5.1 அறிமுகம்

‘ஜியோமெட்ரி’ (geometry) என்ற சொல் கிரேக்க சொற்களான ‘ஜியோ’ (geo) மற்றும் ‘மெட்ரீன்’ (metrein) ஆகியவற்றிலிருந்து வந்தது. ‘ஜியோ’ என்றால் ‘பூமி’ என்றும், ‘மெட்ரீன்’ என்றால் ‘அளத்தல்’ என்றும் பொருள். நிலத்தை அளக்க வேண்டிய தேவையிலிருந்து வடிவியல் தோன்றியதாகத் தெரிகிறது. எகிப்து, பாபிலோனியா, சீனா, இந்தியா, கிரீஸ், இன்காக்கள் போன்ற ஒவ்வொரு பண்டைய நாகரிகத்திலும் இந்தக் கணிதப் பிரிவு பல்வேறு வடிவங்களில் படிக்கப்பட்டது. இந்த நாகரிகங்களின் மக்கள் பல நடைமுறைச் சிக்கல்களை எதிர்கொண்டனர், அவை வடிவியல் பல்வேறு வழிகளில் வளர்ச்சியடையத் தேவைப்படுத்தின.

எடுத்துக்காட்டாக, நைல் நதி பெருக்கெடுத்த போதெல்லாம், வெவ்வேறு நில உரிமையாளர்களின் அருகிலுள்ள வயல்களுக்கு இடையிலான எல்லைகளை அது அழித்துவிடும். இத்தகைய வெள்ளத்திற்குப் பிறகு, இந்த எல்லைகளை மீண்டும் வரைய வேண்டியிருந்தது. இந்த நோக்கத்திற்காக, எகிப்தியர்கள் எளிய பரப்பளவுகளைக் கணக்கிடுவதற்கும் எளிய கட்டுமானங்களைச் செய்வதற்கும் பல வடிவியல் நுட்பங்களையும் விதிகளையும் உருவாக்கினர். வடிவியல் அறிவு தானியக் களஞ்சியங்களின் கனஅளவுகளைக் கணக்கிடுவதற்கும், கால்வாய்கள் மற்றும் பிரமிடுகளைக் கட்டுவதற்கும் அவர்களால் பயன்படுத்தப்பட்டது. ஒரு துண்டிக்கப்பட்ட பிரமிடின் (truncated pyramid) கனஅளவைக் கண்டறிய சரியான சூத்திரத்தையும் அவர்கள் அறிந்திருந்தனர் (படம் 5.1 ஐப் பார்க்கவும்). ஒரு பிரமிடு என்பது ஒரு திட உருவம் என்பதை நீங்கள் அறிவீர்கள், அதன் அடிப்பகுதி ஒரு முக்கோணம், அல்லது சதுரம், அல்லது வேறு சில பலகோணமாக இருக்கும், மேலும் அதன் பக்க முகங்கள் மேலே உள்ள ஒரு புள்ளியில் ஒன்றிணையும் முக்கோணங்களாகும்.

படம் 5.1 : ஒரு துண்டிக்கப்பட்ட பிரமிடு

இந்தியத் துணைக்கண்டத்தில், ஹரப்பா மற்றும் மொகெஞ்சதாரோ போன்ற இடங்களில் நடத்தப்பட்ட அகழ்வாராய்ச்சிகள், சிந்து சமவெளி நாகரிகம் (கி.மு. 3000 ஆண்டளவு) வடிவியலைப் பரவலாகப் பயன்படுத்தியதைக் காட்டுகின்றன. இது மிகவும் ஒழுங்கமைக்கப்பட்ட சமூகமாக இருந்தது. நகரங்கள் மிகவும் வளர்ச்சியடைந்து, நன்கு திட்டமிடப்பட்டிருந்தன. எடுத்துக்காட்டாக, சாலைகள் ஒன்றுக்கொன்று இணையாக இருந்தன மற்றும் நிலத்தடி வடிகால் அமைப்பு இருந்தது. வீடுகளில் பல்வேறு வகையான பல அறைகள் இருந்தன. இது நகர மக்கள் அளவியல் மற்றும் நடைமுறை எண்கணிதத்தில் திறமைசாலிகளாக இருந்தார்கள் என்பதைக் காட்டுகிறது. கட்டுமானத்திற்குப் பயன்படுத்தப்பட்ட செங்கற்கள் சூளைச் சுடப்பட்டவை மற்றும் செங்கற்களின் நீளம் : அகலம் : தடிமன் என்ற விகிதம் $4: 2: 1$ ஆகக் காணப்பட்டது.

பண்டைய இந்தியாவில், சுல்பசூத்திரங்கள் ($800 \mathrm{BCE}$ முதல் $500 \mathrm{BCE}$ வரை) வடிவியல் கட்டுமானங்களின் கையேடுகளாக இருந்தன. வேத காலத்தின் வடிவியல் வேத சடங்குகளைச் செய்வதற்கான பலிபீடங்கள் (அல்லது வேதிகள்) மற்றும் அக்னிகுண்டங்களைக் கட்டுவதிலிருந்து தோன்றியது. புனித நெருப்புகளின் இடம், அவை பயனுள்ள கருவிகளாக இருக்க வேண்டுமென்றால், அவற்றின் வடிவங்கள் மற்றும் பரப்பளவுகள் பற்றிய தெளிவாக வரையறுக்கப்பட்ட வழிமுறைகளுக்கு ஏற்ப இருக்க வேண்டும். சதுர மற்றும் வட்ட பலிபீடங்கள் வீட்டு சடங்குகளுக்குப் பயன்படுத்தப்பட்டன, அதேசமயம் செவ்வகங்கள், முக்கோணங்கள் மற்றும் சரிவகங்களின் சேர்க்கைகளாக வடிவங்களைக் கொண்ட பலிபீடங்கள் பொது வழிபாட்டிற்குத் தேவைப்பட்டன. ஸ்ரீயந்திரம் (அதர்வண வேதத்தில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது) ஒன்பது பின்னிப்பிணைந்த சமபக்க முக்கோணங்களைக் கொண்டுள்ளது. இந்த முக்கோணங்கள் 43 துணை முக்கோணங்களை உருவாக்கும் வகையில் அமைக்கப்பட்டுள்ளன. பலிபீடங்களைக் கட்டுவதற்கு துல்லியமான வடிவியல் முறைகள் பயன்படுத்தப்பட்ட போதிலும், அவற்றின் பின்னால் உள்ள கொள்கைகள் விவாதிக்கப்படவில்லை.

இந்த எடுத்துக்காட்டுகள், உலகம் முழுவதும் வடிவியல் வளர்ச்சியடைந்து பயன்படுத்தப்பட்டதைக் காட்டுகின்றன. ஆனால் இது ஒரு முறைசாரா முறையில் நடந்து கொண்டிருந்தது. பண்டைய உலகில் வடிவியலின் இந்த வளர்ச்சிகளைப் பற்றிய சுவாரஸ்யமான விஷயம் என்னவென்றால், அவை வாய்மொழியாக அல்லது ஓலைச் செய்திகள் மூலம் அல்லது பிற வழிகளில் ஒரு தலைமுறையிலிருந்து அடுத்த தலைமுறைக்கு கடத்தப்பட்டன. மேலும், பாபிலோனியா போன்ற சில நாகரிகங்களில், இந்தியா மற்றும் ரோம் நாடுகளில் இருந்தது போலவே, வடிவியல் மிகவும் நடைமுறை சார்ந்த ஒழுக்கமாகவே இருந்தது என்பதை நாம் காண்கிறோம். எகிப்தியர்கள் உருவாக்கிய வடிவியல் முக்கியமாக முடிவுகளின் கூற்றுகளைக் கொண்டிருந்தது. செயல்முறையின் பொதுவான விதிகள் எதுவும் இல்லை. உண்மையில், பாபிலோனியர்களும் எகிப்தியர்களும் வடிவியலை பெரும்பாலும் நடைமுறை நோக்கங்களுக்காகப் பயன்படுத்தினர், மேலும் அதை ஒரு முறையான அறிவியலாக வளர்ப்பதற்கு மிகக் குறைவாகவே செய்தனர். ஆனால் கிரீஸ் போன்ற நாகரிகங்களில், சில கட்டுமானங்கள் ஏன் செயல்படுகின்றன என்பதற்கான பகுத்தறிவின் மீது அழுத்தம் கொடுக்கப்பட்டது. கிரேக்கர்கள், கழிவறிவு முறை மூலம் (deductive reasoning) கண்டுபிடித்த கூற்றுகளின் உண்மையை நிறுவுவதில் ஆர்வம் காட்டினர் (இணைப்பு 1 ஐப் பார்க்கவும்). ஒரு கிரேக்க கணிதவியலாளரான தேல்ஸ் (Thales), முதல் அறியப்பட்ட நிரூபணத்தை வழங்கியதற்காகப் பாராட்டப்படுகிறார். இந்த நிரூபணம், ஒரு வட்டம் அதன் விட்டத்தால் இருசமக்கூறிடப்படுகிறது (அதாவது, இரண்டு சம பாகங்களாக வெட்டப்படுகிறது) என்ற கூற்றுக்காக இருந்தது. தேல்ஸின் மிகப் பிரபலமான மாணவர்களில் ஒருவர் பித்தாகரஸ் (கி.மு. 572) ஆவார், அவரைப் பற்றி நீங்கள் கேள்விப்பட்டிருக்கிறீர்கள். பித்தாகரஸும் அவரது குழுவினரும் பல வடிவியல் பண்புகளைக் கண்டறிந்தனர் மற்றும் வடிவியல் கோட்பாட்டை பெரும் அளவில் வளர்த்தனர். இந்த செயல்முறை $300 \mathrm{BCE}$ வரை தொடர்ந்தது. அப்போது எகிப்தின் அலெக்சாண்டிரியாவில் கணித ஆசிரியராக இருந்த யூக்ளிட், அனைத்து அறியப்பட்ட பணிகளையும் சேகரித்து, தனது பிரபலமான நூலான,

தேல்ஸ் (கி.மு. 640 - கி.மு. 546)

இந்த அத்தியாயத்தில், யூக்ளிட்டின் வடிவியல் அணுகுமுறையைப் பற்றி விவாதிப்போம் மற்றும் அதை தற்கால வடிவியலுடன் இணைக்க முயற்சிப்போம்.

யூக்ளிட் (கி.மு. 325 - கி.மு. 265)

படம் 5.3

5.2 யூக்ளிட்டின் வரையறைகள், அடிகோள்கள் மற்றும் அடிப்படைக் கோட்பாடுகள்

யூக்ளிட்டின் காலத்திய கிரேக்க கணிதவியலாளர்கள், வடிவியலை அவர்கள் வாழ்ந்த உலகின் ஒரு சுருக்க மாதிரியாகக் கருதினர். புள்ளி, கோடு, தளம் (அல்லது பரப்பு) போன்ற கருத்துகள் அவர்களைச் சுற்றி இருந்தவற்றிலிருந்து பெறப்பட்டன. அவர்களைச் சுற்றியுள்ள வெளி மற்றும் திடப்பொருட்களைப் பற்றிய ஆய்வுகளிலிருந்து, ஒரு திடப் பொருளின் சுருக்க வடிவியல் கருத்து உருவாக்கப்பட்டது. ஒரு திடப்பொருளுக்கு வடிவம், அளவு, நிலை ஆகியவை உள்ளன, மேலும் அதை ஒரு இடத்திலிருந்து மற்றொரு இடத்திற்கு நகர்த்த முடியும். அதன் எல்லைகள் பரப்புகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. அவை வெளியின் ஒரு பகுதியை மற்றொன்றிலிருந்து பிரிக்கின்றன, மேலும் அவை தடிமன் இல்லாதவை என்று கூறப்படுகின்றன. பரப்புகளின் எல்லைகள் வளைகோடுகள் அல்லது நேர்கோடுகள் ஆகும். இந்தக் கோடுகள் புள்ளிகளில் முடிவடையும்.

திடப்பொருட்களிலிருந்து புள்ளிகள் வரையிலான மூன்று படிகளைக் கவனியுங்கள் (திடப்பொருட்கள்-பரப்புகள்-கோடுகள்-புள்ளிகள்). ஒவ்வொரு படியிலும் நாம் ஒரு விரிவாக்கத்தை இழக்கிறோம், இது பரிமாணம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. எனவே, ஒரு திடப்பொருளுக்கு மூன்று பரிமாணங்கள் உள்ளன, ஒரு பரப்புக்கு இரண்டு உள்ளன, ஒரு கோட்டுக்கு ஒன்று உள்ளது மற்றும் ஒரு புள்ளிக்கு எதுவும் இல்லை. யூக்ளிட் இந்த கூற்றுகளை வரையறைகளாக சுருக்கமாகக் கூறினார். அவர் தனது விளக்கத்தை ‘எலிமென்ட்ஸ்’ (Elements) நூலின் புத்தகம் 1 இல் 23 வரையறைகளை பட்டியலிடுவதன் மூலம் தொடங்கினார். அவற்றில் சில கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன:

1. ஒரு புள்ளி என்பது எந்தப் பகுதியும் இல்லாதது.
2. ஒரு கோடு என்பது அகலமற்ற நீளம்.
3. ஒரு கோட்டின் முனைகள் புள்ளிகள்.
4. ஒரு நேர்கோடு என்பது அதன் மீது உள்ள புள்ளிகளுடன் சமமாக அமைந்திருக்கும் ஒரு கோடு.
5. ஒரு பரப்பு என்பது நீளம் மற்றும் அகலம் மட்டுமே கொண்டது.
6. ஒரு பரப்பின் விளிம்புகள் கோடுகள்.
7. ஒரு தளப் பரப்பு என்பது அதன் மீது உள்ள நேர்கோடுகளுடன் சமமாக அமைந்திருக்கும் ஒரு பரப்பு.

இந்த வரையறைகளை நீங்கள் கவனமாகப் படித்தால், பகுதி, அகலம், நீளம், சமமாக போன்ற சில சொற்களுக்கு தெளிவாக மேலும் விளக்கம் தேவைப்படுவதை நீங்கள் காண்பீர்கள். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு புள்ளியின் அவரது வரையறையைக் கவனியுங்கள். இந்த வரையறையில், ‘ஒரு பகுதி’ என்பதை வரையறுக்க வேண்டும். ‘ஒரு பகுதி’ என்பது ‘பரப்பளவை’ ஆக்கிரமிக்கும் ஒன்று என்று நீங்கள் வரையறுத்தால், மீண்டும் ‘ஒரு பரப்பளவு’ வரையறுக்கப்பட வேண்டும். எனவே, ஒரு விஷயத்தை வரையறுக்க, நீங்கள் பல விஷயங்களை வரையறுக்க வேண்டும், மேலும் முடிவில்லாமல் நீண்ட வரையறைகளின் சங்கிலியைப் பெறலாம். இத்தகைய காரணங்களுக்காக, கணிதவியலாளர்கள் சில வடிவியல் சொற்களை வரையறுக்கப்படாமல் விட்டுவிட ஒப்புக்கொள்கிறார்கள். இருப்பினும், மேலே உள்ள ‘வரையறை’ நமக்குத் தருவதை விட, ஒரு புள்ளியின் வடிவியல் கருத்துக்கு நமக்கு ஒரு உள்ளுணர்வு உணர்வு உள்ளது. எனவே, ஒரு புள்ளியை ஒரு புள்ளியாகக் குறிப்பிடுகிறோம், ஒரு புள்ளிக்கு சில பரிமாணங்கள் இருந்தாலும் கூட.

மேலே உள்ள வரையறை 2 இல் இதேபோன்ற சிக்கல் எழுகிறது, ஏனெனில் இது அகலம் மற்றும் நீளத்தைக் குறிக்கிறது, அவை இரண்டும் இன்னும் வரையறுக்கப்படவில்லை. இதன் காரணமாக, எந்தப் படிப்பின் வளர்ச்சியிலும் சில சொற்கள் வரையறுக்கப்படாமல் வைக்கப்படுகின்றன. எனவே, வடிவியலில், நாம் ஒரு புள்ளி, ஒரு கோடு மற்றும் ஒரு தளத்தை (யூக்ளிட்டின் சொற்களில் ஒரு தளப் பரப்பு) வரையறுக்கப்படாத சொற்களாக எடுத்துக்கொள்கிறோம். ஒரே விஷயம் என்னவென்றால், நாம் அவற்றை உள்ளுணர்வாக குறிப்பிடலாம், அல்லது ‘உடல் மாதிரிகள்’ உதவியுடன் அவற்றை விளக்கலாம்.

தனது வரையறைகளுடன் தொடங்கி, யூக்ளிட் சில பண்புகளைக் கருதினார், அவை நிரூபிக்கப்பட வேண்டியவை அல்ல. இந்த அனுமானங்கள் உண்மையில் ‘வெளிப்படையான உலகளாவிய உண்மைகள்’ ஆகும். அவர் அவற்றை இரண்டு வகைகளாகப் பிரித்தார்: அடிகோள்கள் (axioms) மற்றும் அடிப்படைக் கோட்பாடுகள் (postulates). வடிவியலுக்கு குறிப்பிட்ட அனுமானங்களுக்கு அவர் ‘அடிப்படைக் கோட்பாடு’ என்ற சொல்லைப் பயன்படுத்தினார். மறுபுறம், பொதுக் கருத்துகள் (பெரும்பாலும் அடிகோள்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன) என்பது கணிதம் முழுவதும் பயன்படுத்தப்பட்ட மற்றும் குறிப்பாக வடிவியலுடன் இணைக்கப்படாத அனுமானங்களாகும். அடிகோள்கள் மற்றும் அடிப்படைக் கோட்பாடுகள் பற்றிய விவரங்களுக்கு, இணைப்பு 1 ஐப் பார்க்கவும். யூக்ளிட்டின் சில அடிகோள்கள், அவரது வரிசையில் இல்லாமல், கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன:

(1) ஒரே பொருளுக்குச் சமமானவை ஒன்றுக்கொன்று சமம்.

(2) சமமானவைகளுடன் சமமானவைகள் கூட்டப்பட்டால், மொத்தங்கள் சமம்.

(3) சமமானவைகளிலிருந்து சமமானவைகள் கழிக்கப்பட்டால், மீதிகள் சமம்.

(4) ஒன்றோடொன்று பொருந்தும் பொருள்கள் சமம்.

(5) முழுப் பொருளும் அதன் பகுதியை விடப் பெரியது.

(6) ஒரே பொருளின் இரு மடங்குகள் ஒன்றுக்கொன்று சமம்.

(7) ஒரே பொருளின் பாதிகள் ஒன்றுக்கொன்று சமம்.

இந்த ‘பொதுக் கருத்துகள்’ சில வகையான அளவுகளைக் குறிக்கின்றன. முதல் பொதுக் கருத்து தள உருவங்களுக்குப் பயன்படுத்தப்படலாம். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு ஒரு செவ்வகத்தின் பரப்பளவுக்குச் சமமாகவும், செவ்வகத்தின் பரப்பளவு ஒரு சதுரத்தின் பரப்பளவுக்குச் சமமாகவும் இருந்தால், முக்கோணத்தின் பரப்பளவும் சதுரத்தின் பரப்பளவுக்குச் சமமாகும்.

ஒரே வகையான அளவுகளை ஒப்பிட்டு கூட்டலாம், ஆனால் வெவ்வேறு வகையான அளவுகளை ஒப்பிட முடியாது. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு கோட்டை ஒரு செவ்வகத்துடன் ஒப்பிட முடியாது, அதேபோல் ஒரு கோணத்தை ஒரு ஐங்கோணத்துடன் ஒப்பிட முடியாது.

மேலே கொடுக்கப்பட்ட 4வது அடிகோள், இரண்டு பொருள்கள் ஒரே மாதிரியாக இருந்தால் (அதாவது, அவை ஒன்றே), அவை சமம் என்று சொல்வதாகத் தெரிகிறது. வேறுவிதமாகக் கூறினால், எல்லாம் தன்னுடன் சமம். இது மேல்பொருத்து கொள்கையின் (principle of superposition) நியாயப்படுத்தலாகும். அடிகோள் (5) நமக்கு ‘அதை விடப் பெரியது’ என்ற வரையறையைத் தருகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு அளவு B என்பது மற்றொரு அளவு A இன் ஒரு பகுதியாக இருந்தால், A ஐ B மற்றும் சில மூன்றாவது அளவு C இன் கூட்டுத்தொகையாக எழுதலாம். குறியீட்டு முறையில், A > B என்பது $\mathrm{C}$ போன்ற ஒன்று உள்ளது, அதாவது $\mathrm{A}=\mathrm{B}+\mathrm{C}$.

இப்போது யூக்ளிட்டின் ஐந்து அடிப்படைக் கோட்பாடுகளைப் பற்றி விவாதிப்போம். அவை:

அடிப்படைக் கோட்பாடு 1 : ஒரு புள்ளியிலிருந்து மற்றொரு புள்ளிக்கு ஒரு நேர்கோடு வரையப்படலாம்.

இந்த அடிப்படைக் கோட்பாடு, இரண்டு தனித்த புள்ளிகள் வழியாக குறைந்தபட்சம் ஒரு நேர்கோடு செல்கிறது என்பதை நமக்குச் சொல்கிறது என்பதைக் கவனியுங்கள், ஆனால் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட அத்தகைய கோடுகள் இருக்க முடியாது என்று அது கூறவில்லை. இருப்பினும், தனது பணியில், யூக்ளிட் அடிக்கடி, குறிப்பிடாமலேயே, இரண்டு தனித்த புள்ளிகளை இணைக்கும் ஒரு தனித்துவமான கோடு உள்ளது என்று கருதியுள்ளார். இந்த முடிவை நாம் ஒரு அடிகோளின் வடிவத்தில் பின்வருமாறு கூறுகிறோம்:

அடிகோள் 5.1 : இரண்டு தனித்த புள்ளிகள் கொடுக்கப்பட்டால், அவற்றின் வழியாக செல்லும் ஒரு தனித்துவமான கோடு உள்ளது.

$P$ வழியாகச் செல்லும் எத்தனை கோடுகள் $Q$ வழியாகவும் செல்லும் (படம் 5.4 ஐப் பார்க்கவும்)? ஒன்று மட்டுமே, அதாவது $P Q$ என்ற கோடு. $Q$ வழியாகச் செல்லும் எத்தனை கோடுகள் $P$ வழியாகவும் செல்லும்? ஒன்று மட்டுமே, அதாவது PQ என்ற கோடு. எனவே, மேலே உள்ள கூற்று வெளிப்படையானது, எனவே அது ஒரு அடிகோளாக எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது.

படம் 5.4

அடிப்படைக் கோட்பாடு 2 : ஒரு முடிவுற்ற கோட்டை காலவரையின்றி நீட்டிக்கலாம்.

இப்போதைய காலத்தில் நாம் ஒரு கோட்டுத் துண்டு என்று அழைப்பது, யூக்ளிட் முடிவுற்ற கோடு என்று அழைத்ததாகும் என்பதைக் கவனியுங்கள். எனவே, தற்கால சொற்களின்படி, இரண்டாவது அடிப்படைக் கோட்பாடு, ஒரு கோட்டுத் துண்டை இருபுறமும் நீட்டி ஒரு கோட்டை உருவாக்கலாம் என்று கூறுகிறது (படம் 5.5 ஐப் பார்க்கவும்).

படம் 5.5

அடிப்படைக் கோட்பாடு 3 : எந்த மையத்தையும் எந்த ஆரத்தையும் கொண்டு ஒரு வட்டத்தை வரையலாம்.

அடிப்படைக் கோட்பாடு 4 : அனைத்து செங்கோணங்களும் ஒன்றுக்கொன்று சமம்.

அடிப்படைக் கோட்பாடு 5 : ஒரு நேர்கோடு இரண்டு நேர்கோடுகளின் மீது விழுந்து, அதன் ஒரே பக்கத்தில் உள்ள உட்கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை இரண்டு செங்கோணங்களை விடக் குறைவாக இருந்தால், அந்த இரண்டு நேர்கோடுகளும், காலவரையின்றி நீட்டிக்கப்பட்டால், கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை இரண்டு செங்கோணங்களை விடக் குறைவாக இருக்கும் பக்கத்தில் சந்திக்கும்.

எடுத்துக்காட்டாக, படம் 5.6 இல் உள்ள PQ கோடு $\mathrm{AB}$ மற்றும் $\mathrm{CD}$ ஆகிய கோடுகளின் மீது விழுகிறது, அதாவது உட்கோணங்கள் 1 மற்றும் 2 இன் கூட்டுத்தொகை PQ இன் இடது பக்கத்தில் $180^{\circ}$ ஐ விடக் குறைவாக உள்ளது. எனவே, $\mathrm{AB}$ மற்றும் $\mathrm{CD}$ கோடுகள் இறுதியில் PQ இன் இடது பக்கத்தில் வெட்டிக்கொள்ளும்.

படம் 5.6

ஐந்து அடிப்படைக் கோட்பாடுகளையும் சுருக்கமாகப் பார்த்தால், அடிப்படைக் கோட்பாடு 5 மற்ற எந்த அடிப்படைக் கோட்பாட்டையும் விட மிகவும் சிக்கலானது என்பதை நீங்கள் கவனிப்பீர்கள். மறுபுறம், அடிப்படைக் கோட்பாடுகள் 1 முதல் 4 வரை மிகவும் எளிமையானவை மற்றும் வெளிப்படையானவை, அவை ‘தன்னிச்சையான உண்மைகள்’ என்று எடுத்துக் கொள்ளப்படுகின்றன. இருப்பினும், அவற்றை நிரூபிக்க முடியாது. எனவே, இந்த கூற்றுகள் எந்த நிரூபணமும் இல்லாமல் ஏற்றுக்கொள்ளப்படுகின்றன (இணைப்பு 1 ஐப் பார்க்கவும்). அதன் சிக்கலான தன்மை காரணமாக, ஐந்தாவது அடிப்படைக் கோட்பாட்டிற்கு அடுத்த பிரிவில் அதிக கவனம் செலுத்தப்படும்.

இப்போதைய காலத்தில், ‘அடிப்படைக் கோட்பாடுகள்’ மற்றும் ‘அடிகோள்கள்’ ஆகிய சொற்கள் ஒன்றுக்கொன்று மாற்றாகவும் ஒரே பொருளிலும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. ‘அடிப்படைக் கோட்பாடு’ (Postulate) என்பது உண்மையில் ஒரு வினைச்சொல். “நாம் அடிப்படைக் கோட்பாடாகக் கொள்வோம்” என்று நாம் சொல்லும்போது, “பிரபஞ்சத்தில் காணப்படும் நிகழ்வின் அடிப்படையில் சில கூற்றுகளைச் செய்வோம்” என்று பொருள். அதன் உண்மை/செல்லுபடியை பின்னர் சரிபார்க்கப்படுகிறது. அது உண்மையாக இருந்தால், அது ஒரு ‘அடிப்படைக் கோட்பாடு’ என்று ஏற்றுக்கொள்ளப்படுகிறது.

ஒரு அடிகோள்களின் அமைப்பு, இந்த அடிகோள்களிலிருந்து எந்த அடிகோள் அல்லது முன்னர் நிரூபிக்கப்பட்ட கூற்றுக்கும் முரணான ஒரு கூற்றைக் கணித்து விட முடியாது என்றால், அது சீரானது (consistent) என்று அழைக்கப்படுகிறது (இணைப்பு 1 ஐப் பார்க்கவும்). எனவே, எந்த அடிகோள்களின் அமைப்பும் கொடுக்கப்படும்போது, அந்த அமைப்பு சீரானது என்பதை உறுதிப்படுத்த வேண்டும்.

யூக்ளிட் தனது அடிப்படைக் கோட்பாடுகள் மற்றும் அடிகோள்களைக் கூறிய பிறகு, அவற்றைப் பயன்படுத்தி மற்ற முடிவுகளை நிரூபித்தார். பின்னர் இந்த முடிவுகளைப் பயன்படுத்தி, கழிவறிவு முறையைப் பயன்படுத்தி இன்னும் சில முடிவுகளை நிரூபித்தார். நிரூபிக்கப்பட்ட கூற்றுகள் முன்மொழிவுகள் அல்லது தேற்றங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. யூக்ளிட் தனது அடிகோள்கள், அடிப்படைக் கோட்பாடுகள், வரையறைகள் மற்றும் சங்கிலியில் முன்னர் நிரூபிக்கப்பட்ட தேற்றங்களைப் பயன்படுத்தி ஒரு தர்க்கரீதியான சங்கிலியில் 465 முன்மொழிவுகளைக் கணித்தார். வடிவியல் பற்றிய அடுத்த சில அத்தியாயங்களில், நீங்கள் சில தேற்றங்களை நிரூபிக்க இந்த அடிகோள்களைப் பயன்படுத்துவீர்கள்.

இப்போது, யூக்ளிட் சில முடிவுகளை நிரூபிப்பதற்காக தனது அடிகோள்கள் மற்றும் அடிப்படைக் கோட்பாடுகளை எவ்வாறு பயன்படுத்தினார் என்பதை பின்வரும் எடுத்துக்காட்டுகளில் பார்ப்போம்:

எடுத்துக்காட்டு 1 : $\mathrm{A}, \mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ மற்றும் $\mathrm{B}$ ஆகியவை ஒரு கோட்டின் மீது உள்ள மூன்று புள்ளிகள் மற்றும் $\mathrm{B}$ ஆனது $\mathrm{A}$ மற்றும் $\mathrm{C}$ க்கு இடையே அமைந்துள்ளது என்றால் (படம் 5.7 ஐப் பார்க்கவும்), $\mathrm{AB}+\mathrm{BC}=\mathrm{AC}$ என நிரூபிக்கவும்.

படம் 5.7

தீர்வு : மேலே கொடுக்கப்பட்ட படத்தில், $\mathrm{AC}$ ஆனது $\mathrm{AB}+\mathrm{BC}$ உடன் பொருந்துகிறது.

மேலும், யூக்ளிட்டின் அடிகோள் (4) ஒன்றோடொன்று பொருந்தும் பொருள்கள் சமம் என்று கூறுகிறது. எனவே, அதிலிருந்து

$\mathrm{AB}+\mathrm{BC}=\mathrm{AC}$

எனக் கணிக்க முடியும்.

இந்தத் தீர்வில், இரண்டு புள்ளிகள் வழியாக ஒரு தனித்துவமான கோடு செல்கிறது என்று கருதப்பட்டுள்ளது என்பதைக் கவனியுங்கள்.

**எடுத்துக்காட்டு 2