5.1 પરિચય

‘ભૂમિતિ’ શબ્દ ગ્રીક શબ્દો ‘જીઓ’ (અર્થ ‘પૃથ્વી’) અને ‘મેટ્રીન’ (અર્થ ‘માપવું’) પરથી આવ્યો છે. ભૂમિતિનો ઉદ્ભવ જમીન માપવાની જરૂરિયાતમાંથી થયો હોય તેમ લાગે છે. ગણિતની આ શાખાનો અભ્યાસ દરેક પ્રાચીન સંસ્કૃતિમાં વિવિધ સ્વરૂપોમાં થતો હતો, ભલે તે ઇજિપ્ત, બેબિલોન, ચીન, ભારત, ગ્રીસ, ઇન્કા વગેરેમાં હોય. આ સંસ્કૃતિઓના લોકોને અનેક વ્યવહારિક સમસ્યાઓનો સામનો કરવો પડતો હતો, જેના કારણે ભૂમિતિનો વિવિધ રીતે વિકાસ થયો.

ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે પણ નાઈલ નદી ઉભરાતી, ત્યારે તે જુદા જુદા જમીન માલિકોની અડોઅડની ખેતરો વચ્ચેની સીમાઓ ધોવી નાખતી. આવા પૂર પછી, આ સીમાઓ ફરીથી દોરવી પડતી. આ હેતુ માટે, ઇજિપ્તવાસીઓએ સરળ ક્ષેત્રફળોની ગણતરી કરવા અને સરળ રચનાઓ કરવા માટે અનેક ભૌમિતિક તકનીકો અને નિયમો વિકસાવ્યા હતા. ભૂમિતિનું જ્ઞાન તેમણે અનાજની કોઠીઓના ઘનફળની ગણતરી કરવા અને નહેરો અને પિરામિડો બનાવવા માટે પણ વાપર્યું હતું. તેમને કપાયેલા પિરામિડનું ઘનફળ શોધવા માટેનો સાચો સૂત્ર પણ ખબર હતો (જુઓ આકૃતિ 5.1). તમે જાણો છો કે પિરામિડ એક ઘન આકૃતિ છે, જેનો પાયો ત્રિકોણ, અથવા ચોરસ, અથવા અન્ય કોઈ બહુકોણ હોય છે, અને તેની બાજુના પૃષ્ઠો ત્રિકોણ હોય છે જે ઉપરના ટોચ પર એક બિંદુ પર મળે છે.

આકૃતિ 5.1 : એક કપાયેલો પિરામિડ

ભારતીય ઉપખંડમાં, હડપ્પા અને મોહેનજો-દડો વગેરે સ્થળોએ ખોદકામથી જણાય છે કે સિંધુ ખીણની સંસ્કૃતિ (લગભગ 3000 BCE) ભૂમિતિનો વ્યાપક ઉપયોગ કરતી હતી. તે એક અત્યંત સંગઠિત સમાજ હતો. શહેરો અત્યંત વિકસિત અને ખૂબ સારી રીતે આયોજિત હતાં. ઉદાહરણ તરીકે, રસ્તાઓ એકબીજાને સમાંતર હતા અને ભૂગર્ભ ડ્રેનેજ સિસ્ટમ હતી. ઘરોમાં વિવિધ પ્રકારના ઘણા ઓરડા હતા. આ દર્શાવે છે કે શહેરના રહેવાસીઓ માપન અને વ્યવહારિક અંકગણિતમાં નિપુણ હતા. બાંધકામ માટે વપરાતી ઈંટો ભઠ્ઠીમાં પકાવવામાં આવતી હતી અને ઈંટોનો ગુણોત્તર લંબાઈ : પહોળાઈ : જાડાઈ, $4: 2: 1$ જોવા મળ્યો હતો.

પ્રાચીન ભારતમાં, શુલ્બસૂત્રો ($800 \mathrm{BCE}$ થી $500 \mathrm{BCE}$) ભૌમિતિક રચનાઓના માર્ગદર્શિકા હતા. વૈદિક કાળની ભૂમિતિનો ઉદ્ભવ વૈદિક ક્રિયાઓ કરવા માટે વેદીઓ (અથવા વેદી) અને અગ્નિકુંડોની રચનાથી થયો હતો. પવિત્ર અગ્નિનું સ્થાન તેમના આકારો અને ક્ષેત્રફળો વિશે સ્પષ્ટ રીતે નિર્ધારિત સૂચનાઓ અનુસાર હોવું જરૂરી હતું, જો તેમને અસરકારક સાધનો બનવું હોય. ચોરસ અને વર્તુળાકાર વેદીઓ ઘરેલું રીતિરિવાજો માટે વપરાતી, જ્યારે લંબચોરસ, ત્રિકોણ અને સમલંબ ચતુષ્કોણના સંયોજન સ્વરૂપના આકારોવાળી વેદીઓ જાહેર પૂજા માટે જરૂરી હતી. શ્રીયંત્ર (અથર્વવેદમાં આપેલ) નવ આંતરગૂંથાયેલા સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણોનો બનેલો છે. આ ત્રિકોણો એવી રીતે ગોઠવાયેલા છે કે તેઓ 43 ગૌણ ત્રિકોણો ઉત્પન્ન કરે છે. જોકે વેદીઓની રચના માટે ચોક્કસ ભૌમિતિક પદ્ધતિઓ વપરાતી હતી, પરંતુ તેમની પાછળના સિદ્ધાંતોની ચર્ચા નહોતી થતી.

આ ઉદાહરણો દર્શાવે છે કે ભૂમિતિનો વિકાસ અને ઉપયોગ સમગ્ર વિશ્વમાં થઈ રહ્યો હતો. પરંતુ આ એક અવ્યવસ્થિત રીતે થઈ રહ્યું હતું. પ્રાચીન વિશ્વમાં ભૂમિતિના આ વિકાસ વિશે રસપ્રદ વાત એ છે કે તે એક પેઢીથી બીજી પેઢીને મૌખિક રીતે અથવા તાડપત્રના સંદેશાઓ દ્વારા, અથવા અન્ય રીતે પસાર કરવામાં આવતા હતા. આ ઉપરાંત, આપણે જોઈએ છીએ કે બેબિલોન જેવી કેટલીક સંસ્કૃતિઓમાં, ભૂમિતિ એક ખૂબ જ વ્યવહાર-કેન્દ્રિત શિસ્ત તરીકે રહી, જેમ કે ભારત અને રોમમાં હતી. ઇજિપ્તવાસીઓ દ્વારા વિકસિત ભૂમિતિમાં મુખ્યત્વે પરિણામોના નિવેદનો હતા. કાર્યવાહીના કોઈ સામાન્ય નિયમો નહોતા. હકીકતમાં, બેબિલોનવાસીઓ અને ઇજિપ્તવાસીઓ ભૂમિતિનો ઉપયોગ મુખ્યત્વે વ્યવહારિક હેતુઓ માટે કરતા હતા અને તેને વ્યવસ્થિત વિજ્ઞાન તરીકે વિકસાવવા માટે ખૂબ ઓછું કર્યું હતું. પરંતુ ગ્રીસ જેવી સંસ્કૃતિઓમાં, ભાર ચોક્કસ રચનાઓ કેમ કામ કરે છે તેની પાછળના તર્ક પર હતો. ગ્રીકો નિગમનાત્મક તર્ક (જુઓ પરિશિષ્ટ 1) નો ઉપયોગ કરીને શોધેલા નિવેદનોની સત્યતા સ્થાપિત કરવામાં રુચિ ધરાવતા હતા. એક ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રી, થેલ્સને પ્રથમ જાણીતો પુરાવો આપવાનો શ્રેય આપવામાં આવે છે. આ પુરાવો એ નિવેદનનો હતો કે વર્તુળ તેના વ્યાસ દ્વારા દ્વિભાજિત થાય છે (એટલે કે, બે સમાન ભાગોમાં કપાય છે). થેલ્સના સૌથી પ્રખ્યાત વિદ્યાર્થીઓમાંનો એક પાયથાગોરસ (572 BCE) હતો, જેના વિશે તમે સાંભળ્યું હશે. પાયથાગોરસ અને તેના સમૂહે ઘણા ભૌમિતિક ગુણધર્મો શોધ્યા અને ભૂમિતિના સિદ્ધાંતને મોટા પ્રમાણમાં વિકસાવ્યો. આ પ્રક્રિયા $300 \mathrm{BCE}$ સુધી ચાલુ રહી. તે સમયે ઇજિપ્તમાં એલેક્ઝાન્ડ્રિયાના ગણિતના શિક્ષક યુક્લિડે બધા જાણીતા કાર્યોને એકત્રિત કર્યા અને તેમના પ્રખ્યાત ગ્રંથમાં ગોઠવ્યા,

થેલ્સ (640 BCE - 546 BCE)

આ પ્રકરણમાં, આપણે ભૂમિતિ પ્રત્યે યુક્લિડનો અભિગમ ચર્ચા કરીશું અને તેને વર્તમાન ભૂમિતિ સાથે જોડવાનો પ્રયત્ન કરીશું.

યુક્લિડ (325 BCE - 265 BCE)

આકૃતિ 5.3

5.2 યુક્લિડની વ્યાખ્યાઓ, સ્વાસ્થ્યો અને અભિગૃહીતો

યુક્લિડના સમયના ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રીઓ ભૂમિતિને તેમના રહેતા વિશ્વના એક અમૂર્ત મોડલ તરીકે ધારતા હતા. બિંદુ, રેખા, સમતલ (અથવા પૃષ્ઠ) વગેરેની કલ્પનાઓ તેમની આસપાસ જોવા મળતી વસ્તુઓ પરથી લેવામાં આવી હતી. તેમની આસપાસના અવકાશ અને ઘન પદાર્થોના અભ્યાસ પરથી, ઘન પદાર્થની એક અમૂર્ત ભૌમિતિક કલ્પના વિકસિત કરવામાં આવી હતી. ઘન પદાર્થનો આકાર, કદ, સ્થાન હોય છે અને તેને એક સ્થાનથી બીજા સ્થાને ખસેડી શકાય છે. તેની સીમાઓને પૃષ્ઠ કહેવામાં આવે છે. તેઓ અવકાશના એક ભાગને બીજાથી અલગ કરે છે, અને તેમની કોઈ જાડાઈ નથી એમ કહેવાય છે. પૃષ્ઠોની સીમાઓ વક્ર રેખાઓ અથવા સીધી રેખાઓ હોય છે. આ રેખાઓ બિંદુઓ પર સમાપ્ત થાય છે.

ઘન પદાર્થોથી બિંદુઓ સુધીના ત્રણ પગલાં (ઘન-પૃષ્ઠ-રેખા-બિંદુ) ધ્યાનમાં લો. દરેક પગલામાં આપણે એક વિસ્તાર ગુમાવીએ છીએ, જેને પરિમાણ પણ કહેવાય છે. તેથી, ઘન પદાર્થને ત્રણ પરિમાણ હોય છે, પૃષ્ઠને બે, રેખાને એક અને બિંદુને કોઈ નથી. યુક્લિડે આ નિવેદનોને વ્યાખ્યાઓ તરીકે સારાંશ આપ્યો. તેમણે ‘તત્વો’ ના પુસ્તક 1 માં 23 વ્યાખ્યાઓની યાદી આપીને તેમનો પ્રદર્શન શરૂ કર્યો. તેમાંથી કેટલીક નીચે આપેલી છે:

1. બિંદુ એ છે જેનો કોઈ ભાગ નથી.
2. રેખા એ પહોળાઈ વિનાની લંબાઈ છે.
3. રેખાના છેડા બિંદુઓ છે.
4. સરળ રેખા એ રેખા છે જે તેના પરના બિંદુઓ સાથે સમાન રીતે પડેલી હોય છે.
5. પૃષ્ઠ એ છે જેમાં ફક્ત લંબાઈ અને પહોળાઈ હોય છે.
6. પૃષ્ઠની ધાર રેખાઓ છે.
7. સમતલ પૃષ્ઠ એ પૃષ્ઠ છે જે તેના પરની સરળ રેખાઓ સાથે સમાન રીતે પડેલું હોય છે.

જો તમે આ વ્યાખ્યાઓનો કાળજીપૂર્વક અભ્યાસ કરો, તો તમને લાગશે કે ભાગ, પહોળાઈ, લંબાઈ, સમાન રીતે વગેરે જેવા કેટલાક શબ્દોને વધુ સ્પષ્ટ રીતે સમજાવવાની જરૂર છે. ઉદાહરણ તરીકે, બિંદુની તેમની વ્યાખ્યા ધ્યાનમાં લો. આ વ્યાખ્યામાં, ‘એક ભાગ’ ને વ્યાખ્યાયિત કરવાની જરૂર છે. ધારો કે જો તમે ‘એક ભાગ’ ને વ્યાખ્યાયિત કરો કે જે ‘ક્ષેત્રફળ’ ધરાવે છે, ફરીથી ‘ક્ષેત્રફળ’ ને વ્યાખ્યાયિત કરવાની જરૂર છે. તેથી, એક વસ્તુને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે, તમારે અન્ય ઘણી વસ્તુઓને વ્યાખ્યાયિત કરવાની જરૂર છે, અને તમને અંત વિના વ્યાખ્યાઓની લાંબી શ્રેણી મળી શકે છે. આવા કારણોસર, ગણિતશાસ્ત્રીઓ કેટલાક ભૌમિતિક શબ્દોને અવ્યાખ્યાયિત છોડવા માટે સંમત થાય છે. જોકે, બિંદુની ભૌમિતિક ખ્યાલ માટે આપણી પાસે ઉપરોક્ત ‘વ્યાખ્યા’ કરતાં વધુ સહજ અનુભૂતિ છે. તેથી, આપણે બિંદુને ટપકા તરીકે દર્શાવીએ છીએ, ભલે તે ટપકાનું કેટલાક પરિમાણ હોય.

ઉપરોક્ત વ્યાખ્યા 2 માં સમાન સમસ્યા ઊભી થાય છે, કારણ કે તે પહોળાઈ અને લંબાઈનો સંદર્ભ આપે છે, જેમાંથી કોઈ પણ વ્યાખ્યાયિત નથી. આ કારણે, કોઈપણ અભ્યાસક્રમ વિકસાવતી વખતે થોડા શબ્દો અવ્યાખ્યાયિત રાખવામાં આવે છે. તેથી, ભૂમિતિમાં, આપણે બિંદુ, રેખા અને સમતલ (યુક્લિડના શબ્દોમાં સમતલ પૃષ્ઠ) ને અવ્યાખ્યાયિત પદો તરીકે લઈએ છીએ. ફક્ત એટલું જ છે કે આપણે તેમને સહજ રીતે દર્શાવી શકીએ છીએ, અથવા ‘ભૌતિક મોડલ’ ની મદદથી તેમને સમજાવી શકીએ છીએ.

તેમની વ્યાખ્યાઓથી શરૂ કરીને, યુક્લિડે ચોક્કસ ગુણધર્મો ધાર્યા, જે સાબિત કરવાના નહોતા. આ ધારણાઓ ખરેખર ‘સ્પષ્ટ સાર્વત્રિક સત્યો’ છે. તેમણે તેમને બે પ્રકારમાં વહેંચ્યા: સ્વાસ્થ્યો અને અભિગૃહીતો. તેમણે ભૂમિતિ સાથે ખાસ સંકળાયેલી ધારણાઓ માટે ‘અભિગૃહીત’ શબ્દનો ઉપયોગ કર્યો. સામાન્ય ખ્યાલો (ઘણી વાર સ્વાસ્થ્યો કહેવાય છે), બીજી બાજુ, એવી ધારણાઓ હતી જે સમગ્ર ગણિતમાં વપરાતી હતી અને ખાસ કરીને ભૂમિતિ સાથે જોડાયેલી નહોતી. સ્વાસ્થ્યો અને અભિગૃહીતો વિશે વિગતો માટે, પરિશિષ્ટ 1 જુઓ. યુક્લિડના કેટલાક સ્વાસ્થ્યો, તેમના ક્રમમાં નહીં, નીચે આપેલા છે:

(1) જે વસ્તુઓ સમાન વસ્તુ સમાન હોય તે એકબીજા સમાન હોય છે.

(2) જો સમાન વસ્તુઓમાં સમાન વસ્તુઓ ઉમેરવામાં આવે, તો પૂર્ણ સમાન હોય છે.

(3) જો સમાન વસ્તુઓમાંથી સમાન વસ્તુઓ બાદ કરવામાં આવે, તો શેષ સમાન હોય છે.

(4) જે વસ્તુઓ એકબીજા સાથે એકરૂપ થાય તે સમાન હોય છે.

(5) પૂર્ણ ભાગ કરતાં મોટું હોય છે.

(6) જે વસ્તુઓ સમાન વસ્તુઓના બમણા હોય તે સમાન હોય છે.

(7) જે વસ્તુઓ સમાન વસ્તુઓના અડધા હોય તે સમાન હોય છે.

આ ‘સામાન્ય ખ્યાલો’ કોઈક પ્રકારનાં માપનો સંદર્ભ આપે છે. પ્રથમ સામાન્ય ખ્યાલ સમતલ આકૃતિઓ પર લાગુ પડી શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ લંબચોરસના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય અને લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ ચોરસના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય, તો ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ પણ ચોરસના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.

સમાન પ્રકારના માપની તુલના અને સરવાળો કરી શકાય છે, પરંતુ વિવિધ પ્રકારના માપની તુલના કરી શકાતી નથી. ઉદાહરણ તરીકે, રેખાની લંબચોરસ સાથે તુલના કરી શકાતી નથી, નહીં તો કોણની પંચભુજ સાથે તુલના કરી શકાય.

ઉપર આપેલો 4 થો સ્વાસ્થ્ય એવું કહેતો લાગે છે કે જો બે વસ્તુઓ સમાન હોય (એટલે કે, તેઓ એક જ હોય), તો તે સમાન હોય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, દરેક વસ્તુ પોતાની જાતને સમાન હોય છે. તે અધિસ્થાપનના સિદ્ધાંતનું સમર્થન છે. સ્વાસ્થ્ય (5) આપણને ‘થી મોટું’ ની વ્યાખ્યા આપે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો જથ્થો B એ બીજા જથ્થા A નો ભાગ હોય, તો A ને B અને કોઈ ત્રીજા જથ્થા C ના સરવાળા તરીકે લખી શકાય. પ્રતીકાત્મક રીતે, A > B નો અર્થ છે કે ત્યાં કોઈ $\mathrm{C}$ છે જેમ કે $\mathrm{A}=\mathrm{B}+\mathrm{C}$.

હવે ચાલો યુક્લિડના પાંચ અભિગૃહીતોની ચર્ચા કરીએ. તે છે:

અભિગૃહીત 1 : કોઈ પણ એક બિંદુથી કોઈ પણ બીજા બિંદુ સુધી સરળ રેખા દોરી શકાય છે.

નોંધ કરો કે આ અભિગૃહીત આપણને કહે છે કે ઓછામાં ઓછી એક સરળ રેખા બે અલગ બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે, પરંતુ તે એવું નથી કહેતું કે એક કરતાં વધુ એવી રેખા હોઈ શકતી નથી. જોકે, તેમના કાર્યમાં, યુક્લિડે વારંવાર, ઉલ્લેખ કર્યા વિના, એવું ધાર્યું છે કે બે અલગ બિંદુઓને જોડતી એક અનન્ય રેખા હોય છે. અમે આ પરિણામને સ્વાસ્થ્યના સ્વરૂપમાં નીચે પ્રમાણે જણાવીએ છીએ:

સ્વાસ્થ્ય 5.1 : બે અલગ બિંદુઓ આપેલ હોય, તો તેમમાંથી પસાર થતી એક અનન્ય રેખા હોય છે.

$P$ માંથી પસાર થતી કેટલી રેખાઓ $Q$ માંથી પણ પસાર થાય છે (જુઓ આકૃતિ 5.4)? ફક્ત એક, એટલે કે, રેખા $P Q$. $Q$ માંથી પસાર થતી કેટલી રેખાઓ $P$ માંથી પણ પસાર થાય છે? ફક્ત એક, એટલે કે, રેખા PQ. આમ, ઉપરોક્ત નિવેદન સ્વયંસિદ્ધ છે, અને તેથી તેને સ્વાસ્થ્ય તરીકે લેવામાં આવે છે.

આકૃતિ 5.4

અભિગૃહીત 2 : અંતિત રેખાને અનિશ્ચિત સમય સુધી લંબાવી શકાય છે.

નોંધ કરો કે આપણે આજકાલ જેને રેખાખંડ કહીએ છીએ તે યુક્લિડે અંતિત રેખા કહ્યું હતું. તેથી, વર્તમાન શબ્દો અનુસાર, બીજું અભિગૃહીત કહે છે કે રેખાખંડને બંને બાજુએ વિસ્તારીને રેખા બનાવી શકાય છે (જુઓ આકૃતિ 5.5).

આકૃતિ 5.5

અભિગૃહીત 3 : કોઈ પણ કેન્દ્ર અને કોઈ પણ ત્રિજ્યાથી વર્તુળ દોરી શકાય છે.

અભિગૃહીત 4 : બધા જ કાટખૂણા એકબીજા સમાન હોય છે.

અભિગૃહીત 5 : જો એક સરળ રેખા બે સરળ રેખાઓ પર પડે અને તેના એક જ બાજુના અંતર્ગત ખૂણાઓનો સરવાળો બે કાટખૂણા કરતાં ઓછો હોય, તો તે બે સરળ રેખાઓ, જો અનિશ્ચિત સમય સુધી લંબાવવામાં આવે, તો તે બાજુ પર મળે છે જે બાજુએ ખૂણાઓનો સરવાળો બે કાટખૂણા કરતાં ઓછો હોય છે.

ઉદાહરણ તરીકે, આકૃતિ 5.6 માં રેખા PQ રેખાઓ $\mathrm{AB}$ અને $\mathrm{CD}$ પર એવી રીતે પડે