3.1 ಪರಿಚಯ

ನೀವು ಈಗಾಗಲೇ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೇಗೆ ಗುರುತಿಸಬೇಕೆಂದು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೀರಿ. ರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಹೇಗೆ ವಿವರಿಸಬೇಕೆಂದೂ ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಅದರ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಆಧಾರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು ವಿವರಿಸಬೇಕಾದ ಇನ್ನೂ ಅನೇಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕೆಳಗಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

I. ಚಿತ್ರ 3.1 ರಲ್ಲಿ, ಪೂರ್ವ-ಪಶ್ಚಿಮ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಓಡುವ ಒಂದು ಮುಖ್ಯ ರಸ್ತೆ ಮತ್ತು ಪಶ್ಚಿಮದಿಂದ ಪೂರ್ವಕ್ಕೆ ಸಂಖ್ಯೆ ಹೊಂದಿರುವ ಬೀದಿಗಳಿವೆ. ಹಾಗೆಯೇ, ಪ್ರತಿ ಬೀದಿಯ ಮೇಲೆ ಮನೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಸ್ನೇಹಿತನ ಮನೆಯನ್ನು ಹುಡುಕಲು, ಕೇವಲ ಒಂದು ಆಧಾರ ಬಿಂದು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಸಾಕೇ? ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅವಳು ಬೀದಿ 2 ರಲ್ಲಿ ವಾಸಿಸುತ್ತಾಳೆ ಎಂದು ಮಾತ್ರ ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಅವಳ ಮನೆಯನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವೇ? ಅದು ಇರುವ ಬೀದಿಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಮನೆಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂಬ ಎರಡು ತುಣುಕು ಮಾಹಿತಿ ನಮಗೆ ತಿಳಿದಾಗ ಇರುವಷ್ಟು ಸುಲಭವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. $2^{\text {nd }}$ ಬೀದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆ 5 ಹೊಂದಿರುವ ಮನೆಗೆ ತಲುಪಲು ನಾವು ಬಯಸಿದರೆ, ಮೊದಲು ನಾವು $2^{\text {nd }}$ ಬೀದಿಯನ್ನು ಗುರುತಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಅದರ ಮೇಲೆ 5 ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮನೆಯನ್ನು ಗುರುತಿಸುತ್ತೇವೆ. ಚಿತ್ರ 3.1 ರಲ್ಲಿ, H ಮನೆಯ ಸ್ಥಳವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಅದೇ ರೀತಿ, P ಬೀದಿ

ಚಿತ್ರ 3.1 ಸಂಖ್ಯೆ 7 ಮತ್ತು ಮನೆ ಸಂಖ್ಯೆ 4 ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿರುವ ಮನೆಯ ಸ್ಥಳವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

II. ನೀವು ಒಂದು ಕಾಗದದ ಹಾಳೆಯ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಚುಕ್ಕೆಯನ್ನು ಇಟ್ಟಿದ್ದೀರಿ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ [ಚಿತ್ರ 3.2 (a)]. ಆ ಚುಕ್ಕೆಯು ಕಾಗದದ ಮೇಲೆ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ಹೇಳಲು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಕೇಳಿದರೆ, ನೀವು ಹೇಗೆ ಹೇಳುತ್ತೀರಿ? ಬಹುಶಃ ನೀವು ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಯತ್ನಿಸಬಹುದು: “ಚುಕ್ಕೆಯು ಕಾಗದದ ಮೇಲಿನ ಅರ್ಧದಲ್ಲಿ ಇದೆ”, ಅಥವಾ “ಅದು ಕಾಗದದ ಎಡ ಅಂಚಿನ ಹತ್ತಿರ ಇದೆ”, ಅಥವಾ “ಅದು ಹಾಳೆಯ ಎಡಗೈ ಮೇಲಿನ ಮೂಲೆಯ ಬಹಳ ಹತ್ತಿರ ಇದೆ”. ಈ ಹೇಳಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಚುಕ್ಕೆಯ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ನಿಗದಿಪಡಿಸುತ್ತದೆಯೇ? ಇಲ್ಲ! ಆದರೆ, ನೀವು “ಚುಕ್ಕೆಯು ಕಾಗದದ ಎಡ ಅಂಚಿನಿಂದ ಸುಮಾರು $5 \mathrm{~cm}$ ದೂರದಲ್ಲಿದೆ” ಎಂದು ಹೇಳಿದರೆ, ಅದು ಸ್ವಲ್ಪ ಕಲ್ಪನೆ ನೀಡಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಆದರೆ ಇನ್ನೂ ಚುಕ್ಕೆಯ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಸ್ವಲ್ಪ ಯೋಚಿಸಿದರೆ, ಚುಕ್ಕೆಯು ಕೆಳಗಿನ ರೇಖೆಯಿಂದ $9 \mathrm{~cm}$ ದೂರದಲ್ಲೂ ಇದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲು ನಿಮಗೆ ಸಾಧ್ಯವಾಗಬಹುದು. ಚುಕ್ಕೆ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದು ಈಗ ನಮಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ತಿಳಿದಿದೆ!

ಚಿತ್ರ 3.2

ಈ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ, ನಾವು ಎರಡು ಸ್ಥಿರ ರೇಖೆಗಳಾದ ಕಾಗದದ ಎಡ ಅಂಚು ಮತ್ತು ಕಾಗದದ ಕೆಳಗಿನ ರೇಖೆಯಿಂದ ಅದರ ದೂರಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಚುಕ್ಕೆಯ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ [ಚಿತ್ರ 3.2 (b)]. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಚುಕ್ಕೆಯ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಮಗೆ ಎರಡು ಸ್ವತಂತ್ರ ಮಾಹಿತಿಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ.

ಈಗ, ‘ಆಸನ ಯೋಜನೆ’ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಕೆಳಗಿನ ತರಗತಿ ಕಾರ್ಯಚಟುವಟಿಕೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಿ.

ಕಾರ್ಯಚಟುವಟಿಕೆ 1 (ಆಸನ ಯೋಜನೆ) : ನಿಮ್ಮ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಮೇಜುಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ತಳ್ಳಿ, ಅಲ್ಲಿ ಆಸನ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. ಪ್ರತಿ ಮೇಜನ್ನು ಒಂದು ಚೌಕದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿ. ಪ್ರತಿ ಚೌಕದಲ್ಲಿ, ಆ ಚೌಕವು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಮೇಜಿನಲ್ಲಿ ಕುಳಿತಿರುವ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯ ಹೆಸರನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಎರಡು ಸ್ವತಂತ್ರ ಮಾಹಿತಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ನಿಖರವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ:

(i) ಅವನು ಅಥವಾ ಅವಳು ಕುಳಿತಿರುವ ಕಾಲಮ್ (ಸ್ತಂಭ),

(ii) ಅವನು ಅಥವಾ ಅವಳು ಕುಳಿತಿರುವ ಸಾಲು.

ನೀವು $5^{\text {th }}$ ಕಾಲಮ್ ಮತ್ತು $3^{\text {rd }}$ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಇರುವ ಮೇಜಿನ ಮೇಲೆ ಕುಳಿತಿದ್ದರೆ (ಚಿತ್ರ 3.3 ರಲ್ಲಿ ನೆರಳಿನ ಚೌಕದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗಿದೆ), ನಿಮ್ಮ ಸ್ಥಾನವನ್ನು (5,3) ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು, ಮೊದಲು ಕಾಲಮ್ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು, ನಂತರ ಸಾಲು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆಯುವ ಮೂಲಕ. ಇದು $(3,5)$ ನಂತೆಯೇ ಆಗಿದೆಯೇ? ನಿಮ್ಮ ತರಗತಿಯ ಇತರ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಹೆಸರುಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸೋನಿಯಾ $4^{\text {th }}$ ಕಾಲಮ್ ಮತ್ತು $1^{\text {st }}$ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಕುಳಿತಿದ್ದರೆ, $S(4,1)$ ಎಂದು ಬರೆಯಿರಿ. ಶಿಕ್ಷಕರ ಮೇಜು ನಿಮ್ಮ ಆಸನ ಯೋಜನೆಯ ಭಾಗವಲ್ಲ. ನಾವು ಶಿಕ್ಷಕರನ್ನು ಕೇವಲ ಒಬ್ಬ ವೀಕ್ಷಕರಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ.

T ಶಿಕ್ಷಕರ ಮೇಜನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ S ಸೋನಿಯಾ ಮೇಜನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ

ಚಿತ್ರ 3.3

ಮೇಲಿನ ಚರ್ಚೆಯಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಯಾವುದೇ ವಸ್ತುವಿನ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಎರಡು ಲಂಬ ರೇಖೆಗಳ ಸಹಾಯದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು ಎಂದು ನೀವು ಗಮನಿಸುತ್ತೀರಿ. ‘ಚುಕ್ಕೆ’ ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಮಗೆ ಕಾಗದದ ಕೆಳಗಿನ ರೇಖೆಯಿಂದ ಮತ್ತು ಎಡ ಅಂಚಿನಿಂದ ಚುಕ್ಕೆಯ ದೂರ ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಆಸನ ಯೋಜನೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಮಗೆ ಕಾಲಮ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಸಾಲು ಸಂಖ್ಯೆ ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸರಳ ಕಲ್ಪನೆಯು ದೂರವರೆಗಿನ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೇಖಾಗಣಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ ಶಾಖೆಗೆ ಜನ್ಮ ನೀಡಿದೆ. ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಕೆಲವು ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವುದು ನಮ್ಮ ಗುರಿಯಾಗಿದೆ. ನಿಮ್ಮ ಉನ್ನತ ತರಗತಿಗಳಲ್ಲಿ ಇವುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಿರಿ. ಈ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಫ್ರೆಂಚ್ ತತ್ವಜ್ಞಾನಿ ಮತ್ತು ಗಣಿತಜ್ಞ ರೆನೆ ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು.

ರೆನೆ ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್, ಹದಿನೇಳನೇ ಶತಮಾನದ ಮಹಾನ್ ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತಜ್ಞ, ಮಂಚದ ಮೇಲೆ ಮಲಗಿ ಯೋಚಿಸಲು ಇಷ್ಟಪಡುತ್ತಿದ್ದರು! ಒಂದು ದಿನ, ಮಂಚದ ಮೇಲೆ ವಿಶ್ರಾಂತಿ ಪಡೆಯುತ್ತಿರುವಾಗ, ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಅವರು ಪರಿಹರಿಸಿದರು. ಅವರ ವಿಧಾನವು ಅಕ್ಷಾಂಶ ಮತ್ತು ರೇಖಾಂಶದ ಹಳೆಯ ಕಲ್ಪನೆಯ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯಾಗಿತ್ತು. ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್ ಗೌರವಾರ್ಥ, ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಬಳಸುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ರೆನೆ ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್ (1596 -1650)

ಚಿತ್ರ 3.4

3.2 ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆ

ನೀವು ‘ಸಂಖ್ಯಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆ’ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೀರಿ. ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ, ಸಮಾನ ಏಕಮಾನಗಳಲ್ಲಿ ದೂರಗಳನ್ನು ಒಂದು ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿರುತ್ತದೆ. ದೂರಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಲಾಗುವ ಬಿಂದುವನ್ನು ಮೂಲಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮಾನ ದೂರದಲ್ಲಿ ಒಂದು ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ನಾವು ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಒಂದು ಏಕಮಾನ ದೂರವು ‘1’ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿದರೆ, 3 ಏಕಮಾನ ದೂರವು ‘3’ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ‘0’ ಮೂಲಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಮೂಲಬಿಂದುವಿನಿಂದ $r$ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುವು $r$ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಮೂಲಬಿಂದುವಿನಿಂದ $r$ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಋಣಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುವು $-r$ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ವಿವಿಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರ 3.5 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಚಿತ್ರ 3.5

ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್ ಅವರು ಅಂತಹ ಎರಡು ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಒಂದು ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾಗಿ ಇರಿಸುವ ಮತ್ತು ಈ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುವ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದರು. ಲಂಬ ರೇಖೆಗಳು ಚಿತ್ರ 3.6 ರಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಯಾವುದೇ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿರಬಹುದು. ಆದರೆ, ನಾವು

ಚಿತ್ರ 3.6

ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಈ ಎರಡು ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದಾಗ, ಒಂದು ರೇಖೆ ಅಡ್ಡಲಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ರೇಖೆ ನೇರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಚಿತ್ರ 3.6(ಸಿ) ನಲ್ಲಿರುವಂತೆ. ಈ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ: ಎರಡು ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ, ಅವುಗಳನ್ನು $ \mathrm{X}^{\prime} \mathrm{X}$ ಮತ್ತು $\mathrm{Y}^{\prime} \mathrm{Y}$ ಎಂದು ಕರೆಯಿರಿ. $\mathrm{X}^{\prime} \mathrm{X}$ ಅನ್ನು ಅಡ್ಡಲಾಗಿ ಇರಿಸಿ [ಚಿತ್ರ 3.7(ಎ) ನಲ್ಲಿರುವಂತೆ] ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲೆ ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಬರೆಯಲಾದಂತೆಯೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. $Y^{\prime} Y$ ನೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಅದೇ ಕೆಲಸವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ $Y^{\prime} Y$ ಅಡ್ಡಲಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ನೇರವಾಗಿರುತ್ತದೆ [ಚಿತ್ರ 3.7(ಬಿ)].

(ಎ)

(ಬಿ) ಚಿತ್ರ 3.7

ಎರಡೂ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಶೂನ್ಯಗಳು, ಅಥವಾ ಮೂಲಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ (ಚಿತ್ರ 3.8) ಪರಸ್ಪರ ದಾಟುವಂತೆ ಸಂಯೋಜಿಸಿ. ಅಡ್ಡಲಾಗಿರುವ ರೇಖೆ $\mathrm{X}^{\prime} \mathrm{X}$ ಅನ್ನು $x$ - ಅಕ್ಷ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನೇರವಾಗಿರುವ ರೇಖೆ $Y^{\prime}$ ಅನ್ನು $y$-ಅಕ್ಷ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. $X^{\prime} X$ ಮತ್ತು $Y^{\prime} Y$ ದಾಟುವ ಬಿಂದುವನ್ನು ಮೂಲಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅದನ್ನು $\mathrm{O}$ ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು $\mathrm{OX}$ ಮತ್ತು $\mathrm{OY}$ ದಿಕ್ಕುಗಳ ಮೇಲೆ ಇರುವುದರಿಂದ, $\mathrm{OX}$ ಮತ್ತು $\mathrm{OY}$ ಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ $x$ - ಅಕ್ಷ ಮತ್ತು $y$-ಅಕ್ಷದ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕುಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದೇ ರೀತಿ, $\mathrm{OX}^{\prime}$ ಮತ್ತು $\mathrm{OY}^{\prime}$ ಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ $x$ - ಅಕ್ಷ ಮತ್ತು $y$-ಅಕ್ಷದ ಋಣಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕುಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಚಿತ್ರ 3.8

ಅಕ್ಷಗಳು (ಅಕ್ಷ ಎಂಬ ಪದದ ಬಹುವಚನ) ಸಮತಲವನ್ನು ನಾಲ್ಕು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ನೀವು ಗಮನಿಸುತ್ತೀರಿ. ಈ ನಾಲ್ಕು ಭಾಗಗಳನ್ನು ಚತುರ್ಥಾಂಶಗಳು (ನಾಲ್ಕನೇ ಒಂದು ಭಾಗ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳನ್ನು OX ನಿಂದ ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಸೂಚಿ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ I, II, III ಮತ್ತು IV ಎಂದು ಸಂಖ್ಯೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ (ಚಿತ್ರ 3.9 ನೋಡಿ). ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮತಲವು ಅಕ್ಷಗಳು ಮತ್ತು ಈ ಚತುರ್ಥಾಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ನಾವು ಈ ಸಮತಲವನ್ನು ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಸಮತಲ, ಅಥವಾ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲ, ಅಥವಾ xy-ಸಮತಲ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಚಿತ್ರ 3.9

ಈಗ, ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ಏಕೆ ಇಷ್ಟು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಹೇಗೆ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ಗ್ರಾಫ್ ಕಾಗದದ ಮೇಲೆ ಎಳೆಯಲಾಗಿರುವ ಕೆಳಗಿನ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. $\mathrm{P}$ ಮತ್ತು $\mathrm{Q}$ ಬಿಂದುಗಳು ಅಕ್ಷಗಳಿಂದ ಎಷ್ಟು ದೂರದಲ್ಲಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ, ನಾವು PM ಲಂಬಗಳನ್ನು $x$ - ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಮತ್ತು PN ಲಂಬಗಳನ್ನು $y$ - ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಎಳೆಯುತ್ತೇವೆ. ಅದೇ ರೀತಿ, ನಾವು QR ಮತ್ತು QS ಲಂಬಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರ 3.10 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಎಳೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಚಿತ್ರ 3.10

ನೀವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವಿರಿ:

(i) $\mathrm{P}$ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ $y$-ಅಕ್ಷಕ್ಕಿರುವ ಲಂಬ ದೂರವನ್ನು $x$ - ಅಕ್ಷದ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದು $\mathrm{PN}=\mathrm{OM}=4$ ಏಕಮಾನಗಳು.

(ii) $\mathrm{P}$ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ $x$ - ಅಕ್ಷಕ್ಕಿರುವ ಲಂಬ ದೂರವನ್ನು $y$-ಅಕ್ಷದ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದು $\mathrm{PM}=\mathrm{ON}=3$ ಏಕಮಾನಗಳು.

(iii) $\mathrm{Q}$ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ $y$ - ಅಕ್ಷಕ್ಕಿರುವ ಲಂಬ ದೂರವನ್ನು $x$ - ಅಕ್ಷದ ಋಣಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದು $\mathrm{OR}=\mathrm{SQ}=6$ ಏಕಮಾನಗಳು.

(iv) $\mathrm{Q}$ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ $x$ - ಅಕ್ಷಕ್ಕಿರುವ ಲಂಬ ದೂರವನ್ನು $y$ - ಅಕ್ಷದ ಋಣಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದು $\mathrm{OS}=\mathrm{RQ}=2$ ಏಕಮಾನಗಳು.

ಈಗ, ಈ ದೂರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಯಾವುದೇ ಗೊಂದಲವಿಲ್ಲದೆ ನಾವು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ವಿವರಿಸಬಹುದು?

ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಪ್ರದಾಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

(i) ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ $x$ - ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವು $y$ - ಅಕ್ಷದಿಂದ ಅದರ ಲಂಬ ದೂರವಾಗಿದೆ, ಅದನ್ನು $x$-ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ($x$-ಅಕ್ಷದ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಮತ್ತು $x$-ಅಕ್ಷದ ಋಣಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ). $\mathrm{P}$ ಬಿಂದುವಿಗೆ, ಅದು +4 ಮತ್ತು $\mathrm{Q}$ ಬಿಂದುವಿಗೆ, ಅದು -6 ಆಗಿದೆ. $x$ - ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

(ii) ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ $y$ - ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವು $x$ - ಅಕ್ಷದಿಂದ ಅದರ ಲಂಬ ದೂರವಾಗಿದೆ, ಅದನ್ನು $y$ - ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ($y$ - ಅಕ್ಷದ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಮತ್ತು $y$-ಅಕ್ಷದ ಋಣಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ). $\mathrm{P}$ ಬಿಂದುವಿಗೆ, ಅದು +3 ಮತ್ತು $\mathrm{Q}$ ಬಿಂದುವಿಗೆ, ಅದು -2 ಆಗಿದೆ. $y$ - ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

(iii) ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೇಳುವಾಗ, ಮೊದಲು $x$ - ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಬರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ $y$-ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಬರುತ್ತದೆ. ನಾವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಇಡುತ್ತೇವೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, $\mathrm{P}$ ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು $(4,3)$ ಮತ್ತು $\mathrm{Q}$ ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು $(-6,-2)$ ಆಗಿವೆ.

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ವಿವರಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. $(3,4)$ ಎಂಬುದು $(4,3)$ ನಂತೆಯೇ ಅಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆ 1 : ಚಿತ್ರ 3.11 ನೋಡಿ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿ:

(i) $\mathrm{B}$ ಬಿಂದುವಿನ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಮತ್ತು ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಕ್ರಮವಾಗಿ $\ldots \ldots$ ಮತ್ತು $\ldots \ldots$ ಆಗಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, $\mathrm{B}$ ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು (__,__).

(ii) $\mathrm{M}$ ಬಿಂದುವಿನ $x$-ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಮತ್ತು $y$-ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಕ್ರಮವಾಗಿ $\ldots$ ಮತ್ತು $\ldots$ ಆಗಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, $\mathrm{M}$ ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು (__,__).

(iii) $\mathrm{L}$ ಬಿಂದುವಿನ $x$-ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಮತ್ತು $y$-ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಕ್ರಮವಾಗಿ $\ldots$ ಮತ್ತು $\ldots$ ಆಗಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, $\mathrm{L}$ ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು (__,__).

(iv) $\mathrm{S}$ ಬಿಂದುವಿನ $x$-ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಮತ್ತು $y$-ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಕ್ರಮವಾಗಿ $\ldots \ldots$ ಮತ್ತು $\ldots$ ಆಗಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, $\mathrm{S}$ ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು (__,__).

ಚಿತ್ರ 3.11

ಪರಿಹಾರ: (i) B ಬಿಂದುವಿನಿಂದ $y$ - ಅಕ್ಷಕ್ಕಿರುವ ದೂರ 4 ಏಕಮಾನಗಳು ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, B ಬಿಂದುವಿನ $x$ - ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಥವಾ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ 4 ಆಗಿದೆ. B ಬಿಂದುವಿನಿಂದ $x$ - ಅಕ್ಷಕ್ಕಿರುವ ದೂರ 3 ಏಕಮಾನಗಳು; ಆದ್ದರಿಂದ, B ಬಿಂದುವಿನ $y$ - ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ, ಅಂದರೆ, ಆರ್ಡಿನೇಟ್, 3 ಆಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, B ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು $(4,3)$ ಆಗಿವೆ.

(i) ರಲ್ಲಿರುವಂತೆಯೇ:

(ii) $\mathrm{M}$ ಬಿಂದುವಿನ $x$ - ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಮತ್ತು $y$ - ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಕ್ರಮವಾಗಿ -3 ಮತ್ತು 4 ಆಗಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, $\mathrm{M}$ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು $(-3,4)$ ಆಗಿವೆ.

(iii) $\mathrm{L}$ ಬಿಂದುವಿನ $x$ - ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಮತ್ತು $y$ - ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಕ್ರಮವಾಗಿ -5 ಮತ್ತು -4 ಆಗಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, $\mathrm{L}$ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು $(-5,-4)$ ಆಗಿವೆ.

(iv) $\mathrm{S}$ ಬಿಂದುವಿನ $x$ - ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಮತ್ತು $y$-ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಕ್ರಮವಾಗಿ 3 ಮತ್ತು -4 ಆಗಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, $\mathrm{S}$ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು $(3,-4)$ ಆಗಿವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2 : ಚಿತ್ರ 3.12 ರಲ್ಲಿ ಅಕ್ಷಗಳ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಲಾದ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ : ನೀವು ನೋಡಬಹುದು:

(i) $\mathrm{A}$ ಬಿಂದುವು $y$ - ಅಕ್ಷದಿಂದ +4 ಏಕಮಾನಗಳ ದೂರದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು $x$ - ಅಕ್ಷದಿಂದ ಶೂನ್ಯ ದೂರದಲ್ಲಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, $\mathrm{A}$ ನ $x$ - ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ 4 ಮತ್ತು $y$ - ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ 0 ಆಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, A ಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು $(4,0)$ ಆಗಿವೆ.

(ii) $\mathrm{B}$ ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು $(0,3)$ ಆಗಿವೆ. ಏಕೆ?

(iii) $\mathrm{C}$ ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು $(-5,0)$ ಆಗಿವೆ. ಏಕೆ?

(iv) $\mathrm{D}$ ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು $(0,-4)$ ಆಗಿವೆ. ಏಕೆ?

(v) $\mathrm{E}$ ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು $\left(\frac{2}{3}, 0\right)$ ಆಗಿವೆ. ಏಕೆ?

$x$ - ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿನ ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವು $x$ - ಅಕ್ಷದಿಂದ ಯಾವುದೇ ದೂರವನ್ನು (ಶೂನ್ಯ ದೂರ) ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಆದ್ದರಿಂದ, $x$ - ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿನ $y$-ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಯಾವಾಗಲೂ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, $x$ - ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿನ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು $(x, 0)$ ರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ, ಇಲ್ಲಿ $x$ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ $y$-ಅಕ್ಷಕ್ಕಿರುವ ದೂರವಾಗಿದೆ. ಅದೇ ರೀತಿ, $y$-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿನ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು $(0, y)$ ರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ, ಇಲ್ಲಿ $y$ ಬ