৫.১ পৰিচয়

‘জ্যামিতি’ শব্দটো গ্ৰীক শব্দ ‘geo’ (অৰ্থাৎ পৃথিৱী) আৰু ‘metrein’ (অৰ্থাৎ জোখা)ৰ পৰা আহিছে। জ্যামিতিৰ উৎপত্তি হোৱা দেখা যায় ভূমি জোখাৰ প্ৰয়োজনৰ পৰা। গণিতৰ এই শাখাটো প্ৰতিটো প্ৰাচীন সভ্যতাত বিভিন্ন ৰূপত অধ্যয়ন কৰা হৈছিল, যেনে ইজিপ্ত, বেবিলন, চীন, ভাৰত, গ্ৰীচ, ইনকা আদিত। এই সভ্যতাৰ লোকসকলে বিভিন্ন প্ৰকাৰৰ জ্যামিতিৰ বিকাশৰ প্ৰয়োজন হোৱা কেইবাটাও ব্যৱহাৰিক সমস্যাৰ সন্মুখীন হৈছিল।

উদাহৰণস্বৰূপে, নাইল নদী যেতিয়াই ওপঙি আহিছিল, তেতিয়া বিভিন্ন ভূমি মালিকৰ সংলগ্ন পথাৰবোৰৰ মাজৰ সীমা নাইকিয়া কৰি দিছিল। এনে বানপানীৰ পিছত এই সীমাবোৰ পুনৰ আঁকিব লগা হৈছিল। এই উদ্দেশ্যে ইজিপ্তীয়সকলে সৰল ক্ষেত্ৰফল গণনা কৰাৰ লগতে সৰল অংকন কৰাৰ বাবে কেইবাটাও জ্যামিতিক কৌশল আৰু নিয়ম বিকশিত কৰিছিল। শস্যাগাৰৰ আয়তন গণনা কৰা আৰু খাল আৰু পিৰামিড নিৰ্মাণ কৰাৰ বাবেও তেওঁলোকে জ্যামিতিৰ জ্ঞান ব্যৱহাৰ কৰিছিল। তেওঁলোকে এটা ছেদিত পিৰামিডৰ (চিত্ৰ ৫.১ চাওক) আয়তন উলিওৱাৰ সঠিক সূত্ৰটোও জানিছিল। আপুনি জানে যে পিৰামিড হৈছে এটা ঘন আকৃতি, যাৰ ভূমি হৈছে এটা ত্ৰিভুজ, বা বৰ্গ, বা আন বহুভুজ, আৰু ইয়াৰ পাৰ্শ্বফলবোৰ হৈছে ওপৰৰ ফালে এটা বিন্দুত মিল হোৱা ত্ৰিভুজ।

চিত্ৰ ৫.১ : এটা ছেদিত পিৰামিড

ভাৰতীয় উপমহাদেশত, হৰপ্পা আৰু মহেঞ্জোদাৰো আদিত কৰা খনন কাৰ্য্যই দেখুৱায় যে সিন্ধু উপত্যকা সভ্যতাই (খ্ৰীষ্টপূৰ্ব প্ৰায় ৩০০০) জ্যামিতিৰ ব্যাপক ব্যৱহাৰ কৰিছিল। ই আছিল এক অতি সংগঠিত সমাজ। চহৰবোৰ অতি উন্নত আৰু সু-পৰিকল্পিত আছিল। উদাহৰণস্বৰূপে, ৰাস্তাবোৰ পৰস্পৰ সমান্তৰাল আছিল আৰু এটা ভূগৰ্ভস্থ নিকা নলী ব্যৱস্থা আছিল। ঘৰবোৰত বিভিন্ন ধৰণৰ বহু কোঠা আছিল। ইয়ে দেখুৱায় যে নগৰবাসীসকলে ক্ষেত্ৰফল জোখা আৰু ব্যৱহাৰিক পাটীগণিতত দক্ষ আছিল। নিৰ্মাণৰ বাবে ব্যৱহাৰ কৰা ইটাৰ পোৰা আছিল আৰু ইটাৰ দৈৰ্ঘ্য : প্ৰস্থ : ডাঠৰ অনুপাত $4: 2: 1$ হিচাপে পোৱা গৈছিল।

প্ৰাচীন ভাৰতত, শুল্বসূত্ৰবোৰ ($800 \mathrm{BCE}$ ৰ পৰা $500 \mathrm{BCE}$) জ্যামিতিক অংকনৰ নিৰ্দেশিকা আছিল। বৈদিক যুগৰ জ্যামিতিৰ উৎপত্তি হৈছিল বৈদিক অনুষ্ঠান সম্পাদনাৰ বাবে বেদী আৰু অগ্নিকুণ্ড নিৰ্মাণৰ সৈতে। পবিত্ৰ অগ্নিসমূহৰ অৱস্থান স্পষ্টভাৱে নিৰ্ধাৰিত কৰা সূচনাবোৰৰ সৈতে মিলি থাকিব লাগিছিল যদি সেইবোৰ কাৰ্যকৰী সঁজুলি হ’ব লাগে, ইয়াৰ আকৃতি আৰু ক্ষেত্ৰফলৰ সৈতে মিলি থাকিব লাগিছিল। ঘৰুৱা আচাৰ-অনুষ্ঠানৰ বাবে বৰ্গাকাৰ আৰু বৃত্তাকাৰ বেদী ব্যৱহাৰ কৰা হৈছিল, আনহাতে ৰাজহুৱা পূজাৰ বাবে আয়ত, ত্ৰিভুজ আৰু ট্ৰেপিজিয়ামৰ সংমিশ্ৰণৰ আকৃতিৰ বেদীৰ প্ৰয়োজন হৈছিল। শ্ৰীযন্ত্ৰ (অথৰ্ববেদত দিয়া) নটা পৰস্পৰ সংযুক্ত সমদ্বিবাহু ত্ৰিভুজৰে গঠিত। এই ত্ৰিভুজবোৰ এনেদৰে সজোৱা হৈছে যে সেইবোৰে ৪৩টা সহায়ক ত্ৰিভুজ উৎপন্ন কৰে। যদিও বেদী নিৰ্মাণৰ বাবে সঠিক জ্যামিতিক পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰা হৈছিল, ইয়াৰ পিছৰ নীতিসমূহ আলোচনা কৰা হোৱা নাছিল।

এই উদাহৰণবোৰে দেখুৱায় যে জ্যামিতি সমগ্ৰ বিশ্বতে বিকশিত আৰু প্ৰয়োগ কৰা হৈছিল। কিন্তু এইটো এক অনিয়মিত ধৰণে হৈ আছিল। প্ৰাচীন বিশ্বত জ্যামিতিৰ এই বিকাশৰ বিষয়টোত আটাইতকৈ মনোযোগ আকৰ্ষণ কৰা কথাটো হ’ল যে এইবোৰ এটা প্ৰজন্মৰ পৰা আন এটা প্ৰজন্মলৈ মুখেৰে বা তালপাতৰ বাৰ্তাৰ জৰিয়তে, বা আন ধৰণেৰে প্ৰেৰণ কৰা হৈছিল। লগতে আমি দেখো যে বেবিলনৰ দৰে কিছুমান সভ্যতাত, জ্যামিতি এক অতি ব্যৱহাৰিকভিত্তিক শাখা হৈয়েই থাকিল, যেনেকৈ ভাৰত আৰু ৰোমত আছিল। ইজিপ্তীয়সকলে বিকশিত কৰা জ্যামিতিত প্ৰধানকৈ ফলাফলৰ বিৱৰণসমূহ আছিল। পদ্ধতিৰ সাধাৰণ নিয়মবোৰ নাছিল। প্ৰকৃততে, বেবিলনীয় আৰু ইজিপ্তীয়সকলে জ্যামিতি প্ৰধানকৈ ব্যৱহাৰিক উদ্দেশ্যে ব্যৱহাৰ কৰিছিল আৰু ইয়াক এক পদ্ধতিগত বিজ্ঞান হিচাপে গঢ়ি তোলাত খুব কম কৰিছিল। কিন্তু গ্ৰীচৰ দৰে সভ্যতাত, গুৰুত্ব আছিল কিয় নিৰ্দিষ্ট অংকনবোৰ কাম কৰে তাৰ যুক্তিৰ ওপৰত। গ্ৰীকসকল আছিল আবিষ্কাৰ কৰা বিবৃতিসমূহৰ সত্যতা স্থাপন কৰাত আগ্ৰহী, নিগমনাত্মক যুক্তিৰ জৰিয়তে (পৰিশিষ্ট ১ চাওক)। এগৰাকী গ্ৰীক গণিতজ্ঞ, থেলছক প্ৰথম জনাজাত প্ৰমাণ দিয়া বুলি কৃতিত্ব দিয়া হয়। এই প্ৰমাণটো আছিল এটা বৃত্ত ইয়াৰ ব্যাসৰ দ্বাৰা দ্বিখণ্ডিত হয় (অৰ্থাৎ দুটা সমান অংশত কটা হয়) বুলি কোৱা বিবৃতিৰ। থেলছৰ আটাইতকৈ বিখ্যাত ছাত্ৰসকলৰ এজন আছিল পাইথাগোৰাছ (খ্ৰীষ্টপূৰ্ব ৫৭২), যাৰ বিষয়ে আপুনি শুনিছে। পাইথাগোৰাছ আৰু তেওঁৰ গোটে বহুতো জ্যামিতিক ধৰ্ম আবিষ্কাৰ কৰিছিল আৰু বহু পৰিমাণে জ্যামিতিৰ তত্ত্ব বিকশিত কৰিছিল। এই প্ৰক্ৰিয়া $300 \mathrm{BCE}$ লৈকে চলি আছিল। সেই সময়ত আলেকজেণ্ড্ৰিয়াত গণিতৰ শিক্ষক ইউক্লিডে সকলো জনাজাত কাম সংগ্ৰহ কৰি তেওঁৰ বিখ্যাত গ্ৰন্থত সজাই থৈছিল,

থেলছ (খ্ৰীষ্টপূৰ্ব ৬৪০ - খ্ৰীষ্টপূৰ্ব ৫৪৬)

এই অধ্যায়ত, আমি ইউক্লিডৰ জ্যামিতিৰ পদ্ধতি আলোচনা কৰিম আৰু বৰ্তমানৰ জ্যামিতিৰ সৈতে ইয়াক সংযোগ কৰাৰ চেষ্টা কৰিম।

ইউক্লিড (খ্ৰীষ্টপূৰ্ব ৩২৫ - খ্ৰীষ্টপূৰ্ব ২৬৫)

চিত্ৰ ৫.৩

৫.২ ইউক্লিডৰ সংজ্ঞা, স্বতঃসিদ্ধ আৰু অংগীকাৰ

ইউক্লিডৰ সময়ৰ গ্ৰীক গণিতজ্ঞসকলে জ্যামিতিক তেওঁলোকে বাস কৰা বিশ্বৰ এক বিমূৰ্ত মডেল হিচাপে ভাবিছিল। বিন্দু, ৰেখা, সমতল (বা পৃষ্ঠ) আদি ধাৰণাবোৰ তেওঁলোকে চাৰিওফালে দেখা বস্তুবোৰৰ পৰা আহৰণ কৰা হৈছিল। তেওঁলোকৰ চাৰিওফালৰ স্থান আৰু স্থানৰ ভিতৰৰ ঘনবস্তুৰ অধ্যয়নৰ পৰা, ঘন বস্তুৰ এক বিমূৰ্ত জ্যামিতিক ধাৰণা বিকশিত হৈছিল। এটা ঘনৰ আকৃতি, আকাৰ, অৱস্থান থাকে, আৰু ইয়াক এঠাইৰ পৰা আন ঠাইলৈ স্থানান্তৰ কৰিব পাৰি। ইয়াৰ সীমাবোৰক পৃষ্ঠ বোলে। সেইবোৰে স্থানৰ এটা অংশ আন অংশৰ পৰা পৃথক কৰে, আৰু কোনো ডাঠ নথকা বুলি কোৱা হয়। পৃষ্ঠবোৰৰ সীমাবোৰ হৈছে বক্ৰ ৰেখা বা সৰল ৰেখা। এই ৰেখাবোৰ বিন্দুত শেষ হয়।

ঘনবস্তুৰ পৰা বিন্দুলৈ তিনিটা পদক্ষেপ বিবেচনা কৰা (ঘন-পৃষ্ঠ-ৰেখা-বিন্দু)। প্ৰতিটো পদক্ষেপত আমি এটা মাত্ৰা হেৰুৱাও, যাক মাত্ৰাও বোলা হয়। গতিকে, এটা ঘনৰ তিনিটা মাত্ৰা থাকে, এটা পৃষ্ঠৰ দুটা, এটা ৰেখাৰ এটা আৰু এটা বিন্দুৰ একোটা নাথাকে। ইউক্লিডে এই বিবৃতিসমূৰ সংক্ষিপ্ত কৰি সংজ্ঞা হিচাপে দিছিল। তেওঁ ‘এলিমেণ্টছ’ৰ প্ৰথম খণ্ডত ২৩টা সংজ্ঞা তালিকাভুক্ত কৰি তেওঁৰ ব্যাখ্যা আৰম্ভ কৰিছিল। তাৰে কেইটামান তলত দিয়া হ’ল :

১. বিন্দু হৈছে যি অংশ নথকা বস্তু। ২. ৰেখা হৈছে প্ৰস্থহীন দৈৰ্ঘ্য। ৩. ৰেখাৰ মূৰবোৰ হৈছে বিন্দু। ৪. সৰল ৰেখা হৈছে এনে ৰেখা যি ইয়াৰ ওপৰৰ বিন্দুবোৰৰ সৈতে সমানভাৱে থাকে। ৫. পৃষ্ঠ হৈছে যি কেৱল দৈৰ্ঘ্য আৰু প্ৰস্থ থকা বস্তু। ৬. পৃষ্ঠৰ কাষবোৰ হৈছে ৰেখা। ৭. সমতল পৃষ্ঠ হৈছে এনে পৃষ্ঠ যি ইয়াৰ ওপৰৰ সৰল ৰেখাবোৰৰ সৈতে সমানভাৱে থাকে।

আপুনি এই সংজ্ঞাবোৰ সাৱধানে অধ্যয়ন কৰিলে, দেখা পাব যে অংশ, প্ৰস্থ, দৈৰ্ঘ্য, সমানভাৱে আদিৰ দৰে কিছুমান শব্দৰ স্পষ্টকৈ আৰু ব্যাখ্যা কৰাৰ প্ৰয়োজন। উদাহৰণস্বৰূপে, তেওঁৰ বিন্দুৰ সংজ্ঞাটো বিবেচনা কৰক। এই সংজ্ঞাত, ‘এটা অংশ’ৰ সংজ্ঞা দিয়া প্ৰয়োজন। ধৰি লওক যে আপুনি ‘এটা অংশ’ক সংজ্ঞায়িত কৰে ‘ক্ষেত্ৰফল’ দখল কৰা বস্তু হিচাপে, আকৌ ‘এটা ক্ষেত্ৰফল’ৰ সংজ্ঞা দিয়া প্ৰয়োজন। গতিকে, এটা বস্তুৰ সংজ্ঞা দিবলৈ, আপুনি আন বহুতো বস্তুৰ সংজ্ঞা দিব লাগিব, আৰু আপুনি অন্ত নোহোৱা দীঘলীয়া সংজ্ঞাৰ শৃংখলা পাব পাৰে। এনে কাৰণতে, গণিতজ্ঞসকলে কিছুমান জ্যামিতিক পদ অসংজ্ঞায়িত হৈ ৰখাত সন্মত হয়। অৱশ্যে, ওপৰত দিয়া ‘সংজ্ঞা’টোৱে আমাক যি দেয় তাৰ তুলনাত বিন্দুৰ জ্যামিতিক ধাৰণাৰ বাবে আমাৰ এক অন্তৰ্দৃষ্টিপূৰ্ণ অনুভূতি আছে। গতিকে, আমি বিন্দুক এটা বিন্দু হিচাপে প্ৰতিনিধিত্ব কৰো, যদিও বিন্দুৰ কিছুমান মাত্ৰা থাকে।

ওপৰৰ সংজ্ঞা ২-ত একে সমস্যাৰ সৃষ্টি হয়, কাৰণ ই প্ৰস্থ আৰু দৈৰ্ঘ্যৰ উল্লেখ কৰে, যাৰ কোনো এটাৰে সংজ্ঞা দিয়া হোৱা নাই। এই কাৰণে, যিকোনো অধ্যয়নৰ পাঠ্যক্ৰম বিকশিত কৰোঁতে কেইটামান পদ অসংজ্ঞায়িত হৈ ৰখা হয়। গতিকে, জ্যামিতিত, আমি এটা বিন্দু, এটা ৰেখা আৰু এটা সমতল (ইউক্লিডৰ শব্দত সমতল পৃষ্ঠ)ক অসংজ্ঞায়িত পদ হিচাপে লওঁ। একমাত্ৰ কথা হ’ল যে আমি সেইবোৰ অন্তৰ্দৃষ্টিৰে প্ৰতিনিধিত্ব কৰিব পাৰো, বা ‘ভৌতিক মডেল’ৰ সহায়ত ব্যাখ্যা কৰিব পাৰো।

তেওঁৰ সংজ্ঞাবোৰৰ পৰা আৰম্ভ কৰি, ইউক্লিডে কিছুমান ধৰ্ম গ্ৰহণ কৰিছিল, যিবোৰ প্ৰমাণ কৰিবলগীয়া নাছিল। এই ধাৰণাবোৰ প্ৰকৃততে ‘স্পষ্ট বিশ্বজনীন সত্য’। তেওঁ সেইবোৰক দুই প্ৰকাৰত ভাগ কৰিছিল: স্বতঃসিদ্ধ আৰু অংগীকাৰ। তেওঁ জ্যামিতিৰ বাবে নিৰ্দিষ্ট ধাৰণাবোৰৰ বাবে ‘অংগীকাৰ’ শব্দটো ব্যৱহাৰ কৰিছিল। আনহাতে, সাধাৰণ ধাৰণাবোৰ (যাক প্ৰায়ে স্বতঃসিদ্ধ বোলা হয়) আছিল সেইবোৰ ধাৰণা যিবোৰ সমগ্ৰ গণিতজুৰি ব্যৱহাৰ কৰা হৈছিল আৰু বিশেষকৈ জ্যামিতিৰ সৈতে সংযুক্ত নাছিল। স্বতঃসিদ্ধ আৰু অংগীকাৰৰ বিৱৰণৰ বাবে পৰিশিষ্ট ১ চাওক। ইউক্লিডৰ কিছুমান স্বতঃসিদ্ধ, তেওঁৰ ক্ৰমত নহয়, তলত দিয়া হ’ল :

(১) যি বস্তু একে বস্তুৰ সমান, সেইবোৰ পৰস্পৰৰ সমান। (২) সমান বস্তুত সমান যোগ কৰিলে, সমষ্টিবোৰ সমান হয়। (৩) সমানৰ পৰা সমান বিয়োগ কৰিলে, বাকীবোৰ সমান হয়। (৪) যি বস্তুবোৰ পৰস্পৰৰ সৈতে মিলি যায়, সেইবোৰ সমান। (৫) সমষ্টি অংশতকৈ ডাঙৰ। (৬) যি বস্তুবোৰ একে বস্তুৰ দুগুণ, সেইবোৰ সমান। (৭) যি বস্তুবোৰ একে বস্তুৰ আধা, সেইবোৰ সমান।

এই ‘সাধাৰণ ধাৰণাবোৰে’ কিছুমান প্ৰকাৰৰ পৰিমাণৰ উল্লেখ কৰে। প্ৰথম সাধাৰণ ধাৰণাটো সমতল আকৃতিবোৰলৈ প্ৰয়োগ কৰিব পাৰি। উদাহৰণস্বৰূপে, যদি এটা ত্ৰিভুজৰ ক্ষেত্ৰফল এটা আয়তৰ ক্ষেত্ৰফলৰ সমান হয় আৰু আয়তৰ ক্ষেত্ৰফল এটা বৰ্গৰ ক্ষেত্ৰফলৰ সমান হয়, তেন্তে ত্ৰিভুজৰ ক্ষেত্ৰফলো বৰ্গৰ ক্ষেত্ৰফলৰ সমান হয়।

একে প্ৰকাৰৰ পৰিমাণবোৰ তুলনা কৰিব পাৰি আৰু যোগ কৰিব পাৰি, কিন্তু বেলেগ প্ৰকাৰৰ পৰিমাণবোৰ তুলনা কৰিব নোৱাৰি। উদাহৰণস্বৰূপে, এটা ৰেখাক আয়তৰ সৈতে তুলনা কৰিব নোৱাৰি, নাইবা এটা কোণক পঞ্চভুজৰ সৈতে তুলনা কৰিব নোৱাৰি।

ওপৰত দিয়া ৪ নং স্বতঃসিদ্ধটোৱে এনে ক’বলৈ যেন লাগে যে যদি দুটা বস্তু একে (অৰ্থাৎ সেইবোৰ একে), তেন্তে সেইবোৰ সমান। অন্য কথাত, প্ৰতিটো বস্তু নিজৰ সমান। ই হৈছে অধ্যাসন নীতিৰ যুক্তি। স্বতঃসিদ্ধ (৫)ই আমাক ‘তকৈ ডাঙৰ’ৰ সংজ্ঞা দিয়ে। উদাহৰণস্বৰূপে, যদি এটা ৰাশি B আন এটা ৰাশি Aৰ এটা অংশ, তেন্তে Aক B আৰু আন তৃতীয় ৰাশি Cৰ যোগফল হিচাপে লিখিব পাৰি। চিহ্নৰ ভাষাত, A > Bৰ অৰ্থ হ’ল যে কিছুমান $\mathrm{C}$ আছে যেনে $\mathrm{A}=\mathrm{B}+\mathrm{C}$।

এতিয়া ইউক্লিডৰ পাঁচটা অংগীকাৰ আলোচনা কৰো আহক। সেইবোৰ হ’ল :

অংগীকাৰ ১ : যিকোনো এটা বিন্দুৰ পৰা আন যিকোনো বিন্দুলৈ এডাল সৰল ৰেখা টনা যাব।

মন কৰক যে এই অংগীকাৰটোৱে আমাক কয় যে দুটা পৃথক বিন্দুৰ মাজেৰে কমেও এডাল সৰল ৰেখা পাৰ হয়, কিন্তু ই এনে এটাতকৈ বেছি ৰেখা থাকিব নোৱাৰে বুলি নকয়। অৱশ্যে, তেওঁৰ কামত, ইউক্লিডে প্ৰায়ে উল্লেখ নকৰাকৈয়ে ধাৰণা কৰিছিল যে দুটা পৃথক বিন্দু সংযোগ কৰা এডাল অনন্য ৰেখা আছে। আমি এই ফলাফলটো তলত দিয়া ধৰণেৰে এটা স্বতঃসিদ্ধ হিচাপে বিবৃত কৰো:

স্বতঃসিদ্ধ ৫.১ : দুটা পৃথক বিন্দু দিয়া থাকিলে, সেইবোৰৰ মাজেৰে যোৱা এডাল অনন্য ৰেখা থাকে।

$P$ ৰ মাজেৰে যোৱা কিমানডাল ৰেখাই $Q$ ৰ মাজেদিও যায় (চিত্ৰ ৫.৪ চাওক)? কেৱল এডাল, সেয়া হ’ল ৰেখা $P Q$। $Q$ ৰ মাজেৰে যোৱা কিমানডাল ৰেখাই $P$ ৰ মাজেদিও যায়? কেৱল এডাল, সেয়া হ’ল ৰেখা PQ। গতিকে, ওপৰৰ বিবৃতিটো স্বতঃস্পষ্ট, আৰু সেয়েহে ইয়াক এটা স্বতঃসিদ্ধ হিচাপে লোৱা হয়।

চিত্ৰ ৫.৪

অংগীকাৰ ২ : এডাল অন্তিম ৰেখাক অনিৰ্দিষ্টকাললৈ বাঢ়োৱা যাব।

মন কৰক যে আমি বৰ্তমান যাক ৰেখাখণ্ড বোলো সেয়াই ইউক্লিডে অন্তিম ৰেখা বুলিছিল। গতিকে, বৰ্তমানৰ পদ অনুসৰি, দ্বিতীয় অংগীকাৰটোৱে কয় যে ৰেখাখণ্ডডালক দুয়োফালে বাঢ়াই ৰেখা গঠন কৰিব পাৰি (চিত্ৰ ৫.৫ চাওক)।

চিত্ৰ ৫.৫

অংগীকাৰ ৩ : যিকোনো কেন্দ্ৰ আৰু যিকোনো ব্যাসাৰ্ধ লৈ বৃত্ত এটা অংকন কৰিব পাৰি।

অংগীকাৰ ৪ : সকলো সমকোণ পৰস্পৰৰ সমান।

অংগীকাৰ ৫ : যদি এডাল সৰল ৰেখাই আন দুডাল সৰল ৰেখাৰ ওপৰত পৰি একে ফালেৰে লোৱা অন্তঃস্থ কোণ দুটাৰ যোগফল দুটা সমকোণতকৈ কম কৰে, তেন্তে সেই দুডাল সৰল ৰেখা, যদি অনিৰ্দিষ্টকাললৈ বাঢ়োৱা হয়, তেন্তে সেই ফালে মিলে য’ত কোণৰ যোগফল দুটা সমকোণতকৈ কম।

উদাহৰণস্বৰূপে, চিত্ৰ ৫.৬ত ৰেখা PQই $\mathrm{AB}$ আৰু $\mathrm{CD}$ ৰেখাৰ ওপৰত এনেদৰে পৰে যে অন্তঃস্থ কোণ ১ আৰু ২ ৰ যোগফল PQৰ বাওঁফালে $180^{\circ}$ তকৈ কম হয়। গতিকে, $\mathrm{AB}$ আৰু $\mathrm{CD}$ ৰেখাডালে শেষত PQৰ বাওঁফালে ছেদ কৰিব।

চিত্ৰ ৫.৬

পাঁচটা অংগীকাৰৰ ওপৰত চকু ফুৰাই চালে আপুনি লক্ষ্য কৰিব যে অংগীকাৰ ৫ টো আন যিকোনো অংগীকাৰতকৈ বহুত জটিল। আনহাতে, অংগীকাৰ ১ ৰ পৰা ৪ লৈ ইমান সৰল আৰু স্পষ্ট যে এইবোৰক ‘স্বতঃস্পষ্ট সত্য’ হিচাপে লোৱা হয়। অৱশ্যে, সেইবোৰ প্ৰমাণ কৰাটো সম্ভৱ নহয়। গতিকে, এই বিবৃতিসমূহ যিকোনো প্ৰমাণ নোহোৱাকৈ গ্ৰহণ কৰা হয় (পৰিশিষ্ট ১ চাওক)। ইয়াৰ জটিলতাৰ বাবে, পঞ্চম অংগীকাৰটোক পৰৱৰ্তী অংশত অধিক গুৰুত্ব দিয়া হ’ব।

বৰ্তমান, ‘অংগীকাৰ’ আৰু ‘স্বতঃসিদ্ধ’ পদবোৰ পৰিবৰ্তনীয়ভাৱে আৰু একে অৰ্থত ব্যৱহাৰ কৰা হয়। ‘অংগীকাৰ’ প্ৰকৃততে এটা ক্ৰিয়া। যেতিয়া আমি কওঁ “আমি অংগীকাৰ কৰো”, আমি ইয়াৰ অৰ্থ কৰো, “বিশ্বত পৰ্যবেক্ষণ কৰা পৰিঘটনাৰ ওপৰত ভিত্তি কৰি কিছুমান বিবৃতি কৰো”। ইয়াৰ সত্যতা/বৈধতা পিছত পৰীক্ষা কৰা হয়। যদি ই সত্য হয়, তেন্তে ইয়াক ‘অংগীকাৰ’ হিচাপে গ্ৰহণ কৰা হয়।

স্বতঃসিদ্ধৰ এটা ব্যৱস্থাক সংগত বোলা হয় (পৰিশিষ্ট ১ চাওক), যদি এই স্বতঃসিদ্ধবোৰৰ পৰা এনে বিবৃতি আহৰণ কৰাটো অসম্ভৱ হয় যিয়ে যিকোনো স্বতঃসিদ্ধ বা আগতে প্ৰমাণ কৰা বিবৃতিৰ বিৰোধিতা কৰে। গতিকে, যেতিয়া যিকোনো স্বতঃসিদ্ধৰ ব্যৱস্থা দিয়া হয়, ইয়াক নিশ্চিত কৰাৰ প্ৰয়োজন যে ব্যৱস্থাটো সংগত।

ইউক্লিডে তেওঁৰ অংগীকাৰ আৰু স্বতঃসিদ্ধবোৰ বিবৃত কৰাৰ পিছত, তেওঁ আন ফলাফল প্ৰমাণ কৰিবলৈ সেইবোৰ ব্যৱহাৰ কৰিছিল। তাৰ পিছত এই ফলাফলবোৰ ব্যৱহাৰ কৰি, তেওঁ নিগমনাত্মক যুক্তি প্ৰয়োগ কৰি আৰু কিছুমান ফলাফল প্ৰমাণ কৰিছিল। যিবোৰ বিবৃতি প্ৰমাণ কৰা হৈছিল সেইবোৰক প্ৰস্তাৱ বা উপপাদ্য বোলা হয়। ইউক্লিডে তেওঁৰ স্বতঃসিদ্ধ, অংগীকাৰ, সংজ্ঞা আৰু শৃংখলাত আগতে প্ৰমাণ কৰা উপপাদ্যবোৰ ব্যৱহাৰ কৰি এক যুক্তিপূৰ্ণ শৃংখলাত ৪৬৫টা প্ৰস্তাৱ আহৰণ কৰিছিল। জ্যামিতিৰ পৰৱৰ্তী কেইটামান অধ্যায়ত, আপুনি কিছুমান উপপাদ্য প্ৰমাণ কৰিবলৈ এই স্বতঃসিদ্ধবোৰ ব্যৱহাৰ কৰিব।

এতিয়া, তলৰ উদাহৰণবোৰত চাওক কেনেকৈ ইউক্লিডে কিছুমান ফলাফল প্ৰমাণ কৰিবলৈ তেওঁৰ স্বতঃসিদ্ধ আৰু অংগীকাৰ ব্যৱহাৰ কৰিছিল:

উদাহৰণ ১ : যদি $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ আৰু $\mathrm{C}$ ৰেখা এডালৰ ওপৰত তিনিটা বিন্দু, আৰু $\mathrm{B}$ $\mathrm{A}$ আৰু $\mathrm{C}$ ৰ মাজত থাকে (চিত্ৰ ৫.৭ চাওক), তেন্তে প্ৰমাণ কৰক যে $\mathrm{AB}+\mathrm{BC}=\mathrm{AC}$।

চিত্ৰ ৫.৭

সমাধান : ওপৰত দিয়া চিত্ৰত, $\mathrm{AC}$ $\mathrm{AB}+\mathrm{BC}$ ৰ সৈতে মিলি যায়।

লগতে, ইউক্লিডৰ স্বতঃসিদ্ধ (৪)য়ে কয় যে যি বস্তুবোৰ পৰস্পৰৰ সৈতে মিলি যায়, সেইবোৰ সমান। গতিকে, ইয়াক আহৰণ কৰিব পাৰি যে

$\mathrm{AB}+\mathrm{BC}=\mathrm{AC}$

মন কৰক যে এই সমাধানত, ধাৰণা কৰা হৈছে যে দুটা বিন্দুৰ মাজেৰে যোৱা এডাল অনন্য ৰেখা আছে।

উদাহৰণ ২ : প্ৰমাণ কৰক যে যিকোনো দিয়া ৰেখাখণ্ডত সমবাহু ত্ৰিভুজ এটা গঠন কৰিব পাৰি।

সমাধান : ওপৰৰ বিবৃতিত, যিকোনো দৈৰ্ঘ্যৰ ৰেখাখণ্ড এটা দিয়া আছে, ধৰি লওক AB [চিত্ৰ ৫.৮(i) চাওক]।

চিত্ৰ ৫.৮

ইয়াত, আপুনি কিছুমান অংকন কৰাৰ প্ৰয়োজন। ইউক্লিডৰ অংগীকাৰ ৩ ব্যৱহাৰ কৰি, আপুনি বিন্দু $A$ ক কেন্দ্ৰ হিচাপে লৈ $A B$ ক ব্যাসাৰ্ধ হিচাপে লৈ বৃত্ত এটা অংকন কৰিব পাৰে [চিত্ৰ ৫.৮(ii) চাওক]। একেদৰে, বিন্দু $\mathrm{B}$ ক কেন্দ্ৰ হিচাপে লৈ $\mathrm{BA}$ ক ব্যাসাৰ্ধ হিচাপে লৈ আন এটা বৃত্ত অংকন কৰক। দুয়োটা বৃত্ত এটা বিন্দুত, ধৰি লওক $\mathrm{C}$, মিলে। এতিয়া, $\mathrm{AC}$ আৰু $\mathrm{BC}$ ৰেখাখণ্ডবোৰ টানি $\triangle \mathrm{ABC}$ গঠন কৰক [চিত্ৰ ৫.৮ (iii) চাওক]।

গতিকে, আপুনি প্ৰমাণ কৰিব লাগিব যে এই ত্ৰিভুজটো সমবাহু, অৰ্থাৎ $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=\mathrm{BC}$।

এতিয়া, $\quad \mathrm{AB}=\mathrm{AC}$, কাৰণ সেইবোৰ একে বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ

একেদৰে, $A B=B C \quad$ (একে বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ)

এই দুটা তথ্যৰ পৰা, আৰু ইউক্লিডৰ স্বতঃসিদ্ধ যে যি বস্তুবোৰ একে বস্তুৰ সমান, সেইবোৰ পৰস্পৰৰ সমান, আপুনি এই সিদ্ধান্তত উপনীত হ’ব পাৰে যে $\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{AC}$।

গতিকে, $\triangle \mathrm{ABC}$ এটা সমবাহু ত্ৰিভুজ।

মন কৰক যে ইয়াত ইউক্লিডে ক’তো উল্লেখ নকৰাকৈয়ে ধাৰণা কৰিছিল যে A আৰু B কেন্দ্ৰ হিচাপে লৈ অংকন কৰা দুয়োটা বৃত্তই পৰস্পৰক এটা বিন্দুত ছেদ কৰিব।

এতিয়া আমি এটা উপপাদ্য প্ৰমাণ কৰো, যি প্ৰায়ে বিভিন্ন ফলাফলত ব্যৱহাৰ কৰা হয়:

উপপাদ্য ৫.১ : দুডাল পৃথক ৰেখাৰ এটাতকৈ বেছি বিন্দু সাধাৰণ হ’ব নোৱাৰে।

প্ৰমাণ: ইয়াত আমাক দুডাল ৰেখা $l$ আৰু $m$ দিয়া হৈছে। আমাক প্ৰমাণ কৰিব লাগিব যে সেইবোৰৰ কেৱল এটা বিন্দু সাধাৰণ।

বৰ্তমানৰ বাবে, ধৰি লওক যে দুডাল ৰেখাই দুটা পৃথক বিন্দুত, ধৰি লওক $\mathrm{P}$ আৰু $\mathrm{Q}$, ছেদ কৰে। গতিকে, আপোনাৰ ওচৰত দুডাল ৰেখা আছে যি দুটা পৃথক বিন্দু $\mathrm{P}$ আৰু $\mathrm{Q}$ ৰ মাজেৰে যায়। কিন্তু এই ধাৰণাটোৱে সেই স্বতঃসিদ্ধৰ সৈতে সংঘাত কৰে যে দুটা পৃথক বিন্দুৰ মাজেৰে কেৱল এডাল ৰেখা যাব পাৰে। গতিকে, আমি আৰম্ভ কৰা ধাৰণাটো, যে দুডাল ৰেখাই দুটা পৃথক বিন্দুৰ মাজেৰে যাব পাৰে, ভুল।

ইয়াৰ পৰা, আমি কি সিদ্ধান্তত উপনীত হ’ব পাৰো? আমি বাধ্য হৈ সিদ্ধান্তত উপনীত হওঁ যে দুডাল পৃথক ৰেখাৰ এটাতকৈ বেছি বিন্দু সাধাৰণ হ’ব নোৱাৰে।

৫.৩ সাৰাংশ

এই অধ্যায়ত, আপুনি তলৰ বিষয়বোৰ অধ্যয়ন কৰিছে:

১. যদিও ইউক্লিডে বিন্দু, ৰেখা, আৰু সমতলৰ সংজ্ঞা দিছিল, সংজ্ঞাবোৰ গণিতজ্ঞসকলে গ্ৰহণ কৰা নাই। সেয়েহে, এই পদবোৰ এতিয়া অসংজ্ঞায়িত হিচাপে