3.1 પ્રસ્તાવના

તમે પહેલેથી જ અભ્યાસ કર્યો છે કે સંખ્યારેખા પર બિંદુનું સ્થાન કેવી રીતે શોધવું. તમે રેખા પર બિંદુની સ્થિતિનું વર્ણન કેવી રીતે કરવું તે પણ જાણો છો. અન્ય ઘણી પરિસ્થિતિઓ છે, જેમાં બિંદુ શોધવા માટે આપણે એક કરતાં વધુ રેખાઓનો સંદર્ભ લઈને તેની સ્થિતિનું વર્ણન કરવાની જરૂર પડે છે. ઉદાહરણ તરીકે, નીચેની પરિસ્થિતિઓ ધ્યાનમાં લો:

I. આકૃતિ 3.1 માં, પૂર્વ-પશ્ચિમ દિશામાં એક મુખ્ય માર્ગ ચાલે છે અને પશ્ચિમથી પૂર્વ તરફ નંબરિંગવાળી ગલીઓ છે. દરેક ગલી પર, ઘરોના નંબર પણ ચિહ્નિત કરેલા છે. અહીં મિત્રના ઘરની શોધમાં, શું ફક્ત એક સંદર્ભ બિંદુ જાણવું પૂરતું છે? ઉદાહરણ તરીકે, જો આપણે ફક્ત એટલું જ જાણીએ કે તે $2^{\text {nd }}$ ગલી પર રહે છે, તો શું આપણે તેનું ઘર સરળતાથી શોધી શકીશું? જ્યારે આપણે તેના વિશે બે માહિતી જાણીએ છીએ, એટલે કે જે ગલી પર તે સ્થિત છે તેનો નંબર અને ઘરનો નંબર, ત્યારે જેટલી સરળતાથી મળે તેટલી સરળતાથી નહીં. જો આપણે તે ઘરે પહોંચવું હોય જે $2^{\text {nd }}$ ગલીમાં સ્થિત છે અને જેનો નંબર 5 છે, તો સૌપ્રથમ આપણે $2^{\text {nd }}$ ગલી ઓળખીશું અને પછી તેના પર 5 નંબરવાળું ઘર. આકૃતિ 3.1 માં, H ઘરનું સ્થાન દર્શાવે છે. તે જ રીતે, P ગલી નંબર 7 અને ઘર નંબર 4 ને અનુરૂપ ઘરનું સ્થાન દર્શાવે છે.

આકૃતિ 3.1

II. ધારો કે તમે કાગળની શીટ પર એક ટપકું મૂકો છો [આકૃતિ 3.2 (a)]. જો આપણે તમને પૂછીએ કે કાગળ પર ટપકાની સ્થિતિ કહો, તો તમે આ કેવી રીતે કરશો? કદાચ તમે આવી કોઈ રીતે પ્રયત્ન કરશો: “ટપકું કાગળના ઉપરના અડધા ભાગમાં છે”, અથવા “તે કાગળના ડાબા કિનારાની નજીક છે”, અથવા “તે શીટના ડાબા હાથના ઉપરના ખૂણાની ખૂબ નજીક છે”. શું આમાંથી કોઈ પણ વિધાન ટપકાની સ્થિતિને ચોક્કસપણે નક્કી કરે છે? ના! પરંતુ, જો તમે કહો કે “ટપકું કાગળના ડાબા કિનારાથી લગભગ $5 \mathrm{~cm}$ દૂર છે”, તો તે કેટલીક સમજ આપવામાં મદદ કરે છે પરંતુ હજુ પણ ટપકાની સ્થિતિ નક્કી કરતું નથી. થોડું વિચારવાથી તમને એ કહેવા માટે સક્ષમ કરી શકે છે કે ટપકું તળિયાની રેખાથી $9 \mathrm{~cm}$ ઉપરના અંતરે પણ છે. હવે આપણે ચોક્કસ જાણીએ છીએ કે ટપકું ક્યાં છે!

આકૃતિ 3.2

આ હેતુ માટે, આપણે ટપકાની સ્થિતિ નક્કી કરી હતી તેને બે નિશ્ચિત રેખાઓ, કાગળના ડાબા કિનારા અને કાગળની તળિયાની રેખાથી તેના અંતરો સ્પષ્ટ કરીને [આકૃતિ 3.2 (b)]. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ટપકાનું સ્થાન શોધવા માટે આપણે બે સ્વતંત્ર માહિતીની જરૂર છે.

હવે, નીચેની વર્ગખંડ પ્રવૃત્તિ કરો જેને ‘બેઠક યોજના’ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

પ્રવૃત્તિ 1 (બેઠક યોજના) : તમારા વર્ગખંડમાં બેઠકની યોજના દોરો, બધા ડેસ્કને એકસાથે દબાવીને. દરેક ડેસ્કને ચોરસ દ્વારા દર્શાવો. દરેક ચોરસમાં, તે વિદ્યાર્થીનું નામ લખો જે ડેસ્ક પર બેઠો છે, જેને ચોરસ દર્શાવે છે. વર્ગખંડમાં દરેક વિદ્યાર્થીની સ્થિતિ બે સ્વતંત્ર માહિતીનો ઉપયોગ કરીને ચોક્કસ રીતે વર્ણવવામાં આવે છે:

(i) જે સ્તંભમાં તે બેઠો/બેઠી છે,

(ii) જે પંક્તિમાં તે બેઠો/બેઠી છે.

જો તમે $5^{\text {th }}$ સ્તંભ અને $3^{\text {rd }}$ પંક્તિમાં પડેલા ડેસ્ક પર બેઠા છો (આકૃતિ 3.3 માં છાયાંકિત ચોરસ દ્વારા દર્શાવેલ), તો તમારી સ્થિતિ (5,3) તરીકે લખી શકાય, પહેલા સ્તંભ નંબર અને પછી પંક્તિ નંબર લખીને. શું આ $(3,5)$ જેવું જ છે? તમારા વર્ગના અન્ય વિદ્યાર્થીઓના નામ અને સ્થિતિઓ લખો. ઉદાહરણ તરીકે, જો સોનિયા $4^{\text {th }}$ સ્તંભ અને $1^{\text {st }}$ પંક્તિમાં બેઠી છે, તો $S(4,1)$ લખો. શિક્ષકની ડેસ્ક તમારી બેઠક યોજનાનો ભાગ નથી. અમે શિક્ષકને માત્ર એક નિરીક્ષક તરીકે ગણી રહ્યા છીએ.

T શિક્ષકની ડેસ્ક દર્શાવે છે S સોનિયાની ડેસ્ક દર્શાવે છે

આકૃતિ 3.3

ઉપરની ચર્ચામાં, તમે નોંધો છો કે સમતલમાં પડેલી કોઈપણ વસ્તુની સ્થિતિ બે લંબ રેખાઓની મદદથી દર્શાવી શકાય છે. ‘ટપકું’ના કિસ્સામાં, આપણને કાગળની તળિયાની રેખા અને ડાબા કિનારા બંનેમાંથી ટપકાનું અંતર જોઈએ છે. બેઠક યોજનાના કિસ્સામાં, આપણને સ્તંભનો નંબર અને પંક્તિનો નંબર જોઈએ છે. આ સરળ વિચારના દૂરગામી પરિણામો છે, અને તે ગણિતની ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ શાખા તરીકે ઓળખાતા સંકલન ભૂમિતિને જન્મ આપ્યો છે. આ પ્રકરણમાં, અમે સંકલન ભૂમિતિની કેટલીક મૂળભૂત સંકલ્પનાઓનો પરિચય આપવાનો ઉદ્દેશ્ય રાખ્યો છે. તમે તમારી ઉચ્ચ કક્ષાના વર્ગોમાં આ વિશે વધુ અભ્યાસ કરશો. આ અભ્યાસનો પ્રારંભિક વિકાસ ફ્રેન્ચ દાર્શનિક અને ગણિતજ્ઞ રેને ડેસકાર્ટેસ દ્વારા કરવામાં આવ્યો હતો.

રેને ડેસકાર્ટેસ, સત્તરમી સદીના મહાન ફ્રેન્ચ ગણિતજ્ઞ, પલંગમાં પડીને વિચારવાનું પસંદ કરતા હતા! એક દિવસ, પલંગમાં આરામ કરતી વખતે, તેમણે સમતલમાં બિંદુની સ્થિતિનું વર્ણન કરવાની સમસ્યા હલ કરી. તેમની પદ્ધતિ અક્ષાંશ અને રેખાંશના જૂના વિચારનો વિકાસ હતી. ડેસકાર્ટેસના સન્માનમાં, સમતલમાં બિંદુની સ્થિતિનું વર્ણન કરવા માટે વપરાતી પ્રણાલીને કાર્ટેશિયન પ્રણાલી તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે.

રેને ડેસકાર્ટેસ (1596 -1650)

આકૃતિ 3.4

3.2 કાર્ટેશિયન પ્રણાલી

તમે ‘સંખ્યા પ્રણાલી’ પ્રકરણમાં સંખ્યારેખાનો અભ્યાસ કર્યો છે. સંખ્યારેખા પર, નિશ્ચિત બિંદુથી અંતરો એક દિશામાં ધન અને બીજી દિશામાં ઋણ તરીકે સમાન એકમોમાં ચિહ્નિત કરવામાં આવે છે. જે બિંદુથી અંતરો ચિહ્નિત કરવામાં આવે છે તેને મૂળ કહેવામાં આવે છે. આપણે સંખ્યાઓને દર્શાવવા માટે સમાન અંતરે રેખા પર બિંદુઓ ચિહ્નિત કરીને સંખ્યારેખાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. જો એક એકમ અંતર સંખ્યા ‘1’ ને દર્શાવે છે, તો 3 એકમ અંતર સંખ્યા ‘3’ ને દર્શાવે છે, ‘0’ મૂળ પર છે. મૂળથી $r$ અંતરે ધન દિશામાંનું બિંદુ સંખ્યા $r$ ને દર્શાવે છે. મૂળથી $r$ અંતરે ઋણ દિશામાંનું બિંદુ સંખ્યા $-r$ ને દર્શાવે છે. સંખ્યારેખા પર વિવિધ સંખ્યાઓના સ્થાનો આકૃતિ 3.5 માં દર્શાવેલ છે.

આકૃતિ 3.5

ડેસકાર્ટેસે એક સમતલ પર આવી બે રેખાઓને એકબીજાને લંબરૂપે મૂકવાનો વિચાર શોધ્યો, અને સમતલ પરના બિંદુઓને આ રેખાઓનો સંદર્ભ આપીને સ્થિત કર્યા. લંબ રેખાઓ કોઈપણ દિશામાં હોઈ શકે છે જેમ કે આકૃતિ 3.6 માં. પરંતુ, જ્યારે આપણે

આકૃતિ 3.6

આ પ્રકરણમાં સમતલમાં બિંદુ સ્થિત કરવા માટે આ બે રેખાઓ પસંદ કરીએ છીએ, ત્યારે એક રેખા આડી અને બીજી રેખા ઊભી હશે, જેમ કે આકૃતિ 3.6(c) માં. આ રેખાઓ ખરેખર નીચે પ્રમાણે મેળવવામાં આવે છે: બે સંખ્યારેખાઓ લો, તેમને $ \mathrm{X}^{\prime} \mathrm{X}$ અને $\mathrm{Y}^{\prime} \mathrm{Y}$ કહીને. $\mathrm{X}^{\prime} \mathrm{X}$ ને આડી મૂકો [જેમ કે આકૃતિ 3.7(a) માં] અને તેના પર સંખ્યાઓ લખો જેમ સંખ્યારેખા પર લખવામાં આવે છે. આપણે $Y^{\prime} Y$ સાથે પણ આ જ કરીએ છીએ સિવાય કે $Y^{\prime} Y$ ઊભી છે, આડી નથી [આકૃતિ 3.7(b)].

(a)

(b) આકૃતિ 3.7

બંને રેખાઓને એવી રીતે જોડો કે બે રેખાઓ તેમના શૂન્યો, અથવા મૂળ પર એકબીજાને છેદે (આકૃતિ 3.8). આડી રેખા $\mathrm{X}^{\prime} \mathrm{X}$ ને $x$-અક્ષ કહેવામાં આવે છે અને ઊભી રેખા $Y^{\prime}$ ને $y$-અક્ષ કહેવામાં આવે છે. જ્યાં $X^{\prime} X$ અને $Y^{\prime} Y$ છેદે છે તે બિંદુને મૂળ કહેવામાં આવે છે, અને તેને $\mathrm{O}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. કારણ કે ધન સંખ્યાઓ $\mathrm{OX}$ અને $\mathrm{OY}$ દિશાઓ પર આવેલી છે, $\mathrm{OX}$ અને $\mathrm{OY}$ ને અનુક્રમે $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષની ધન દિશાઓ કહેવામાં આવે છે. તે જ રીતે, $\mathrm{OX}^{\prime}$ અને $\mathrm{OY}^{\prime}$ ને અનુક્રમે $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષની ઋણ દિશાઓ કહેવામાં આવે છે.

આકૃતિ 3.8

તમે નોંધો છો કે અક્ષો (‘અક્ષ’ શબ્દનું બહુવચન) સમતલને ચાર ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે. આ ચાર ભાગોને ચતુર્થાંશ (એક ચોથો ભાગ) કહેવામાં આવે છે, જે OX થી વિપરીત ઘડિયાળની દિશામાં I, II, III અને IV નંબરિત છે (આકૃતિ 3.9 જુઓ). તેથી, સમતલમાં અક્ષો અને આ ચતુર્થાંશોનો સમાવેશ થાય છે. આપણે સમતલને કાર્ટેશિયન સમતલ, અથવા સંકલન સમતલ, અથવા xy-સમતલ કહીએ છીએ. અક્ષોને સંકલન અક્ષો કહેવામાં આવે છે.

આકૃતિ 3.9

હવે, ચાલો જોઈએ કે આ પ્રણાલી ગણિત માટે શા માટે આટલી મૂળભૂત છે, અને તે કેવી રીતે ઉપયોગી છે. નીચેનો આકૃતિ ધ્યાનમાં લો જ્યાં અક્ષો ગ્રાફ પેપર પર દોરવામાં આવ્યા છે. ચાલો બિંદુઓ $\mathrm{P}$ અને $\mathrm{Q}$ ના અક્ષોમાંથી અંતર જોઈએ. આ માટે, આપણે $x$-અક્ષ પર PM અને $y$-અક્ષ પર PN લંબ દોરીએ છીએ. તે જ રીતે, આપણે QR અને QS લંબ દોરીએ છીએ જેમ કે આકૃતિ 3.10 માં દર્શાવેલ છે.

આકૃતિ 3.10

તમે જોશો કે

(i) બિંદુ $\mathrm{P}$ નું $y$-અક્ષથી લંબ અંતર, $x$-અક્ષની ધન દિશા સાથે માપવામાં આવે છે, તે $\mathrm{PN}=\mathrm{OM}=4$ એકમ છે.

(ii) બિંદુ $\mathrm{P}$ નું $x$-અક્ષથી લંબ અંતર, $y$-અક્ષની ધન દિશા સાથે માપવામાં આવે છે, તે $\mathrm{PM}=\mathrm{ON}=3$ એકમ છે.

(iii) બિંદુ $\mathrm{Q}$ નું $y$-અક્ષથી લંબ અંતર, $x$-અક્ષની ઋણ દિશા સાથે માપવામાં આવે છે, તે $\mathrm{OR}=\mathrm{SQ}=6$ એકમ છે.

(iv) બિંદુ $\mathrm{Q}$ નું $x$-અક્ષથી લંબ અંતર, $y$-અક્ષની ઋણ દિશા સાથે માપવામાં આવે છે, તે $\mathrm{OS}=\mathrm{RQ}=2$ એકમ છે.

હવે, આ અંતરોનો ઉપયોગ કરીને, આપણે બિંદુઓનું વર્ણન કેવી રીતે કરી શકીએ કે જેથી કોઈ ગૂંચવણ ન રહે?

આપણે નીચેના સંમેલનોનો ઉપયોગ કરીને બિંદુના સંકલન લખીએ છીએ:

(i) બિંદુનું $x$-સંકલન એ $y$-અક્ષથી તેનું લંબ અંતર છે જે $x$-અક્ષ સાથે માપવામાં આવે છે ($x$-અક્ષની ધન દિશા સાથે ધન અને $x$-અક્ષની ઋણ દિશા સાથે ઋણ). બિંદુ $\mathrm{P}$ માટે, તે +4 છે અને $\mathrm{Q}$ માટે, તે -6 છે. $x$-સંકલનને ભૂજ પણ કહેવામાં આવે છે.

(ii) બિંદુનું $y$-સંકલન એ $x$-અક્ષથી તેનું લંબ અંતર છે જે $y$-અક્ષ સાથે માપવામાં આવે છે ($y$-અક્ષની ધન દિશા સાથે ધન અને $y$-અક્ષની ઋણ દિશા સાથે ઋણ). બિંદુ $\mathrm{P}$ માટે, તે +3 છે અને $\mathrm{Q}$ માટે, તે -2 છે. $y$-સંકલનને કોટિ પણ કહેવામાં આવે છે.

(iii) સંકલન સમતલમાં બિંદુના સંકલનો જણાવતી વખતે, પહેલા $x$-સંકલન અને પછી $y$-સંકલન આવે છે. આપણે સંકલનો કૌંસમાં મૂકીએ છીએ.

આથી, $\mathrm{P}$ ના સંકલનો $(4,3)$ છે અને $\mathrm{Q}$ ના સંકલનો $(-6,-2)$ છે.

નોંધ કરો કે સંકલનો સમતલમાં બિંદુને અનન્ય રીતે વર્ણવે છે. $(3,4)$ એ $(4,3)$ જેવું જ નથી.

ઉદાહરણ 1 : આકૃતિ 3.11 જુઓ અને નીચેના વિધાનો પૂર્ણ કરો:

(i) બિંદુ $\mathrm{B}$ ની ભૂજ અને કોટિ અનુક્રમે $\ldots \ldots$ અને $\ldots \ldots$ છે. આથી, $\mathrm{B}$ ના સંકલનો (__,__) છે.

(ii) બિંદુ $\mathrm{M}$ નું $x$-સંકલન અને $y$-સંકલન અનુક્રમે $\ldots$ અને $\ldots$ છે. આથી, $\mathrm{M}$ ના સંકલનો (__,__) છે.

(iii) બિંદુ $\mathrm{L}$ નું $x$-સંકલન અને $y$-સંકલન અનુક્રમે $\ldots$ અને $\ldots$ છે. આથી, $\mathrm{L}$ ના સંકલનો (__,__) છે.

(iv) બિંદુ $\mathrm{S}$ નું $x$-સંકલન અને $y$-સંકલન અનુક્રમે $\ldots \ldots$ અને $\ldots$ છે. આથી, $\mathrm{S}$ ના સંકલનો (__,__) છે.

આકૃતિ 3.11

ઉકેલ: (i) કારણ કે બિંદુ B નું $y$-અક્ષથી અંતર 4 એકમ છે, બિંદુ B નું $x$-સંકલન અથવા ભૂજ 4 છે. બિંદુ B નું $x$-અક્ષથી અંતર 3 એકમ છે; તેથી, બિંદુ B નું $y$-સંકલન, એટલે કે, કોટિ, 3 છે. આથી, બિંદુ B ના સંકલનો $(4,3)$ છે.

(i) માં જેમ:

(ii) બિંદુ $\mathrm{M}$ નું $x$-સંકલન અને $y$-સંકલન અનુક્રમે -3 અને 4 છે. આથી, બિંદુ $\mathrm{M}$ ના સંકલનો $(-3,4)$ છે.

(iii) બિંદુ $\mathrm{L}$ નું $x$-સંકલન અને $y$-સંકલન અનુક્રમે -5 અને -4 છે. આથી, બિંદુ $\mathrm{L}$ ના સંકલનો $(-5,-4)$ છે.

(iv) બિંદુ $\mathrm{S}$ નું $x$-સંકલન અને $y$-સંકલન અનુક્રમે 3 અને -4 છે. આથી, બિંદુ $\mathrm{S}$ ના સંકલનો $(3,-4)$ છે.

ઉદાહરણ 2 : આકૃતિ 3.12 માં અક્ષો પર ચિહ્નિત કરેલા બિંદુઓના સંકલનો લખો.

ઉકેલ : તમે જોઈ શકો છો કે:

(i) બિંદુ $\mathrm{A}$ $y$-અક્ષથી +4 એકમ અંતર પર છે અને $x$-અક્ષથી શૂન્ય અંતર પર છે. તેથી, $\mathrm{A}$ નું $x$-સંકલન 4 છે અને $y$-સંકલન 0 છે. આથી, A ના સંકલનો $(4,0)$ છે.

(ii) $\mathrm{B}$ ના સંકલનો $(0,3)$ છે. શા માટે?

(iii) $\mathrm{C}$ ના સંકલનો $(-5,0)$ છે. શા માટે?

(iv) $\mathrm{D}$ ના સંકલનો $(0,-4)$ છે. શા માટે?

(v) $\mathrm{E}$ ના સંકલનો $\left(\frac{2}{3}, 0\right)$ છે. શા માટે?

કારણ કે $x$-અક્ષ પરનું દરેક બિંદુ $x$-અક્ષથી કોઈ અંતર (શૂન્ય અંતર) ધરાવતું નથી, તેથી, $y$-અક્ષ પર પડેલા દરેક બિંદુનું $x$-સંકલન હંમેશા શૂન્ય હોય છે. આમ, $x$-અક્ષ પરના કોઈપણ બિંદુના સંકલનો $(x, 0)$ સ્વરૂપના હોય છે, જ્યાં $x$ બિંદુનું $y$-અક્ષથી અંતર છે. તે જ રીતે, $y$-અક્ષ પરના કોઈપણ બિંદુના સંકલનો $(0, y)$ સ્વરૂપના હોય છે, જ્યાં $y$ બિંદુનું $x$-અક્ષથી અંતર છે. શા માટે?

મૂળ $\mathbf{O}$ ના સંકલનો શું છે? તે બંને અક્ષોમાંથી શૂન્ય અંતર ધરાવે છે જેથી તેની ભૂજ અને કોટિ બંને શૂન્ય હોય. તેથી, મૂળના સંકલનો $(\mathbf{0}, \mathbf{0})$