5.1 تعارف

لفظ ‘جیومیٹری’ یونانی الفاظ ‘جیو’، جس کا مطلب ہے ‘زمین’، اور ‘میٹرین’، جس کا مطلب ہے ‘ناپنا’، سے ماخوذ ہے۔ ایسا لگتا ہے کہ جیومیٹری کی ابتدا زمین کی پیمائش کی ضرورت سے ہوئی۔ ریاضی کی یہ شاخ ہر قدیم تہذیب میں مختلف شکلوں میں پڑھی جاتی تھی، خواہ وہ مصر، بابل، چین، ہندوستان، یونان، انکا وغیرہ میں ہو۔ ان تہذیبوں کے لوگوں کو کئی عملی مسائل کا سامنا تھا جن کے لیے جیومیٹری کو مختلف طریقوں سے ترقی دینے کی ضرورت تھی۔

مثال کے طور پر، جب بھی دریائے نیل طغیانی پر آتا، تو مختلف زمینوں کے مالکوں کے ملحقہ کھیتوں کے درمیان سرحدیں مٹ جاتی تھیں۔ ایسی سیلاب کے بعد، ان سرحدوں کو دوبارہ کھینچنا پڑتا تھا۔ اس مقصد کے لیے، مصریوں نے سادہ رقبوں کے حساب کے لیے اور سادہ تعمیرات کرنے کے لیے کئی جیومیٹریک تکنیکیں اور قواعد تیار کیے۔ جیومیٹری کا علم انہوں نے غلہ خانوں کے حجم کا حساب لگانے اور نہریں اور اہرام تعمیر کرنے کے لیے بھی استعمال کیا۔ وہ ایک کٹے ہوئے ہرم کا حجم معلوم کرنے کا صحیح فارمولا بھی جانتے تھے (دیکھیں شکل 5.1)۔ آپ جانتے ہیں کہ ہرم ایک ٹھوس شکل ہے، جس کا پایہ ایک مثلث، یا مربع، یا کوئی اور کثیرالاضلاع ہوتا ہے، اور اس کی طرفوں والے چہرے مثلث ہوتے ہیں جو اوپر ایک نقطہ پر ملتے ہیں۔

شکل 5.1 : ایک کٹا ہوا ہرم

برصغیر پاک و ہند میں، ہڑپہ اور موہنجو دڑو وغیرہ کی کھدائیوں سے پتہ چلتا ہے کہ وادی سندھ کی تہذیب (تقریباً 3000 قبل مسیح) نے جیومیٹری کا وسیع استعمال کیا۔ یہ ایک انتہائی منظم معاشرہ تھا۔ شہر انتہائی ترقی یافتہ اور بہت اچھی طرح منصوبہ بند تھے۔ مثال کے طور پر، سڑکیں ایک دوسرے کے متوازی تھیں اور ایک زیر زمین نکاسی آب کا نظام موجود تھا۔ مکانات میں مختلف اقسام کے کئی کمرے تھے۔ اس سے پتہ چلتا ہے کہ شہر کے رہائشی پیمائش اور عملی حساب میں ماہر تھے۔ تعمیرات کے لیے استعمال ہونے والی اینٹیں بھٹے میں پکی ہوئی تھیں اور اینٹوں کی لمبائی : چوڑائی : موٹائی کا تناسب $4: 2: 1$ پایا گیا۔

قدیم ہندوستان میں، سلوب سوتر ($800 \mathrm{BCE}$ سے $500 \mathrm{BCE}$) جیومیٹریک تعمیرات کے دستورالعمل تھے۔ ویدک دور کی جیومیٹری کی ابتدا ویدک رسومات انجام دینے کے لیے قربان گاہوں (یا ویدیس) اور چولہوں کی تعمیر سے ہوئی۔ مقدس آگ کی جگہ واضح طور پر طے شدہ ہدایات کے مطابق ہونی چاہیے تھی جو ان کی شکلوں اور رقبوں کے بارے میں تھیں، اگر وہ مؤثر آلات بننا تھیں۔ مربع اور گول قربان گاہیں گھریلو رسومات کے لیے استعمال ہوتی تھیں، جبکہ مستطیل، مثلث اور ذوزنقہ کی ترکیبوں والی شکلوں والی قربان گاہیں عوامی عبادت کے لیے درکار تھیں۔ سری ینتر (جو اتھرو وید میں دیا گیا ہے) نو باہم جڑے ہوئے متساوی الساقین مثلثوں پر مشتمل ہے۔ یہ مثلث اس طرح ترتیب دیے گئے ہیں کہ وہ 43 ذیلی مثلث بناتے ہیں۔ اگرچہ قربان گاہوں کی تعمیر کے لیے درست جیومیٹریک طریقے استعمال کیے گئے تھے، لیکن ان کے پیچھے اصولوں پر بحث نہیں کی گئی۔

یہ مثالیں دکھاتی ہیں کہ جیومیٹری پوری دنیا میں ترقی پا رہی تھی اور استعمال ہو رہی تھی۔ لیکن یہ ایک غیر منظم طریقے سے ہو رہا تھا۔ قدیم دنیا میں جیومیٹری کی ان ترقیوں کے بارے میں جو دلچسپ بات ہے وہ یہ ہے کہ انہیں ایک نسل سے دوسری نسل تک زبانی طور پر یا پتے کے پیغامات کے ذریعے، یا دیگر طریقوں سے منتقل کیا جاتا تھا۔ نیز، ہم دیکھتے ہیں کہ کچھ تہذیبوں جیسے بابل میں، جیومیٹری ایک انتہائی عملی رجحان والا مضمون رہا، جیسا کہ ہندوستان اور روم میں تھا۔ مصریوں کی طرف سے تیار کردہ جیومیٹری میں زیادہ تر نتائج کے بیانات شامل تھے۔ طریقہ کار کے کوئی عمومی قواعد نہیں تھے۔ درحقیقت، بابلیوں اور مصریوں نے جیومیٹری زیادہ تر عملی مقاصد کے لیے استعمال کی اور اسے ایک منظم سائنس کے طور پر ترقی دینے کے لیے بہت کم کیا۔ لیکن یونان جیسی تہذیبوں میں، زور اس بات کی وجہ پر تھا کہ بعض تعمیرات کیوں کام کرتی ہیں۔ یونانیوں کی دلچسپی ان بیانات کی سچائی قائم کرنے میں تھی جو انہوں نے استخراجی استدلال کا استعمال کرتے ہوئے دریافت کیے تھے (دیکھیں ضمیمہ 1)۔

ایک یونانی ریاضی دان، تھالز کو پہلا معلوم ثبوت دینے کا سہرا دیا جاتا ہے۔ یہ ثبوت اس بیان کا تھا کہ دائرہ اپنے قطر سے دو برابر حصوں میں تقسیم ہو جاتا ہے۔ تھالز کے سب سے مشہور شاگردوں میں سے ایک پائتھاغورس (572 قبل مسیح) تھا، جس کے بارے میں آپ نے سنا ہوگا۔ پائتھاغورس اور اس کے گروہ نے کئی جیومیٹریک خصوصیات دریافت کیں اور جیومیٹری کے نظریے کو بڑی حد تک ترقی دی۔ یہ عمل $300 \mathrm{BCE}$ تک جاری رہا۔ اس وقت اسکندریہ، مصر میں ریاضی کے استاد یوکلڈ نے تمام معلوم کام جمع کیا اور اپنی مشہور تصنیف میں ترتیب دیا،

تھالز (640 قبل مسیح - 546 قبل مسیح)

اس باب میں، ہم جیومیٹری کے لیے یوکلڈ کے نقطہ نظر پر بحث کریں گے اور اسے موجودہ دور کی جیومیٹری سے جوڑنے کی کوشش کریں گے۔

یوکلڈ (325 قبل مسیح - 265 قبل مسیح)

شکل 5.3

5.2 یوکلڈ کی تعریفیں، مسلمات اور اصول

یوکلڈ کے زمانے کے یونانی ریاضی دان جیومیٹری کو اس دنیا کا ایک تجریدی نمونہ سمجھتے تھے جس میں وہ رہتے تھے۔ نقطہ، خط، سطح (یا سطح) وغیرہ کے تصورات ان کے اردگرد دیکھی جانے والی چیزوں سے ماخوذ تھے۔ خلا اور خلا میں موجود ٹھوس اجسام کے مطالعے سے، ایک ٹھوس شے کا ایک تجریدی جیومیٹریک تصور تیار کیا گیا۔ ایک ٹھوس کی شکل، سائز، پوزیشن ہوتی ہے، اور اسے ایک جگہ سے دوسری جگہ منتقل کیا جا سکتا ہے۔ اس کی حدود کو سطحیں کہا جاتا ہے۔ وہ خلا کے ایک حصے کو دوسرے سے الگ کرتی ہیں، اور کہا جاتا ہے کہ ان کی کوئی موٹائی نہیں ہوتی۔ سطحوں کی حدود منحنی خطوط یا سیدھی لکیریں ہوتی ہیں۔ یہ لکیریں نقاط پر ختم ہوتی ہیں۔

ٹھوس سے نقاط تک کے تین مراحل پر غور کریں (ٹھوس-سطحیں-لکیریں-نقاط)۔ ہر قدم میں ہم ایک توسیع کھو دیتے ہیں، جسے بعد میں بُعد بھی کہا جاتا ہے۔ لہذا، ایک ٹھوس کے تین ابعاد ہوتے ہیں، ایک سطح کے دو، ایک خط کا ایک اور ایک نقطہ کا کوئی نہیں۔ یوکلڈ نے ان بیانات کو تعریفوں کے طور پر خلاصہ کیا۔ اس نے اپنی تشریح کا آغاز ‘عناصر’ کی کتاب 1 میں 23 تعریفیں درج کرکے کیا۔ ان میں سے کچھ درج ذیل ہیں:

1. نقطہ وہ ہے جس کا کوئی حصہ نہ ہو۔
2. خط بے چوڑائی لمبائی ہے۔
3. خط کے سرے نقاط ہیں۔
4. سیدھی خط وہ خط ہے جو اپنے اوپر کے نقاط کے ساتھ یکساں طور پر واقع ہو۔
5. سطح وہ ہے جس میں صرف لمبائی اور چوڑائی ہو۔
6. سطح کے کنارے خطوط ہیں۔
7. مستوی سطح وہ سطح ہے جو اپنے اوپر کی سیدھی خطوط کے ساتھ یکساں طور پر واقع ہو۔

اگر آپ ان تعریفوں کا بغور مطالعہ کریں، تو آپ کو معلوم ہوگا کہ کچھ اصطلاحات جیسے حصہ، چوڑائی، لمبائی، یکساں وغیرہ کو مزید واضح طور پر بیان کرنے کی ضرورت ہے۔ مثال کے طور پر، اس کی نقطہ کی تعریف پر غور کریں۔ اس تعریف میں، ‘حصہ’ کی تعریف کرنے کی ضرورت ہے۔ فرض کریں کہ اگر آپ ‘حصہ’ کی تعریف اس چیز کے طور پر کرتے ہیں جو ‘رقبہ’ گھیرتا ہے، تو پھر ‘رقبہ’ کی تعریف کرنے کی ضرورت ہے۔ لہذا، ایک چیز کی تعریف کرنے کے لیے، آپ کو بہت سی دوسری چیزوں کی تعریف کرنے کی ضرورت ہے، اور آپ کو تعریفوں کی ایک لمبی زنجیر مل سکتی ہے جس کا کوئی اختتام نہیں۔ ایسی وجوہات کی بنا پر، ریاضی دان کچھ جیومیٹریک اصطلاحات کو غیر معینہ چھوڑنے پر متفق ہیں۔ تاہم، ہمارے پاس نقطہ کے جیومیٹریک تصور کے لیے ایک فطری احساس ہے جو اوپر دی گئی ‘تعریف’ سے زیادہ ہے۔ لہذا، ہم نقطہ کو ایک نقطے کے طور پر ظاہر کرتے ہیں، حالانکہ ایک نقطے کے کچھ ابعاد ہوتے ہیں۔

تعریف 2 میں ایک ایسا ہی مسئلہ پیدا ہوتا ہے، کیونکہ یہ چوڑائی اور لمبائی کا حوالہ دیتی ہے، جن میں سے کسی کی بھی تعریف نہیں کی گئی ہے۔ اس کی وجہ سے، کچھ اصطلاحات کو کسی بھی مطالعے کے کورس کو ترقی دیتے وقت غیر معینہ رکھا جاتا ہے۔ لہذا، جیومیٹری میں، ہم نقطہ، خط اور سطح (یوکلڈ کے الفاظ میں مستوی سطح) کو غیر معینہ اصطلاحات کے طور پر لیتے ہیں۔ صرف بات یہ ہے کہ ہم انہیں فطری طور پر ظاہر کر سکتے ہیں، یا ‘طبیعی ماڈلز’ کی مدد سے ان کی وضاحت کر سکتے ہیں۔

اپنی تعریفوں سے شروع کرتے ہوئے، یوکلڈ نے کچھ خصوصیات فرض کیں، جن کو ثابت نہیں کیا جانا تھا۔ یہ مفروضے درحقیقت ‘واضح عالمگیر سچائیاں’ ہیں۔ اس نے انہیں دو اقسام میں تقسیم کیا: مسلمات اور اصول۔ اس نے ‘اصل’ کی اصطلاح ان مفروضوں کے لیے استعمال کی جو جیومیٹری سے مخصوص تھے۔ دوسری طرف، عام تصورات (جنہیں اکثر مسلمات کہا جاتا ہے) وہ مفروضے تھے جو پوری ریاضی میں استعمال ہوتے تھے اور خاص طور پر جیومیٹری سے منسلک نہیں تھے۔ مسلمات اور اصولوں کی تفصیلات کے لیے، ضمیمہ 1 دیکھیں۔ یوکلڈ کے کچھ مسلمات، اس کے ترتیب میں نہیں، درج ذیل ہیں:

(1) وہ چیزیں جو ایک ہی چیز کے برابر ہوں ایک دوسرے کے برابر ہوتی ہیں۔

(2) اگر برابر چیزوں میں برابر چیزیں شامل کی جائیں، تو کل برابر ہوتے ہیں۔

(3) اگر برابر چیزوں سے برابر چیزیں منہا کی جائیں، تو باقی برابر ہوتے ہیں۔

(4) وہ چیزیں جو ایک دوسرے کے ساتھ منطبق ہوں برابر ہوتی ہیں۔

(5) کل جز سے بڑا ہوتا ہے۔

(6) وہ چیزیں جو ایک ہی چیزوں کے دوگنے ہوں برابر ہوتی ہیں۔

(7) وہ چیزیں جو ایک ہی چیزوں کے آدھے ہوں برابر ہوتی ہیں۔

یہ ‘عام تصورات’ کسی قسم کے مقداریں سے متعلق ہیں۔ پہلا عام تصور مستوی اشکال پر لاگو ہو سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، اگر ایک مثلث کا رقبہ ایک مستطیل کے رقبہ کے برابر ہے اور مستطیل کا رقبہ ایک مربع کے رقبہ کے برابر ہے، تو مثلث کا رقبہ بھی مربع کے رقبہ کے برابر ہے۔

ایک ہی قسم کے مقداریں کا موازنہ اور جمع کیا جا سکتا ہے، لیکن مختلف اقسام کے مقداریں کا موازنہ نہیں کیا جا سکتا۔ مثال کے طور پر، ایک خط کا موازنہ مستطیل سے نہیں کیا جا سکتا، نہ ہی زاویہ کا موازنہ مخمس سے کیا جا سکتا ہے۔

اوپر دیا گیا چوتھا مسلمہ یہ کہتا ہے کہ اگر دو چیزیں یکساں ہوں (یعنی وہ ایک ہی ہیں)، تو وہ برابر ہیں۔ دوسرے الفاظ میں، ہر چیز اپنے آپ کے برابر ہے۔ یہ superposition کے اصول کی توجیہ ہے۔ مسلمہ (5) ہمیں ‘سے بڑا’ کی تعریف دیتا ہے۔ مثال کے طور پر، اگر ایک مقدار B دوسری مقدار A کا ایک حصہ ہے، تو A کو B اور کسی تیسری مقدار C کے مجموعے کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ علامتی طور پر، A > B کا مطلب ہے کہ کوئی $\mathrm{C}$ ایسا ہے کہ $\mathrm{A}=\mathrm{B}+\mathrm{C}$۔

اب آئیے یوکلڈ کے پانچ اصولوں پر بحث کریں۔ وہ یہ ہیں:

اصل 1: کسی ایک نقطہ سے کسی دوسرے نقطہ تک ایک سیدھی خط کھینچی جا سکتی ہے۔

نوٹ کریں کہ یہ اصل ہمیں بتاتی ہے کہ کم از کم ایک سیدھی خط دو مختلف نقاط سے گزرتی ہے، لیکن یہ نہیں کہتی کہ اس سے زیادہ ایک ایسی خط نہیں ہو سکتی۔ تاہم، اپنے کام میں، یوکلڈ نے بار بار، ذکر کیے بغیر، یہ فرض کیا ہے کہ دو مختلف نقاط کو ملانے والی ایک منفرد خط ہوتی ہے۔ ہم اس نتیجے کو ایک مسلمہ کی شکل میں درج ذیل طور پر بیان کرتے ہیں:

مسلمہ 5.1: دو مختلف نقاط دیے گئے ہوں، تو ایک منفرد خط ہے جو ان سے گزرتی ہے۔

$P$ سے گزرنے والی کتنی خطوط $Q$ سے بھی گزرتی ہیں (دیکھیں شکل 5.4)؟ صرف ایک، یعنی خط $P Q$۔ $Q$ سے گزرنے والی کتنی خطوط $P$ سے بھی گزرتی ہیں؟ صرف ایک، یعنی خط PQ۔ لہذا، اوپر کا بیان خود واضح ہے، اور اس لیے ایک مسلمہ کے طور پر لیا جاتا ہے۔

شکل 5.4

اصل 2: ایک محدود خط کو لامحدود طور پر بڑھایا جا سکتا ہے۔

نوٹ کریں کہ جو چیز ہم آج کل خط قطعہ کہتے ہیں وہی یوکلڈ نے محدود خط کہا تھا۔ لہذا، موجودہ دور کی اصطلاحات کے مطابق، دوسرا اصل کہتا ہے کہ ایک خط قطعہ کو دونوں طرف بڑھا کر ایک خط بنایا جا سکتا ہے (دیکھیں شکل 5.5)۔

شکل 5.5

اصل 3: کسی بھی مرکز اور کسی بھی رداس کے ساتھ ایک دائرہ کھینچا جا سکتا ہے۔

اصل 4: تمام قائمہ زاویے ایک دوسرے کے برابر ہوتے ہیں۔

اصل 5: اگر ایک سیدھی خط دو سیدھی خطوط پر گرتی ہے اور اس کے ایک طرف کے اندرونی زاویوں کا مجموعہ دو قائمہ زاویوں سے کم ہوتا ہے، تو وہ دو سیدھی خطوط، اگر لامحدود طور پر بڑھائی جائیں، اس طرف ملتی ہیں جس طرف زاویوں کا مجموعہ دو قائمہ زاویوں سے کم ہوتا ہے۔

مثال کے طور پر، شکل 5.6 میں خط PQ خطوط $\mathrm{AB}$ اور $\mathrm{CD}$ پر اس طرح گرتی ہے کہ اندرونی زاویوں 1 اور 2 کا مجموعہ PQ کے بائیں طرف $180^{\circ}$ سے کم ہے۔ لہذا، خطوط $\mathrm{AB}$ اور $\mathrm{CD}$ آخرکار PQ کے بائیں طرف ایک دوسرے کو کاٹیں گی۔

شکل 5.6

پانچ اصولوں پر ایک سرسری نظر آپ کی توجہ اس طرف مبذول کراتی ہے کہ اصل 5 کسی بھی دوسرے اصل سے کہیں زیادہ پیچیدہ ہے۔ دوسری طرف، اصل 1 سے 4 اتنی سادہ اور واضح ہیں کہ انہیں ‘خود واضح سچائیاں’ سمجھا جاتا ہے۔ تاہم، انہیں ثابت کرنا ممکن نہیں ہے۔ لہذا، یہ بیانات بغیر کسی ثبوت کے قبول کیے جاتے ہیں (دیکھیں ضمیمہ 1)۔ اس کی پیچیدگی کی وجہ سے، پانچویں اصل پر اگلے حصے میں زیادہ توجہ دی جائے گی۔

آج کل، ‘اصول’ اور ‘مسلمات’ ایسی اصطلاحات ہیں جو ایک دوسرے کے ساتھ اور ایک ہی معنی میں استعمال ہوتی ہیں۔ ‘اصل’ درحقیقت ایک فعل ہے۔ جب ہم کہتے ہیں “آئیے فرض کریں”، تو ہمارا مطلب ہے، “آئیے کائنات میں مشاہدہ کیے گئے مظاہر کی بنیاد پر کچھ بیان کریں”۔ اس کی سچائی/درستگی کی بعد میں جانچ کی جاتی ہے۔ اگر یہ سچ ہے، تو اسے ‘اصل’ کے طور پر قبول کر لیا جاتا ہے۔

مسلمات کا ایک نظام ہم آہنگ کہلاتا ہے (دیکھیں ضمیمہ 1)، اگر ان مسلمات سے ایسا بیان اخذ کرنا ناممکن ہو جو کسی بھی مسلمہ یا پہلے ثابت شدہ بیان کے متضاد ہو۔ لہذا، جب بھی مسلمات کا کوئی نظام دیا جائے، اس بات کو یقینی بنانے کی ضرورت ہوتی ہے کہ نظام ہم آہنگ ہے۔

یوکلڈ نے اپنے اصول اور مسلمات بیان کرنے کے بعد، انہیں دوسرے نتائج ثابت کرنے کے لیے استعمال کیا۔ پھر ان نتائج کا استعمال کرتے ہوئے، اس نے استخراجی استدلال کا اطلاق کرکے کچھ مزید نتائج ثابت کیے۔ جو بیانات ثابت کیے گئے تھے انہیں قضیے یا نظریے کہا جاتا ہے۔ یوکلڈ نے اپنے مسلمات، اصولوں، تعریفوں اور زنجیر میں پہلے ثابت شدہ نظریوں کا استعمال کرتے ہوئے ایک منطقی زنجیر میں 465 قضیے اخذ کیے۔ جیومیٹری پر اگلے چند ابواب میں، آپ ان مسلمات کا استعمال کرتے ہوئے کچھ نظریے ثابت کریں گے۔

اب، آئیے درج ذیل مثالوں میں دیکھیں کہ یوکلڈ نے کچھ نتائج ثابت کرنے کے لیے اپنے مسلمات اور اصولوں کا استعمال کیسے کیا:

مثال 1: اگر $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ اور $\mathrm{C}$ ایک خط پر تین نقاط ہیں، اور $\mathrm{B}$، $\mathrm{A}$ اور $\mathrm{C}$ کے درمیان واقع ہے (دیکھیں شکل 5.7)، تو ثابت کریں کہ $\mathrm{AB}+\mathrm{BC}=\mathrm{AC}$۔

شکل 5.7

حل: اوپر دی گئی شکل میں، $\mathrm{AC}$، $\mathrm{AB}+\mathrm{BC}$ کے ساتھ منطبق ہے۔

نیز، یوکلڈ کا مسلمہ (4) کہتا ہے کہ وہ چیزیں جو ایک دوسرے کے ساتھ منطبق ہوں برابر ہوتی ہیں۔ لہذا، یہ اخذ کیا جا سکتا ہے کہ

$\mathrm{AB}+\mathrm{BC}=\mathrm{AC}$

نوٹ کریں کہ اس حل میں، یہ فرض کیا گیا ہے کہ دو نقاط سے گزرنے والی ایک منفرد خط ہوتی ہے۔

مثال 2: ثابت کریں کہ کسی بھی دیے گئے خط قطعہ پر ایک متساوی الاضلاع مثلث تعمیر کیا جا سکتا ہے۔

حل: اوپر کے بیان میں، کسی بھی لمبائی کا ایک خط قطعہ دیا گیا ہے، فرض کریں AB [دیکھیں شکل 5.8(i)]۔

شکل 5.8

یہاں، آپ کو کچھ تعمیر کرنے کی ضرورت ہے۔ یوکلڈ کے اصل 3 کا استعمال کرتے ہوئے، آپ نقطہ $A$ کو مرکز اور $A B$ کو رداس مان کر ایک دائرہ کھینچ سکتے ہیں [دیکھیں شکل 5.8(ii)]۔ اسی طرح، نقطہ $\mathrm{B}$ کو مرکز اور $\mathrm{BA}$ کو رداس مان کر ایک اور دائرہ کھینچیں۔ دو دائروں کا ایک نقطہ پر، فرض کریں $\mathrm{C}$، پر ملاپ ہوتا ہے۔ اب، خط قطعے $\mathrm{AC}$ اور $\mathrm{BC}$ کو کھینچ کر $\triangle \mathrm{ABC}$ بنائیں [دیکھیں شکل 5.8 (iii)]۔

لہذا، آپ کو یہ ثابت کرنا ہے کہ یہ مثلث متساوی الاضلاع ہے، یعنی $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=\mathrm{BC}$۔

اب، $\quad \mathrm{AB}=\mathrm{AC}$، کیونکہ وہ ایک ہی دائرے کے رداس ہیں۔

اسی طرح، $A B=B C \quad$ (ایک ہی دائرے کے رداس)

ان دو حقائق سے، اور یوکلڈ کے اس مسلمہ سے کہ وہ چیزیں جو ایک ہی چیز کے برابر ہوں ایک دوسرے کے برابر ہوتی ہیں، آپ یہ نتیجہ اخذ کر سکتے ہیں کہ $\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{AC}$۔

لہذا، $\triangle \mathrm{ABC}$ ایک متساوی الاضلاع مثلث ہے۔

نوٹ کریں کہ یہاں یوکلڈ نے، کہیں بھی ذکر کیے بغیر، یہ فرض کیا ہے کہ مراکز A اور B کے ساتھ کھینچے گئے دو دائروں کا ایک دوسرے سے ایک نقطہ پر ملاپ ہوگا۔

اب ہم ایک نظریہ ثابت کرتے ہیں، جو مختلف نتائج میں بار بار استعمال ہوتا ہے:

نظریہ 5.1: دو مختلف خطوط میں ایک سے زیادہ نقطہ مشترک نہیں ہو سکتے۔

ثبوت: یہاں ہمیں دو خطوط $l$ اور $m$ دی گئی ہیں۔ ہمیں یہ ثابت کرنا ہے کہ ان کا صرف ایک نقطہ مشترک ہے۔

فی الحال، فرض کریں کہ دو خطوط دو مختلف نقاط، فرض کریں $\mathrm{P}$ اور $\mathrm{Q}$، پر ایک دوسرے کو کاٹتی ہیں۔ لہذا، آپ کے پاس دو خطوط ہیں جو دو مختلف نقاط $\mathrm{P}$ اور $\mathrm{Q}$ سے گزرتی ہیں۔ لیکن یہ مفروضہ اس مسلمہ سے ٹکراتا ہے کہ صرف ایک خط دو مختلف نقاط سے گزر سکتی ہے۔ لہذا، جس مفروضے سے ہم نے شروع کیا تھا، کہ دو خطوط دو مختلف نقاط سے گزر سکتی ہیں، غلط ہے۔

اس سے، ہم کیا نتیجہ اخذ کر سکتے ہیں؟ ہم مجبور ہیں کہ یہ نتیجہ اخذ کریں کہ دو مختلف خطوط میں ایک سے زیادہ نقطہ مشترک نہیں ہو سکتے۔

5.3 خلاصہ

اس باب میں، آپ نے درج ذیل نکات کا مطالعہ کیا ہے:

1. اگرچہ یوکلڈ نے نقطہ، خط، اور سطح کی تعریف کی، لیکن ریاضی دان ان تعریفوں کو قبول نہیں کرتے۔ لہذا، ان اصطلاحات کو اب غیر معینہ سمجھا جاتا ہے۔

2. مسلمات یا اصول وہ مفروضے ہیں جو واضح عالمگیر سچائیاں ہیں۔ انہیں ثابت نہیں کیا جاتا۔

3. نظریے وہ بیانات ہیں جو تعریفوں، مسلمات، پہلے ثابت شدہ بیانات اور استخراجی استدلال کا استعمال کرتے ہوئے ثابت کیے جاتے ہیں۔

4. یوکلڈ کے کچھ مسلمات یہ تھے:

(1) وہ چیزیں جو ایک ہی چیز کے برابر ہوں ایک دوسرے کے برابر ہوتی ہیں۔

(2) اگر برابر چیزوں میں برابر چیزیں شامل کی جائیں، تو کل برابر ہوتے ہیں۔

(3) اگر برابر چیزوں سے برابر چیزیں منہا کی جائیں، تو باقی برابر ہوتے ہیں۔

(4) وہ چیزیں جو ایک دوسرے کے ساتھ منطبق ہوں برابر ہوتی ہیں۔

(5) کل جز سے بڑا ہوتا ہے۔

(6) وہ چیزیں جو ایک ہی چیزوں کے دوگنے ہوں برابر ہوتی ہیں۔

(7) وہ چیزیں جو ایک ہی چیزوں کے آدھے ہوں برابر ہوتی ہیں۔

5. یوکلڈ کے اصول یہ تھے:

اصل 1: کسی ایک نقطہ سے کسی دوسرے نقطہ تک ایک سیدھی خط کھینچی جا سکتی ہے۔

اصل 2: ایک محدود خط کو لامحدود طور پر بڑھایا جا سکتا ہے۔

اصل 3: کسی بھی مرکز اور کسی بھی رداس کے ساتھ ایک دائرہ کھینچا جا سکتا ہے۔

اصل 4: تمام قائمہ زاویے ایک دوسرے کے برابر ہوتے ہیں۔