5.1 ആമുഖം

‘ജ്യോമിതി’ എന്ന വാക്ക് ഗ്രീക്ക് വാക്കുകളായ ‘ജിയോ’ (ഭൂമി) എന്നും ‘മെട്രീൻ’ (അളക്കുക) എന്നും നിന്നുമാണ് ഉരുത്തിരിഞ്ഞത്. ഭൂമിയുടെ അളവെടുക്കാനുള്ള ആവശ്യത്തിൽ നിന്നാണ് ജ്യോമിതി ഉടലെടുത്തതെന്ന് തോന്നുന്നു. ഈജിപ്ത്, ബാബിലോണിയ, ചൈന, ഇന്ത്യ, ഗ്രീസ്, ഇൻകാസ് തുടങ്ങിയ എല്ലാ പുരാതന നാഗരികതകളിലും ഈ ഗണിതശാഖ വിവിധ രൂപങ്ങളിൽ പഠിക്കപ്പെട്ടിരുന്നു. ഈ നാഗരികതകളിലെ ജനങ്ങൾ നിരവധി പ്രായോഗിക പ്രശ്നങ്ങൾ നേരിട്ടിരുന്നു, അത് ജ്യോമിതി വിവിധ രീതികളിൽ വികസിപ്പിക്കാനുള്ള ആവശ്യം സൃഷ്ടിച്ചു.

ഉദാഹരണത്തിന്, നൈൽ നദി വെള്ളപ്പൊക്കമുണ്ടാകുമ്പോഴെല്ലാം വ്യത്യസ്ത ഭൂവുടമകളുടെ അടുത്തടുത്തുള്ള വയലുകൾ തമ്മിലുള്ള അതിർവരമ്പുകൾ അത് തുടച്ചുനീക്കി. അത്തരം വെള്ളപ്പൊക്കത്തിന് ശേഷം, ഈ അതിർവരമ്പുകൾ വീണ്ടും വരയ്ക്കേണ്ടതായിരുന്നു. ഈ ആവശ്യത്തിനായി, ഈജിപ്തുകാർ ലളിതമായ പ്രദേശങ്ങൾ കണക്കാക്കാനും ലളിതമായ നിർമ്മാണങ്ങൾ നടത്താനുമായി നിരവധി ജ്യാമിതീയ സാങ്കേതിക വിദ്യകളും നിയമങ്ങളും വികസിപ്പിച്ചെടുത്തു. ധാന്യശാലകളുടെ വ്യാപ്തം കണക്കാക്കാനും കനാലുകളും പിരമിഡുകളും നിർമ്മിക്കാനും അവർ ജ്യോമിതിയുടെ അറിവ് ഉപയോഗിച്ചു. മുറിച്ചുമാറ്റിയ പിരമിഡിന്റെ (truncated pyramid) വ്യാപ്തം കണ്ടെത്താനുള്ള ശരിയായ സൂത്രവാക്യവും അവർക്ക് അറിയാമായിരുന്നു (ചിത്രം 5.1 കാണുക). പിരമിഡ് ഒരു ഖരരൂപമാണെന്നും അതിന്റെ അടിത്തറ ഒരു ത്രികോണമോ ചതുരമോ മറ്റ് ബഹുഭുജമോ ആണെന്നും അതിന്റെ പാർശ്വമുഖങ്ങൾ മുകളിലെ ഒരു ബിന്ദുവിൽ ഒത്തുകൂടുന്ന ത്രികോണങ്ങളാണെന്നും നിങ്ങൾക്കറിയാം.

ചിത്രം 5.1 : ഒരു മുറിച്ചുമാറ്റിയ പിരമിഡ്

ഇന്ത്യൻ ഉപഭൂഖണ്ഡത്തിൽ, ഹരപ്പ, മൊഹെൻജൊ-ദാരോ എന്നിവിടങ്ങളിലെ ഖനനങ്ങൾ സിന്ധു നദീതട നാഗരികത (ഏകദേശം 3000 BCE) ജ്യോമിതി വ്യാപകമായി ഉപയോഗിച്ചിരുന്നതായി കാണിക്കുന്നു. ഇത് ഉയർന്ന ക്രമീകരണമുള്ള ഒരു സമൂഹമായിരുന്നു. നഗരങ്ങൾ ഉയർന്ന തോതിൽ വികസിപ്പിച്ചെടുത്തതും നന്നായി ആസൂത്രണം ചെയ്തതുമായിരുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, റോഡുകൾ പരസ്പരം സമാന്തരമായിരുന്നു, കൂടാതെ ഒരു ഭൂഗർഭ ഡ്രെയിനേജ് സംവിധാനവും ഉണ്ടായിരുന്നു. വീടുകൾക്ക് വിവിധ തരത്തിലുള്ള നിരവധി മുറികൾ ഉണ്ടായിരുന്നു. നഗരവാസികൾക്ക് മാപനശാസ്ത്രത്തിലും (mensuration) പ്രായോഗിക ഗണിതത്തിലും പ്രാവീണ്യമുണ്ടായിരുന്നുവെന്ന് ഇത് കാണിക്കുന്നു. നിർമ്മാണത്തിനായി ഉപയോഗിച്ച ഇഷ്ടികകൾ കുമ്മായം ചുട്ടതായിരുന്നു, അവയുടെ നീളം : വീതി : കനം എന്ന അനുപാതം $4: 2: 1$ ആണെന്ന് കണ്ടെത്തി.

പുരാതന ഇന്ത്യയിൽ, സുൽബസൂത്രങ്ങൾ ($800 \mathrm{BCE}$ മുതൽ $500 \mathrm{BCE}$ വരെ) ജ്യാമിതീയ നിർമ്മാണങ്ങളുടെ മാനുവലുകളായിരുന്നു. വേദ കാലഘട്ടത്തിലെ ജ്യോമിതി വേദ കർമ്മങ്ങൾ നടത്തുന്നതിനായി യാഗവേദികളുടെയും (altars) അഗ്നികുണ്ഡങ്ങളുടെയും നിർമ്മാണത്തോടെ ആരംഭിച്ചു. പവിത്രമായ അഗ്നികളുടെ സ്ഥാനം അവയുടെ ആകൃതിയും വിസ്തീർണ്ണവും സംബന്ധിച്ച് വ്യക്തമായി നിശ്ചയിച്ച നിർദ്ദേശങ്ങൾക്ക് അനുസൃതമായിരിക്കണം, അവ ഫലപ്രദമായ ഉപകരണങ്ങളാകണമെങ്കിൽ. ഗൃഹകർമ്മങ്ങൾക്ക് ചതുരാകൃതിയിലുള്ളതും വൃത്താകൃതിയിലുള്ളതുമായ വേദികൾ ഉപയോഗിച്ചിരുന്നു, അതേസമയം ദീർഘചതുരങ്ങൾ, ത്രികോണങ്ങൾ, സമലംബങ്ങൾ (trapeziums) എന്നിവയുടെ സംയോജനമായ ആകൃതിയിലുള്ള വേദികൾ പൊതുആരാധനയ്ക്ക് ആവശ്യമായിരുന്നു. ശ്രീയന്ത്രം (അഥർവവേദത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നത്) ഒൻപത് ഇടകലർന്ന സമദ്വിബാഹു ത്രികോണങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. ഈ ത്രികോണങ്ങൾ 43 അനുബന്ധ ത്രികോണങ്ങൾ ഉണ്ടാക്കുന്ന രീതിയിൽ ക്രമീകരിച്ചിരിക്കുന്നു. വേദികളുടെ നിർമ്മാണത്തിന് കൃത്യമായ ജ്യാമിതീയ രീതികൾ ഉപയോഗിച്ചെങ്കിലും, അവയുടെ പിന്നിലുള്ള തത്ത്വങ്ങൾ ചർച്ച ചെയ്യപ്പെട്ടിരുന്നില്ല.

ഈ ഉദാഹരണങ്ങൾ ലോകമെമ്പാടും ജ്യോമിതി വികസിപ്പിക്കപ്പെടുകയും പ്രയോഗിക്കപ്പെടുകയും ചെയ്തിരുന്നുവെന്ന് കാണിക്കുന്നു. എന്നാൽ ഇത് ഒരു വ്യവസ്ഥിതമല്ലാത്ത രീതിയിലാണ് സംഭവിച്ചത്. പുരാതന ലോകത്തിലെ ജ്യോമിതിയുടെ ഈ വികസനങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള രസകരമായ കാര്യം, അവ ഒരു തലമുറയിൽ നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്ക് വാമൊഴിയായോ ഓലച്ചുരുളുകളിലൂടെയോ മറ്റ് വഴികളിലൂടെയോ കൈമാറ്റം ചെയ്യപ്പെട്ടു എന്നതാണ്. കൂടാതെ, ബാബിലോണിയ പോലുള്ള ചില നാഗരികതകളിൽ, ഇന്ത്യയിലും റോമിലും ആയിരുന്നത് പോലെ, ജ്യോമിതി വളരെ പ്രായോഗിക ലക്ഷ്യാനുസൃതമായ ഒരു വിഷയമായി തുടർന്നുവെന്ന് നാം കാണുന്നു. ഈജിപ്തുകാർ വികസിപ്പിച്ച ജ്യോമിതി പ്രധാനമായും ഫലങ്ങളുടെ പ്രസ്താവനകൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നതായിരുന്നു. നടപടിക്രമത്തിന്റെ പൊതുവായ നിയമങ്ങളൊന്നും ഉണ്ടായിരുന്നില്ല. വാസ്തവത്തിൽ, ബാബിലോണിയക്കാരും ഈജിപ്തുകാരും ജ്യോമിതി പ്രധാനമായും പ്രായോഗിക ആവശ്യങ്ങൾക്കായി ഉപയോഗിച്ചു, അതിനെ ഒരു വ്യവസ്ഥിതമായ ശാസ്ത്രമായി വികസിപ്പിക്കുന്നതിൽ വളരെ കുറച്ച് മാത്രമേ ചെയ്തുള്ളൂ. എന്നാൽ ഗ്രീസ് പോലുള്ള നാഗരികതകളിൽ, ചില നിർമ്മാണങ്ങൾ എന്തുകൊണ്ട് പ്രവർത്തിക്കുന്നു എന്നതിന് പിന്നിലുള്ള യുക്തിയിലായിരുന്നു ഊന്നൽ. നിഗമനാത്മക യുക്തി (deductive reasoning) ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തിയ പ്രസ്താവനകളുടെ സത്യം സ്ഥാപിക്കുന്നതിൽ ഗ്രീക്കുകാർക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ടായിരുന്നു (അനുബന്ധം 1 കാണുക). ഒരു ഗ്രീക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ താലസിനാണ് ആദ്യത്തെ അറിയപ്പെടുന്ന തെളിവ് നൽകിയത് എന്ന് വിശ്വസിക്കപ്പെടുന്നു. ഒരു വൃത്തത്തെ അതിന്റെ വ്യാസം രണ്ട് തുല്യ ഭാഗങ്ങളായി മുറിക്കുന്നു എന്ന പ്രസ്താവനയുടെയായിരുന്നു ഈ തെളിവ്. താലസിന്റെ ഏറ്റവും പ്രശസ്തരായ ശിഷ്യരിൽ ഒരാളായിരുന്നു പൈതഗോറസ് (572 BCE), അദ്ദേഹത്തെക്കുറിച്ച് നിങ്ങൾ കേട്ടിട്ടുണ്ടാകും. പൈതഗോറസും അദ്ദേഹത്തിന്റെ സംഘവും നിരവധി ജ്യാമിതീയ ഗുണങ്ങൾ കണ്ടെത്തുകയും ജ്യോമിതിയുടെ സിദ്ധാന്തം വളരെയധികം വികസിപ്പിക്കുകയും ചെയ്തു. ഈ പ്രക്രിയ $300 \mathrm{BCE}$ വരെ തുടർന്നു. അക്കാലത്ത്, ഈജിപ്തിലെ അലക്സാണ്ട്രിയയിലെ ഒരു ഗണിത അദ്ധ്യാപകനായ യൂക്ലിഡ്, അറിയപ്പെട്ട എല്ലാ പ്രവൃത്തികളും ശേഖരിച്ച് അദ്ദേഹത്തിന്റെ പ്രസിദ്ധമായ ഗ്രന്ഥമായ,

താലസ് (640 BCE - 546 BCE)

ഈ അദ്ധ്യായത്തിൽ, ജ്യോമിതിയിലേക്കുള്ള യൂക്ലിഡിന്റെ സമീപനം ഞങ്ങൾ ചർച്ച ചെയ്യുകയും അത് ഇന്നത്തെ ജ്യോമിതിയുമായി ബന്ധിപ്പിക്കാൻ ശ്രമിക്കുകയും ചെയ്യും.

യൂക്ലിഡ് (325 BCE - 265 BCE)

ചിത്രം 5.3

5.2 യൂക്ലിഡിന്റെ നിർവ്വചനങ്ങൾ, സ്വയംസിദ്ധങ്ങൾ, അടിസ്ഥാനതത്ത്വങ്ങൾ

യൂക്ലിഡിന്റെ കാലഘട്ടത്തിലെ ഗ്രീക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ ജ്യോമിതിയെ അവർ വസിച്ചിരുന്ന ലോകത്തിന്റെ ഒരു അമൂർത്ത മാതൃകയായി കരുതി. ബിന്ദു, രേഖ, തലം (അല്ലെങ്കിൽ പ്രതലം) എന്നിവയുടെ ആശയങ്ങൾ അവരുടെ ചുറ്റുമുള്ളതിൽ നിന്ന് ഉരുത്തിരിഞ്ഞതാണ്. അവരുടെ ചുറ്റുമുള്ള ബഹിരാകാശത്തിലും ഖരവസ്തുക്കളിലുമുള്ള പഠനങ്ങളിൽ നിന്ന്, ഒരു ഖരവസ്തുവിന്റെ ഒരു അമൂർത്ത ജ്യാമിതീയ ആശയം വികസിപ്പിച്ചെടുത്തു. ഒരു ഖരവസ്തുവിന് ആകൃതിയും വലിപ്പവും സ്ഥാനവും ഉണ്ട്, അത് ഒരിടത്ത് നിന്ന് മറ്റൊരിടത്തേക്ക് നീക്കാൻ കഴിയും. അതിന്റെ അതിർവരമ്പുകളെ പ്രതലങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അവ ബഹിരാകാശത്തിന്റെ ഒരു ഭാഗം മറ്റൊന്നിൽ നിന്ന് വേർതിരിക്കുകയും കനമില്ലാത്തതായി പറയപ്പെടുകയും ചെയ്യുന്നു. പ്രതലങ്ങളുടെ അതിർവരമ്പുകൾ വക്രരേഖകളോ നേർരേഖകളോ ആണ്. ഈ രേഖകൾ ബിന്ദുക്കളിൽ അവസാനിക്കുന്നു.

ഖരവസ്തുക്കളിൽ നിന്ന് ബിന്ദുക്കളിലേക്കുള്ള മൂന്ന് ഘട്ടങ്ങൾ പരിഗണിക്കുക (ഖരവസ്തുക്കൾ-പ്രതലങ്ങൾ-രേഖകൾ-ബിന്ദുക്കൾ). ഓരോ ഘട്ടത്തിലും നാം ഒരു അളവ് (ഡൈമെൻഷൻ) നഷ്ടപ്പെടുത്തുന്നു. അതിനാൽ, ഒരു ഖരവസ്തുവിന് മൂന്ന് അളവുകളുണ്ട്, ഒരു പ്രതലത്തിന് രണ്ട്, ഒരു രേഖയ്ക്ക് ഒന്ന്, ഒരു ബിന്ദുവിന് ഒന്നുമില്ല. യൂക്ലിഡ് ഈ പ്രസ്താവനകൾ നിർവചനങ്ങളായി സംഗ്രഹിച്ചു. ‘എലമെന്റ്സ്’ എന്ന ഗ്രന്ഥത്തിന്റെ ഒന്നാം പുസ്തകത്തിൽ 23 നിർവചനങ്ങൾ പട്ടികപ്പെടുത്തിക്കൊണ്ടാണ് അദ്ദേഹം തന്റെ വിവരണം ആരംഭിച്ചത്. അവയിൽ ചിലത് ചുവടെ നൽകിയിരിക്കുന്നു:

1. ഒരു ബിന്ദു എന്നാൽ ഭാഗമില്ലാത്തതാണ്.
2. ഒരു രേഖ എന്നാൽ വീതിയില്ലാത്ത നീളമാണ്.
3. ഒരു രേഖയുടെ അറ്റങ്ങൾ ബിന്ദുക്കളാണ്.
4. ഒരു നേർരേഖ എന്നാൽ അതിലുള്ള ബിന്ദുക്കളോടൊപ്പം തുല്യമായി കിടക്കുന്ന ഒരു രേഖയാണ്.
5. ഒരു പ്രതലം എന്നാൽ നീളവും വീതിയും മാത്രമുള്ളതാണ്.
6. ഒരു പ്രതലത്തിന്റെ അറ്റങ്ങൾ രേഖകളാണ്.
7. ഒരു തല പ്രതലം (plane surface) എന്നാൽ അതിലുള്ള നേർരേഖകളോടൊപ്പം തുല്യമായി കിടക്കുന്ന ഒരു പ്രതലമാണ്.

ഈ നിർവചനങ്ങൾ ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം പഠിച്ചാൽ, ഭാഗം, വീതി, നീളം, തുല്യമായി എന്നിങ്ങനെയുള്ള ചില പദങ്ങൾക്ക് കൂടുതൽ വ്യക്തമായി വിശദീകരിക്കേണ്ടതുണ്ടെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് മനസ്സിലാകും. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ബിന്ദുവിന്റെ അദ്ദേഹത്തിന്റെ നിർവചനം പരിഗണിക്കുക. ഈ നിർവചനത്തിൽ, ‘ഒരു ഭാഗം’ നിർവചിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ‘ഒരു ഭാഗം’ എന്നത് ‘വിസ്തീർണ്ണം’ ഉൾക്കൊള്ളുന്നതായി നിങ്ങൾ നിർവചിക്കുകയാണെന്ന് കരുതുക, വീണ്ടും ‘ഒരു വിസ്തീർണ്ണം’ നിർവചിക്കേണ്ടതുണ്ട്. അതിനാൽ, ഒരു കാര്യം നിർവചിക്കാൻ, നിങ്ങൾ മറ്റ് നിരവധി കാര്യങ്ങൾ നിർവചിക്കേണ്ടതുണ്ട്, അവസാനമില്ലാത്ത നിർവചനങ്ങളുടെ ഒരു നീണ്ട ശൃംഖല നിങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കും. അത്തരം കാരണങ്ങളാൽ, ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ ചില ജ്യാമിതീയ പദങ്ങൾ നിർവചിക്കാതെ വിടാൻ സമ്മതിക്കുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, മുകളിലുള്ള ‘നിർവചനം’ നൽകുന്നതിനേക്കാൾ ഒരു ബിന്ദുവിന്റെ ജ്യാമിതീയ ആശയത്തെക്കുറിച്ച് നമുക്ക് ഒരു അന്തർജ്ഞാന ബോധം ഉണ്ട്. അതിനാൽ, ഒരു ബിന്ദുവിന് ചില അളവുകൾ ഉണ്ടെങ്കിലും, ഞങ്ങൾ അതിനെ ഒരു ബിന്ദുവായി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു.

മുകളിലുള്ള നിർവചനം 2-ൽ സമാനമായ ഒരു പ്രശ്നം ഉയർന്നുവരുന്നു, കാരണം അത് വീതിയെയും നീളത്തെയും സൂചിപ്പിക്കുന്നു, അവ രണ്ടും നിർവചിച്ചിട്ടില്ല. ഇത് കാരണം, ഏതെങ്കിലും പഠന കോഴ്സ് വികസിപ്പിക്കുമ്പോൾ കുറച്ച് പദങ്ങൾ നിർവചിക്കാതെ വിടുന്നു. അതിനാൽ, ജ്യോമിതിയിൽ, ഞങ്ങൾ ഒരു ബിന്ദു, ഒരു രേഖ, ഒരു തലം (യൂക്ലിഡിന്റെ വാക്കുകളിൽ ഒരു തല പ്രതലം) എന്നിവ നിർവചിക്കാത്ത പദങ്ങളായി എടുക്കുന്നു. ഒരേയൊരു കാര്യം, നമുക്ക് അവയെ അന്തർജ്ഞാനത്തോടെ പ്രതിനിധീകരിക്കാനോ ‘ഭൗതിക മാതൃകകളുടെ’ സഹായത്തോടെ വിശദീകരിക്കാനോ കഴിയും എന്നതാണ്.

തന്റെ നിർവചനങ്ങളിൽ നിന്ന് ആരംഭിച്ച്, യൂക്ലിഡ് ചില സവിശേഷതകൾ അനുമാനിച്ചു, അവ തെളിയിക്കേണ്ടതില്ലായിരുന്നു. ഈ അനുമാനങ്ങൾ യഥാർത്ഥത്തിൽ ‘വ്യക്തമായ സാർവത്രിക സത്യങ്ങൾ’ ആണ്. അദ്ദേഹം അവയെ രണ്ട് തരങ്ങളായി തിരിച്ചു: സ്വയംസിദ്ധങ്ങൾ (axioms) എന്നും അടിസ്ഥാനതത്ത്വങ്ങൾ (postulates) എന്നും. ജ്യോമിതിയുമായി പ്രത്യേകം ബന്ധപ്പെട്ട അനുമാനങ്ങൾക്കായി അദ്ദേഹം ‘അടിസ്ഥാനതത്ത്വം’ എന്ന പദം ഉപയോഗിച്ചു. മറുവശത്ത്, പൊതുധാരണകൾ (സാധാരണയായി സ്വയംസിദ്ധങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു) എന്നത് മുഴുവൻ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലും ഉപയോഗിക്കുന്ന അനുമാനങ്ങളായിരുന്നു, ജ്യോമിതിയുമായി പ്രത്യേകം ബന്ധപ്പെട്ടിരുന്നില്ല. സ്വയംസിദ്ധങ്ങളെക്കുറിച്ചും അടിസ്ഥാനതത്ത്വങ്ങളെക്കുറിച്ചും കൂടുതൽ വിവരങ്ങൾക്ക്, അനുബന്ധം 1 കാണുക. യൂക്ലിഡിന്റെ ചില സ്വയംസിദ്ധങ്ങൾ, അദ്ദേഹത്തിന്റെ ക്രമത്തിൽ അല്ല, ചുവടെ നൽകിയിരിക്കുന്നു:

(1) ഒരേ കാര്യത്തിന് തുല്യമായ കാര്യങ്ങൾ പരസ്പരം തുല്യമാണ്.

(2) തുല്യങ്ങളോട് തുല്യങ്ങൾ ചേർത്താൽ, മൊത്തത്തിലുള്ളവ തുല്യമാണ്.

(3) തുല്യങ്ങളിൽ നിന്ന് തുല്യങ്ങൾ കുറച്ചാൽ, ശേഷിക്കുന്നവ തുല്യമാണ്.

(4) പരസ്പരം യോജിക്കുന്ന കാര്യങ്ങൾ തുല്യമാണ്.

(5) മൊത്തം ഭാഗത്തേക്കാൾ വലുതാണ്.

(6) ഒരേ കാര്യങ്ങളുടെ ഇരട്ടിയായ കാര്യങ്ങൾ പരസ്പരം തുല്യമാണ്.

(7) ഒരേ കാര്യങ്ങളുടെ പകുതിയായ കാര്യങ്ങൾ പരസ്പരം തുല്യമാണ്.

ഈ ‘പൊതുധാരണകൾ’ ചില തരത്തിലുള്ള അളവുകളെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ആദ്യത്തെ പൊതുധാരണ തലരൂപങ്ങളിൽ (plane figures) പ്രയോഗിക്കാവുന്നതാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഒരു ദീർഘചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യവും ദീർഘചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഒരു ചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യവുമാണെങ്കിൽ, ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണവും ചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്.

ഒരേ തരത്തിലുള്ള അളവുകൾ താരതമ്യം ചെയ്യാനും കൂട്ടിച്ചേർക്കാനും കഴിയും, എന്നാൽ വ്യത്യസ്ത തരത്തിലുള്ള അളവുകൾ താരതമ്യം ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു രേഖയെ ഒരു ദീർഘചതുരവുമായി താരതമ്യം ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല, അതുപോലെ ഒരു കോണിനെ ഒരു പഞ്ചഭുജവുമായി താരതമ്യം ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല.

മുകളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന നാലാമത്തെ സ്വയംസിദ്ധം രണ്ട് കാര്യങ്ങൾ സമാനമാണെങ്കിൽ (അതായത്, അവ ഒന്നുതന്നെയാണെങ്കിൽ), അവ തുല്യമാണെന്ന് പറയുന്നതായി തോന്നുന്നു. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, എല്ലാം സ്വയം തുല്യമാണ്. ഇത് സൂപ്പർപൊസിഷൻ തത്വത്തിന്റെ (principle of superposition) ന്യായീകരണമാണ്. സ്വയംസിദ്ധം (5) ‘വലുത്’ എന്നതിന്റെ നിർവചനം നൽകുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു അളവ് B മറ്റൊരു അളവ് A യുടെ ഒരു ഭാഗമാണെങ്കിൽ, A യെ B യുടെയും മൂന്നാമത്തെ ചില അളവ് C യുടെയും ആകെത്തുകയായി എഴുതാം. ചിഹ്നങ്ങളിൽ, A > B എന്നാൽ ചില $\mathrm{C}$ ഉണ്ട്, അതായത് $\mathrm{A}=\mathrm{B}+\mathrm{C}$.

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് യൂക്ലിഡിന്റെ അഞ്ച് അടിസ്ഥാനതത്ത്വങ്ങൾ ചർച്ച ചെയ്യാം. അവ ഇവയാണ്:

അടിസ്ഥാനതത്ത്വം 1 : ഏത് ഒരു ബിന്ദുവിൽ നിന്നും മറ്റേത് ബിന്ദുവിലേക്കും ഒരു നേർരേഖ വരയ്ക്കാവുന്നതാണ്.

രണ്ട് വ്യത്യസ്ത ബിന്ദുക്കളിലൂടെ കുറഞ്ഞത് ഒരു നേർരേഖയെങ്ക