৫.১ ভূমিকা

‘জ্যামিতি’ শব্দটি এসেছে গ্রিক শব্দ ‘জিও’ (geo) থেকে, যার অর্থ ‘পৃথিবী’, এবং ‘মেট্রেইন’ (metrein) থেকে, যার অর্থ ‘পরিমাপ করা’। জমি পরিমাপের প্রয়োজন থেকেই জ্যামিতির উৎপত্তি বলে মনে হয়। গণিতের এই শাখাটি প্রতিটি প্রাচীন সভ্যতায় বিভিন্ন আকারে অধ্যয়ন করা হয়েছিল, সেটা মিশর, ব্যাবিলন, চীন, ভারত, গ্রিস, ইনকা ইত্যাদি যেখানেই হোক না কেন। এই সভ্যতার মানুষরা বেশ কয়েকটি ব্যবহারিক সমস্যার সম্মুখীন হয়েছিল যার জন্য বিভিন্নভাবে জ্যামিতির বিকাশ প্রয়োজন ছিল।

উদাহরণস্বরূপ, নীল নদ যখনই উপচে পড়ত, তখন এটি বিভিন্ন জমির মালিকের সংলগ্ন ক্ষেতগুলোর মধ্যকার সীমানা মুছে দিত। এমন বন্যার পর, এই সীমানাগুলো পুনরায় আঁকতে হত। এই উদ্দেশ্যে, মিশরীয়রা সাধারণ ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য এবং সাধারণ নির্মাণকাজের জন্য বেশ কিছু জ্যামিতিক কৌশল ও নিয়ম তৈরি করেছিল। শস্যভাণ্ডারের আয়তন গণনা করতে এবং খাল ও পিরামিড নির্মাণের জন্যও তারা জ্যামিতির জ্ঞান ব্যবহার করত। তারা একটি কর্তিত পিরামিডের (ছেদকৃত পিরামিড) আয়তন নির্ণয়ের সঠিক সূত্রও জানত (চিত্র ৫.১ দেখুন)। আপনি জানেন যে একটি পিরামিড হল একটি ঘনবস্তু, যার ভূমিটি একটি ত্রিভুজ, বা বর্গক্ষেত্র, বা অন্য কোনো বহুভুজ, এবং এর পার্শ্বতলগুলি ত্রিভুজাকার যা শীর্ষে একটি বিন্দুতে মিলিত হয়।

চিত্র ৫.১ : একটি কর্তিত পিরামিড

ভারতীয় উপমহাদেশে, হরপ্পা ও মহেঞ্জোদাড়ো ইত্যাদি স্থানের খননকার্য দেখায় যে সিন্ধু উপত্যকা সভ্যতা (প্রায় ৩০০০ খ্রিস্টপূর্বাব্দ) ব্যাপকভাবে জ্যামিতির ব্যবহার করত। এটি ছিল অত্যন্ত সংগঠিত একটি সমাজ। শহরগুলি অত্যন্ত উন্নত এবং খুব ভালোভাবে পরিকল্পিত ছিল। উদাহরণস্বরূপ, রাস্তাগুলি একে অপরের সমান্তরাল ছিল এবং একটি ভূগর্ভস্থ নিষ্কাশন ব্যবস্থা ছিল। বাড়িগুলিতে বিভিন্ন ধরনের অনেক কক্ষ ছিল। এটি দেখায় যে শহরের বাসিন্দারা পরিমিতি ও ব্যবহারিক পাটিগণিতে দক্ষ ছিল। নির্মাণের জন্য ব্যবহৃত ইটগুলি চুল্লিতে পোড়ানো হত এবং ইটগুলির দৈর্ঘ্য : প্রস্থ : বেধের অনুপাত পাওয়া গেছে $4: 2: 1$।

প্রাচীন ভারতে, সুল্বসূত্রগুলি ($800 \mathrm{BCE}$ থেকে $500 \mathrm{BCE}$) ছিল জ্যামিতিক নির্মাণের নির্দেশিকা। বৈদিক যুগের জ্যামিতির সূচনা হয়েছিল বেদী (বা বেদি) ও অগ্নিকুণ্ড নির্মাণের মাধ্যমে বৈদিক আচার-অনুষ্ঠান সম্পাদনের জন্য। পবিত্র অগ্নিগুলির অবস্থান তাদের আকৃতি ও ক্ষেত্রফল সম্পর্কে স্পষ্টভাবে বর্ণিত নির্দেশাবলীর সাথে সঙ্গতিপূর্ণ হতে হত, যদি সেগুলি কার্যকর যন্ত্র হতে হয়। গৃহস্থালি আচার-অনুষ্ঠানের জন্য বর্গাকার ও বৃত্তাকার বেদী ব্যবহৃত হত, অন্যদিকে আয়তক্ষেত্র, ত্রিভুজ ও ট্রাপিজিয়ামের সংমিশ্রণে আকৃতির বেদী প্রয়োজন হত গণপূজার জন্য। শ্রীযন্ত্র (অথর্ববেদে দেওয়া) নয়টি পরস্পর বিজড়িত সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ নিয়ে গঠিত। এই ত্রিভুজগুলি এমনভাবে সাজানো যে সেগুলি ৪৩টি সহায়ক ত্রিভুজ তৈরি করে। যদিও বেদী নির্মাণের জন্য সঠিক জ্যামিতিক পদ্ধতি ব্যবহার করা হত, তবে সেগুলির পিছনের নীতিগুলি আলোচনা করা হত না।

এই উদাহরণগুলি দেখায় যে জ্যামিতি সারা বিশ্বে বিকশিত ও প্রয়োগ করা হচ্ছিল। কিন্তু এটি একটি অপরিকল্পিত পদ্ধতিতে ঘটছিল। প্রাচীন বিশ্বে জ্যামিতির এই বিকাশ সম্পর্কে আকর্ষণীয় বিষয় হল যে সেগুলি এক প্রজন্ম থেকে অন্য প্রজন্মে হস্তান্তরিত হয়েছিল, হয় মৌখিকভাবে বা তালপাতার বার্তার মাধ্যমে, বা অন্য উপায়ে। এছাড়াও, আমরা দেখতে পাই যে ব্যাবিলনের মতো কিছু সভ্যতায়, জ্যামিতি একটি অত্যন্ত ব্যবহারিক-ভিত্তিক শাস্ত্র হিসেবেই রয়ে গিয়েছিল, যেমনটি ভারত ও রোমে ছিল। মিশরীয়দের দ্বারা বিকশিত জ্যামিতি প্রধানত ফলাফলের বিবৃতি নিয়ে গঠিত ছিল। পদ্ধতির কোনো সাধারণ নিয়ম ছিল না। প্রকৃতপক্ষে, ব্যাবিলনীয় ও মিশরীয়রা বেশিরভাগই ব্যবহারিক উদ্দেশ্যে জ্যামিতি ব্যবহার করত এবং এটিকে একটি পদ্ধতিগত বিজ্ঞান হিসেবে বিকাশে খুব কমই করত। কিন্তু গ্রিসের মতো সভ্যতায়, জোর দেওয়া হয়েছিল কেন নির্দিষ্ট নির্মাণকাজগুলি কাজ করে তার যুক্তির উপর। গ্রিকরা ন্যায়সঙ্গত যুক্তি (অনুমানমূলক যুক্তি) ব্যবহার করে তারা যে বিবৃতিগুলি আবিষ্কার করেছিল তার সত্যতা প্রতিষ্ঠায় আগ্রহী ছিল (পরিশিষ্ট ১ দেখুন)। একজন গ্রিক গণিতবিদ, থেলেসকে প্রথম পরিচিত প্রমাণ দেওয়ার কৃতিত্ব দেওয়া হয়। এই প্রমাণটি ছিল এই বিবৃতির যে একটি বৃত্ত তার ব্যাস দ্বারা দ্বিখণ্ডিত হয় (অর্থাৎ, দুটি সমান অংশে বিভক্ত হয়)। থেলেসের সবচেয়ে বিখ্যাত শিষ্যদের একজন ছিলেন পিথাগোরাস (৫৭২ খ্রিস্টপূর্বাব্দ), যার কথা আপনি শুনেছেন। পিথাগোরাস ও তার দল অনেক জ্যামিতিক ধর্ম আবিষ্কার করেছিল এবং জ্যামিতির তত্ত্বকে ব্যাপকভাবে বিকশিত করেছিল। এই প্রক্রিয়াটি $300 \mathrm{BCE}$ পর্যন্ত অব্যাহত ছিল। সেই সময়ে, মিশরের আলেকজান্দ্রিয়ার একজন গণিতের শিক্ষক ইউক্লিড, সমস্ত পরিচিত কাজ সংগ্রহ করে তার বিখ্যাত গ্রন্থে সাজিয়েছিলেন,

থেলেস (৬৪০ খ্রিস্টপূর্বাব্দ - ৫৪৬ খ্রিস্টপূর্বাব্দ)

এই অধ্যায়ে, আমরা ইউক্লিডের জ্যামিতির পদ্ধতি নিয়ে আলোচনা করব এবং বর্তমান দিনের জ্যামিতির সাথে এটি সংযুক্ত করার চেষ্টা করব।

ইউক্লিড (৩২৫ খ্রিস্টপূর্বাব্দ - ২৬৫ খ্রিস্টপূর্বাব্দ)

চিত্র ৫.৩

৫.২ ইউক্লিডের সংজ্ঞা, স্বতঃসিদ্ধ ও স্বীকার্য

ইউক্লিডের সময়ের গ্রিক গণিতবিদরা জ্যামিতিকে তাদের যে বিশ্বে বাস করতেন তার একটি বিমূর্ত মডেল হিসেবে ভাবতেন। বিন্দু, রেখা, তল (বা পৃষ্ঠ) ইত্যাদির ধারণা তাদের চারপাশে যা দেখা যেত তা থেকে উদ্ভূত হয়েছিল। তাদের চারপাশের স্থান ও স্থানের ঘনবস্তুগুলির অধ্যয়ন থেকে, একটি ঘনবস্তুর একটি বিমূর্ত জ্যামিতিক ধারণা বিকশিত হয়েছিল। একটি ঘনবস্তুর আকৃতি, আকার, অবস্থান আছে এবং এক স্থান থেকে অন্য স্থানে সরানো যায়। এর সীমানাগুলিকে পৃষ্ঠতল বলে। সেগুলি স্থানের এক অংশকে অন্য অংশ থেকে পৃথক করে এবং বলা হয় যে তাদের কোনো বেধ নেই। পৃষ্ঠতলগুলির সীমানা হল বক্ররেখা বা সরলরেখা। এই রেখাগুলি বিন্দুতে শেষ হয়।

ঘনবস্তু থেকে বিন্দু পর্যন্ত তিনটি ধাপ বিবেচনা করুন (ঘনবস্তু-পৃষ্ঠতল-রেখা-বিন্দু)। প্রতিটি ধাপে আমরা একটি মাত্রা হারাই, যাকে মাত্রাও বলা হয়। সুতরাং, একটি ঘনবস্তুর তিনটি মাত্রা আছে, একটি পৃষ্ঠতলের দুটি, একটি রেখার একটি এবং একটি বিন্দুর কোনোটিই নেই। ইউক্লিড এই বিবৃতিগুলিকে সংজ্ঞা হিসেবে সংক্ষিপ্ত করেছিলেন। তিনি ‘এলিমেন্টস’ গ্রন্থের বই ১-এ ২৩টি সংজ্ঞা তালিকাভুক্ত করে তার ব্যাখ্যা শুরু করেছিলেন। তাদের মধ্যে কয়েকটি নিচে দেওয়া হল :

১. একটি বিন্দু হল যা কোনো অংশ নেই। ২. একটি রেখা হল প্রস্থবিহীন দৈর্ঘ্য। ৩. একটি রেখার প্রান্তগুলি হল বিন্দু। ৪. একটি সরলরেখা হল একটি রেখা যা তার উপরিস্থ বিন্দুগুলির সাথে সমভাবে অবস্থান করে। ৫. একটি পৃষ্ঠতল হল যার কেবল দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ আছে। ৬. একটি পৃষ্ঠতলের প্রান্তগুলি হল রেখা। ৭. একটি সমতল পৃষ্ঠতল হল একটি পৃষ্ঠতল যা তার উপরিস্থ সরলরেখাগুলির সাথে সমভাবে অবস্থান করে।

যদি আপনি এই সংজ্ঞাগুলি সাবধানে অধ্যয়ন করেন, আপনি দেখতে পাবেন যে অংশ, প্রস্থ, দৈর্ঘ্য, সমভাবে ইত্যাদির মতো কিছু শব্দের আরও স্পষ্টভাবে ব্যাখ্যা করার প্রয়োজন আছে। উদাহরণস্বরূপ, তার একটি বিন্দুর সংজ্ঞা বিবেচনা করুন। এই সংজ্ঞায়, ‘একটি অংশ’ সংজ্ঞায়িত করতে হবে। ধরুন আপনি যদি ‘একটি অংশ’কে সংজ্ঞায়িত করেন যা ‘ক্ষেত্রফল’ দখল করে, আবার ‘একটি ক্ষেত্রফল’ সংজ্ঞায়িত করতে হবে। সুতরাং, একটি জিনিস সংজ্ঞায়িত করতে, আপনাকে অনেক অন্যান্য জিনিস সংজ্ঞায়িত করতে হবে, এবং আপনি শেষ ছাড়াই সংজ্ঞার একটি দীর্ঘ শৃঙ্খল পেতে পারেন। এই ধরনের কারণে, গণিতবিদরা কিছু জ্যামিতিক পদকে অপরিবর্তিত রাখতে সম্মত হন। যাইহোক, উপরের ‘সংজ্ঞা’টি আমাদের যা দেয় তার চেয়ে একটি বিন্দুর জ্যামিতিক ধারণার জন্য আমাদের একটি স্বজ্ঞাত অনুভূতি আছে। সুতরাং, আমরা একটি বিন্দুকে একটি বিন্দু হিসাবে উপস্থাপন করি, যদিও একটি বিন্দুর কিছু মাত্রা আছে।

উপরের সংজ্ঞা ২-এ একটি অনুরূপ সমস্যা দেখা দেয়, যেহেতু এটি প্রস্থ ও দৈর্ঘ্যের উল্লেখ করে, যার কোনোটিই সংজ্ঞায়িত করা হয়নি। এর কারণে, অধ্যয়নের কোনো কোর্স বিকাশের সময় কয়েকটি পদকে অপরিবর্তিত রাখা হয়। সুতরাং, জ্যামিতিতে, আমরা একটি বিন্দু, একটি রেখা এবং একটি তলকে (ইউক্লিডের ভাষায় একটি সমতল পৃষ্ঠতল) অপরিবর্তিত পদ হিসেবে গ্রহণ করি। একমাত্র বিষয় হল যে আমরা সেগুলিকে স্বজ্ঞাতভাবে উপস্থাপন করতে পারি, বা ‘ভৌত মডেল’-এর সাহায্যে ব্যাখ্যা করতে পারি।

তার সংজ্ঞা দিয়ে শুরু করে, ইউক্লিড কিছু ধর্ম অনুমান করেছিলেন, যেগুলি প্রমাণ করার প্রয়োজন ছিল না। এই অনুমানগুলি আসলে ‘স্পষ্ট সর্বজনীন সত্য’। তিনি সেগুলিকে দুই প্রকারে ভাগ করেছিলেন: স্বতঃসিদ্ধ ও স্বীকার্য। তিনি জ্যামিতির জন্য নির্দিষ্ট সেই অনুমানগুলির জন্য ‘স্বীকার্য’ শব্দটি ব্যবহার করেছিলেন। সাধারণ ধারণাগুলি (যেগুলিকে প্রায়শই স্বতঃসিদ্ধ বলা হয়), অন্যদিকে, ছিল সেই অনুমানগুলি যা গণিত জুড়ে ব্যবহৃত হত এবং বিশেষভাবে জ্যামিতির সাথে যুক্ত নয়। স্বতঃসিদ্ধ ও স্বীকার্য সম্পর্কে বিস্তারিত জানতে, পরিশিষ্ট ১ দেখুন। ইউক্লিডের কিছু স্বতঃসিদ্ধ, তার ক্রমে নয়, নিচে দেওয়া হল :

(১) যেসব বস্তু একই বস্তুর সমান তারা পরস্পরের সমান। (২) সমান বস্তুর সাথে সমান বস্তু যোগ করলে, সমষ্টিগুলি সমান হয়। (৩) সমান বস্তু থেকে সমান বস্তু বিয়োগ করলে, অবশিষ্টাংশগুলি সমান হয়। (৪) যেসব বস্তু পরস্পরের সাথে মিলে যায় তারা পরস্পরের সমান। (৫) সমগ্র অংশের চেয়ে বড়। (৬) যেসব বস্তু একই বস্তুর দ্বিগুণ তারা পরস্পরের সমান। (৭) যেসব বস্তু একই বস্তুর অর্ধেক তারা পরস্পরের সমান।

এই ‘সাধারণ ধারণাগুলি’ কিছু প্রকারের পরিমাণকে নির্দেশ করে। প্রথম সাধারণ ধারণাটি সমতলীয় চিত্রগুলিতে প্রয়োগ করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান হয় এবং আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান হয়, তবে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলও বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান।

একই প্রকারের পরিমাণগুলির তুলনা ও যোগ করা যেতে পারে, কিন্তু বিভিন্ন প্রকারের পরিমাণগুলির তুলনা করা যায় না। উদাহরণস্বরূপ, একটি রেখার সাথে একটি আয়তক্ষেত্রের তুলনা করা যায় না, একটি কোণের সাথে একটি পঞ্চভুজের তুলনা করা যায় না।

উপরে দেওয়া ৪র্থ স্বতঃসিদ্ধটি বলে মনে হয় যে যদি দুটি বস্তু অভিন্ন হয় (অর্থাৎ, তারা একই), তবে তারা সমান। অন্য কথায়, প্রতিটি বস্তু নিজের সমান। এটি সুপারপজিশনের নীতির ন্যায্যতা। স্বতঃসিদ্ধ (৫) আমাদের ‘এর চেয়ে বড়’ এর সংজ্ঞা দেয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি পরিমাণ B অন্য একটি পরিমাণ A-এর একটি অংশ হয়, তবে A কে B এবং কিছু তৃতীয় পরিমাণ C-এর যোগফল হিসেবে লেখা যেতে পারে। প্রতীকীভাবে, A > B মানে হল এমন কিছু $\mathrm{C}$ আছে যাতে $\mathrm{A}=\mathrm{B}+\mathrm{C}$।

এখন ইউক্লিডের পাঁচটি স্বীকার্য নিয়ে আলোচনা করা যাক। সেগুলি হল :

স্বীকার্য ১ : যেকোনো একটি বিন্দু থেকে যেকোনো অন্য বিন্দুতে একটি সরলরেখা আঁকা যেতে পারে।

উল্লেখ্য যে এই স্বীকার্যটি আমাদের বলে যে দুটি স্বতন্ত্র বিন্দুর মধ্য দিয়ে অন্তত একটি সরলরেখা যায়, কিন্তু এটি বলে না যে একাধিক এমন রেখা থাকতে পারে না। যাইহোক, তার কাজে, ইউক্লিড প্রায়শই উল্লেখ না করেই ধরে নিয়েছেন যে দুটি স্বতন্ত্র বিন্দুকে যুক্ত করে একটি অনন্য রেখা আছে। আমরা এই ফলাফলটি একটি স্বতঃসিদ্ধ আকারে নিম্নরূপে বিবৃত করি:

স্বতঃসিদ্ধ ৫.১ : দুটি স্বতন্ত্র বিন্দু দেওয়া থাকলে, তাদের মধ্য দিয়ে যায় এমন একটি অনন্য রেখা আছে।

$P$ এর মধ্য দিয়ে যাওয়া কতগুলি রেখা $Q$ এর মধ্য দিয়েও যায় (চিত্র ৫.৪ দেখুন)? শুধুমাত্র একটি, অর্থাৎ রেখা $P Q$। $Q$ এর মধ্য দিয়ে যাওয়া কতগুলি রেখা $P$ এর মধ্য দিয়েও যায়? শুধুমাত্র একটি, অর্থাৎ রেখা PQ। সুতরাং, উপরের বিবৃতিটি স্বতঃপ্রমাণিত, এবং তাই একটি স্বতঃসিদ্ধ হিসেবে গৃহীত হয়।

চিত্র ৫.৪

স্বীকার্য ২ : একটি সসীম রেখাকে অনির্দিষ্টকালের জন্য বর্ধিত করা যেতে পারে।

উল্লেখ্য যে আমরা আজকাল যা একটি রেখাংশ বলি তা ইউক্লিড যা একটি সসীম রেখা বলতেন তা-ই। সুতরাং, বর্তমান দিনের পরিভাষা অনুসারে, দ্বিতীয় স্বীকার্যটি বলে যে একটি রেখাংশকে উভয় পাশে বর্ধিত করে একটি রেখা গঠন করা যেতে পারে (চিত্র ৫.৫ দেখুন)।

চিত্র ৫.৫

স্বীকার্য ৩ : যেকোনো কেন্দ্র ও যেকোনো ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্ত আঁকা যেতে পারে।

স্বীকার্য ৪ : সমস্ত সমকোণ পরস্পরের সমান।

স্বীকার্য ৫ : যদি একটি সরলরেখা দুটি সরলরেখার উপর পড়ে এবং একই পাশের অন্তঃস্থ কোণগুলির সমষ্টি দুই সমকোণের চেয়ে কম হয়, তবে সেই দুটি সরলরেখা, যদি অনির্দিষ্টকালের জন্য বর্ধিত করা হয়, সেই পাশে মিলিত হবে যেদিকে কোণগুলির সমষ্টি দুই সমকোণের চেয়ে কম।

উদাহরণস্বরূপ, চিত্র ৫.৬-এ PQ রেখাটি $\mathrm{AB}$ ও $\mathrm{CD}$ রেখাগুলির উপর এমনভাবে পড়ে যে PQ-এর বাম পাশে অন্তঃস্থ কোণ ১ ও ২-এর সমষ্টি $180^{\circ}$-এর চেয়ে কম। অতএব, $\mathrm{AB}$ ও $\mathrm{CD}$ রেখাগুলি শেষ পর্যন্ত PQ-এর বাম পাশে ছেদ করবে।

চিত্র ৫.৬

পাঁচটি স্বীকার্যের উপর সংক্ষিপ্ত দৃষ্টিপাত আপনার নজরে আনে যে স্বীকার্য ৫ অন্য যেকোনো স্বীকার্যের চেয়ে অনেক বেশি জটিল। অন্যদিকে, স্বীকার্য ১ থেকে ৪ এতই সরল ও স্পষ্ট যে এগুলিকে ‘স্বতঃপ্রমাণিত সত্য’ হিসেবে নেওয়া হয়। যাইহোক, সেগুলি প্রমাণ করা সম্ভব নয়। সুতরাং, এই বিবৃতিগুলি কোনো প্রমাণ ছাড়াই গৃহীত হয় (পরিশিষ্ট ১ দেখুন)। এর জটিলতার কারণে, পঞ্চম স্বীকার্যটি পরবর্তী বিভাগে আরও বেশি মনোযোগ পাবে।

আজকাল, ‘স্বীকার্য’ ও ‘স্বতঃসিদ্ধ’ পদগুলি পরস্পর পরিবর্তনযোগ্যভাবে এবং একই অর্থে ব্যবহৃত হয়। ‘স্বীকার্য’ আসলে একটি ক্রিয়া। যখন আমরা বলি “আসুন স্বীকার্য করি”, আমরা বোঝাই, “আসুন মহাবিশ্বে পর্যবেক্ষিত ঘটনার ভিত্তিতে কিছু বিবৃতি তৈরি করি”। এর সত্যতা/বৈধতা পরে পরীক্ষা করা হয়। যদি এটি সত্য হয়, তবে এটি একটি ‘স্বীকার্য’ হিসেবে গৃহীত হয়।

স্বতঃসিদ্ধগুলির একটি ব্যবস্থাকে সামঞ্জস্যপূর্ণ বলা হয় (পরিশিষ্ট ১ দেখুন), যদি এই স্বতঃসিদ্ধগুলি থেকে এমন একটি বিবৃতি অনুমান করা অসম্ভব হয় যা কোনো স্বতঃসিদ্ধ বা পূর্বে প্রমাণিত বিবৃতির বিরোধিতা করে। সুতরাং, যখন কোনো স্বতঃসিদ্ধ ব্যবস্থা দেওয়া হয়, তখন নিশ্চিত করতে হবে যে ব্যবস্থাটি সামঞ্জস্যপূর্ণ।

ইউক্লিড তার স্বীকার্য ও স্বতঃসিদ্ধগুলি বিবৃত করার পর, সেগুলি ব্যবহার করে অন্যান্য ফলাফল প্রমাণ করেছিলেন। তারপর এই ফলাফলগুলি ব্যবহার করে, তিনি অনুমানমূলক যুক্তি প্রয়োগ করে আরও কিছু ফলাফল প্রমাণ করেছিলেন। যে বিবৃতিগুলি প্রমাণিত হয়েছিল সেগুলিকে প্রস্তাবনা বা উপপাদ্য বলা হয়। ইউক্লিড তার স্বতঃসিদ্ধ, স্বীকার্য, সংজ্ঞা এবং শৃঙ্খলে পূর্বে প্রমাণিত উপপাদ্যগুলি ব্যবহার করে একটি যৌক্তিক শৃঙ্খলে ৪৬৫টি প্রস্তাবনা অনুমান করেছিলেন। জ্যামিতির পরবর্তী কয়েকটি অধ্যায়ে, আপনি কিছু উপপাদ্য প্রমাণ করতে এই স্বতঃসিদ্ধগুলি ব্যবহার করবেন।

এখন, আসুন নিম্নলিখিত উদাহরণগুলিতে দেখি কিভাবে ইউক্লিড কিছু ফলাফল প্রমাণের জন্য তার স্বতঃসিদ্ধ ও স্বীকার্যগুলি ব্যবহার করেছিলেন:

উদাহরণ ১ : যদি $\mathrm{A}, \mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ ও $\mathrm{B}$ একটি রেখার উপর তিনটি বিন্দু হয়, এবং $\mathrm{A}$ $\mathrm{C}$ ও $\mathrm{AB}+\mathrm{BC}=\mathrm{AC}$-এর মধ্যে অবস্থান করে (চিত্র ৫.৭ দেখুন), তবে প্রমাণ করুন যে $\mathrm{AC}$।

চিত্র ৫.৭

সমাধান : উপরে দেওয়া চিত্রে, $\mathrm{AB}+\mathrm{BC}$ $\mathrm{AB}+\mathrm{BC}=\mathrm{AC}$-এর সাথে মিলে যায়।

এছাড়াও, ইউক্লিডের স্বতঃসিদ্ধ (৪) বলে যে যেসব বস্তু পরস্পরের সাথে মিলে যায় তারা পরস্পরের সমান। সুতরাং, এটি অনুমান করা যেতে পারে যে

$A$

উল্লেখ্য যে এই সমাধানে, ধরে নেওয়া হয়েছে যে দুটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায় এমন একটি অনন্য রেখা আছে।

উদাহরণ ২ : প্রমাণ করুন যে যেকোনো প্রদত্ত রেখাংশের উপর একটি সমবাহু ত্রিভুজ গঠন করা যেতে পারে।

সমাধান : উপরের বিবৃতিতে, যেকোনো দৈর্ঘ্যের একটি রেখাংশ দেওয়া আছে, ধরি AB [চিত্র ৫.৮(i) দেখুন]।

চিত্র ৫.৮

এখানে, আপনাকে কিছু নির্মাণ করতে হবে। ইউক্লিডের স্বীকার্য ৩ ব্যবহার করে, আপনি $A B$ বিন্দুকে কেন্দ্র করে এবং $\mathrm{B}$ কে ব্যাসার্ধ ধরে একটি বৃত্ত আঁকতে পারেন [চিত্র ৫.৮(ii) দেখুন]। একইভাবে, $\mathrm{BA}$ বিন্দুকে কেন্দ্র করে এবং $\mathrm{C}$ কে ব্যাসার্ধ ধরে আরেকটি বৃত্ত আঁকুন। দুটি বৃত্ত একটি বিন্দুতে মিলিত হয়, ধরি $\mathrm{AC}$। এখন, $\mathrm{BC}$ ও $\triangle \mathrm{ABC}$ রেখাংশগুলি আঁকুন $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=\mathrm{BC}$ গঠন করতে [চিত্র ৫.৮ (iii) দেখুন]।

সুতরাং, আপনাকে প্রমাণ করতে হবে যে এই ত্রিভুজটি সমবাহু, অর্থাৎ $\quad \mathrm{AB}=\mathrm{AC}$।

এখন, $A B=B C \quad$, যেহেতু তারা একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ

একইভাবে, $\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{AC}$ (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)

এই দুটি তথ্য থেকে, এবং ইউক্লিডের স্বতঃসিদ্ধ যে যেসব বস্তু একই বস্তুর সমান তারা পরস্পরের সমান, আপনি সিদ্ধান্ত নিতে পারেন যে $\triangle \mathrm{ABC}$।

সুতরাং, $l$ একটি সমবাহু ত্রিভুজ।

উল্লেখ্য যে এখানে ইউক্লিড কোথাও উল্লেখ না করেই ধরে নিয়েছেন যে A ও B কেন্দ্র করে আঁকা দুটি বৃত্ত একটি বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করবে।

এখন আমরা একটি উপপাদ্য প্রমাণ করি, যা বিভিন্ন ফলাফলে প্রায়শই ব্যবহৃত হয়:

উপপাদ্য ৫.১ : দুটি স্বতন্ত্র রেখার একাধিক একটি সাধারণ বিন্দু থাকতে পারে না।

প্রমাণ: এখানে আমাদের দুটি রেখা $m$ ও $\mathrm{P}$ দেওয়া আছে। আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে তাদের কেবল একটি সাধারণ বিন্দু আছে।

আপাতত, ধরে নিই যে দুটি রেখা দুটি স্বতন্ত্র বিন্দুতে ছেদ করে, ধরি $\mathrm{Q}$ ও $\mathrm{P}$। সুতরাং, আপনার কাছে দুটি স্বতন্ত্র বিন্দু $\mathrm{Q}$ ও https://temp-public-img-folder.s3.amazonaws.com/sathee.prutor.images/sathee_image/cropped_2024_01_15_b5712b6f8706b0d64756g-072_jpg_height_500_width_466_top_left_y_1406_top_left_x_1001.jpg" এর মধ্য দিয়ে যাওয়া দুটি রেখা আছে। কিন্তু এই অনুমানটি সেই স্বতঃসিদ্ধের সাথে সংঘর্ষে পড়ে যে কেবল একটি রেখা দুটি স্বতন্ত্র বিন্দুর মধ্য দিয়ে যেতে পারে। সুতরাং, আমরা যে অনুমান দিয়ে শুরু করেছিলাম, যে দুটি রেখা দুটি স্বতন্ত্র বিন্দুর মধ্য দিয়ে যেতে পারে, তা ভুল।

এ থেকে আমরা কী সিদ্ধান্ত নিতে পারি? আমরা বাধ্য হই এই সিদ্ধান্তে পৌঁছাতে যে দুটি স্বতন্ত্র রেখার একাধিক একটি সাধারণ বিন্দু থাকতে পারে না।

৫.৩ সারসংক্ষেপ

এই অধ্যায়ে, আপনি নিম্নলিখিত বিষয়গুলি অধ্যয়ন করেছেন:

১. যদিও ইউক্লিড একটি বিন্দু, একটি রেখা এবং একটি তলকে সংজ্ঞায়িত করেছিলেন, সংজ্ঞাগুলি গণিতবিদদের দ্বারা গৃহীত হয় না। তাই, এই পদগুলিকে এখন অপরিবর্তিত হিসেবে নেওয়া হয়।

২. স্বতঃসিদ্ধ বা স্বীকার্য হল সেই অনুমানগুলি যা স্পষ্ট সর্বজনীন সত্য। সেগুলি প্রমাণিত নয়।

৩. উপপাদ্য হল সেই বিবৃতিগুলি যা সংজ্ঞা, স্বতঃসিদ্ধ, পূর্বে প্রমাণিত বিবৃতি এবং অনুমানমূলক যুক্তি ব্যবহার করে প্রমাণিত হয়।

৪. ইউক্লিডের কিছু স্বতঃসিদ্ধ ছিল :

(১) যেসব বস্তু একই বস্তুর সমান তারা পরস্পরের সমান। (২) সমান বস্তুর সাথে সমান বস্তু যোগ করলে, সমষ্টিগুলি সমান হয়। (৩) সমান বস্তু থেকে সমান বস্তু বিয়োগ করলে, অবশিষ্টাংশগুলি সমান হয়। (৪) যেসব বস্তু পরস্পরের সাথে মিলে যায় তারা পরস্পরের সমান। (৫) সমগ্র অংশের চেয়ে বড়। (৬) যেসব বস্তু একই বস্তুর দ্বিগুণ তারা পরস্পরের সমান। (৭) যেসব বস্তু একই বস্তুর অর্ধেক তারা পরস্পরের সমান।

৫. ইউক্লিডের স্বীকার্যগুলি ছিল :

স্বীকার্য ১ : যেকোনো একটি বিন্দু থেকে যেকোনো অন্য বিন্দুতে একটি সরলরেখা আঁকা যেতে পারে।

স্বীকার্য ২ : একটি সসীম রেখাকে অনির্দিষ্টকালের জন্য বর্ধিত করা যেতে পারে।

স্বীকার্য ৩ : যেকোনো কেন্দ্র ও যেকোনো ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্ত আঁকা যেতে পারে।

স্বীকার্য ৪ : সমস্ত সমকোণ পরস্পরের সমান।