3.1 పరిచయం

మీరు ఇప్పటికే ఒక సంఖ్య రేఖపై ఒక బిందువును ఎలా గుర్తించాలో అధ్యయనం చేసారు. రేఖపై ఒక బిందువు యొక్క స్థానాన్ని ఎలా వివరించాలో కూడా మీకు తెలుసు. ఒక బిందువును కనుగొనడానికి, ఒకటి కంటే ఎక్కువ రేఖలను సూచించి దాని స్థానాన్ని వివరించవలసిన పరిస్థితులు చాలా ఉన్నాయి. ఉదాహరణకు, కింది పరిస్థితులను పరిగణించండి:

I. Fig. 3.1లో, తూర్పు-పడమర దిశలో ప్రధాన రోడ్డు మరియు పడమర నుండి తూర్పుకి నంబరింగ్ ఉన్న వీధులు ఉన్నాయి. అలాగే, ప్రతి వీధిలో, ఇంటి నంబర్లు గుర్తించబడ్డాయి. ఇక్కడ ఒక స్నేహితుడి ఇంటిని వెతకడానికి, ఒకే సూచన బిందువు తెలుసుకోవడం సరిపోతుందా? ఉదాహరణకు, ఆమె $2^{\text {nd }}$ వీధిలో నివసిస్తుందని మాత్రమే మనకు తెలిస్తే, ఆమె ఇంటిని సులభంగా కనుగొనగలమా? ఆమె నివసించే వీధి నంబరు మరియు ఇంటి నంబరు అనే రెండు సమాచారం మనకు తెలిసినప్పుడు కనుగొన్నంత సులభంగా కాదు. $2^{\text {nd }}$ వీధిలో ఉన్న మరియు 5 నంబరు ఉన్న ఇంటికి చేరుకోవాలనుకుంటే, మొదటగా మనం $2^{\text {nd }}$ వీధిని గుర్తిస్తాము మరియు తర్వాత దానిపై 5 నంబరు ఉన్న ఇంటిని గుర్తిస్తాము. Fig. 3.1లో, H ఇంటి స్థానాన్ని చూపిస్తుంది. అదేవిధంగా, P వీధి నంబరు 7 మరియు ఇంటి నంబరు 4కి సంబంధించిన ఇంటి స్థానాన్ని చూపిస్తుంది.

Fig. 3.1

II. మీరు ఒక కాగితంపై ఒక బిందువును ఉంచారని అనుకోండి [Fig.3.2 (a)]. ఆ బిందువు కాగితంపై ఎక్కడ ఉందో మాకు చెప్పమని మేము మిమ్మల్ని అడిగితే, మీరు ఎలా చెప్పుతారు? బహుశా మీరు ఇలాంటి పద్ధతిలో చెప్పడానికి ప్రయత్నిస్తారు: “బిందువు కాగితం యొక్క ఎగువ సగంలో ఉంది”, లేదా “ఇది కాగితం యొక్క ఎడమ అంచుకు దగ్గరగా ఉంది”, లేదా “ఇది కాగితం యొక్క ఎడమ చేతి ఎగువ మూలకు చాలా దగ్గరగా ఉంది”. ఈ ప్రకటనలలో ఏదైనా బిందువు యొక్క స్థానాన్ని ఖచ్చితంగా నిర్ణయిస్తుందా? లేదు! కానీ, మీరు “బిందువు కాగితం యొక్క ఎడమ అంచు నుండి సుమారు $5 \mathrm{~cm}$ దూరంలో ఉంది” అని చెప్పినట్లయితే, అది కొంత ఆలోచన ఇస్తుంది కానీ ఇప్పటికీ బిందువు యొక్క స్థానాన్ని ఖచ్చితంగా నిర్ణయించదు. కొంచెం ఆలోచించడం వలన బిందువు కింది రేఖ నుండి కూడా $9 \mathrm{~cm}$ దూరంలో ఉందని మీరు చెప్పగలుగుతారు. ఇప్పుడు బిందువు ఖచ్చితంగా ఎక్కడ ఉందో మనకు తెలుసు!

Fig. 3.2

ఈ ప్రయోజనం కోసం, మేము బిందువు యొక్క స్థానాన్ని రెండు స్థిర రేఖల నుండి దాని దూరాలను పేర్కొని నిర్ణయించాము, అవి కాగితం యొక్క ఎడమ అంచు మరియు కాగితం యొక్క కింది రేఖ [Fig.3.2 (b)]. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, బిందువు యొక్క స్థానాన్ని కనుగొనడానికి మనకు రెండు స్వతంత్ర సమాచారాలు అవసరం.

ఇప్పుడు, ‘సీటింగ్ ప్లాన్’ అని పిలువబడే కింది తరగతి గది కార్యాచరణను నిర్వహించండి.

కార్యాచరణ 1 (సీటింగ్ ప్లాన్) : మీ తరగతి గదిలో అన్ని డెస్క్లను కలిపి, కూర్చునే ప్రణాళికను గీయండి. ప్రతి డెస్క్ను ఒక చతురస్రంతో సూచించండి. ప్రతి చతురస్రంలో, ఆ చతురస్రం సూచించే డెస్క్ను ఆక్రమించి ఉన్న విద్యార్థి పేరును రాయండి. తరగతి గదిలో ప్రతి విద్యార్థి యొక్క స్థానం రెండు స్వతంత్ర సమాచారాలను ఉపయోగించి ఖచ్చితంగా వివరించబడుతుంది:

(i) అతను లేదా ఆమె కూర్చున్న కాలమ్,

(ii) అతను లేదా ఆమె కూర్చున్న వరుస.

మీరు $5^{\text {th }}$ కాలమ్ మరియు $3^{\text {rd }}$ వరుసలో ఉన్న డెస్క్పై కూర్చుని ఉంటే (Fig. 3.3లో నీడపడిన చతురస్రం ద్వారా సూచించబడింది), మీ స్థానాన్ని (5,3)గా రాయవచ్చు, మొదట కాలమ్ నంబర్, ఆపై వరుస నంబర్ రాయాలి. ఇది $(3,5)$తో సమానమేనా? మీ తరగతిలోని ఇతర విద్యార్థుల పేర్లు మరియు స్థానాలను రాయండి. ఉదాహరణకు, సోనియా $4^{\text {th }}$ కాలమ్ మరియు $1^{\text {st }}$ వరుసలో కూర్చుంటే, $S(4,1)$ అని రాయండి. ఉపాధ్యాయుని డెస్క్ మీ సీటింగ్ ప్లాన్లో భాగం కాదు. మేము ఉపాధ్యాయుడిని కేవలం ఒక పరిశీలకుడిగా చూస్తున్నాము.

T ఉపాధ్యాయుని డెస్క్ను చూపిస్తుంది S సోనియా డెస్క్ను చూపిస్తుంది

Fig. 3.3

పై చర్చలో, మీరు గమనించారు, ఒక తలంలో ఉన్న ఏదైనా వస్తువు యొక్క స్థానాన్ని రెండు లంబ రేఖల సహాయంతో సూచించవచ్చు. ‘బిందువు’ విషయంలో, మనకు కాగితం యొక్క కింది రేఖ నుండి మరియు ఎడమ అంచు నుండి బిందువు యొక్క దూరం అవసరం. సీటింగ్ ప్లాన్ విషయంలో, మనకు కాలమ్ యొక్క సంఖ్య మరియు వరుస యొక్క సంఖ్య అవసరం. ఈ సాధారణ ఆలోచన దూరవ్యాప్తి పరిణామాలను కలిగి ఉంది మరియు కోఆర్డినేట్ జ్యామితి అని పిలువబడే గణితశాస్త్రం యొక్క చాలా ముఖ్యమైన శాఖకు దారితీసింది. ఈ అధ్యాయంలో, మేము కోఆర్డినేట్ జ్యామితి యొక్క కొన్ని ప్రాథమిక అంశాలను పరిచయం చేయాలని లక్ష్యంగా పెట్టుకున్నాము. మీరు మీ ఉన్నత తరగతుల్లో వీటి గురించి మరింత అధ్యయనం చేస్తారు. ఈ అధ్యయనం ప్రారంభంలో ఫ్రెంచ్ తత్వవేత్త మరియు గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు రెనే డెస్కార్టెస్ చేత అభివృద్ధి చేయబడింది.

రెనే డెస్కార్టెస్, పదిహేడవ శతాబ్దపు గొప్ప ఫ్రెంచ్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు, మంచంపై పడుకుని ఆలోచించడం ఇష్టపడేవాడు! ఒక రోజు, మంచంపై విశ్రాంతి తీసుకుంటున్నప్పుడు, అతను ఒక తలంలో ఒక బిందువు యొక్క స్థానాన్ని వివరించే సమస్యను పరిష్కరించాడు. అతని పద్ధతి అక్షాంశం మరియు రేఖాంశం యొక్క పాత ఆలోచన యొక్క అభివృద్ధి. డెస్కార్టెస్ గౌరవార్థం, ఒక తలంలో ఒక బిందువు యొక్క స్థానాన్ని వివరించడానికి ఉపయోగించే వ్యవస్థను కార్టీసియన్ వ్యవస్థ అని కూడా పిలుస్తారు.

రెనే డెస్కార్టెస్ (1596 -1650)

Fig. 3.4

3.2 కార్టీసియన్ వ్యవస్థ

మీరు ‘సంఖ్యా వ్యవస్థ’ అధ్యాయంలో సంఖ్య రేఖను అధ్యయనం చేసారు. సంఖ్య రేఖపై, ఒక స్థిర బిందువు నుండి దూరాలు సమాన యూనిట్లలో ఒక దిశలో ధనాత్మకంగా మరియు మరొక దిశలో ఋణాత్మకంగా గుర్తించబడతాయి. దూరాలు గుర్తించబడిన బిందువును మూల బిందువు అంటారు. సమాన దూరాలలో ఒక రేఖపై బిందువులను గుర్తించడం ద్వారా సంఖ్యలను సూచించడానికి మేము సంఖ్య రేఖను ఉపయోగిస్తాము. ఒక యూనిట్ దూరం ‘1’ సంఖ్యను సూచిస్తే, 3 యూనిట్ల దూరం ‘3’ సంఖ్యను సూచిస్తుంది, ‘0’ మూల బిందువు వద్ద ఉంటుంది. మూల బిందువు నుండి $r$ దూరంలో ధన దిశలో ఉన్న బిందువు $r$ సంఖ్యను సూచిస్తుంది. మూల బిందువు నుండి $r$ దూరంలో ఋణ దిశలో ఉన్న బిందువు $-r$ సంఖ్యను సూచిస్తుంది. Fig. 3.5లో సంఖ్య రేఖపై వివిధ సంఖ్యల స్థానాలు చూపబడ్డాయి.

Fig. 3.5

డెస్కార్టెస్ ఒక తలంపై రెండు అటువంటి రేఖలను ఒకదానికొకటి లంబంగా ఉంచడం మరియు ఈ రేఖలను సూచించడం ద్వారా తలంపై బిందువులను గుర్తించే ఆలోచనను కనుగొన్నాడు. లంబ రేఖలు Fig.3.6లో ఉన్నట్లుగా ఏ దిశలోనైనా ఉండవచ్చు. కానీ, మనం ఈ అధ్యాయంలో ఒక తలంలో ఒక బిందువును గుర్తించడానికి ఈ రెండు రేఖలను ఎంచుకున్నప్పుడు, ఒక రేఖ క్షితిజ సమాంతరంగా మరియు మరొకటి నిలువుగా ఉంటుంది, Fig. 3.6(c)లో ఉన్నట్లుగా. ఈ రేఖలు వాస్తవానికి ఈ క్రింది విధంగా పొందబడతాయి: రెండు సంఖ్య రేఖలను తీసుకోండి, వాటిని $ \mathrm{X}^{\prime} \mathrm{X}$ మరియు $\mathrm{Y}^{\prime} \mathrm{Y}$ అని పిలుస్తూ. $\mathrm{X}^{\prime} \mathrm{X}$ను క్షితిజ సమాంతరంగా ఉంచండి [Fig. 3.7(a)లో ఉన్నట్లుగా] మరియు దానిపై సంఖ్య రేఖపై వ్రాయబడినట్లుగానే సంఖ్యలను వ్రాయండి. మేము $Y^{\prime} Y$తో అదే పనిని చేస్తాము, $Y^{\prime} Y$ నిలువుగా ఉంటుంది, క్షితిజ సమాంతరంగా కాదు [Fig. 3.7(b)].

(a)

(b) Fig. 3.7

రెండు రేఖలు వాటి సున్నాలు లేదా మూలాల వద్ద ఒకదానికొకటి కలిసే విధంగా రెండు రేఖలను కలపండి (Fig. 3.8). క్షితిజ సమాంతర రేఖ $\mathrm{X}^{\prime} \mathrm{X}$ను $x$-అక్షం అని పిలుస్తారు మరియు నిలువు రేఖ $Y^{\prime}$ను $y$-అక్షం అని పిలుస్తారు. $X^{\prime} X$ మరియు $Y^{\prime} Y$ కలిసే బిందువును మూల బిందువు అంటారు మరియు దానిని $\mathrm{O}$తో సూచిస్తారు. ధన సంఖ్యలు $\mathrm{OX}$ మరియు $\mathrm{OY}$ దిశలలో ఉన్నందున, $\mathrm{OX}$ మరియు $\mathrm{OY}$ వరుసగా $x$-అక్షం మరియు $y$-అక్షం యొక్క ధన దిశలు అంటారు. అదేవిధంగా, $\mathrm{OX}^{\prime}$ మరియు $\mathrm{OY}^{\prime}$ వరుసగా $x$-అక్షం మరియు $y$-అక్షం యొక్క ఋణ దిశలు అంటారు.

Fig. 3.8

మీరు గమనించారు, అక్షాలు (అక్షం అనే పదం యొక్క బహువచనం) తలాన్ని నాలుగు భాగాలుగా విభజిస్తాయి. ఈ నాలుగు భాగాలను చతుర్భాగాలు (నాలుగో వంతు భాగం) అంటారు, వాటికి OX నుండి అపసవ్య దిశలో I, II, III మరియు IV అని నంబరింగ్ చేయబడింది (Fig.3.9 చూడండి). కాబట్టి, తలం అక్షాలు మరియు ఈ చతుర్భాగాలను కలిగి ఉంటుంది. మేము తలాన్ని కార్టీసియన్ తలం, లేదా కోఆర్డినేట్ తలం, లేదా xy-తలం అని పిలుస్తాము. అక్షాలను కోఆర్డినేట్ అక్షాలు అంటారు.

Fig. 3.9

ఇప్పుడు, ఈ వ్యవస్థ గణితానికి ఎందుకు ఇంత ప్రాథమికమైనది మరియు ఇది ఎలా ఉపయోగకరంగా ఉందో చూద్దాం. అక్షాలు గ్రాఫ్ పేపర్పై గీయబడిన కింది రేఖాచిత్రాన్ని పరిగణించండి. $\mathrm{P}$ మరియు $\mathrm{Q}$ బిందువుల అక్షాల నుండి దూరాలను చూద్దాం. దీని కోసం, మేము $x$-అక్షంపై PM లంబాలను మరియు $y$-అక్షంపై PN లంబాలను గీస్తాము. అదేవిధంగా, మేము Fig. 3.10లో చూపినట్లుగా QR మరియు QS లంబాలను గీస్తాము.

Fig.3.10

మీరు కనుగొంటారు:

(i) $\mathrm{P}$ బిందువు యొక్క $y$-అక్షం నుండి లంబ దూరం, $x$-అక్షం యొక్క ధన దిశలో కొలవబడింది, $\mathrm{PN}=\mathrm{OM}=4$ యూనిట్లు.

(ii) $\mathrm{P}$ బిందువు యొక్క $x$-అక్షం నుండి లంబ దూరం, $y$-అక్షం యొక్క ధన దిశలో కొలవబడింది, $\mathrm{PM}=\mathrm{ON}=3$ యూనిట్లు.

(iii) $\mathrm{Q}$ బిందువు యొక్క $y$-అక్షం నుండి లంబ దూరం, $x$-అక్షం యొక్క ఋణ దిశలో కొలవబడింది, $\mathrm{OR}=\mathrm{SQ}=6$ యూనిట్లు.

(iv) $\mathrm{Q}$ బిందువు యొక్క $x$-అక్షం నుండి లంబ దూరం, $y$-అక్షం యొక్క ఋణ దిశలో కొలవబడింది, $\mathrm{OS}=\mathrm{RQ}=2$ యూనిట్లు.

ఇప్పుడు, ఈ దూరాలను ఉపయోగించి, ఎటువంటి గందరగోళం లేకుండా బిందువులను ఎలా వివరించగలం?

మేము ఈ క్రింది నియమాలను ఉపయోగించి, ఒక బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్లను వ్రాస్తాము:

(i) ఒక బిందువు యొక్క $x$-కోఆర్డినేట్ అనేది $y$-అక్షం నుండి దాని లంబ దూరం, $x$-అక్షం వెంబడి కొలవబడింది ($x$-అక్షం యొక్క ధన దిశ వెంబడి ధనాత్మకంగా మరియు $x$-అక్షం యొక్క ఋణ దిశ వెంబడి ఋణాత్మకంగా). $\mathrm{P}$ బిందువు కోసం, ఇది +4 మరియు $\mathrm{Q}$ కోసం, ఇది -6. $x$-కోఆర్డినేట్ను అబ్సిస్సా అని కూడా అంటారు.

(ii) ఒక బిందువు యొక్క $y$-కోఆర్డినేట్ అనేది $x$-అక్షం నుండి దాని లంబ దూరం, $y$-అక్షం వెంబడి కొలవబడింది ($y$-అక్షం యొక్క ధన దిశ వెంబడి ధనాత్మకంగా మరియు $y$-అక్షం యొక్క ఋణ దిశ వెంబడి ఋణాత్మకంగా). $\mathrm{P}$ బిందువు కోసం, ఇది +3 మరియు $\mathrm{Q}$ కోసం, ఇది -2. $y$-కోఆర్డినేట్ను ఆర్డినేట్ అని కూడా అంటారు.

(iii) కోఆర్డినేట్ తలంలో ఒక బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్లను పేర్కొనడంలో, మొదట $x$-కోఆర్డినేట్ వస్తుంది, ఆపై $y$-కోఆర్డినేట్ వస్తుంది. మేము కోఆర్డినేట్లను బ్రాకెట్లలో ఉంచుతాము.

అందువల్ల, $\mathrm{P}$ యొక్క కోఆర్డినేట్లు $(4,3)$ మరియు $\mathrm{Q}$ యొక్క కోఆర్డినేట్లు $(-6,-2)$.

బ్రాకెట్లలో కోఆర్డినేట్లు ఒక తలంలోని బిందువును ప్రత్యేకంగా వివరిస్తాయని గమనించండి. $(3,4)$ అనేది $(4,3)$తో సమానం కాదు.

ఉదాహరణ 1 : Fig. 3.11ని చూడండి మరియు కింది ప్రకటనలను పూర్తి చేయండి:

(i) $\mathrm{B}$ బిందువు యొక్క అబ్సిస్సా మరియు ఆర్డినేట్ వరుసగా $\ldots \ldots$ మరియు $\ldots \ldots$. అందువల్ల, $\mathrm{B}$ యొక్క కోఆర్డినేట్లు (__,__).

(ii) $\mathrm{M}$ బిందువు యొక్క $x$-కోఆర్డినేట్ మరియు $y$-కోఆర్డినేట్ వరుసగా $\ldots$ మరియు $\ldots$. అందువల్ల, $\mathrm{M}$ యొక్క కోఆర్డినేట్లు (__,__).

(iii) $\mathrm{L}$ బిందువు యొక్క $x$-కోఆర్డినేట్ మరియు $y$-కోఆర్డినేట్ వరుసగా $\ldots$ మరియు $\ldots$. అందువల్ల, $\mathrm{L}$ యొక్క కోఆర్డినేట్లు (__,__).

(iv) $\mathrm{S}$ బిందువు యొక్క $x$-కోఆర్డినేట్ మరియు $y$-కోఆర్డినేట్ వరుసగా $\ldots \ldots$ మరియు $\ldots$. అందువల్ల, $\mathrm{S}$ యొక్క కోఆర్డినేట్లు (__,__).

Fig. 3.11

పరిష్కారం: (i) B బిందువు యొక్క $y$-అక్షం నుండి దూరం 4 యూనిట్లు కాబట్టి, B బిందువు యొక్క $x$-కోఆర్డినేట్ లేదా అబ్సిస్సా 4. B బిందువు యొక్క $x$-అక్షం నుండి దూరం 3 యూనిట్లు; అందువల్ల, $y$-కోఆర్డినేట్, అంటే, ఆర్డినేట్, B బిందువు యొక్క 3. అందువల్ల, B బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్లు $(4,3)$.

(i) లో ఉన్నట్లుగా:

(ii) $\mathrm{M}$ బిందువు యొక్క $x$-కోఆర్డినేట్ మరియు $y$-కోఆర్డినేట్ వరుసగా -3 మరియు 4. అందువల్ల, $\mathrm{M}$ బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్లు $(-3,4)$.

(iii) $\mathrm{L}$ బిందువు యొక్క $x$-కోఆర్డినేట్ మరియు $y$-కోఆర్డినేట్ వరుసగా -5 మరియు -4. అందువల్ల, $\mathrm{L}$ బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్లు $(-5,-4)$.

(iv) $\mathrm{S}$ బిందువు యొక్క $x$-కోఆర్డినేట్ మరియు $y$-కోఆర్డినేట్ వరుసగా 3 మరియు -4. అందువల్ల, $\mathrm{S}$ బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్లు $(3,-4)$.

ఉదాహరణ 2 : Fig. 3.12లో అక్షాలపై గుర్తించబడిన బిందువుల కోఆర్డినేట్లను వ్రాయండి.

పరిష్కారం : మీరు చూడగలరు:

(i) $\mathrm{A}$ బిందువు $y$-అక్షం నుండి +4 యూనిట్ల దూరంలో మరియు $x$-అక్షం నుండి సున్నా దూరంలో ఉంది. అందువల్ల, $\mathrm{A}$ యొక్క $x$-కోఆర్డినేట్ 4 మరియు $y$-కోఆర్డినేట్ 0. అందువల్ల, A యొక్క కోఆర్డినేట్లు $(4,0)$.

(ii) $\mathrm{B}$ యొక్క కోఆర్డినేట్లు $(0,3)$. ఎందుకు?

(iii) $\mathrm{C}$ యొక్క కోఆర్డినేట్లు $(-5,0)$. ఎందుకు?

(iv) $\mathrm{D}$ యొక్క కోఆర్డినేట్లు $(0,-4)$. ఎందుకు?

(v) $\mathrm{E}$ యొక్క కోఆర్డినేట్లు $\left(\frac{2}{3}, 0\right)$. ఎందుకు?

<img src="