5.1 ಪರಿಚಯ

‘ಜ್ಯಾಮಿತಿ’ (geometry) ಎಂಬ ಪದವು ಗ್ರೀಕ್ ಭಾಷೆಯ ‘ಜಿಯೋ’ (geo) ಎಂದರೆ ‘ಭೂಮಿ’ ಮತ್ತು ‘ಮೆಟ್ರೀನ್’ (metrein) ಎಂದರೆ ‘ಅಳೆಯುವುದು’ ಎಂಬ ಪದಗಳಿಂದ ಬಂದಿದೆ. ಭೂಮಿಯನ್ನು ಅಳೆಯುವ ಅಗತ್ಯದಿಂದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯು ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿರಬೇಕು ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. ಈ ಗಣಿತಶಾಖೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿ ಪ್ರಾಚೀನ ನಾಗರಿಕತೆಯಲ್ಲಿ ವಿವಿಧ ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗಿತ್ತು, ಅದು ಈಜಿಪ್ಟ್, ಬ್ಯಾಬಿಲೋನಿಯಾ, ಚೀನಾ, ಭಾರತ, ಗ್ರೀಸ್, ಇಂಕಾಗಳು ಇತ್ಯಾದಿ ಯಾವುದೇ ಆಗಿರಲಿ. ಈ ನಾಗರಿಕತೆಗಳ ಜನರು ಹಲವಾರು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಎದುರಿಸಿದ್ದರು, ಇದು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುವ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡಿತು.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೈಲ್ ನದಿ ಹೊಂಚು ಹಿಡಿದಾಗ, ವಿವಿಧ ಭೂಮಾಲಿಕರ ಪಕ್ಕದ ಹೊಲಗಳ ನಡುವಿನ ಗಡಿಗಳನ್ನು ಅದು ಅಳಿಸಿಹಾಕುತ್ತಿತ್ತು. ಅಂತಹ ಪ್ರವಾಹದ ನಂತರ, ಈ ಗಡಿಗಳನ್ನು ಮತ್ತೆ ಗುರುತಿಸಬೇಕಾಗಿತ್ತು. ಈ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ, ಈಜಿಪ್ಟಿನವರು ಸರಳ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಮತ್ತು ಸರಳ ರಚನೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು ಹಲವಾರು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ತಂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು. ಧಾನ್ಯಾಗಾರಗಳ ಪರಿಮಾಣಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಮತ್ತು ಕಾಲುವೆಗಳು ಮತ್ತು ಪಿರಮಿಡ್ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಅವರು ಬಳಸಿದರು. ಛೇದಿತ ಪಿರಮಿಡ್ನ (truncated pyramid) ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸರಿಯಾದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅವರು ತಿಳಿದಿದ್ದರು (ಚಿತ್ರ 5.1 ನೋಡಿ). ಪಿರಮಿಡ್ ಒಂದು ಘನ ಆಕೃತಿಯಾಗಿದೆ, ಅದರ ತಳವು ತ್ರಿಕೋನ, ಅಥವಾ ಚೌಕ, ಅಥವಾ ಇನ್ನಾವುದೇ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ಪಾರ್ಶ್ವ ಮುಖಗಳು ಮೇಲ್ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವ ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ.

ಚಿತ್ರ 5.1 : ಒಂದು ಛೇದಿತ ಪಿರಮಿಡ್

ಭಾರತೀಯ ಉಪಖಂಡದಲ್ಲಿ, ಹರಪ್ಪ ಮತ್ತು ಮೊಹೆಂಜೊ-ದಾರೊ ಮೊದಲಾದವುಗಳಲ್ಲಿ ನಡೆಸಿದ ಉತ್ಖನನಗಳು ಸಿಂಧೂ ಕಣಿವೆ ನಾಗರಿಕತೆಯು (ಸುಮಾರು ಕ್ರಿ.ಪೂ. 3000) ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಿತ್ತು ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಬಹಳ ಸಂಘಟಿತ ಸಮಾಜವಾಗಿತ್ತು. ನಗರಗಳು ಬಹಳ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಹೊಂದಿದ್ದವು ಮತ್ತು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಯೋಜಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದ್ದವು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ರಸ್ತೆಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದ್ದವು ಮತ್ತು ಒಂದು ಭೂಗತ ಚರಂಡಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಇತ್ತು. ಮನೆಗಳು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಅನೇಕ ಕೊಠಡಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದವು. ಇದು ಪಟ್ಟಣವಾಸಿಗಳು ಮಾಪನಶಾಸ್ತ್ರ (mensuration) ಮತ್ತು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅಂಕಗಣಿತದಲ್ಲಿ ನಿಪುಣರಾಗಿದ್ದರು ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ಮಾಣಗಳಿಗೆ ಬಳಸಿದ ಇಟ್ಟಿಗೆಗಳು ಕುಲುಮೆಯಲ್ಲಿ ಸುಟ್ಟವುಗಳಾಗಿದ್ದವು ಮತ್ತು ಇಟ್ಟಿಗೆಗಳ ಉದ್ದ : ಅಗಲ : ದಪ್ಪನೆಯ ಅನುಪಾತವು $4: 2: 1$ ಎಂದು ಕಂಡುಬಂದಿತು.

ಪ್ರಾಚೀನ ಭಾರತದಲ್ಲಿ, ಸುಲ್ಬಸೂತ್ರಗಳು ($800 \mathrm{BCE}$ ರಿಂದ $500 \mathrm{BCE}$) ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ರಚನೆಗಳ ಕೈಪಿಡಿಗಳಾಗಿದ್ದವು. ವೈದಿಕ ಕಾಲದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯು ವೈದಿಕ ಕರ್ಮಗಳನ್ನು ನಡೆಸಲು ಬಲಿಪೀಠಗಳು (ಅಥವಾ ವೇದಿಗಳು) ಮತ್ತು ಯಜ್ಞಕುಂಡಗಳ ನಿರ್ಮಾಣದೊಂದಿಗೆ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿತು. ಪವಿತ್ರ ಅಗ್ನಿಗಳ ಸ್ಥಳವು ಅವುಗಳ ಆಕಾರಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರದೇಶಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾದ ಸೂಚನೆಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರಬೇಕಿತ್ತು, ಅವು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಸಾಧನಗಳಾಗಲು. ಚೌಕ ಮತ್ತು ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಬಲಿಪೀಠಗಳನ್ನು ಗೃಹ ಕರ್ಮಗಳಿಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು, ಆದರೆ ಆಯತಗಳು, ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಮತ್ತು ಸಮಲಂಬ ಚತುರ್ಭುಜಗಳ (trapeziums) ಸಂಯೋಜನೆಯ ಆಕಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ ಬಲಿಪೀಠಗಳು ಸಾರ್ವಜನಿಕ ಪೂಜೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಾಗಿದ್ದವು. ಶ್ರೀಯಂತ್ರ (ಅಥರ್ವವೇದದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ) ಒಂಬತ್ತು ಹೆಣೆದುಕೊಂಡ ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಈ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಅವು 43 ಅನುಬಂಧ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬಲಿಪೀಠಗಳ ನಿರ್ಮಾಣಕ್ಕಾಗಿ ನಿಖರವಾದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗಿದ್ದರೂ, ಅವುಗಳ ಹಿಂದಿನ ತತ್ತ್ವಗಳನ್ನು ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿರಲಿಲ್ಲ.

ಈ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯು ಪ್ರಪಂಚದ ಎಲ್ಲೆಡೆ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಹೊಂದುತ್ತಿದೆ ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಿಸಲ್ಪಡುತ್ತಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತವೆ. ಆದರೆ ಇದು ಅವ್ಯವಸ್ಥಿತ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಡೆಯುತ್ತಿತ್ತು. ಪ್ರಾಚೀನ ಜಗತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಈ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಒಂದು ಪೀಳಿಗೆಯಿಂದ ಮತ್ತೊಂದು ಪೀಳಿಗೆಗೆ ಮೌಖಿಕವಾಗಿ ಅಥವಾ ತಾಳೆಗರಿ ಸಂದೇಶಗಳ ಮೂಲಕ, ಅಥವಾ ಇತರ ಮಾರ್ಗಗಳ ಮೂಲಕ ರವಾನಿಸಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು. ಹಾಗೆಯೇ, ಬ್ಯಾಬಿಲೋನಿಯಾ ನಂತಹ ಕೆಲವು ನಾಗರಿಕತೆಗಳಲ್ಲಿ, ಭಾರತ ಮತ್ತು ರೋಮ್ನಲ್ಲಿರುವಂತೆ, ಜ್ಯಾಮಿತಿಯು ಬಹಳ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ-ಆಧಾರಿತ ಶಿಸ್ತಾಗಿಯೇ ಉಳಿದಿತ್ತು ಎಂದು ನಾವು ಕಾಣುತ್ತೇವೆ. ಈಜಿಪ್ಟಿನವರು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯು ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿತ್ತು. ಕಾರ್ಯವಿಧಾನದ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿಯಮಗಳಿರಲಿಲ್ಲ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಬ್ಯಾಬಿಲೋನಿಯನ್ನರು ಮತ್ತು ಈಜಿಪ್ಟಿನವರು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ ಬಳಸಿದರು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥಿತ ವಿಜ್ಞಾನವಾಗಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲು ಬಹಳ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿದರು. ಆದರೆ ಗ್ರೀಸ್ ನಂತಹ ನಾಗರಿಕತೆಗಳಲ್ಲಿ, ಕೆಲವು ರಚನೆಗಳು ಏಕೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದರ ಹಿಂದಿನ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯ ಮೇಲೆ ಒತ್ತು ನೀಡಲಾಗಿತ್ತು. ಗ್ರೀಕರು ನಿಗಮನ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯನ್ನು (deductive reasoning) ಬಳಸಿ ಕಂಡುಹಿಡಿದ ಹೇಳಿಕೆಗಳ ಸತ್ಯತೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದರು (ಅನುಬಂಧ 1 ನೋಡಿ). ಥೇಲ್ಸ್ ಎಂಬ ಗ್ರೀಕ್ ಗಣಿತಜ್ಞನಿಗೆ ಮೊದಲ ತಿಳಿದಿರುವ ಸಾಕ್ಷ್ಯವನ್ನು ನೀಡಿದ ಕೀರ್ತಿ ಸಲ್ಲುತ್ತದೆ. ಈ ಸಾಕ್ಷ್ಯವು ವೃತ್ತವನ್ನು ಅದರ ವ್ಯಾಸದಿಂದ ಸಮಭಾಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ, ಎರಡು ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ಕತ್ತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ) ಎಂಬ ಹೇಳಿಕೆಯದಾಗಿತ್ತು. ಥೇಲ್ಸ್ನ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರು ಪೈಥಾಗರಸ್ (ಕ್ರಿ.ಪೂ. 572), ಅವರ ಬಗ್ಗೆ ನೀವು ಕೇಳಿದ್ದೀರಿ. ಪೈಥಾಗರಸ್ ಮತ್ತು ಅವರ ಗುಂಪು ಅನೇಕ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದರು ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಬಹಳ ಮಟ್ಟಿಗೆ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು. ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು $300 \mathrm{BCE}$ ವರೆಗೆ ಮುಂದುವರೆಯಿತು. ಆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಈಜಿಪ್ಟಿನ ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡ್ರಿಯಾದ ಗಣಿತ ಶಿಕ್ಷಕನಾದ ಯೂಕ್ಲಿಡ್, ಎಲ್ಲಾ ತಿಳಿದಿರುವ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸಿ ತನ್ನ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಗ್ರಂಥದಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಿದನು,

ಥೇಲ್ಸ್ (ಕ್ರಿ.ಪೂ. 640 - ಕ್ರಿ.ಪೂ. 546)

ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಜ್ಯಾಮಿತಿಗೆ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ನ ವಿಧಾನವನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಇಂದಿನ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಯೂಕ್ಲಿಡ್ (ಕ್ರಿ.ಪೂ. 325 - ಕ್ರಿ.ಪೂ. 265)

ಚಿತ್ರ 5.3

5.2 ಯೂಕ್ಲಿಡ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು, ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧಗಳು ಮತ್ತು ಅಂಗೀಕಾರಗಳು

ಯೂಕ್ಲಿಡ್ನ ಕಾಲದ ಗ್ರೀಕ್ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಅವರು ವಾಸಿಸುತ್ತಿದ್ದ ಪ್ರಪಂಚದ ಅಮೂರ್ತ ಮಾದರಿಯಾಗಿ ಭಾವಿಸಿದ್ದರು. ಬಿಂದು, ರೇಖೆ, ಸಮತಲ (ಅಥವಾ ಮೇಲ್ಮೈ) ಮೊದಲಾದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಅವರ ಸುತ್ತಮುತ್ತ ಕಂಡುಬಂದದ್ದರಿಂದ ಪಡೆಯಲ್ಪಟ್ಟವು. ಅವರ ಸುತ್ತಮುತ್ತಲಿನ ಸ್ಥಳ ಮತ್ತು ಘನಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಿಂದ, ಘನ ವಸ್ತುವಿನ ಅಮೂರ್ತ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಕಲ್ಪನೆಯು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯಾಯಿತು. ಒಂದು ಘನವು ಆಕಾರ, ಗಾತ್ರ, ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಸ್ಥಳದಿಂದ ಇನ್ನೊಂದು ಸ್ಥಳಕ್ಕೆ ಸರಿಸಬಹುದು. ಅದರ ಗಡಿಗಳನ್ನು ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವು ಒಂದು ಭಾಗದ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಇನ್ನೊಂದರಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ದಪ್ಪನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಗಡಿಗಳು ವಕ್ರರೇಖೆಗಳು ಅಥವಾ ಸರಳರೇಖೆಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ರೇಖೆಗಳು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ.

ಘನಗಳಿಂದ ಬಿಂದುಗಳವರೆಗಿನ ಮೂರು ಹಂತಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ (ಘನಗಳು-ಮೇಲ್ಮೈಗಳು-ರೇಖೆಗಳು-ಬಿಂದುಗಳು). ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಾವು ಒಂದು ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಅದನ್ನು ಆಯಾಮ (dimension) ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಂದು ಘನವು ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಒಂದು ಮೇಲ್ಮೈ ಎರಡು ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಒಂದು ರೇಖೆ ಒಂದು ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಬಿಂದುವು ಯಾವುದನ್ನೂ ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಈ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಾಗಿ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸಿದನು. ಅವನು ತನ್ನ ‘ಎಲಿಮೆಂಟ್ಸ್’ (Elements) ಗ್ರಂಥದ 1ನೇ ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ 23 ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ತನ್ನ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದನು. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

1. ಒಂದು ಬಿಂದು ಎಂದರೆ ಅದಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ಭಾಗವಿಲ್ಲ.
2. ಒಂದು ರೇಖೆ ಎಂದರೆ ಅಗಲವಿಲ್ಲದ ಉದ್ದ.
3. ಒಂದು ರೇಖೆಯ ತುದಿಗಳು ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ.
4. ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆ ಎಂದರೆ ಅದರ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮವಾಗಿ ಇರುವ ರೇಖೆ.
5. ಒಂದು ಮೇಲ್ಮೈ ಎಂದರೆ ಅದು ಕೇವಲ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಅಗಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.
6. ಒಂದು ಮೇಲ್ಮೈಯ ಅಂಚುಗಳು ರೇಖೆಗಳಾಗಿವೆ.
7. ಒಂದು ಸಮತಲ ಮೇಲ್ಮೈ ಎಂದರೆ ಅದರ ಮೇಲಿನ ಸರಳರೇಖೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮವಾಗಿ ಇರುವ ಮೇಲ್ಮೈ.

ನೀವು ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರೆ, ಭಾಗ, ಅಗಲ, ಉದ್ದ, ಸಮವಾಗಿ, ಇತ್ಯಾದಿ ಕೆಲವು ಪದಗಳನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವಿವರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೀವು ಕಾಣುವಿರಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬಿಂದುವಿನ ಅವನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ, ‘ಒಂದು ಭಾಗ’ ವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ‘ಒಂದು ಭಾಗ’ ಎಂದರೆ ‘ವಿಸ್ತೀರ್ಣ’ವನ್ನು ಆಕ್ರಮಿಸುವುದು ಎಂದು ನೀವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ, ಮತ್ತೆ ‘ಒಂದು ವಿಸ್ತೀರ್ಣ’ ವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಂದು ವಿಷಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು, ನೀವು ಅನೇಕ ಇತರ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನೀವು ಅಂತ್ಯವಿಲ್ಲದೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳ ದೀರ್ಘ ಸರಪಣಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಅಂತಹ ಕಾರಣಗಳಿಗಾಗಿ, ಗಣಿತಜ್ಞರು ಕೆಲವು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪದಗಳನ್ನು ಅವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿತವಾಗಿ ಬಿಡಲು ಒಪ್ಪುತ್ತಾರೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಮೇಲಿನ ‘ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ’ ನಮಗೆ ನೀಡುವುದಕ್ಕಿಂತ ಬಿಂದುವಿನ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗೆ ನಮಗೆ ಒಂದು ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯ ಅನುಭವವಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಒಂದು ಚುಕ್ಕೆಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತೇವೆ, ಚುಕ್ಕೆಗೆ ಕೆಲವು ಆಯಾಮಗಳಿದ್ದರೂ ಸಹ.

ಮೇಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2 ರಲ್ಲಿ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಅಗಲ ಮತ್ತು ಉದ್ದವನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದನ್ನೂ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ಇದರ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಅಧ್ಯಯನದ ಕೋರ್ಸ್ ಅನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುವಾಗ ಕೆಲವು ಪದಗಳನ್ನು ಅವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿತವಾಗಿ ಇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಒಂದು ಬಿಂದು, ಒಂದು ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಸಮತಲವನ್ನು (ಯೂಕ್ಲಿಡ್ನ ಪದಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಮತಲ ಮೇಲ್ಮೈ) ಅವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿತ ಪದಗಳಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಏಕೈಕ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು, ಅಥವಾ ‘ಭೌತಿಕ ಮಾದರಿಗಳ’ ಸಹಾಯದಿಂದ ವಿವರಿಸಬಹುದು.

ತನ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಊಹಿಸಿದನು, ಅವುಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಈ ಊಹೆಗಳು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ‘ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಸತ್ಯಗಳು’ ಆಗಿವೆ. ಅವನು ಅವುಗಳನ್ನು ಎರಡು ವಿಧಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಿದನು: ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧಗಳು (axioms) ಮತ್ತು ಅಂಗೀಕಾರಗಳು (postulates). ಅವನು ಜ್ಯಾಮಿತಿಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಊಹೆಗಳಿಗೆ ‘ಅಂಗೀಕಾರ’ (postulate) ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಬಳಸಿದನು. ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಲ್ಪನೆಗಳು (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತವೆ), ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಗಣಿತದಾದ್ಯಂತ ಬಳಸಲ್ಪಡುವ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿಲ್ಲದ ಊಹೆಗಳಾಗಿದ್ದವು. ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧಗಳು ಮತ್ತು ಅಂಗೀಕಾರಗಳ ವಿವರಗಳಿಗಾಗಿ, ಅನುಬಂಧ 1 ಅನ್ನು ನೋಡಿ. ಯೂಕ್ಲಿಡ್ನ ಕೆಲವು ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧಗಳನ್ನು, ಅವನ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಅಲ್ಲ, ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

(1) ಒಂದೇ ವಸ್ತುವಿಗೆ ಸಮಾನವಾದ ವಸ್ತುಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

(2) ಸಮಾನಗಳಿಗೆ ಸಮಾನಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರೆ, ಪೂರ್ಣಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

(3) ಸಮಾನಗಳಿಂದ ಸಮಾನಗಳನ್ನು ಕಳೆದರೆ, ಶೇಷಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

(4) ಪರಸ್ಪರ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ವಸ್ತುಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

(5) ಪೂರ್ಣವು ಭಾಗಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುತ್ತದೆ.

(6) ಒಂದೇ ವಸ್ತುಗಳ ದ್ವಿಗುಣಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

(7) ಒಂದೇ ವಸ್ತುಗಳ ಅರ್ಧಭಾಗಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಈ ‘ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಲ್ಪನೆಗಳು’ ಕೆಲವು ರೀತಿಯ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು (magnitudes) ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತವೆ. ಮೊದಲ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸಮತಲ ಆಕೃತಿಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಒಂದು ಆಯತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಆಯತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಒಂದು ಚೌಕದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಚೌಕದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಸೇರಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು ಒಂದು ಆಯತದೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಅಥವಾ ಒಂದು ಕೋನವನ್ನು ಒಂದು ಪಂಚಭುಜದೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ 4ನೇ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧವು ಎರಡು ವಸ್ತುಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿದ್ದರೆ (ಅಂದರೆ, ಅವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ), ಆಗ ಅವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಹೇಳುವಂತೆ ತೋರುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪ್ರತಿ ವಸ್ತುವೂ ತನ್ನಷ್ಟಕ್ಕೆ ತಾನೇ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಅಧಿವೇಶನ ತತ್ತ್ವದ (principle of superposition) ಸಮರ್ಥನೆಯಾಗಿದೆ. ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ (5) ನಮಗೆ ‘ದೊಡ್ಡದು’ ಎಂಬುದರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಪ್ರಮಾಣ B ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಮಾಣ A ಯ ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿದ್ದರೆ, A ಅನ್ನು B ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಮೂರನೇ ಪ್ರಮಾಣ C ಯ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಸಂಕೇತಗಳಲ್ಲಿ, A > B ಎಂದರೆ ಕೆಲವು $\mathrm{C}$ ಇದೆ ಅಂದರೆ $\mathrm{A}=\mathrm{B}+\mathrm{C}$.

ಈಗ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ನ ಐದು ಅಂಗೀಕಾರಗಳನ್ನು ಚರ್ಚಿಸೋಣ. ಅವುಗಳೆಂದರೆ:

ಅಂಗೀಕಾರ 1 : ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಯಾವುದೇ ಇನ್ನೊಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆಯಬಹುದು.

ಈ ಅಂಗೀಕಾರವು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಆದರೆ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಒಂದು ರೇಖೆ ಇರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಅದು ಹೇಳುವುದಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ತನ್ನ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ, ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಹೇಳದೆಯೇ, ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಒಂದು ಅನನ್ಯ ರೇಖೆ ಇದೆ ಎಂದು ಪದೇ ಪದೇ ಊಹಿಸಿದ್ದಾನೆ. ನಾವು ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಒಂದು ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಹೇಳುತ್ತೇವೆ:

ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ 5.1 : ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನೀಡಿದಾಗ, ಅವುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಒಂದು ಅನನ್ಯ ರೇಖೆ ಇರುತ್ತದೆ.

$P$ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಎಷ್ಟು ರೇಖೆಗಳು $Q$ ಮೂಲಕವೂ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತವೆ (ಚಿತ್ರ 5.4 ನೋಡಿ)? ಕೇವಲ ಒಂದು, ಅದು $P Q$ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. $Q$ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಎಷ್ಟು ರೇಖೆಗಳು $P$ ಮೂಲಕವೂ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತವೆ? ಕೇವಲ ಒಂದು, ಅದು PQ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಮೇಲಿನ ಹೇಳಿಕೆಯು ಸ್ವಯಂವೇದ್ಯವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅದನ್ನು ಒಂದು ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ.

ಚಿತ್ರ 5.4

ಅಂಗೀಕಾರ 2 : ಒಂದು ಕೊನೆಗೊಂಡ ರೇಖೆಯನ್ನು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು.

ಇಂದಿನ ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ರೇಖಾಖಂಡ ಎಂದು ಕರೆಯುವುದನ್ನು ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಕೊನೆಗೊಂಡ ರೇಖೆ ಎಂದು ಕರೆದನು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಇಂದಿನ ಪದಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ಎರಡನೇ ಅಂಗೀಕಾರವು ಒಂದು ರೇಖಾಖಂಡವನ್ನು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ವಿಸ್ತರಿಸಿ ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 5.5 ನೋಡಿ).

ಚಿತ್ರ 5.5

ಅಂಗೀಕಾರ 3 : ಯಾವುದೇ ಕೇಂದ್ರ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ ಒಂದು ವೃತ್ತವನ್ನು ಎಳೆಯಬಹುದು.

ಅಂಗೀಕಾರ 4 : ಎಲ್ಲಾ ಲಂಬ ಕೋನಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಅಂಗೀಕಾರ 5 : ಎರಡು ಸರಳರೇಖೆಗಳ ಮೇಲೆ ಬೀಳುವ ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆಯು, ಅದರ ಒಂದೇ ಬದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಒಳಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಎರಡು ಲಂಬ ಕೋನಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿದರೆ, ಆಗ ಆ ಎರಡು ಸರಳರೇಖೆಗಳು, ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಿದರೆ, ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ ಕಡಿಮೆಯಿರುವ ಆ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸುತ್ತವೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಚಿತ್ರ 5.6 ರಲ್ಲಿನ PQ ರೇಖೆಯು $\mathrm{AB}$ ಮತ್ತು $\mathrm{CD}$ ರೇಖೆಗಳ ಮೇಲೆ ಬೀಳುತ್ತದೆ, ಇದರಿಂದ ಒಳಕೋನಗಳು 1 ಮತ್ತು 2 ರ ಮೊತ್ತವು PQ ಯ ಎಡಬದಿಯಲ್ಲಿ $180^{\circ}$ ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, $\mathrm{AB}$ ಮತ್ತು $\mathrm{CD}$ ರೇಖೆಗಳು ಅಂತಿಮವಾಗಿ PQ ಯ ಎಡಬದಿಯಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ.

ಚಿತ್ರ 5.6

ಐದು ಅಂಗೀಕಾರಗಳ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ನೋಟವು ಅಂಗೀಕಾರ 5 ಇತರ ಯಾವುದೇ ಅಂಗೀಕಾರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗ