3.1 تعارف

آپ پہلے ہی یہ مطالعہ کر چکے ہیں کہ نمبر لائن پر ایک نقطہ کیسے تلاش کیا جاتا ہے۔ آپ یہ بھی جانتے ہیں کہ لائن پر کسی نقطہ کی پوزیشن کیسے بیان کی جاتی ہے۔ بہت سے دیگر حالات ایسے ہیں، جن میں کسی نقطہ کو تلاش کرنے کے لیے ہمیں اس کی پوزیشن کو ایک سے زیادہ لائنوں کے حوالے سے بیان کرنے کی ضرورت ہوتی ہے۔ مثال کے طور پر، درج ذیل حالات پر غور کریں:

I. شکل 3.1 میں، ایک مرکزی سڑک مشرق-مغرب کی سمت میں چل رہی ہے اور گلیاں مغرب سے مشرق کی طرف نمبرنگ کے ساتھ ہیں۔ نیز، ہر گلی پر، مکانوں کے نمبر نشان زد ہیں۔ یہاں کسی دوست کے گھر کو تلاش کرنے کے لیے، کیا صرف ایک حوالہ نقطہ جاننا کافی ہے؟ مثال کے طور پر، اگر ہم صرف یہ جانتے ہیں کہ وہ گلی 2 پر رہتی ہے، تو کیا ہم اس کا گھر آسانی سے تلاش کر سکیں گے؟ اتنی آسانی سے نہیں جتنا کہ جب ہم اس کے بارے میں دو معلومات جانتے ہوں، یعنی وہ گلی کا نمبر جس پر یہ واقع ہے، اور مکان کا نمبر۔ اگر ہم اس گھر تک پہنچنا چاہتے ہیں جو $2^{\text {nd }}$ گلی میں واقع ہے اور جس کا نمبر 5 ہے، تو سب سے پہلے ہم $2^{\text {nd }}$ گلی کی شناخت کریں گے اور پھر اس پر نمبر 5 والے گھر کی۔ شکل 3.1 میں، H گھر کی جگہ کو دکھاتا ہے۔ اسی طرح، P گلی نمبر 7 اور مکان نمبر 4 کے مطابق گھر کی جگہ کو دکھاتا ہے۔

شکل 3.1

II. فرض کریں آپ نے ایک کاغذ کے ٹکڑے پر ایک نقطہ لگایا ہے [شکل 3.2 (a)]۔ اگر ہم آپ سے پوچھیں کہ کاغذ پر نقطہ کی پوزیشن بتائیں، تو آپ یہ کیسے کریں گے؟ شاید آپ کچھ اس طرح کریں گے: “نقطہ کاغذ کے اوپری نصف حصے میں ہے”، یا “یہ کاغذ کے بائیں کنارے کے قریب ہے”، یا “یہ کاغذ کے بائیں ہاتھ کے اوپری کونے کے بہت قریب ہے”۔ کیا ان میں سے کوئی بھی بیان نقطہ کی پوزیشن کو قطعی طور پر طے کرتا ہے؟ نہیں! لیکن، اگر آپ کہیں “نقطہ کاغذ کے بائیں کنارے سے تقریباً $5 \mathrm{~cm}$ دور ہے”، تو یہ کچھ اندازہ دینے میں مدد کرتا ہے لیکن پھر بھی نقطہ کی پوزیشن کو طے نہیں کرتا۔ تھوڑا سا غور آپ کو یہ کہنے کے قابل کر سکتا ہے کہ نقطہ نیچے والی لائن سے بھی $9 \mathrm{~cm}$ کی دوری پر ہے۔ اب ہم بالکل جانتے ہیں کہ نقطہ کہاں ہے!

شکل 3.2

اس مقصد کے لیے، ہم نے نقطہ کی پوزیشن کو دو مقامی لائنوں، کاغذ کے بائیں کنارے اور کاغذ کی نیچے والی لائن سے اس کی دوریوں کو بیان کر کے طے کیا [شکل 3.2 (b)]۔ دوسرے الفاظ میں، نقطہ کی پوزیشن تلاش کرنے کے لیے ہمیں دو آزاد معلومات کی ضرورت ہے۔

اب، درج ذیل کلاس روم سرگرمی انجام دیں جسے ‘سیٹنگ پلان’ کہا جاتا ہے۔

سرگرمی 1 (سیٹنگ پلان) : اپنی کلاس روم میں بیٹھنے کا ایک پلان بنائیں، تمام میزوں کو ایک ساتھ کر کے۔ ہر ڈیسک کو ایک مربع سے ظاہر کریں۔ ہر مربع میں، اس طالب علم کا نام لکھیں جو اس ڈیسک پر بیٹھتا ہے، جسے مربع ظاہر کرتا ہے۔ کلاس روم میں ہر طالب علم کی پوزیشن دو آزاد معلومات استعمال کر کے بالکل بیان کی جاتی ہے:

(i) وہ کالم جس میں وہ بیٹھتا/بیٹھتی ہے،

(ii) وہ قطار جس میں وہ بیٹھتا/بیٹھتی ہے۔

اگر آپ $5^{\text {th }}$ کالم اور $3^{\text {rd }}$ قطار میں پڑی ہوئی ڈیسک پر بیٹھے ہیں (جسے شکل 3.3 میں سایہ دار مربع سے ظاہر کیا گیا ہے)، تو آپ کی پوزیشن کو (5,3) کے طور پر لکھا جا سکتا ہے، پہلے کالم نمبر لکھ کر، پھر قطار نمبر۔ کیا یہ $(3,5)$ کے برابر ہے؟ اپنی کلاس کے دیگر طلباء کے نام اور پوزیشنیں لکھیں۔ مثال کے طور پر، اگر سونیا $4^{\text {th }}$ کالم اور $1^{\text {st }}$ قطار میں بیٹھی ہے، تو $S(4,1)$ لکھیں۔ استاد کی ڈیسک آپ کے سیٹنگ پلان کا حصہ نہیں ہے۔ ہم استاد کو صرف ایک مبصر کے طور پر دیکھ رہے ہیں۔

T استاد کی ڈیسک کو دکھاتا ہے S سونیا کی ڈیسک کو دکھاتا ہے

شکل 3.3

اوپر کی بحث میں، آپ مشاہدہ کرتے ہیں کہ کسی بھی شے کی پوزیشن جو ایک مستوی میں واقع ہے، دو عمود لائنوں کی مدد سے ظاہر کی جا سکتی ہے۔ ‘نقطہ’ کے معاملے میں، ہمیں نقطہ کی دوری نیچے والی لائن سے بھی اور کاغذ کے بائیں کنارے سے بھی درکار ہوتی ہے۔ سیٹنگ پلان کے معاملے میں، ہمیں کالم کا نمبر اور قطار کا نمبر درکار ہوتا ہے۔ یہ سادہ خیال کے دور رس نتائج ہیں، اور ریاضی کی ایک بہت اہم شاخ کو جنم دیا ہے جسے کوآرڈینیٹ جیومیٹری کہتے ہیں۔ اس باب میں، ہمارا مقصد کوآرڈینیٹ جیومیٹری کے کچھ بنیادی تصورات متعارف کروانا ہے۔ آپ ان کے بارے میں اپنی اعلیٰ کلاسوں میں مزید مطالعہ کریں گے۔ اس مطالعہ کی ابتدا فرانسیسی فلسفی اور ریاضی دان رینے ڈیکارٹ نے کی تھی۔

رینے ڈیکارٹ، سترہویں صدی کے عظیم فرانسیسی ریاضی دان، بستر میں لیٹ کر سوچنا پسند کرتے تھے! ایک دن، جب وہ بستر میں آرام کر رہے تھے، انہوں نے ایک مستوی میں کسی نقطہ کی پوزیشن بیان کرنے کا مسئلہ حل کیا۔ ان کا طریقہ عرض البلد اور طول البلد کے پرانے خیال کی ترقی تھی۔ ڈیکارٹ کے اعزاز میں، ایک مستوی میں کسی نقطہ کی پوزیشن بیان کرنے کے لیے استعمال ہونے والا نظام کارٹیسین نظام کے نام سے بھی جانا جاتا ہے۔

رینے ڈیکارٹ (1596 -1650)

شکل 3.4

3.2 کارٹیسین نظام

آپ نے ‘نمبر سسٹم’ کے باب میں نمبر لائن کا مطالعہ کیا ہے۔ نمبر لائن پر، ایک مقامی نقطہ سے دوریاں برابر اکائیوں میں مثبت طور پر ایک سمت میں اور منفی طور پر دوسری سمت میں نشان زد کی جاتی ہیں۔ وہ نقطہ جہاں سے دوریاں نشان زد کی جاتی ہیں، مبدا کہلاتا ہے۔ ہم نمبر لائن کا استعمال نمبروں کو ظاہر کرنے کے لیے کرتے ہیں، ایک لائن پر برابر فاصلے پر نقاط نشان زد کر کے۔ اگر ایک اکائی کا فاصلہ نمبر ‘1’ کو ظاہر کرتا ہے، تو 3 اکائیوں کا فاصلہ نمبر ‘3’ کو ظاہر کرتا ہے، ‘0’ مبدا پر ہوتا ہے۔ مثبت سمت میں مبدا سے $r$ کی دوری پر واقع نقطہ نمبر $r$ کو ظاہر کرتا ہے۔ منفی سمت میں مبدا سے $r$ کی دوری پر واقع نقطہ نمبر $-r$ کو ظاہر کرتا ہے۔ نمبر لائن پر مختلف نمبروں کے مقامات شکل 3.5 میں دکھائے گئے ہیں۔

شکل 3.5

ڈیکارٹ نے دو ایسی لائنوں کو ایک مستوی پر ایک دوسرے کے عمود رکھنے اور ان لائنوں کے حوالے سے مستوی پر نقاط کو مقرر کرنے کا خیال ایجاد کیا۔ عمود لائنوں کی سمت کوئی بھی ہو سکتی ہے جیسا کہ شکل 3.6 میں ہے۔ لیکن، جب ہم اس باب میں مستوی میں ایک نقطہ مقرر کرنے کے لیے ان دو لائنوں کا انتخاب کرتے ہیں، تو ایک لائن افقی ہوگی اور دوسری عمودی ہوگی، جیسا کہ شکل 3.6(c) میں ہے۔ یہ لائنوں درحقیقت مندرجہ ذیل طریقے سے حاصل کی جاتی ہیں: دو نمبر لائنیں لیں، انہیں $ \mathrm{X}^{\prime} \mathrm{X}$ اور $\mathrm{Y}^{\prime} \mathrm{Y}$ کہتے ہوئے۔ $\mathrm{X}^{\prime} \mathrm{X}$ کو افقی رکھیں [جیسا کہ شکل 3.7(a) میں ہے] اور اس پر نمبر ویسے ہی لکھیں جیسے نمبر لائن پر لکھے جاتے ہیں۔ ہم $Y^{\prime} Y$ کے ساتھ بھی یہی کام کرتے ہیں سوائے اس کے کہ $Y^{\prime} Y$ عمودی ہے، افقی نہیں [شکل 3.7(b)]۔

(a)

(b) شکل 3.7

دونوں لائنوں کو اس طرح ملا دیں کہ دو لائنیں ایک دوسرے کو ان کے صفر، یا مبداؤں پر قطع کریں (شکل 3.8)۔ افقی لائن $\mathrm{X}^{\prime} \mathrm{X}$ کو $x$ - محور کہتے ہیں اور عمودی لائن $Y^{\prime}$ کو $y$-محور کہتے ہیں۔ وہ نقطہ جہاں $X^{\prime} X$ اور $Y^{\prime} Y$ قطع کرتے ہیں، مبدا کہلاتا ہے، اور اسے $\mathrm{O}$ سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ چونکہ مثبت نمبر $\mathrm{OX}$ اور $\mathrm{OY}$ کی سمتوں پر واقع ہیں، اس لیے $\mathrm{OX}$ اور $\mathrm{OY}$ کو بالترتیب $x$ - محور اور $y$-محور کی مثبت سمیں کہتے ہیں۔ اسی طرح، $\mathrm{OX}^{\prime}$ اور $\mathrm{OY}^{\prime}$ کو بالترتیب $x$ - محور اور $y$-محور کی منفی سمیں کہتے ہیں۔

شکل 3.8

آپ مشاہدہ کرتے ہیں کہ محور (لفظ ‘axis’ کی جمع) مستوی کو چار حصوں میں تقسیم کرتے ہیں۔ ان چار حصوں کو ربع (ایک چوتھائی حصہ) کہتے ہیں، جو OX سے گھڑی کی مخالف سمت میں I, II, III اور IV نمبر کیے جاتے ہیں (دیکھیں شکل 3.9)۔ لہذا، مستوی محوروں اور ان ربعوں پر مشتمل ہوتا ہے۔ ہم مستوی کو کارٹیسین مستوی، یا کوآرڈینیٹ مستوی، یا xy-مستوی کہتے ہیں۔ محوروں کو کوآرڈینیٹ محور کہتے ہیں۔

شکل 3.9

اب، آئیے دیکھتے ہیں کہ یہ نظام ریاضی کے لیے اتنا بنیادی کیوں ہے، اور یہ کیسے مفید ہے۔ درج ذیل ڈایاگرام پر غور کریں جہاں محور گراف پیپر پر کھینچے گئے ہیں۔ آئیے نقاط $\mathrm{P}$ اور $\mathrm{Q}$ کی محوروں سے دوریاں دیکھتے ہیں۔ اس کے لیے، ہم $x$ - محور پر عمود PM اور $y$ - محور پر عمود PN کھینچتے ہیں۔ اسی طرح، ہم عمود QR اور QS کھینچتے ہیں جیسا کہ شکل 3.10 میں دکھایا گیا ہے۔

شکل 3.10

آپ دیکھتے ہیں کہ

(i) نقطہ $\mathrm{P}$ کی $y$-محور سے عمودی دوری، $x$ - محور کی مثبت سمت کے ساتھ ناپی گئی، $\mathrm{PN}=\mathrm{OM}=4$ اکائیاں ہے۔

(ii) نقطہ $\mathrm{P}$ کی $x$ - محور سے عمودی دوری، $y$-محور کی مثبت سمت کے ساتھ ناپی گئی، $\mathrm{PM}=\mathrm{ON}=3$ اکائیاں ہے۔

(iii) نقطہ $\mathrm{Q}$ کی $y$ - محور سے عمودی دوری، $x$ - محور کی منفی سمت کے ساتھ ناپی گئی، $\mathrm{OR}=\mathrm{SQ}=6$ اکائیاں ہے۔

(iv) نقطہ $\mathrm{Q}$ کی $x$ - محور سے عمودی دوری، $y$ - محور کی منفی سمت کے ساتھ ناپی گئی، $\mathrm{OS}=\mathrm{RQ}=2$ اکائیاں ہے۔

اب، ان دوریوں کا استعمال کرتے ہوئے، ہم نقاط کو کیسے بیان کر سکتے ہیں تاکہ کوئی ابہام نہ رہے؟

ہم ایک نقطہ کے کوآرڈینیٹس، مندرجہ ذیل قواعد کے مطابق لکھتے ہیں:

(i) ایک نقطہ کا $x$ - کوآرڈینیٹ $y$ - محور سے اس کی عمودی دوری ہے جو $x$-محور کے ساتھ ناپی جاتی ہے ($x$-محور کی مثبت سمت کے ساتھ مثبت اور $x$-محور کی منفی سمت کے ساتھ منفی)۔ نقطہ $\mathrm{P}$ کے لیے، یہ +4 ہے اور $\mathrm{Q}$ کے لیے، یہ -6 ہے۔ $x$ - کوآرڈینیٹ کو ابسسا بھی کہتے ہیں۔

(ii) ایک نقطہ کا $y$ - کوآرڈینیٹ $x$ - محور سے اس کی عمودی دوری ہے جو $y$ - محور کے ساتھ ناپی جاتی ہے ($y$ - محور کی مثبت سمت کے ساتھ مثبت اور $y$-محور کی منفی سمت کے ساتھ منفی)۔ نقطہ $\mathrm{P}$ کے لیے، یہ +3 ہے اور $\mathrm{Q}$ کے لیے، یہ -2 ہے۔ $y$ - کوآرڈینیٹ کو آرڈینیٹ بھی کہتے ہیں۔

(iii) کوآرڈینیٹ مستوی میں کسی نقطہ کے کوآرڈینیٹس بتاتے وقت، $x$ - کوآرڈینیٹ پہلے آتا ہے، اور پھر $y$-کوآرڈینیٹ آتا ہے۔ ہم کوآرڈینیٹس کو قوسین میں رکھتے ہیں۔

لہذا، $\mathrm{P}$ کے کوآرڈینیٹس $(4,3)$ ہیں اور $\mathrm{Q}$ کے کوآرڈینیٹس $(-6,-2)$ ہیں۔

نوٹ کریں کہ کوآرڈینیٹس مستوی میں ایک نقطہ کو منفرد طور پر بیان کرتے ہیں۔ $(3,4)$، $(4,3)$ کے برابر نہیں ہے۔

مثال 1 : شکل 3.11 دیکھیں اور درج ذیل جملے مکمل کریں:

(i) نقطہ $\mathrm{B}$ کا ابسسا اور آرڈینیٹ بالترتیب $\ldots \ldots$ اور $\ldots \ldots$ ہیں۔ لہذا، $\mathrm{B}$ کے کوآرڈینیٹس (__,__) ہیں۔

(ii) نقطہ $\mathrm{M}$ کا $x$-کوآرڈینیٹ اور $y$-کوآرڈینیٹ بالترتیب $\ldots$ اور $\ldots$ ہیں۔ لہذا، $\mathrm{M}$ کے کوآرڈینیٹس (__,__) ہیں۔

(iii) نقطہ $\mathrm{L}$ کا $x$-کوآرڈینیٹ اور $y$-کوآرڈینیٹ بالترتیب $\ldots$ اور $\ldots$ ہیں۔ لہذا، $\mathrm{L}$ کے کوآرڈینیٹس (__,__) ہیں۔

(iv) نقطہ $\mathrm{S}$ کا $x$-کوآرڈینیٹ اور $y$-کوآرڈینیٹ بالترتیب $\ldots \ldots$ اور $\ldots$ ہیں۔ لہذا، $\mathrm{S}$ کے کوآرڈینیٹس (__,__) ہیں۔

شکل 3.11

حل: (i) چونکہ نقطہ B کی $y$ - محور سے دوری 4 اکائیاں ہے، اس لیے نقطہ B کا $x$ - کوآرڈینیٹ یا ابسسا 4 ہے۔ نقطہ B کی $x$ - محور سے دوری 3 اکائیاں ہے؛ لہذا، نقطہ B کا $y$ - کوآرڈینیٹ، یعنی آرڈینیٹ، 3 ہے۔ لہذا، نقطہ B کے کوآرڈینیٹس $(4,3)$ ہیں۔

جیسا کہ (i) میں اوپر:

(ii) نقطہ $\mathrm{M}$ کا $x$ - کوآرڈینیٹ اور $y$ - کوآرڈینیٹ بالترتیب -3 اور 4 ہیں۔ لہذا، نقطہ $\mathrm{M}$ کے کوآرڈینیٹس $(-3,4)$ ہیں۔

(iii) نقطہ $\mathrm{L}$ کا $x$ - کوآرڈینیٹ اور $y$ - کوآرڈینیٹ بالترتیب -5 اور -4 ہیں۔ لہذا، نقطہ $\mathrm{L}$ کے کوآرڈینیٹس $(-5,-4)$ ہیں۔

(iv) نقطہ $\mathrm{S}$ کا $x$ - کوآرڈینیٹ اور $y$-کوآرڈینیٹ بالترتیب 3 اور -4 ہیں۔ لہذا، نقطہ $\mathrm{S}$ کے کوآرڈینیٹس $(3,-4)$ ہیں۔

مثال 2 : شکل 3.12 میں محوروں پر نشان زد نقاط کے کوآرڈینیٹس لکھیں۔

حل : آپ دیکھ سکتے ہیں کہ:

(i) نقطہ $\mathrm{A}$، $y$ - محور سے +4 اکائیوں کی دوری پر ہے اور $x$ - محور سے صفر دوری پر ہے۔ لہذا، $\mathrm{A}$ کا $x$ - کوآرڈینیٹ 4 ہے اور $y$ - کوآرڈینیٹ 0 ہے۔ لہذا، A کے کوآرڈینیٹس $(4,0)$ ہیں۔

(ii) $\mathrm{B}$ کے کوآرڈینیٹس $(0,3)$ ہیں۔ کیوں؟

(iii) $\mathrm{C}$ کے کوآرڈینیٹس $(-5,0)$ ہیں۔ کیوں؟

(iv) $\mathrm{D}$ کے کوآرڈینیٹس $(0,-4)$ ہیں۔ کیوں؟

(v) $\mathrm{E}$ کے کوآرڈینیٹس $\left(\frac{2}{3}, 0\right)$ ہیں۔ کیوں؟

چونکہ $x$ - محور پر واقع ہر نقطہ کی $x$ - محور سے کوئی دوری (صفر دوری) نہیں ہوتی، اس لیے $y$-محور پر واقع ہر نقطہ کا $x$ - کوآرڈینیٹ ہمیشہ صفر ہوتا ہے۔ لہذا، $x$ - محور پر کسی بھی نقطہ کے کوآرڈینیٹس $(x, 0)$ کی شکل کے ہوتے ہیں، جہاں $x$ نقطہ کی $y$-محور سے دوری ہے۔ اسی طرح، $y$-محور پر کسی بھی نقطہ کے کوآرڈینیٹس $(0, y)$ کی شکل کے ہوتے ہیں، جہاں $y$ نقطہ کی $x$ - محور سے دوری ہے۔ کیوں؟

مبدا $\mathbf{O}$ کے کوآرڈینیٹس کیا ہیں؟ اس کی دونوں محوروں سے صفر دوری ہے تاکہ اس کا ابسسا اور آرڈینیٹ دونوں صفر ہیں۔ لہذا، مبدا کے کوآرڈینیٹس $(\mathbf{0}, \mathbf{0})$ ہیں۔

اوپر کی مثالوں میں، آپ نے ایک نقطہ کے کوآرڈینیٹس کے علامات اور اس نقطہ کے ربع جس میں وہ واقع ہے، کے درمیان مندرجہ ذیل تعلق کا مشاہدہ کیا ہوگا۔

(i) اگر کوئی نقطہ پہلے ربع میں ہے، تو نقطہ $(+,+)$ کی شکل میں ہوگا، کیونکہ پہلا ربع مثبت $x$ - محور اور مثبت $y$ - محور سے گھرا ہوا ہے۔

(ii) اگر کوئی نقطہ دوسرے ربع میں ہے، تو نقطہ $(-,+)$ کی شکل میں ہوگا، کیونکہ دوسرا ربع منفی $x$ - محور اور مثبت $y$-محور سے گھرا ہوا ہے۔

(iii) اگر کوئی نقطہ تیسرے ربع میں ہے، تو نقطہ $(-,-)$ کی شکل میں ہوگا، کیونکہ تیسرا ربع منفی $x$ - محور اور منفی $y$-محور سے گھرا ہوا ہے۔

(iv) اگر کوئی نقطہ چوتھے ربع میں ہے، تو نقطہ $(+,-)$ کی شکل میں ہوگا، کیونکہ چوتھا ربع مثبت $x$ - محور اور منفی $y$ - محور سے گھرا ہوا ہے (دیکھیں شکل 3.13)۔

شکل 3.13

تبصرہ : مستوی میں ایک نقطہ بیان کرنے کے لیے ہم نے اوپر جس نظام پر بحث کی ہے، وہ صرف ایک روایت ہے، جو پوری دنیا میں قبول کی جاتی ہے۔ نظام یہ بھی ہو سکتا تھا، مثال کے طور پر، پہلے آرڈینیٹ، اور پھر ابسسا۔ تاہم، پوری دنیا کسی بھی ابہام سے بچنے کے لیے ہمارے بیان کردہ نظام پر قائم ہے۔

3.3 خلاصہ

اس باب میں، آپ نے مندرجہ ذیل نقاط کا مطالعہ کیا ہے:

1. کسی شے یا نقطہ کی پوزیشن کو مستوی میں مقرر کرنے کے لیے، ہمیں دو عمود لائنوں کی ضرورت ہوتی ہے۔ ان میں سے ایک افقی ہوتی ہے، اور دوسری عمودی۔

2. مستوی کو کارٹیسین، یا کوآرڈینیٹ مستوی کہتے ہیں اور لائنوں کو کوآرڈینیٹ محور کہتے ہیں۔

3. افقی لائن کو $x$-محور کہتے ہیں، اور عمودی لائن کو $y$-محور کہتے ہیں۔

4. کوآرڈینیٹ محور مستوی کو چار حصوں میں تقسیم کرتے ہیں جنہیں ربع کہتے ہیں۔

5. محوروں کے قطع کرنے کے نقطہ کو مبدا کہتے ہیں۔

6. کسی نقطہ کی $y$-محور سے دوری کو اس کا $x$-کوآرڈینیٹ، یا ابسسا کہتے ہیں، اور نقطہ کی $x$-محور سے دوری کو اس کا $y$-کوآرڈینیٹ، یا آرڈینیٹ کہتے ہیں۔

7. اگر کسی نقطہ کا ابسسا $x$ ہے اور آرڈینیٹ $y$ ہے، تو $(x, y)$ کو نقطہ کے کوآرڈینیٹس کہتے ہیں۔

8. $x$-محور پر واقع کسی نقطہ کے کوآرڈینیٹس $(x, 0)$ کی شکل کے ہوتے ہیں اور $y$-محور پر واقع نقطہ کے کوآرڈینیٹس $(0, y)$ ہوتے ہیں۔

9. مبدا کے کوآرڈینیٹس $(0,0)$ ہیں۔

10. کسی نقطہ کے کوآرڈینیٹس پہلے ربع میں $(+,+)$ کی شکل کے، دوسرے ربع میں $(-,+)$ کی شکل کے، تیسرے ربع میں $(-,-)$ کی شکل کے اور چوتھے ربع میں $(+,-)$ کی شکل کے ہوتے ہیں، جہاں + ایک مثبت حقیقی عدد کو ظاہر کرتا ہے اور - ایک منفی حقیقی عدد کو ظاہر کرتا ہے۔

11. اگر $x \neq y$، تو $(x, y) \neq(y, x)$، اور $(x, y)=(y, x)$، اگر $x=y$۔