5.1 ਜਾਣ-ਪਛਾਣ

‘ਜਿਓਮੈਟਰੀ’ ਸ਼ਬਦ ਯੂਨਾਨੀ ਸ਼ਬਦਾਂ ‘ਜੀਓ’ ਤੋਂ ਆਇਆ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ‘ਧਰਤੀ’, ਅਤੇ ‘ਮੀਟਰੇਨ’, ਜਿਸਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ‘ਨਾਪਣਾ’। ਲੱਗਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਜ਼ਮੀਨ ਨੂੰ ਨਾਪਣ ਦੀ ਲੋੜ ਤੋਂ ਹੋਈ। ਗਣਿਤ ਦੀ ਇਸ ਸ਼ਾਖਾ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਹਰ ਪ੍ਰਾਚੀਨ ਸਭਿਅਤਾ ਵਿੱਚ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਰੂਪਾਂ ਵਿੱਚ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ, ਭਾਵੇਂ ਇਹ ਮਿਸਰ, ਬੈਬੀਲੋਨ, ਚੀਨ, ਭਾਰਤ, ਯੂਨਾਨ, ਇੰਕਾ, ਆਦਿ ਵਿੱਚ ਹੋਵੇ। ਇਨ੍ਹਾਂ ਸਭਿਅਤਾਵਾਂ ਦੇ ਲੋਕਾਂ ਨੇ ਕਈ ਵਿਹਾਰਕ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਦਾ ਸਾਹਮਣਾ ਕੀਤਾ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੇ ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਦੇ ਵਿਕਾਸ ਨੂੰ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਲੋੜੀਂਦਾ ਬਣਾਇਆ।

ਉਦਾਹਰਣ ਵਜੋਂ, ਜਦੋਂ ਵੀ ਨੀਲ ਨਦੀ ਉਛਲਦੀ ਸੀ, ਤਾਂ ਇਹ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਜ਼ਮੀਨ ਮਾਲਕਾਂ ਦੇ ਨੇੜਲੇ ਖੇਤਾਂ ਵਿਚਕਾਰਲੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਨੂੰ ਮਿਟਾ ਦਿੰਦੀ ਸੀ। ਅਜਿਹੀ ਹੜ੍ਹ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਇਨ੍ਹਾਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਨੂੰ ਦੁਬਾਰਾ ਖਿੱਚਣਾ ਪੈਂਦਾ ਸੀ। ਇਸ ਉਦੇਸ਼ ਲਈ, ਮਿਸਰਵਾਸੀਆਂ ਨੇ ਸਧਾਰਨ ਖੇਤਰਫਲਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਅਤੇ ਸਧਾਰਨ ਰਚਨਾਵਾਂ ਕਰਨ ਲਈ ਕਈ ਜਿਓਮੈਟਰਿਕ ਤਕਨੀਕਾਂ ਅਤੇ ਨਿਯਮ ਵਿਕਸਿਤ ਕੀਤੇ। ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਦੇ ਗਿਆਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੁਆਰਾ ਅਨਾਜ ਦੇ ਭੰਡਾਰਾਂ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ, ਅਤੇ ਨਹਿਰਾਂ ਅਤੇ ਪਿਰਾਮਿਡ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਵੀ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਸੀ। ਉਹ ਇੱਕ ਕੱਟੇ ਹੋਏ ਪਿਰਾਮਿਡ (ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ 5.1) ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਲੱਭਣ ਲਈ ਸਹੀ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵੀ ਜਾਣਦੇ ਸਨ। ਤੁਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹੋ ਕਿ ਪਿਰਾਮਿਡ ਇੱਕ ਠੋਸ ਆਕ੍ਰਿਤੀ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਆਧਾਰ ਇੱਕ ਤਿਕੋਣ, ਜਾਂ ਵਰਗ, ਜਾਂ ਕੋਈ ਹੋਰ ਬਹੁਭੁਜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਪਾਸੇ ਵਾਲੇ ਚਿਹਰੇ ਤਿਕੋਣ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਉੱਪਰ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ‘ਤੇ ਮਿਲਦੇ ਹਨ।

ਚਿੱਤਰ 5.1 : ਇੱਕ ਕੱਟਿਆ ਹੋਇਆ ਪਿਰਾਮਿਡ

ਭਾਰਤੀ ਉਪ-ਮਹਾਂਦੀਪ ਵਿੱਚ, ਹੜੱਪਾ ਅਤੇ ਮੋਹਨਜੋ-ਦੜੋ ਆਦਿ ਵਿੱਚ ਖੁਦਾਈਆਂ ਦਰਸਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ ਕਿ ਸਿੰਧ ਘਾਟੀ ਸਭਿਅਤਾ (ਲਗਭਗ 3000 ਈਸਾ ਪੂਰਵ) ਨੇ ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਦੀ ਵਿਆਪਕ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ। ਇਹ ਇੱਕ ਬਹੁਤ ਸੰਗਠਿਤ ਸਮਾਜ ਸੀ। ਸ਼ਹਿਰ ਬਹੁਤ ਵਿਕਸਿਤ ਅਤੇ ਬਹੁਤ ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਯੋਜਨਾਬੱਧ ਸਨ। ਉਦਾਹਰਣ ਵਜੋਂ, ਸੜਕਾਂ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਸਨ ਅਤੇ ਇੱਕ ਭੂਮੀਗਤ ਨਿਕਾਸੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਸੀ। ਘਰਾਂ ਵਿੱਚ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਕਈ ਕਮਰੇ ਸਨ। ਇਹ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸ਼ਹਿਰ ਦੇ ਵਸਨੀਕ ਮਾਪ ਅਤੇ ਵਿਹਾਰਕ ਅੰਕਗਣਿਤ ਵਿੱਚ ਨਿਪੁੰਨ ਸਨ। ਨਿਰਮਾਣ ਲਈ ਵਰਤੀਆਂ ਜਾਣ ਵਾਲੀਆਂ ਇੱਟਾਂ ਭੱਠੀ ਵਿੱਚ ਪਕਾਈਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਸਨ ਅਤੇ ਇੱਟਾਂ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਲੰਬਾਈ : ਚੌੜਾਈ : ਮੋਟਾਈ, $4: 2: 1$ ਪਾਇਆ ਗਿਆ ਸੀ।

ਪ੍ਰਾਚੀਨ ਭਾਰਤ ਵਿੱਚ, ਸੁਲਬਸੂਤਰ ($800 \mathrm{BCE}$ ਤੋਂ $500 \mathrm{BCE}$) ਜਿਓਮੈਟਰਿਕ ਰਚਨਾਵਾਂ ਦੇ ਮੈਨੂਅਲ ਸਨ। ਵੈਦਿਕ ਕਾਲ ਦੀ ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਵੈਦਿਕ ਰੀਤੀ-ਰਿਵਾਜਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਲਈ ਵੇਦੀਆਂ (ਬਲੀਦਾਨ ਦੀਆਂ ਵੇਦੀਆਂ) ਅਤੇ ਚੁੱਲ੍ਹੇ ਬਣਾਉਣ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਹੋਈ। ਪਵਿੱਤਰ ਅੱਗਾਂ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਆਕਾਰਾਂ ਅਤੇ ਖੇਤਰਫਲਾਂ ਬਾਰੇ ਸਪੱਸ਼ਟ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਦਿੱਤੀਆਂ ਹਦਾਇਤਾਂ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਸੀ, ਜੇ ਉਹ ਪ੍ਰਭਾਵਸ਼ਾਲੀ ਸਾਧਨ ਬਣਨੇ ਸਨ। ਘਰੇਲੂ ਰੀਤੀ-ਰਿਵਾਜਾਂ ਲਈ ਵਰਗਾਕਾਰ ਅਤੇ ਗੋਲਾਕਾਰ ਵੇਦੀਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਸੀ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਆਮ ਪੂਜਾ ਲਈ ਉਹ ਵੇਦੀਆਂ ਲੋੜੀਂਦੀਆਂ ਸਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਆਕਾਰ ਆਇਤਾਂ, ਤਿਕੋਣਾਂ ਅਤੇ ਟਰੈਪੀਜ਼ੀਅਮਾਂ ਦੇ ਸੁਮੇਲ ਸਨ। ਸ਼੍ਰੀਯੰਤਰ (ਅਥਰਵਵੇਦ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ) ਨੌਂ ਇੰਟਰਵੋਵਨ ਸਮਦੋਭੁਜੀ ਤਿਕੋਣਾਂ ਨਾਲ ਬਣਿਆ ਹੈ। ਇਹ ਤਿਕੋਣ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵਿਵਸਥਿਤ ਹਨ ਕਿ ਉਹ 43 ਸਹਾਇਕ ਤਿਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਹਾਲਾਂਕਿ ਵੇਦੀਆਂ ਦੀ ਰਚਨਾ ਲਈ ਸਹੀ ਜਿਓਮੈਟਰਿਕ ਵਿਧੀਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਸੀ, ਪਰ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਪਿੱਛੇ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤਾਂ ‘ਤੇ ਚਰਚਾ ਨਹੀਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਸੀ।

ਇਹ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਦਰਸਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ ਕਿ ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਦੁਨੀਆ ਭਰ ਵਿੱਚ ਵਿਕਸਿਤ ਅਤੇ ਲਾਗੂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਰਹੀ ਸੀ। ਪਰ ਇਹ ਇੱਕ ਅਸੁਵਿਵਸਥਿਤ ਢੰਗ ਨਾਲ ਹੋ ਰਿਹਾ ਸੀ। ਪ੍ਰਾਚੀਨ ਦੁਨੀਆ ਵਿੱਚ ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਦੇ ਇਨ੍ਹਾਂ ਵਿਕਾਸਾਂ ਬਾਰੇ ਦਿਲਚਸਪ ਗੱਲ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਪੀੜ੍ਹੀ ਤੋਂ ਦੂਜੀ ਪੀੜ੍ਹੀ ਤੱਕ, ਜਾਂ ਤਾਂ ਮੌਖਿਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਜਾਂ ਤਾੜ ਦੇ ਪੱਤਿਆਂ ਦੇ ਸੰਦੇਸ਼ਾਂ ਦੁਆਰਾ, ਜਾਂ ਹੋਰ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਪਹੁੰਚਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਸੀ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕੁਝ ਸਭਿਅਤਾਵਾਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਬੈਬੀਲੋਨ ਵਿੱਚ, ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਇੱਕ ਬਹੁਤ ਹੀ ਵਿਹਾਰਕ-ਉਨਮੁਖ ਵਿਸ਼ਾ ਬਣੀ ਰਹੀ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਭਾਰਤ ਅਤੇ ਰੋਮ ਵਿੱਚ ਸੀ। ਮਿਸਰਵਾਸੀਆਂ ਦੁਆਰਾ ਵਿਕਸਿਤ ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਵਿੱਚ ਮੁੱਖ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੇ ਬਿਆਨ ਸ਼ਾਮਲ ਸਨ। ਕਾਰਜ-ਵਿਧੀ ਦੇ ਕੋਈ ਸਧਾਰਨ ਨਿਯਮ ਨਹੀਂ ਸਨ। ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਬੈਬੀਲੋਨੀਆਂ ਅਤੇ ਮਿਸਰਵਾਸੀਆਂ ਨੇ ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਵਿਹਾਰਕ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਲਈ ਕੀਤੀ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਵਿਵਸਥਿਤ ਵਿਗਿਆਨ ਵਜੋਂ ਵਿਕਸਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਬਹੁਤ ਘੱਟ ਕੀਤਾ। ਪਰ ਯੂਨਾਨ ਵਰਗੀਆਂ ਸਭਿਅਤਾਵਾਂ ਵਿੱਚ, ਜ਼ੋਰ ਇਸ ਤਰਕ ‘ਤੇ ਸੀ ਕਿ ਕੁਝ ਰਚਨਾਵਾਂ ਕਿਉਂ ਕੰਮ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ। ਯੂਨਾਨੀ ਉਹਨਾਂ ਬਿਆਨਾਂ ਦੀ ਸੱਚਾਈ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਦਿਲਚਸਪੀ ਰੱਖਦੇ ਸਨ ਜੋ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੇ ਨਿਗਮਨਾਤਮਕ ਤਰਕ (ਦੇਖੋ ਪਰਿਸ਼ਿਸ਼ਟ 1) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲੱਭੇ ਸਨ। ਇੱਕ ਯੂਨਾਨੀ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ, ਥੇਲਸ ਨੂੰ ਪਹਿਲਾ ਜਾਣਿਆ-ਪਛਾਣਿਆ ਪ੍ਰਮਾਣ ਦੇਣ ਦਾ ਸਿਹਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਪ੍ਰਮਾਣ ਇਸ ਬਿਆਨ ਦਾ ਸੀ ਕਿ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਇਸਦੇ ਵਿਆਸ ਦੁਆਰਾ ਦੋ ਬਰਾਬਰ ਹਿੱਸਿਆਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ (ਭਾਵ, ਦੋ ਬਰਾਬਰ ਹਿੱਸਿਆਂ ਵਿੱਚ ਕੱਟਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ)। ਥੇਲਸ ਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਮਸ਼ਹੂਰ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ (572 ਈਸਾ ਪੂਰਵ) ਸੀ, ਜਿਸ ਬਾਰੇ ਤੁਸੀਂ ਸੁਣਿਆ ਹੈ। ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਅਤੇ ਉਸਦੇ ਸਮੂਹ ਨੇ ਕਈ ਜਿਓਮੈਟਰਿਕ ਗੁਣ ਲੱਭੇ ਅਤੇ ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਨੂੰ ਬਹੁਤ ਹੱਦ ਤੱਕ ਵਿਕਸਿਤ ਕੀਤਾ। ਇਹ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ $300 \mathrm{BCE}$ ਤੱਕ ਜਾਰੀ ਰਹੀ। ਉਸ ਸਮੇਂ, ਮਿਸਰ ਦੇ ਅਲੈਗਜ਼ੈਂਡਰੀਆ ਵਿੱਚ ਗਣਿਤ ਦੇ ਅਧਿਆਪਕ ਯੂਕਲਿਡ ਨੇ ਸਾਰੇ ਜਾਣੇ-ਪਛਾਣੇ ਕੰਮ ਨੂੰ ਇਕੱਠਾ ਕੀਤਾ ਅਤੇ ਆਪਣੇ ਮਸ਼ਹੂਰ ਗ੍ਰੰਥ ਵਿੱਚ ਵਿਵਸਥਿਤ ਕੀਤਾ,

ਥੇਲਸ (640 ਈਸਾ ਪੂਰਵ - 546 ਈਸਾ ਪੂਰਵ)

ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਲਈ ਯੂਕਲਿਡ ਦੇ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਕੋਣ ‘ਤੇ ਚਰਚਾ ਕਰਾਂਗੇ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਮੌਜੂਦਾ ਸਮੇਂ ਦੀ ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਨਾਲ ਜੋੜਨ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰਾਂਗੇ।

ਯੂਕਲਿਡ (325 ਈਸਾ ਪੂਰਵ - 265 ਈਸਾ ਪੂਰਵ)

ਚਿੱਤਰ 5.3

5.2 ਯੂਕਲਿਡ ਦੀਆਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾਵਾਂ, ਸਵੈ-ਸਿੱਧ ਸਿਧਾਂਤ ਅਤੇ ਅਧਿਆਰੋਪਣ

ਯੂਕਲਿਡ ਦੇ ਸਮੇਂ ਦੇ ਯੂਨਾਨੀ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀਆਂ ਨੇ ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਨੂੰ ਉਸ ਸੰਸਾਰ ਦੇ ਇੱਕ ਅਮੂਰਤ ਮਾਡਲ ਵਜੋਂ ਸੋਚਿਆ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਉਹ ਰਹਿੰਦੇ ਸਨ। ਬਿੰਦੂ, ਰੇਖਾ, ਸਮਤਲ (ਜਾਂ ਸਤਹ) ਆਦਿ ਦੀਆਂ ਧਾਰਨਾਵਾਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਦੇਖੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਤੱਤਾਂ ਤੋਂ ਲਈਆਂ ਗਈਆਂ ਸਨ। ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਦੇ ਸਪੇਸ ਅਤੇ ਠੋਸ ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਅਧਿਐਨ ਤੋਂ, ਇੱਕ ਠੋਸ ਵਸਤੂ ਦੀ ਇੱਕ ਅਮੂਰਤ ਜਿਓਮੈਟਰਿਕ ਧਾਰਨਾ ਵਿਕਸਿਤ ਕੀਤੀ ਗਈ। ਇੱਕ ਠੋਸ ਦੀ ਆਕ੍ਰਿਤੀ, ਆਕਾਰ, ਸਥਿਤੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਜਗ੍ਹਾ ਤੋਂ ਦੂਜੀ ਜਗ੍ਹਾ ਲਿਜਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸਤਹ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਹ ਸਪੇਸ ਦੇ ਇੱਕ ਹਿੱਸੇ ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਤੋਂ ਵੱਖ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਕੋਈ ਮੋਟਾਈ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ। ਸਤਹਾਂ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਵਕਰ ਜਾਂ ਸਿੱਧੀਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਹ ਰੇਖਾਵਾਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ‘ਤੇ ਖਤਮ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।

ਠੋਸ ਤੋਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਤੱਕ ਤਿੰਨ ਕਦਮਾਂ (ਠੋਸ-ਸਤਹ-ਰੇਖਾਵਾਂ-ਬਿੰਦੂ) ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਹਰ ਕਦਮ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਵਿਸਤਾਰ ਗੁਆ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸਨੂੰ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਇੱਕ ਠੋਸ ਦੀਆਂ ਤਿੰਨ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਇੱਕ ਸਤਹ ਦੀਆਂ ਦੋ, ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦੀ ਇੱਕ ਅਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦੀ ਕੋਈ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ। ਯੂਕਲਿਡ ਨੇ ਇਨ੍ਹਾਂ ਬਿਆਨਾਂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਵਜੋਂ ਸੰਖੇਪ ਕੀਤਾ। ਉਸਨੇ ‘ਤੱਤ’ ਦੀ ਪੁਸਤਕ 1 ਵਿੱਚ 23 ਪਰਿਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਬਣਾ ਕੇ ਆਪਣੀ ਵਿਆਖਿਆ ਸ਼ੁਰੂ ਕੀਤੀ। ਉਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੁਝ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ:

1. ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਉਹ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਕੋਈ ਹਿੱਸਾ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ।
2. ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਬਿਨਾਂ ਚੌੜਾਈ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਹੈ।
3. ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦੇ ਸਿਰੇ ਬਿੰਦੂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
4. ਇੱਕ ਸਿੱਧੀ ਰੇਖਾ ਉਹ ਰੇਖਾ ਹੈ ਜੋ ਆਪਣੇ ਉੱਤੇ ਪਏ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਨਾਲ ਬਰਾਬਰ ਲੇਟਦੀ ਹੈ।
5. ਇੱਕ ਸਤਹ ਉਹ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਸਿਰਫ ਲੰਬਾਈ ਅਤੇ ਚੌੜਾਈ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
6. ਇੱਕ ਸਤਹ ਦੇ ਕਿਨਾਰੇ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।
7. ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਸਤਹ ਉਹ ਸਤਹ ਹੈ ਜੋ ਆਪਣੇ ਉੱਤੇ ਪਈਆਂ ਸਿੱਧੀਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਨਾਲ ਬਰਾਬਰ ਲੇਟਦੀ ਹੈ।

ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਨ੍ਹਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਦਾ ਧਿਆਨ ਨਾਲ ਅਧਿਐਨ ਕਰੋ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਪਾਓਗੇ ਕਿ ਕੁਝ ਸ਼ਬਦ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹਿੱਸਾ, ਚੌੜਾਈ, ਲੰਬਾਈ, ਬਰਾਬਰ, ਆਦਿ ਨੂੰ ਹੋਰ ਸਪੱਸ਼ਟ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਸਮਝਾਉਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਣ ਵਜੋਂ, ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦੀ ਉਸਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਇਸ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਵਿੱਚ, ‘ਇੱਕ ਹਿੱਸਾ’ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ‘ਇੱਕ ਹਿੱਸਾ’ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹੋ ਕਿ ਇਹ ‘ਖੇਤਰਫਲ’ ਘੇਰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਫਿਰ ‘ਇੱਕ ਖੇਤਰਫਲ’ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਇੱਕ ਚੀਜ਼ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਤੁਹਾਨੂੰ ਕਈ ਹੋਰ ਚੀਜ਼ਾਂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ, ਅਤੇ ਤੁਸੀਂ ਬਿਨਾਂ ਅੰਤ ਦੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਲੰਬੀ ਲੜੀ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ। ਅਜਿਹੇ ਕਾਰਨਾਂ ਕਰਕੇ, ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਕੁਝ ਜਿਓਮੈਟਰਿਕ ਸ਼ਬਦਾਂ ਨੂੰ ਅਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਛੱਡਣ ਲਈ ਸਹਿਮਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦੀ ਜਿਓਮੈਟਰਿਕ ਧਾਰਨਾ ਲਈ ਉਪਰੋਕਤ ‘ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ’ ਨਾਲੋਂ ਇੱਕ ਸਹਿਜ ਅਨੁਭਵ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਬਿੰਦੀ ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਭਾਵੇਂ ਕਿ ਇੱਕ ਬਿੰਦੀ ਦੀ ਕੁਝ ਮਾਤਰਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

ਉਪਰੋਕਤ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ 2 ਵਿੱਚ ਵੀ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਸਮੱਸਿਆ ਆਉਂਦੀ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਚੌੜਾਈ ਅਤੇ ਲੰਬਾਈ ਦਾ ਹਵਾਲਾ ਦਿੰਦੀ ਹੈ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸੇ ਨੂੰ ਵੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਸ ਕਾਰਨ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਧਿਐਨ ਕੋਰਸ ਨੂੰ ਵਿਕਸਿਤ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਕੁਝ ਸ਼ਬਦਾਂ ਨੂੰ ਅਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਰੱਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ, ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਅਤੇ ਇੱਕ ਸਮਤਲ (ਯੂਕਲਿਡ ਦੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਸਤਹ) ਨੂੰ ਅਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਜੋਂ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ। ਇਕਲੌਤੀ ਗੱਲ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਸਹਿਜ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਾਂ ‘ਭੌਤਿਕ ਮਾਡਲਾਂ’ ਦੀ ਮਦਦ ਨਾਲ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਸਮਝਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।

ਆਪਣੀਆਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਕੇ, ਯੂਕਲਿਡ ਨੇ ਕੁਝ ਗੁਣਾਂ ਨੂੰ ਮੰਨਿਆ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਸਿੱਧ ਨਹੀਂ ਕਰਨਾ ਸੀ। ਇਹ ਧਾਰਨਾਵਾਂ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ‘ਸਪੱਸ਼ਟ ਸਰਵਵਿਆਪਕ ਸੱਚਾਈਆਂ’ ਹਨ। ਉਸਨੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਦੋ ਕਿਸਮਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ: ਸਵੈ-ਸਿੱਧ ਸਿਧਾਂਤ ਅਤੇ ਅਧਿਆਰੋਪਣ। ਉਸਨੇ ‘ਅਧਿਆਰੋਪਣ’ ਸ਼ਬਦ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਧਾਰਨਾਵਾਂ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜੋ ਖਾਸ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਸਨ। ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ, ਸਾਂਝੀਆਂ ਧਾਰਨਾਵਾਂ (ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਅਕਸਰ ਸਵੈ-ਸਿੱਧ ਸਿਧਾਂਤ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ), ਉਹ ਧਾਰਨਾਵਾਂ ਸਨ ਜੋ ਪੂਰੇ ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ ਵਰਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਸਨ ਅਤੇ ਖਾਸ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਨਾਲ ਜੁੜੀਆਂ ਨਹੀਂ ਸਨ। ਸਵੈ-ਸਿੱਧ ਸਿਧਾਂਤਾਂ ਅਤੇ ਅਧਿਆਰੋਪਣਾਂ ਬਾਰੇ ਵਿਸਤਾਰ ਲਈ, ਪਰਿਸ਼ਿਸ਼ਟ 1 ਦੇਖੋ। ਯੂਕਲਿਡ ਦੇ ਕੁਝ ਸਵੈ-ਸਿੱਧ ਸਿਧਾਂਤ, ਉਸਦੇ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ, ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ:

(1) ਜੋ ਚੀਜ਼ਾਂ ਇੱਕ ਹੀ ਚੀਜ਼ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਉਹ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।

(2) ਜੇ ਬਰਾਬਰ ਚੀਜ਼ਾਂ ਵਿੱਚ ਬਰਾਬਰ ਚੀਜ਼ਾਂ ਜੋੜੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ, ਤਾਂ ਪੂਰੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।

(3) ਜੇ ਬਰਾਬਰ ਚੀਜ਼ਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਬਰਾਬਰ ਚੀਜ਼ਾਂ ਘਟਾਈਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ, ਤਾਂ ਬਾਕੀ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।

(4) ਜੋ ਚੀਜ਼ਾਂ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦੀਆਂ ਹਨ, ਉਹ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।

(5) ਪੂਰਾ, ਹਿੱਸੇ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

(6) ਜੋ ਚੀਜ਼ਾਂ ਇੱਕ ਹੀ ਚੀਜ਼ ਦੇ ਦੋਗੁਣਾ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਉਹ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।

(7) ਜੋ ਚੀਜ਼ਾਂ ਇੱਕ ਹੀ ਚੀਜ਼ ਦੇ ਅੱਧੇ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਉਹ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।

ਇਹ ‘ਸਾਂਝੀਆਂ ਧਾਰਨਾਵਾਂ’ ਕਿਸੇ ਕਿਸਮ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਦਾ ਹਵਾਲਾ ਦਿੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਪਹਿਲੀ ਸਾਂਝੀ ਧਾਰਨਾ ਨੂੰ ਸਮਤਲ ਆਕ੍ਰਿਤੀਆਂ ‘ਤੇ ਲਾਗੂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਣ ਵਜੋਂ, ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਤਿਕੋਣ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਇੱਕ ਆਇਤ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ ਅਤੇ ਆਇਤ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਇੱਕ ਵਰਗ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਤਿਕੋਣ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਵੀ ਵਰਗ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।

ਇੱਕੋ ਕਿਸਮ ਦੀਆਂ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਅਤੇ ਜੋੜ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਕਿਸਮਾਂ ਦੀਆਂ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਨਹੀਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ। ਉਦਾਹਰਣ ਵਜੋਂ, ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਇੱਕ ਆਇਤ ਨਾਲ ਨਹੀਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ, ਅਤੇ ਨਾ ਹੀ ਇੱਕ ਕੋਣ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਇੱਕ ਪੰਜਭੁਜ ਨਾਲ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।

ਉਪਰੋਕਤ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ 4ਵਾਂ ਸਵੈ-ਸਿੱਧ ਸਿਧਾਂਤ ਇਹ ਕਹਿਣਾ ਜਾਪਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜੇ ਦੋ ਚੀਜ਼ਾਂ ਇੱਕੋ ਜਿਹੀਆਂ ਹਨ (ਭਾਵ, ਉਹ ਇੱਕੋ ਹਨ), ਤਾਂ ਉਹ ਬਰਾਬਰ ਹਨ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਹਰ ਚੀਜ਼ ਆਪਣੇ ਆਪ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਇਹ ਸੁਪਰਪੋਜੀਸ਼ਨ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਦਾ ਸਮਰਥਨ ਹੈ। ਸਵੈ-ਸਿੱਧ ਸਿਧਾਂਤ (5) ਸਾਨੂੰ ‘ਤੋਂ ਵੱਡਾ’ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਣ ਵਜੋਂ, ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਮਾਤਰਾ B ਦੂਜੀ ਮਾਤਰਾ A ਦਾ ਇੱਕ ਹਿੱਸਾ