३.१ परिचय

तुम्ही आधीच अभ्यासले आहे की संख्या रेषेवर एक बिंदू कसा शोधायचा. तुम्हाला रेषेवरील बिंदूची स्थिती कशी वर्णन करायची हे देखील माहित आहे. अशा अनेक परिस्थिती आहेत, ज्यामध्ये बिंदू शोधण्यासाठी आपल्याला एकापेक्षा जास्त रेषांच्या संदर्भात त्याची स्थिती वर्णन करणे आवश्यक असते. उदाहरणार्थ, पुढील परिस्थितींचा विचार करा:

I. आकृती ३.१ मध्ये, पूर्व-पश्चिम दिशेने धावणारी एक मुख्य रस्ता आहे आणि पश्चिमेकडून पूर्वेकडे क्रमांक असलेल्या रस्त्या आहेत. तसेच, प्रत्येक रस्त्यावर, घरांचे क्रमांक चिन्हांकित केलेले आहेत. येथे मित्राचे घर शोधण्यासाठी, फक्त एक संदर्भ बिंदू जाणून घेणे पुरेसे आहे का? उदाहरणार्थ, जर आपल्याला फक्त एवढेच माहित असेल की ती स्ट्रीट २ वर राहते, तर आपण तिचे घर सहज शोधू शकू का? जेव्हा आपल्याला त्याबद्दल दोन तुकडे माहिती माहित असते, म्हणजेच ती ज्या रस्त्यावर आहे त्या रस्त्याचा क्रमांक आणि घराचा क्रमांक, तेव्हा इतके सहज शक्य नाही. जर आपल्याला $2^{\text {nd }}$ रस्त्यावर असलेल्या आणि क्रमांक ५ असलेल्या घरापर्यंत पोहोचायचे असेल, तर सर्वप्रथम आपण $2^{\text {nd }}$ रस्ता ओळखू आणि नंतर त्यावरील क्रमांक ५ असलेले घर. आकृती ३.१ मध्ये, H घराचे स्थान दर्शवते. त्याचप्रमाणे, P हे स्ट्रीट क्रमांक ७ आणि घर क्रमांक ४ शी संबंधित घराचे स्थान दर्शवते.

आकृती ३.१

II. समजा तुम्ही कागदाच्या शीटवर एक टिंब ठेवले [आकृती ३.२ (a)]. जर आम्ही तुम्हाला कागदावरील टिंबाची स्थिती सांगण्यास सांगितले, तर तुम्ही हे कसे कराल? कदाचित तुम्ही काही अशाच पद्धतीने प्रयत्न कराल: “टिंब कागदाच्या वरच्या अर्ध्या भागात आहे”, किंवा “ते कागदाच्या डाव्या काठाजवळ आहे”, किंवा “ते शीटच्या डाव्या हाताच्या वरच्या कोपऱ्याजवळ आहे”. यापैकी कोणतेही विधान टिंबाची स्थिती नेमकेपणाने निश्चित करते का? नाही! परंतु, जर तुम्ही म्हटले “टिंब कागदाच्या डाव्या काठापासून सुमारे $5 \mathrm{~cm}$ अंतरावर आहे”, तर त्यामुळे काही कल्पना मिळते पण तरीही टिंबाची स्थिती निश्चित होत नाही. थोडासा विचार केल्यास तुम्ही असे म्हणू शकाल की टिंब तळाच्या रेषेपासून $9 \mathrm{~cm}$ अंतरावर देखील आहे. आता आपल्याला नेमके माहित आहे की टिंब कुठे आहे!

आकृती ३.२

या हेतूसाठी, आम्ही दोन निश्चित रेषांपासूनचे अंतर निर्दिष्ट करून टिंबाची स्थिती निश्चित केली, कागदाचा डावा काठ आणि कागदाची तळाची रेषा [आकृती ३.२ (b)]. दुसऱ्या शब्दांत, टिंबाची स्थिती शोधण्यासाठी आपल्याला दोन स्वतंत्र माहितीची आवश्यकता आहे.

आता, ‘आसन योजना’ म्हणून ओळखल्या जाणाऱ्या खालील वर्गातील क्रियाकलाप करा.

क्रियाकलाप १ (आसन योजना) : तुमच्या वर्गातील सर्व डेस्क एकत्र ढकलून बसण्याची योजना काढा. प्रत्येक डेस्कचे प्रतिनिधित्व चौरसाने करा. प्रत्येक चौरसात, तो चौरस ज्या डेस्कचे प्रतिनिधित्व करतो त्या डेस्कवर बसलेल्या विद्यार्थ्याचे नाव लिहा. वर्गातील प्रत्येक विद्यार्थ्याची स्थिती दोन स्वतंत्र माहिती वापरून नेमकेपणाने वर्णन केली जाते:

(i) तो/ती ज्या स्तंभात बसतो/बसते,

(ii) तो/ती ज्या पंक्तीत बसतो/बसते.

जर तुम्ही $5^{\text {th }}$ स्तंभ आणि $3^{\text {rd }}$ पंक्तीत (आकृती ३.३ मधील छायांकित चौरसाने दर्शविलेले) असलेल्या डेस्कवर बसले असाल, तर तुमची स्थिती (५,३) अशी लिहिता येईल, प्रथम स्तंभ क्रमांक आणि नंतर पंक्ती क्रमांक लिहून. हे $(3,5)$ सारखेच आहे का? तुमच्या वर्गातील इतर विद्यार्थ्यांची नावे आणि स्थाने लिहून काढा. उदाहरणार्थ, जर सोनिया $4^{\text {th }}$ स्तंभ आणि $1^{\text {st }}$ पंक्तीत बसली असेल, तर $S(4,1)$ लिहा. शिक्षकाची डेस्क तुमच्या आसन योजनेचा भाग नाही. आम्ही शिक्षकाला फक्त एक निरीक्षक म्हणून मानतो.

T शिक्षकाची डेस्क दर्शवते S सोनियाची डेस्क दर्शवते

आकृती ३.३

वरील चर्चेत, तुम्ही पाहिले असेल की समतलात पडलेल्या कोणत्याही वस्तूची स्थिती दोन लंब रेषांच्या मदतीने दर्शविली जाऊ शकते. ‘टिंब’ च्या बाबतीत, आपल्याला कागदाच्या तळाच्या रेषेपासून तसेच डाव्या काठापासून टिंबाचे अंतर आवश्यक असते. आसन योजनेच्या बाबतीत, आपल्याला स्तंभाचा क्रमांक आणि पंक्तीचा क्रमांक आवश्यक असतो. या साध्या कल्पनेचे दूरगामी परिणाम आहेत, आणि त्यामुळे गणिताची एक अतिशय महत्त्वाची शाखा निर्माण झाली आहे ज्याला निर्देशक भूमिती म्हणतात. या प्रकरणात, आमचे उद्दिष्ट निर्देशक भूमितीच्या काही मूलभूत संकल्पनांचा परिचय करून देणे आहे. तुम्ही तुमच्या उच्च वर्गांमध्ये याबद्दल अधिक अभ्यास कराल. हा अभ्यास सुरुवातीला फ्रेंच तत्त्वज्ञ आणि गणितज्ञ रेने डेसकार्टेस यांनी विकसित केला होता.

रेने डेसकार्टेस, सतराव्या शतकातील महान फ्रेंच गणितज्ञ, अंथरुणात पडून विचार करायला आवडत असत! एके दिवशी, अंथरुणात विश्रांती घेत असताना, त्यांनी समतलातील बिंदूची स्थिती वर्णन करण्याची समस्या सोडवली. त्यांची पद्धत ही अक्षांश आणि रेखांश या जुन्या कल्पनेचा विकास होती. डेसकार्टेस यांच्या सन्मानार्थ, समतलातील बिंदूची स्थिती वर्णन करण्यासाठी वापरल्या जाणाऱ्या प्रणालीला कार्टेशियन प्रणाली म्हणून देखील ओळखले जाते.

रेने डेसकार्टेस (१५९६ -१६५०)

आकृती ३.४

३.२ कार्टेशियन प्रणाली

तुम्ही ‘संख्या प्रणाली’ या प्रकरणात संख्या रेषेचा अभ्यास केला आहे. संख्या रेषेवर, एका निश्चित बिंदूपासूनची अंतरे समान एककांमध्ये एका दिशेने धनात्मक आणि दुसऱ्या दिशेने ऋणात्मक अशी चिन्हांकित केली जातात. ज्या बिंदूपासून अंतरे चिन्हांकित केली जातात त्याला मूळ बिंदू म्हणतात. आपण समान अंतरावर रेषेवर बिंदू चिन्हांकित करून संख्यांचे प्रतिनिधित्व करण्यासाठी संख्या रेषा वापरतो. जर एक एकक अंतर ‘१’ ही संख्या दर्शवते, तर ३ एकक अंतर ‘३’ ही संख्या दर्शवते, ‘०’ मूळ बिंदूवर असते. मूळ बिंदूपासून $r$ अंतरावर धनात्मक दिशेतील बिंदू $r$ ही संख्या दर्शवतो. मूळ बिंदूपासून $r$ अंतरावर ऋणात्मक दिशेतील बिंदू $r$ ही संख्या दर्शवतो. संख्या रेषेवर विविध संख्यांची स्थाने आकृती ३.५ मध्ये दाखवली आहेत.

आकृती ३.५

डेसकार्टेस यांनी अशा दोन रेषा एकमेकांना लंब असलेल्या समतलावर ठेवण्याची आणि या रेषांचा संदर्भ देऊन समतलावरील बिंदूंचे स्थान निश्चित करण्याची कल्पना शोधून काढली. लंब रेषा कोणत्याही दिशेने असू शकतात जसे की आकृती ३.६ मध्ये. परंतु, जेव्हा आपण

आकृती ३.६

या प्रकरणात समतलातील बिंदू स्थान निश्चित करण्यासाठी या दोन रेषा निवडतो, तेव्हा एक रेषा क्षैतिज असेल आणि दुसरी उभी असेल, जसे की आकृती ३.६(c) मध्ये. ह्या रेषा प्रत्यक्षात पुढीलप्रमाणे मिळतात: दोन संख्या रेषा घ्या, त्यांना $ \mathrm{X}^{\prime} \mathrm{X}$ आणि $\mathrm{Y}^{\prime} \mathrm{Y}$ असे नाव द्या. $\mathrm{X}^{\prime} \mathrm{X}$ क्षैतिज ठेवा [जसे की आकृती ३.७(a) मध्ये] आणि त्यावर संख्या रेषेवर लिहिल्याप्रमाणेच संख्या लिहा. आपण $Y^{\prime} Y$ सह तेच करतो फक्त तीथे $Y^{\prime} Y$ उभी आहे, क्षैतिज नाही [आकृती ३.७(b)].

(a)

(b) आकृती ३.७

दोन्ही रेषा अशा प्रकारे एकत्र करा की दोन रेषा त्यांच्या शून्यांवर, किंवा मूळ बिंदूंवर एकमेकांना छेदतात (आकृती ३.८). क्षैतिज रेषा $\mathrm{X}^{\prime} \mathrm{X}$ ला $x$-अक्ष म्हणतात आणि उभी रेषा $Y^{\prime}$ ला $y$-अक्ष म्हणतात. जेथे $X^{\prime} X$ आणि $Y^{\prime} Y$ एकमेकांना छेदतात त्या बिंदूला मूळ बिंदू म्हणतात, आणि तो $\mathrm{O}$ ने दर्शविला जातो. धन संख्या $\mathrm{OX}$ आणि $\mathrm{OY}$ या दिशांमध्ये असल्यामुळे, $\mathrm{OX}$ आणि $\mathrm{OY}$ यांना अनुक्रमे $x$-अक्ष आणि $y$-अक्षाच्या धनात्मक दिशा म्हणतात. त्याचप्रमाणे, $\mathrm{OX}^{\prime}$ आणि $\mathrm{OY}^{\prime}$ यांना अनुक्रमे $x$-अक्ष आणि $y$-अक्षाच्या ऋणात्मक दिशा म्हणतात.

आकृती ३.८

तुम्ही पाहता की अक्ष (‘axis’ या शब्दाचे बहुवचन) समतलाला चार भागांमध्ये विभागतात. या चार भागांना चतुर्थांश (एक चतुर्थांश भाग) म्हणतात, ज्यांचे OX पासून घड्याळाच्या उलट दिशेने I, II, III आणि IV असे क्रमांक दिलेले आहेत (आकृती ३.९ पहा). तर, समतलामध्ये अक्ष आणि हे चतुर्थांश असतात. आपण या समतलाला कार्टेशियन समतल, किंवा निर्देशक समतल, किंवा xy-समतल म्हणतो. अक्षांना निर्देशक अक्ष म्हणतात.

आकृती ३.९

आता, ही प्रणाली गणितासाठी इतकी मूलभूत का आहे आणि ती कशी उपयुक्त आहे ते पाहूया. खालील आकृतीचा विचार करा जिथे अक्ष ग्राफ पेपरवर काढलेले आहेत. $\mathrm{P}$ आणि $\mathrm{Q}$ या बिंदूंची अक्षांपासूनची अंतरे पाहू या. यासाठी, आपण $x$-अक्षावर PM आणि $y$-अक्षावर PN हे लंब काढतो. त्याचप्रमाणे, आपण QR आणि QS हे लंब आकृती ३.१० मध्ये दाखवल्याप्रमाणे काढतो.

आकृती ३.१०

तुम्हाला आढळेल की

(i) $\mathrm{P}$ बिंदूचे $y$-अक्षापासूनचे लंब अंतर, $x$-अक्षाच्या धनात्मक दिशेने मोजलेले, $\mathrm{PN}=\mathrm{OM}=4$ एकक आहे.

(ii) $\mathrm{P}$ बिंदूचे $x$-अक्षापासूनचे लंब अंतर, $y$-अक्षाच्या धनात्मक दिशेने मोजलेले, $\mathrm{PM}=\mathrm{ON}=3$ एकक आहे.

(iii) $\mathrm{Q}$ बिंदूचे $y$-अक्षापासूनचे लंब अंतर, $x$-अक्षाच्या ऋणात्मक दिशेने मोजलेले, $\mathrm{OR}=\mathrm{SQ}=6$ एकक आहे.

(iv) $\mathrm{Q}$ बिंदूचे $x$-अक्षापासूनचे लंब अंतर, $y$-अक्षाच्या ऋणात्मक दिशेने मोजलेले, $\mathrm{OS}=\mathrm{RQ}=2$ एकक आहे.

आता, ही अंतरे वापरून, आपण बिंदूंचे वर्णन कसे करू शकतो जेणेकरून कोणतीही गोंधळ होणार नाही?

आपण पुढील नियमांचा वापर करून बिंदूचे निर्देशक लिहितो:

(i) बिंदूचा $x$-निर्देशक हे $y$-अक्षापासूनचे त्याचे लंब अंतर आहे, $x$-अक्षाच्या बाजूने मोजलेले ($x$-अक्षाच्या धनात्मक दिशेने धनात्मक आणि $x$-अक्षाच्या ऋणात्मक दिशेने ऋणात्मक). $\mathrm{P}$ बिंदूसाठी, ते +४ आहे आणि $\mathrm{Q}$ साठी, ते -६ आहे. $x$-निर्देशकाला भुज देखील म्हणतात.

(ii) बिंदूचा $y$-निर्देशक हे $x$-अक्षापासूनचे त्याचे लंब अंतर आहे, $y$-अक्षाच्या बाजूने मोजलेले ($y$-अक्षाच्या धनात्मक दिशेने धनात्मक आणि $y$-अक्षाच्या ऋणात्मक दिशेने ऋणात्मक). $\mathrm{P}$ बिंदूसाठी, ते +३ आहे आणि $\mathrm{Q}$ साठी, ते -२ आहे. $y$-निर्देशकाला कोटि देखील म्हणतात.

(iii) निर्देशक समतलातील बिंदूचे निर्देशक सांगताना, प्रथम $x$-निर्देशक येतो, आणि नंतर $y$-निर्देशक येतो. आपण निर्देशक कंसात ठेवतो.

म्हणून, $\mathrm{P}$ चे निर्देशक $(4,3)$ आहेत आणि $\mathrm{Q}$ चे निर्देशक $(-6,-2)$ आहेत.

लक्षात घ्या की निर्देशक समतलातील बिंदूचे अद्वितीय वर्णन करतात. $(3,4)$ हे $(4,3)$ सारखे नाही.

उदाहरण १ : आकृती ३.११ पहा आणि पुढील विधाने पूर्ण करा:

(i) $\mathrm{B}$ बिंदूची भुज आणि कोटि अनुक्रमे $\ldots \ldots$ आणि $\ldots \ldots$ आहेत. म्हणून, $\mathrm{B}$ चे निर्देशक (__,__) आहेत.

(ii) $\mathrm{M}$ बिंदूचा $x$-निर्देशक आणि $y$-निर्देशक अनुक्रमे $\ldots$ आणि $\ldots$ आहेत. म्हणून, $\mathrm{M}$ चे निर्देशक (__,__) आहेत.

(iii) $\mathrm{L}$ बिंदूचा $x$-निर्देशक आणि $y$-निर्देशक अनुक्रमे $\ldots$ आणि $\ldots$ आहेत. म्हणून, $\mathrm{L}$ चे निर्देशक (__,__) आहेत.

(iv) $\mathrm{S}$ बिंदूचा $x$-निर्देशक आणि $y$-निर्देशक अनुक्रमे $\ldots \ldots$ आणि $\ldots$ आहेत. म्हणून, $\mathrm{S}$ चे निर्देशक (__,__) आहेत.

आकृती ३.११

उत्तर: (i) $y$-अक्षापासून B बिंदूचे अंतर ४ एकक असल्यामुळे, B बिंदूचा $x$-निर्देशक किंवा भुज ४ आहे. $x$-अक्षापासून B बिंदूचे अंतर ३ एकक आहे; म्हणून, B बिंदूचा $y$-निर्देशक, म्हणजेच कोटि, ३ आहे. म्हणून, B बिंदूचे निर्देशक $(4,3)$ आहेत.

(i) प्रमाणेच :

(ii) $\mathrm{M}$ बिंदूचा $x$-निर्देशक आणि $y$-निर्देशक अनुक्रमे -३ आणि ४ आहेत. म्हणून, $\mathrm{M}$ बिंदूचे निर्देशक $(-3,4)$ आहेत.

(iii) $\mathrm{L}$ बिंदूचा $x$-निर्देशक आणि $y$-निर्देशक अनुक्रमे -५ आणि -४ आहेत. म्हणून, $\mathrm{L}$ बिंदूचे निर्देशक $(-5,-4)$ आहेत.

(iv) $\mathrm{S}$ बिंदूचा $x$-निर्देशक आणि $y$-निर्देशक अनुक्रमे ३ आणि -४ आहेत. म्हणून, $\mathrm{S}$ बिंदूचे निर्देशक $(3,-4)$ आहेत.

उदाहरण २ : आकृती ३.१२ मध्ये अक्षांवर चिन्हांकित केलेल्या बिंदूंचे निर्देशक लिहा.

उत्तर : तुम्ही पाहू शकता की :

(i) $\mathrm{A}$ बिंदू $y$-अक्षापासून +४ एकक अंतरावर आहे आणि $x$-अक्षापासून शून्य अंतरावर आहे. म्हणून, $\mathrm{A}$ चा $x$-निर्देशक ४ आहे आणि $y$-निर्देशक ० आहे. म्हणून, A चे निर्देशक $(4,0)$ आहेत.

(ii) $\mathrm{B}$ चे निर्देशक $(0,3)$ आहेत. का?

(iii) $\mathrm{C}$ चे निर्देशक $(-5,0)$ आहेत. का?

(iv) $\mathrm{D}$ चे निर्देशक $(0,-4)$ आहेत. का?

(v) $\mathrm{E}$ चे निर्देशक $\left(\frac{2}{3}, 0\right)$ आहेत. का?

$x$-अक्षावरील प्रत्येक बिंदूचे $x$-अक्षापासून कोणतेही अंतर (शून्य अंतर) नसल्यामुळे, $x$-अक्षावर पडलेल्या प्रत्येक बिंदूचा $y$-निर्देशक नेहमीच शून्य असतो. अशाप्रकारे, $x$-अक्षावरील कोणत्याही बिंदूचे निर्देशक $(x, 0)$ या स्वरूपातील असतात, जिथे $x$ हे बिंदूचे $y$-अक्षापासूनचे अंतर असते. त्याचप्रमाणे, $y$-अक्षावरील कोणत्याही बिंदूचे निर्देशक $(0, y)$ या स्वरूपातील असतात, जिथे $y$ हे बिंदूचे $x$-अक्षापासूनचे अंतर असते. का?

मूळ बिंदू $\mathbf{O}$ चे निर्देशक काय आहेत? त्याचे दोन्ही अक्षांपासून शून्य अंतर आहे म्हणून त्याची भुज आणि कोटि दोन्ही शून्य आहेत. म्हणून, मूळ बिंदूचे निर्देशक $(\mathbf{0}, \mathbf{0})$ आहेत.

वरील उदाहरणांमध्ये, तुम्ही बिंदूच्या निर्देशकांची चिन्हे आणि बिंदू ज्या चतुर्थांशात आहे त्याच्यातील पुढील संबंध पाहिला असेल.

(i) जर बिंदू १ल्या चतुर्थांशात असेल, तर बिंदू $(+,+)$ या स्वरूपात असेल, कारण १ला चतुर्थांश धनात्मक $x$-अक्ष आणि धनात्मक $y$-अक्ष यांनी बंदिस्त केलेला असतो.

(ii) जर बिंदू २ऱ्या चतुर्थांशात असेल, तर बिंदू $(-,+)$ या स्वरूपात असेल, कारण २रा चतुर्थांश ऋणात्मक $x$-अक्ष आणि धनात्मक $y$-अक्ष यांनी बंदिस्त केलेला असतो.

(iii) जर बिंदू ३ऱ्या चतुर्थांशात असेल, तर बिंदू $(-,-)$ या स्वरूपात असेल, कारण ३रा चतुर्थांश ऋणात्मक $x$-अक्ष आणि ऋणात्मक $y$-अक्ष यांनी बंदिस्त केलेला असतो.

(iv) जर बिंदू ४थ्या चतुर्थांशात असेल, तर बिंदू $(+,-)$ या स्वरूपात असेल, कारण ४था चतुर्थांश धनात्मक $x$-अक्ष आणि ऋणात्मक $y$-अक्ष यांनी बंदिस्त केलेला असतो (आकृती ३.१३ पहा).

आकृती ३.१३

शेरा : समतलातील बिंदूचे वर्णन करण्यासाठी आपण वर चर्चा केलेली प्रणाली ही फक्त एक संकेत आहे, जी जगभरात स्वीकारली जाते. प्रणाली देखील, उदाहरणार्थ, प्रथम कोटि आणि नंतर भुज अशी असू शकते. तथापि, कोणत्याही गोंधळाचा टाळण्यासाठी संपूर्ण जग आपण वर्णन केलेल्या प्रणालीवर चिकटून राहते.

३.३ सारांश

या प्रकरणात, तुम्ही पुढील मुद्द्यांचा अभ्यास केला आहे :

१. समतलातील वस्तू किंवा बिंदूचे स्थान निश्चित करण्यासाठी, आपल्याला दोन लंब रेषांची आवश्यकता असते. त्यापैकी एक क्षैतिज असते आणि दुसरी उभी असते.

२. समतलाला कार्टेशियन, किंवा निर्देशक समतल म्हणतात आणि रेषांना निर्देशक अक्ष म्हणतात.

३. क्षैतिज रेषेला $x$-अक्ष म्हणतात, आणि उभ्या रेषेला $y$-अक्ष म्हणतात.

४. निर्देशक अक्ष समतलाला चार भागांमध्ये विभागतात ज्यांना चतुर्थांश म्हणतात.

५. अक्षांच्या छेदनबिंदूला मूळ बिंदू म्हणतात.

६. बिंदूचे $y$-अक्षापासूनचे अंतर त्याचा $x$-निर्देशक, किंवा भुज, म्हणतात आणि बिंदूचे $x$-अक्षापासूनचे अंतर त्याचा $y$-निर्देशक, किंवा कोटि, म्हणतात.

७. जर बिंदूची भुज $x$ असेल आणि कोटि $y$ असेल, तर $(x, y)$ यांना बिंदूचे निर्देशक म्हणतात.

८. $x$-अक्षावरील बिंदूचे निर्देशक $(x, 0)$ या स्वरूपाचे असतात आणि $y$-अक्षावरील बिंदूचे निर्देशक $(0, y)$ असतात.

९. मूळ बिंदूचे निर्देशक $(0,0)$ असतात.

१०. बिंदूचे निर्देशक पहिल्या चतुर्थांशात $(+,+)$, दुसऱ्या चतुर्थांशात $(-,+)$, तिसऱ्या चतुर्थांशात $(-,-)$ आणि चौथ्या चतुर्थांशात $(+,-)$ या स्वरूपाचे असतात, जिथे + धनात्मक वास्तव संख्या दर्शवते आणि - ऋणात्मक वास्तव संख्या दर्श