘ਤੇ ਬਿੰਦੂ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਦੱਸਣ ਲਈ ਕਹੀਏ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਕਿਵੇਂ ਕਰੋਗੇ? ਸ਼ਾਇਦ ਤੁਸੀਂ ਕੁਝ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋਗੇ: “ਬਿੰਦੂ ਕਾਗਜ਼ ਦੇ ਉਪਰਲੇ ਅੱਧੇ ਹਿੱਸੇ ਵਿੱਚ ਹੈ”, ਜਾਂ “ਇਹ ਕਾਗਜ਼ ਦੇ ਖੱਬੇ ਕਿਨਾਰੇ ਦੇ ਨੇੜੇ ਹੈ”, ਜਾਂ “ਇਹ ਸ਼ੀਟ ਦੇ ਖੱਬੇ ਹੱਥ ਦੇ ਉਪਰਲੇ ਕੋਨੇ ਦੇ ਬਹੁਤ ਨੇੜੇ ਹੈ”। ਕੀ ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੋਈ ਵੀ ਬਿਆਨ ਬਿੰਦੂ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ ਸਹੀ ਢੰਗ ਨਾਲ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ? ਨਹੀਂ! ਪਰ, ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਕਹੋ “ਬਿੰਦੂ ਕਾਗਜ਼ ਦੇ ਖੱਬੇ ਕਿਨਾਰੇ ਤੋਂ ਲਗਭਗ $5 \mathrm{~cm}$ ਦੂਰ ਹੈ”, ਤਾਂ ਇਹ ਕੁਝ ਸਮਝ ਦੇਣ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰਦਾ ਹੈ ਪਰ ਫਿਰ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ। ਥੋੜ੍ਹਾ ਜਿਹਾ ਸੋਚਣ ਨਾਲ ਤੁਹਾਨੂੰ ਇਹ ਕਹਿਣ ਦੇ ਯੋਗ ਬਣਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਬਿੰਦੂ ਹੇਠਲੀ ਲਾਈਨ ਤੋਂ $9 \mathrm{~cm}$ ਦੀ ਦੂਰੀ ‘ਤੇ ਵੀ ਹੈ। ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਬਿਲਕੁਲ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਬਿੰਦੂ ਕਿੱਥੇ ਹੈ!

ਚਿੱਤਰ 3.2

ਇਸ ਉਦੇਸ਼ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਬਿੰਦੂ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ ਦੋ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਲਾਈਨਾਂ ਤੋਂ ਇਸਦੀਆਂ ਦੂਰੀਆਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਕੇ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਕੀਤਾ, ਕਾਗਜ਼ ਦੇ ਖੱਬੇ ਕਿਨਾਰੇ ਅਤੇ ਕਾਗਜ਼ ਦੀ ਹੇਠਲੀ ਲਾਈਨ ਤੋਂ [ਚਿੱਤਰ 3.2 (b)]। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਬਿੰਦੂ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਲੱਭਣ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਦੋ ਸੁਤੰਤਰ ਜਾਣਕਾਰੀਆਂ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।

ਹੁਣ, ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਕਲਾਸਰੂਮ ਗਤੀਵਿਧੀ ਨੂੰ ਕਰੋ ਜਿਸ ਨੂੰ ‘ਬੈਠਣ ਦੀ ਯੋਜਨਾ’ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਗਤੀਵਿਧੀ 1 (ਬੈਠਣ ਦੀ ਯੋਜਨਾ) : ਆਪਣੀ ਕਲਾਸਰੂਮ ਵਿੱਚ ਬੈਠਣ ਦੀ ਯੋਜਨਾ ਬਣਾਓ, ਸਾਰੀਆਂ ਡੈਸਕਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠਾ ਕਰਕੇ। ਹਰੇਕ ਡੈਸਕ ਨੂੰ ਇੱਕ ਵਰਗ ਨਾਲ ਦਰਸਾਓ। ਹਰੇਕ ਵਰਗ ਵਿੱਚ, ਉਸ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਦਾ ਨਾਮ ਲਿਖੋ ਜੋ ਡੈਸਕ ‘ਤੇ ਬੈਠਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਨੂੰ ਵਰਗ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਕਲਾਸਰੂਮ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਦੋ ਸੁਤੰਤਰ ਜਾਣਕਾਰੀਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਹੀ ਢੰਗ ਨਾਲ ਦਰਸਾਈ ਗਈ ਹੈ:

(i) ਕਾਲਮ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਉਹ ਬੈਠਦਾ/ਬੈਠਦੀ ਹੈ,

(ii) ਕਤਾਰ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਉਹ ਬੈਠਦਾ/ਬੈਠਦੀ ਹੈ।

ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ $5^{\text {th }}$ ਕਾਲਮ ਅਤੇ $3^{\text {rd }}$ ਕਤਾਰ (ਚਿੱਤਰ 3.3 ਵਿੱਚ ਰੰਗੀਨ ਵਰਗ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਏ ਗਏ) ਵਿੱਚ ਪਈ ਡੈਸਕ ‘ਤੇ ਬੈਠੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਤੁਹਾਡੀ ਸਥਿਤੀ (5,3) ਵਜੋਂ ਲਿਖੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਪਹਿਲਾਂ ਕਾਲਮ ਨੰਬਰ ਲਿਖ ਕੇ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਕਤਾਰ ਨੰਬਰ। ਕੀ ਇਹ $(3,5)$ ਵਰਗਾ ਹੀ ਹੈ? ਆਪਣੀ ਕਲਾਸ ਦੇ ਹੋਰ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੇ ਨਾਮ ਅਤੇ ਸਥਿਤੀਆਂ ਲਿਖੋ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਸੋਨੀਆ $4^{\text {th }}$ ਕਾਲਮ ਅਤੇ $1^{\text {st }}$ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ ਬੈਠੀ ਹੈ, ਤਾਂ $S(4,1)$ ਲਿਖੋ। ਅਧਿਆਪਕ ਦੀ ਡੈਸਕ ਤੁਹਾਡੀ ਬੈਠਣ ਦੀ ਯੋਜਨਾ ਦਾ ਹਿੱਸਾ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਅਧਿਆਪਕ ਨੂੰ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਨਿਰੀਖਕ ਵਜੋਂ ਵਿਚਾਰ ਰਹੇ ਹਾਂ।

T ਅਧਿਆਪਕ ਦੀ ਡੈਸਕ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ S ਸੋਨੀਆ ਦੀ ਡੈਸਕ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ

ਚਿੱਤਰ 3.3

ਉਪਰੋਕਤ ਚਰਚਾ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹੋ ਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਵਸਤੂ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਜੋ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਪਈ ਹੋਵੇ, ਨੂੰ ਦੋ ਲੰਬਵਤ ਲਾਈਨਾਂ ਦੀ ਮਦਦ ਨਾਲ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ‘ਬਿੰਦੂ’ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਸਾਨੂੰ ਬਿੰਦੂ ਦੀ ਦੂਰੀ ਹੇਠਲੀ ਲਾਈਨ ਤੋਂ ਅਤੇ ਕਾਗਜ਼ ਦੇ ਖੱਬੇ ਕਿਨਾਰੇ ਤੋਂ ਵੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ। ਬੈਠਣ ਦੀ ਯੋਜਨਾ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਸਾਨੂੰ ਕਾਲਮ ਦਾ ਨੰਬਰ ਅਤੇ ਕਤਾਰ ਦਾ ਨੰਬਰ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਸਧਾਰਨ ਵਿਚਾਰ ਦੇ ਦੂਰਗਾਮੀ ਨਤੀਜੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਇਸਨੇ ਗਣਿਤ ਦੀ ਇੱਕ ਬਹੁਤ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਸ਼ਾਖਾ ਨੂੰ ਜਨਮ ਦਿੱਤਾ ਹੈ ਜਿਸ ਨੂੰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਰੇਖਾਗਣਿਤ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਰੇਖਾਗਣਿਤ ਦੀਆਂ ਕੁਝ ਬੁਨਿਆਦੀ ਧਾਰਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਪੇਸ਼ ਕਰਨ ਦਾ ਟੀਚਾ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ। ਤੁਸੀਂ ਆਪਣੀਆਂ ਉੱਚੀਆਂ ਕਲਾਸਾਂ ਵਿੱਚ ਇਨ੍ਹਾਂ ਬਾਰੇ ਹੋਰ ਪੜ੍ਹੋਗੇ। ਇਹ ਅਧਿਐਨ ਸ਼ੁਰੂ ਵਿੱਚ ਫ੍ਰੈਂਚ ਦਾਰਸ਼ਨਿਕ ਅਤੇ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਰੇਨੇ ਡੇਸਕਾਰਟੇਸ ਦੁਆਰਾ ਵਿਕਸਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ।

ਰੇਨੇ ਡੇਸਕਾਰਟੇਸ, ਸਤਾਰ੍ਹਵੀਂ ਸਦੀ ਦੇ ਮਹਾਨ ਫ੍ਰੈਂਚ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ, ਬਿਸਤਰੇ ਵਿੱਚ ਪਏ ਰਹਿ ਕੇ ਸੋਚਣਾ ਪਸੰਦ ਕਰਦੇ ਸਨ! ਇੱਕ ਦਿਨ, ਜਦੋਂ ਉਹ ਬਿਸਤਰੇ ਵਿੱਚ ਆਰਾਮ ਕਰ ਰਹੇ ਸਨ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੇ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਦੀ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕੀਤਾ। ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਵਿਧੀ ਅਕਸ਼ਾਂਸ਼ ਅਤੇ ਦੇਸ਼ਾਂਤਰ ਦੇ ਪੁਰਾਣੇ ਵਿਚਾਰ ਦਾ ਵਿਕਾਸ ਸੀ। ਡੇਸਕਾਰਟੇਸ ਦੇ ਸਨਮਾਨ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤੀ ਜਾਣ ਵਾਲੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਕਾਰਤੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਜੋਂ ਵੀ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਰੇਨੇ ਡੇਸਕਾਰਟੇਸ (1596 -1650)

ਚਿੱਤਰ 3.4

3.2 ਕਾਰਤੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ

ਤੁਸੀਂ ‘ਨੰਬਰ ਸਿਸਟਮ’ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਨੰਬਰ ਲਾਈਨ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰ ਚੁੱਕੇ ਹੋ। ਨੰਬਰ ਲਾਈਨ ‘ਤੇ, ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਦੂਰੀਆਂ ਬਰਾਬਰ ਇਕਾਈਆਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਅਤੇ ਦੂਜੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਅੰਕਿਤ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਜਿਸ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਦੂਰੀਆਂ ਅੰਕਿਤ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ, ਉਸਨੂੰ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਲਾਈਨ ‘ਤੇ ਬਰਾਬਰ ਦੂਰੀਆਂ ‘ਤੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਚਿੰਨ੍ਹਿਤ ਕਰਕੇ ਨੰਬਰਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਨੰਬਰ ਲਾਈਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਇਕਾਈ ਦੂਰੀ ਨੰਬਰ ‘1’ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ 3 ਇਕਾਈ ਦੂਰੀ ਨੰਬਰ ‘3’ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ, ‘0’ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ‘ਤੇ ਹੈ। ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ $r$ ਦੀ ਦੂਰੀ ‘ਤੇ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂ ਨੰਬਰ $r$ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ $r$ ਦੀ ਦੂਰੀ ‘ਤੇ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂ ਨੰਬਰ $-r$ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਨੰਬਰ ਲਾਈਨ ‘ਤੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਨੰਬਰਾਂ ਦੇ ਟਿਕਾਣੇ ਚਿੱਤਰ 3.5 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਹਨ।

ਚਿੱਤਰ 3.5

ਡੇਸਕਾਰਟੇਸ ਨੇ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ‘ਤੇ ਦੋ ਅਜਿਹੀਆਂ ਲਾਈਨਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ-ਦੂਜੇ ਨਾਲ ਲੰਬਵਤ ਰੱਖਣ ਅਤੇ ਇਨ੍ਹਾਂ ਲਾਈਨਾਂ ਦਾ ਹਵਾਲਾ ਦੇ ਕੇ ਸਮਤਲ ‘ਤੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਟਿਕਾਣਾ ਦੱਸਣ ਦਾ ਵਿਚਾਰ ਖੋਜਿਆ। ਲੰਬਵਤ ਲਾਈਨਾਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 3.6 ਵਿੱਚ ਹੈ। ਪਰ, ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦੀ ਟਿਕਾਣਾ ਦੱਸਣ ਲਈ ਇਹ ਦੋ ਲਾਈਨਾਂ ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਲਾਈਨ ਖਿਤਿਜੀ ਹੋਵੇਗੀ ਅਤੇ ਦੂਜੀ ਲੰਬਵਤ ਹੋਵੇਗੀ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 3.6(c) ਵਿੱਚ ਹੈ। ਇਹ ਲਾਈਨਾਂ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਨੁਸਾਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ: ਦੋ ਨੰਬਰ ਲਾਈਨਾਂ ਲਓ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ $ \mathrm{X}^{\prime} \mathrm{X}$ ਅਤੇ $\mathrm{Y}^{\prime} \mathrm{Y}$ ਕਹਿ ਕੇ। $\mathrm{X}^{\prime} \mathrm{X}$ ਨੂੰ ਖਿਤਿਜੀ ਰੱਖੋ [ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 3.7(a) ਵਿੱਚ] ਅਤੇ ਇਸ ‘ਤੇ ਨੰਬਰ ਲਿਖੋ ਜਿਵੇਂ ਨੰਬਰ ਲਾਈਨ ‘ਤੇ ਲਿਖੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ $Y^{\prime} Y$ ਨਾਲ ਵੀ ਇਹੀ ਕੰਮ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਸਿਰਫ਼ ਇਸ ਅੰਤਰ ਨਾਲ ਕਿ $Y^{\prime} Y$ ਲੰਬਵਤ ਹੈ, ਖਿਤਿਜੀ ਨਹੀਂ [ਚਿੱਤਰ 3.7(b)]।

(a)

(b) ਚਿੱਤਰ 3.7

ਦੋਵਾਂ ਲਾਈਨਾਂ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਮਿਲਾਓ ਕਿ ਦੋਵੇਂ ਲਾਈਨਾਂ ਆਪਣੇ ਜ਼ੀਰੋਆਂ, ਜਾਂ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂਆਂ ‘ਤੇ ਇੱਕ-ਦੂਜੇ ਨੂੰ ਕੱਟਦੀਆਂ ਹਨ (ਚਿੱਤਰ 3.8)। ਖਿਤਿਜੀ ਲਾਈਨ $\mathrm{X}^{\prime} \mathrm{X}$ ਨੂੰ $x$-ਧੁਰਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਲੰਬਵਤ ਲਾਈਨ $Y^{\prime}$ ਨੂੰ $y$-ਧੁਰਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜਿੱਥੇ $X^{\prime} X$ ਅਤੇ $Y^{\prime} Y$ ਕੱਟਦੇ ਹਨ, ਉਸ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ $\mathrm{O}$ ਨਾਲ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਨੰਬਰ $\mathrm{OX}$ ਅਤੇ $\mathrm{OY}$ ਦਿਸ਼ਾਵਾਂ ‘ਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ $\mathrm{OX}$ ਅਤੇ $\mathrm{OY}$ ਨੂੰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ $x$-ਧੁਰਾ ਅਤੇ $y$-ਧੁਰਾ ਦੀਆਂ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਦਿਸ਼ਾਵਾਂ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, $\mathrm{OX}^{\prime}$ ਅਤੇ $\mathrm{OY}^{\prime}$ ਨੂੰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ $x$-ਧੁਰਾ ਅਤੇ $y$-ਧੁਰਾ ਦੀਆਂ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਦਿਸ਼ਾਵਾਂ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਚਿੱਤਰ 3.8

ਤੁਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹੋ ਕਿ ਧੁਰੇ (‘ਧੁਰਾ’ ਸ਼ਬਦ ਦਾ ਬਹੁ-ਵਚਨ) ਸਮਤਲ ਨੂੰ ਚਾਰ ਹਿੱਸਿਆਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਚਾਰ ਹਿੱਸੇ ਚਤੁਰਭੁਜ (ਇੱਕ ਚੌਥਾਈ ਹਿੱਸਾ) ਕਹਾਉਂਦੇ ਹਨ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ OX ਤੋਂ ਘੜੀ ਦੀ ਉਲਟ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ I, II, III ਅਤੇ IV ਨੰਬਰ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ (ਚਿੱਤਰ 3.9 ਵੇਖੋ)। ਇਸ ਲਈ, ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਧੁਰੇ ਅਤੇ ਇਹ ਚਤੁਰਭੁਜ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਸਮਤਲ ਨੂੰ ਕਾਰਤੀ ਸਮਤਲ, ਜਾਂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਸਮਤਲ, ਜਾਂ xy-ਸਮਤਲ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ। ਧੁਰਿਆਂ ਨੂੰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਧੁਰੇ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਚਿੱਤਰ 3.9

ਹੁਣ, ਆਓ ਦੇਖੀਏ ਕਿ ਇਹ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਗਣਿਤ ਲਈ ਇੰਨੀ ਬੁਨਿਆਦੀ ਕਿਉਂ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹ ਕਿਵੇਂ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੈ। ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਚਿੱਤਰ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਜਿੱਥੇ ਧੁਰੇ ਗ੍ਰਾਫ ਪੇਪਰ ‘ਤੇ ਖਿੱਚੇ ਗਏ ਹਨ। ਆਓ ਦੇਖੀਏ ਬਿੰਦੂਆਂ $\mathrm{P}$ ਅਤੇ $\mathrm{Q}$ ਦੀਆਂ ਧੁਰਿਆਂ ਤੋਂ ਦੂਰੀਆਂ। ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ $x$-ਧੁਰੇ ‘ਤੇ PM ਲੰਬ ਅਤੇ $y$-ਧੁਰੇ ‘ਤੇ PN ਲੰਬ ਖਿੱਚਦੇ ਹਾਂ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅਸੀਂ QR ਅਤੇ QS ਲੰਬ ਖਿੱਚਦੇ ਹਾਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 3.10 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।

ਚਿੱਤਰ 3.10

ਤੁਸੀਂ ਪਾਓਗੇ ਕਿ

(i) ਬਿੰਦੂ $\mathrm{P}$ ਦੀ $y$-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਲੰਬਵਤ ਦੂਰੀ, $x$-ਧੁਰੇ ਦੀ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਦਿਸ਼ਾ ਦੇ ਨਾਲ ਮਾਪੀ ਗਈ, $\mathrm{PN}=\mathrm{OM}=4$ ਇਕਾਈਆਂ ਹੈ।

(ii) ਬਿੰਦੂ $\mathrm{P}$ ਦੀ $x$-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਲੰਬਵਤ ਦੂਰੀ, $y$-ਧੁਰੇ ਦੀ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਦਿਸ਼ਾ ਦੇ ਨਾਲ ਮਾਪੀ ਗਈ, $\mathrm{PM}=\mathrm{ON}=3$ ਇਕਾਈਆਂ ਹੈ।

(iii) ਬਿੰਦੂ $\mathrm{Q}$ ਦੀ $y$-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਲੰਬਵਤ ਦੂਰੀ, $x$-ਧੁਰੇ ਦੀ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਦਿਸ਼ਾ ਦੇ ਨਾਲ ਮਾਪੀ ਗਈ, $\mathrm{OR}=\mathrm{SQ}=6$ ਇਕਾਈਆਂ ਹੈ।

(iv) ਬਿੰਦੂ $\mathrm{Q}$ ਦੀ $x$-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਲੰਬਵਤ ਦੂਰੀ, $y$-ਧੁਰੇ ਦੀ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਦਿਸ਼ਾ ਦੇ ਨਾਲ ਮਾਪੀ ਗਈ, $\mathrm{OS}=\mathrm{RQ}=2$ ਇਕਾਈਆਂ ਹੈ।

ਹੁਣ, ਇਹਨਾਂ ਦੂਰੀਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਿਵੇਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਕਿ ਕੋਈ ਗੜਬੜ ਨਾ ਹੋਵੇ?

ਅਸੀਂ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਨਿਯਮਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ:

(i) ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦਾ $x$-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ $y$-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਇਸਦੀ ਲੰਬਵਤ ਦੂਰੀ ਹੈ ਜੋ $x$-ਧੁਰੇ ਦੇ ਨਾਲ ਮਾਪੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ($x$-ਧੁਰੇ ਦੀ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਦਿਸ਼ਾ ਦੇ ਨਾਲ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਅਤੇ $x$-ਧੁਰੇ ਦੀ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਦਿਸ਼ਾ ਦੇ ਨਾਲ ਨਕਾਰਾਤਮਕ)। ਬਿੰਦੂ $\mathrm{P}$ ਲਈ, ਇਹ +4 ਹੈ ਅਤੇ $\mathrm{Q}$ ਲਈ, ਇਹ -6 ਹੈ। $x$-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਨੂੰ ਭੁਜ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

(ii) ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦਾ $y$-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ $x$-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਇਸਦੀ ਲੰਬਵਤ ਦੂਰੀ ਹੈ ਜੋ $y$-ਧੁਰੇ ਦੇ ਨਾਲ ਮਾਪੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ($y$-ਧੁਰੇ ਦੀ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਦਿਸ਼ਾ ਦੇ ਨਾਲ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਅਤੇ $y$-ਧੁਰੇ ਦੀ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਦਿਸ਼ਾ ਦੇ ਨਾਲ ਨਕਾਰਾਤਮਕ)। ਬਿੰਦੂ $\mathrm{P}$ ਲਈ, ਇਹ +3 ਹੈ ਅਤੇ $\mathrm{Q}$ ਲਈ, ਇਹ -2 ਹੈ। $y$-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਨੂੰ ਕੋਟਿ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

(iii) ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਦੱਸਣ ਵੇਲੇ, ਪਹਿਲਾਂ $x$-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਆਉਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਫਿਰ $y$-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ। ਅਸੀਂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਕੋਸ਼ਠਕਾਂ ਵਿੱਚ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ।

ਇਸ ਲਈ, $\mathrm{P}$ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ $(4,3)$ ਹਨ ਅਤੇ $\mathrm{Q}$ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ $(-6,-2)$ ਹਨ।

ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਵਿਲੱਖਣ ਢੰਗ ਨਾਲ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ। $(3,4)$, $(4,3)$ ਵਰਗਾ ਨਹੀਂ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਨ 1 : ਚਿੱਤਰ 3.11 ਵੇਖੋ ਅਤੇ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਬਿਆਨਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰੋ:

(i) ਬਿੰਦੂ $\mathrm{B}$ ਦੀ ਭੁਜ ਅਤੇ ਕੋਟਿ ਕ੍ਰਮਵਾਰ $\ldots \ldots$ ਅਤੇ $\ldots \ldots$ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, $\mathrm{B}$ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (__,__) ਹਨ।

(ii) ਬਿੰਦੂ $\mathrm{M}$ ਦਾ $x$-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਅਤੇ $y$-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਕ੍ਰਮਵਾਰ $\ldots$ ਅਤੇ $\ldots$ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, $\mathrm{M}$ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (__,__) ਹਨ।

(iii) ਬਿੰਦੂ $\mathrm{L}$ ਦਾ $x$-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਅਤੇ $y$-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਕ੍ਰਮਵਾਰ $\ldots$ ਅਤੇ $\ldots$ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, $\mathrm{L}$ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (__,__) ਹਨ।

(iv) ਬਿੰਦੂ $\mathrm{S}$ ਦਾ $x$-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਅਤੇ $y$-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਕ੍ਰਮਵਾਰ $\ldots \ldots$ ਅਤੇ $\ldots$ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, $\mathrm{S}$ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (__,__) ਹਨ।

<img src=“https://temp-public-img-folder.s3.amazonaws.com/sathee.prutor.images/sathee_image/cropped_2024_01_15_b5712b6f8706b0d64756g-062_jpg_height_914_width_1062_top_left_y_327_top_left_x_297.jpg" width=“400px