5.1 పరిచయం

‘జ్యామితి’ అనే పదం గ్రీకు పదాలైన ‘జియో’ (భూమి) మరియు ‘మెట్రిన్’ (కొలవడం) నుండి వచ్చింది. భూమిని కొలవాల్సిన అవసరం నుండి జ్యామితి ఉద్భవించినట్లు కనిపిస్తుంది. ఈ గణిత శాఖ ప్రతి ప్రాచీన నాగరికతలోనూ - ఈజిప్టు, బాబిలోనియా, చైనా, భారతదేశం, గ్రీస్, ఇంకా ప్రజలు వంటి వాటిలో - వివిధ రూపాల్లో అధ్యయనం చేయబడింది. ఈ నాగరికతల ప్రజలు అనేక ఆచరణాత్మక సమస్యలను ఎదుర్కొన్నారు, ఇవి జ్యామితి అభివృద్ధికి వివిధ మార్గాల్లో దోహదపడ్డాయి.

ఉదాహరణకు, నైలు నది పొంగి ఎగిసినప్పుడల్లా, వివిధ భూమి యజమానుల ప్రక్కనే ఉన్న పొలాల మధ్య సరిహద్దులను తుడిచిపెట్టేది. అటువంటి వరదల తర్వాత, ఈ సరిహద్దులను మళ్లీ గీయవలసి వచ్చేది. ఈ ప్రయోజనం కోసం, ఈజిప్షియన్లు సాధారణ వైశాల్యాలను లెక్కించడానికి మరియు సాధారణ నిర్మాణాలు చేయడానికి అనేక జ్యామితీయ పద్ధతులు మరియు నియమాలను అభివృద్ధి చేశారు. గ్రానరీల ఘనపరిమాణాలను లెక్కించడానికి మరియు కాలువలు మరియు పిరమిడ్లను నిర్మించడానికి కూడా వారు జ్యామితి జ్ఞానాన్ని ఉపయోగించారు. ఖండించబడిన పిరమిడ్ యొక్క ఘనపరిమాణాన్ని కనుగొనడానికి సరైన సూత్రం కూడా వారికి తెలుసు (చిత్రం 5.1 చూడండి). పిరమిడ్ అనేది ఒక ఘన ఆకారం, దీని ఆధారం ఒక త్రిభుజం, లేదా చతురస్రం, లేదా కొన్ని ఇతర బహుభుజి, మరియు దాని పార్శ్వ ముఖాలు పైభాగంలో ఒక బిందువు వద్ద కలిసే త్రిభుజాలు అని మీకు తెలుసు.

చిత్రం 5.1 : ఒక ఖండించబడిన పిరమిడ్

భారత ఉపఖండంలో, హరప్పా మరియు మొహెంజొదారోలోని త్రవ్వకాలు, సింధు లోయ నాగరికత (సుమారు 3000 BCE) జ్యామితిని విస్తృతంగా ఉపయోగించిందని చూపిస్తాయి. ఇది చాలా సంస్థీకృత సమాజం. నగరాలు చాలా అభివృద్ధి చెంది, చాలా బాగా ప్రణాళికాబద్ధంగా ఉండేవి. ఉదాహరణకు, రోడ్లు ఒకదానికొకటి సమాంతరంగా ఉండేవి మరియు భూగర్భ డ్రైనేజీ వ్యవస్థ ఉండేది. ఇళ్లలో వివిధ రకాల అనేక గదులు ఉండేవి. పట్టణవాసులు క్షేత్రగణితం మరియు ఆచరణాత్మక అంకగణితంలో నైపుణ్యం కలిగి ఉన్నారని ఇది చూపిస్తుంది. నిర్మాణాల కోసం ఉపయోగించిన ఇటుకలు కొలిమిలో కాల్చబడినవి మరియు ఇటుకల పొడవు : వెడల్పు : మందం నిష్పత్తి $4: 2: 1$ గా కనుగొనబడింది.

ప్రాచీన భారతదేశంలో, సుల్బసూత్రాలు ($800 \mathrm{BCE}$ నుండి $500 \mathrm{BCE}$) జ్యామితీయ నిర్మాణాల మాన్యువల్లు. వైదిక కాలం యొక్క జ్యామితి వైదిక కర్మలను నిర్వహించడానికి బలిపీఠాలు (లేదా వేదికలు) మరియు అగ్నికుండాల నిర్మాణంతో ప్రారంభమైంది. పవిత్ర అగ్నుల స్థానం వాటి ఆకారాలు మరియు వైశాల్యాల గురించి స్పష్టంగా నిర్దేశించబడిన సూచనల ప్రకారం ఉండాలి, అవి ప్రభావవంతమైన సాధనాలుగా ఉండాలంటే. చతురస్రాకార మరియు వృత్తాకార బలిపీఠాలు గృహ కర్మల కోసం ఉపయోగించబడ్డాయి, అయితే దీర్ఘచతురస్రాలు, త్రిభుజాలు మరియు సమలంబ చతుర్భుజాల కలయికల ఆకారాలు కలిగిన బలిపీఠాలు ప్రజా ఆరాధన కోసం అవసరమయ్యాయి. శ్రీయంత్రం (అథర్వవేదంలో ఇవ్వబడింది) తొమ్మిది అంతర్విభాగ సమద్విబాహు త్రిభుజాలను కలిగి ఉంటుంది. ఈ త్రిభుజాలు 43 సహాయక త్రిభుజాలను ఉత్పత్తి చేసే విధంగా అమర్చబడి ఉంటాయి. బలిపీఠాల నిర్మాణానికి ఖచ్చితమైన జ్యామితీయ పద్ధతులు ఉపయోగించబడినప్పటికీ, వాటి వెనుక ఉన్న సూత్రాలు చర్చించబడలేదు.

ఈ ఉదాహరణలు ప్రపంచం మొత్తంలో జ్యామితి అభివృద్ధి చేయబడుతున్నట్లు మరియు వర్తింపజేయబడుతున్నట్లు చూపిస్తాయి. కానీ ఇది అసంఘటిత పద్ధతిలో జరుగుతోంది. ప్రాచీన ప్రపంచంలో జ్యామితి యొక్క ఈ అభివృద్ధుల గురించి ఆసక్తికరమైన విషయం ఏమిటంటే, అవి ఒక తరం నుండి మరొక తరానికి మౌఖికంగా లేదా తాటి ఆకు సందేశాల ద్వారా లేదా ఇతర మార్గాల ద్వారా ప్రసారం చేయబడ్డాయి. అలాగే, బాబిలోనియా వంటి కొన్ని నాగరికతలలో, జ్యామితి చాలా ఆచరణాత్మక ఆధారిత శాస్త్రంగానే ఉండిపోయిందని మనం కనుగొంటాము, భారతదేశం మరియు రోమ్లో జరిగినట్లుగానే. ఈజిప్షియన్లు అభివృద్ధి చేసిన జ్యామితి ప్రధానంగా ఫలితాల ప్రకటనలను కలిగి ఉండేది. ప్రక్రియకు సాధారణ నియమాలు లేవు. వాస్తవానికి, బాబిలోనియన్లు మరియు ఈజిప్షియన్లు జ్యామితిని ప్రధానంగా ఆచరణాత్మక ప్రయోజనాల కోసం ఉపయోగించారు మరియు దానిని ఒక క్రమబద్ధమైన శాస్త్రంగా అభివృద్ధి చేయడానికి చాలా తక్కువ చేశారు. కానీ గ్రీస్ వంటి నాగరికతలలో, కొన్ని నిర్మాణాలు ఎందుకు పని చేస్తాయనే దాని వెనుక ఉన్న తార్కికంపై దృష్టి పెట్టారు. నిగమన తార్కికాన్ని ఉపయోగించి వారు కనుగొన్న ప్రకటనల యొక్క సత్యాన్ని స్థాపించడంపై గ్రీకులు ఆసక్తి కలిగి ఉన్నారు (అనుబంధం 1 చూడండి). ఒక గ్రీకు గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు, థేల్స్ మొదటి తెలిసిన రుజువు ఇచ్చినందుకు గుర్తింపు పొందాడు. ఈ రుజువు ఒక వృత్తం దాని వ్యాసం ద్వారా సమద్విఖండన చేయబడుతుంది (అంటే, రెండు సమాన భాగాలుగా కత్తిరించబడుతుంది) అనే ప్రకటనకు సంబంధించినది. థేల్స్ యొక్క అత్యంత ప్రసిద్ధ విద్యార్థులలో ఒకడు పైథాగరస్ (572 BCE), అతని గురించి మీరు విన్నారు. పైథాగరస్ మరియు అతని సమూహం అనేక జ్యామితీయ లక్షణాలను కనుగొన్నారు మరియు జ్యామితి సిద్ధాంతాన్ని చాలా వరకు అభివృద్ధి చేశారు. ఈ ప్రక్రియ $300 \mathrm{BCE}$ వరకు కొనసాగింది. ఆ సమయంలో, ఈజిప్టులోని అలెగ్జాండ్రియాలో గణిత ఉపాధ్యాయుడైన యూక్లిడ్, అన్ని తెలిసిన పనిని సేకరించి, తన ప్రసిద్ధ గ్రంథంలో అమర్చాడు,

థేల్స్ (640 BCE - 546 BCE)

ఈ అధ్యాయంలో, మేము జ్యామితికి యూక్లిడ్ యొక్క విధానాన్ని చర్చిస్తాము మరియు దానిని ప్రస్తుత జ్యామితితో లింక్ చేయడానికి ప్రయత్నిస్తాము.

యూక్లిడ్ (325 BCE - 265 BCE)

చిత్రం 5.3

5.2 యూక్లిడ్ యొక్క నిర్వచనాలు, స్వయం సిద్ధాలు మరియు అంగీకారాలు

యూక్లిడ్ కాలంలోని గ్రీకు గణిత శాస్త్రజ్ఞులు జ్యామితిని వారు నివసించే ప్రపంచం యొక్క ఒక సంగ్రహ నమూనాగా భావించారు. బిందువు, రేఖ, తలం (లేదా ఉపరితలం) మొదలైన భావనలు వారి చుట్టూ ఉన్న వాటి నుండి ఉద్భవించాయి. వారి చుట్టూ ఉన్న అంతరిక్షం మరియు ఘనపదార్థాల అధ్యయనం నుండి, ఒక ఘన వస్తువు యొక్క సంగ్రహ జ్యామితీయ భావన అభివృద్ధి చేయబడింది. ఒక ఘనానికి ఆకారం, పరిమాణం, స్థానం ఉంటాయి మరియు ఒక ప్రదేశం నుండి మరొక ప్రదేశానికి తరలించబడుతుంది. దాని సరిహద్దులను ఉపరితలాలు అంటారు. అవి అంతరిక్షం యొక్క ఒక భాగాన్ని మరొక భాగం నుండి వేరు చేస్తాయి మరియు మందం లేనివిగా చెప్పబడతాయి. ఉపరితలాల సరిహద్దులు వక్రరేఖలు లేదా సరళ రేఖలు. ఈ రేఖలు బిందువులలో ముగుస్తాయి.

ఘనాల నుండి బిందువుల వరకు మూడు దశలను పరిగణించండి (ఘనాలు-ఉపరితలాలు-రేఖలు-బిందువులు). ప్రతి దశలో మనం ఒక పరిమాణాన్ని కోల్పోతాము, దీనిని కూడా మితి అంటారు. కాబట్టి, ఒక ఘనానికి మూడు మితులు ఉంటాయి, ఒక ఉపరితలానికి రెండు, ఒక రేఖకు ఒకటి మరియు ఒక బిందువుకు ఏదీ లేదు. యూక్లిడ్ ఈ ప్రకటనలను నిర్వచనాలుగా సంగ్రహించాడు. అతను ‘ఎలిమెంట్స్’ యొక్క పుస్తకం 1లో 23 నిర్వచనాలను జాబితా చేయడం ద్వారా తన వివరణను ప్రారంభించాడు. వాటిలో కొన్ని క్రింద ఇవ్వబడ్డాయి:

1. ఒక బిందువు అనేది ఏ భాగాన్ని కలిగి ఉండనిది.
2. ఒక రేఖ అనేది వెడల్పు లేని పొడవు.
3. ఒక రేఖ యొక్క చివరలు బిందువులు.
4. ఒక సరళ రేఖ అనేది దానిపై ఉన్న బిందువులతో సమానంగా ఉండే రేఖ.
5. ఒక ఉపరితలం అనేది పొడవు మరియు వెడల్పు మాత్రమే కలిగి ఉండేది.
6. ఒక ఉపరితలం యొక్క అంచులు రేఖలు.
7. ఒక సమతల ఉపరితలం అనేది దానిపై ఉన్న సరళ రేఖలతో సమానంగా ఉండే ఉపరితలం.

మీరు ఈ నిర్వచనాలను జాగ్రత్తగా అధ్యయనం చేస్తే, భాగం, వెడల్పు, పొడవు, సమానంగా మొదలైన కొన్ని పదాలు స్పష్టంగా వివరించబడాల్సిన అవసరం ఉందని మీరు గమనించవచ్చు. ఉదాహరణకు, అతని బిందువు యొక్క నిర్వచనాన్ని పరిగణించండి. ఈ నిర్వచనంలో, ‘ఒక భాగం’ నిర్వచించబడాలి. మీరు ‘ఒక భాగం’ అనేది ‘వైశాల్యం’ ఆక్రమించేదిగా నిర్వచిస్తే, మళ్లీ ‘ఒక వైశాల్యం’ నిర్వచించబడాలి. కాబట్టి, ఒక విషయాన్ని నిర్వచించడానికి, మీరు అనేక ఇతర విషయాలను నిర్వచించాలి, మరియు మీరు ముగింపు లేకుండా నిర్వచనాల దీర్ఘ శ్రేణిని పొందవచ్చు. అలాంటి కారణాల వల్ల, గణిత శాస్త్రజ్ఞులు కొన్ని జ్యామితీయ పదాలను నిర్వచించబడనివిగా వదిలివేయడానికి అంగీకరిస్తారు. అయినప్పటికీ, పైన ఇచ్చిన ‘నిర్వచనం’ మనకు ఇచ్చే దానికంటే బిందువు యొక్క జ్యామితీయ భావన కోసం మనకు అంతర్గత అనుభూతి ఉంది. కాబట్టి, మేము ఒక బిందువును ఒక చుక్కగా సూచిస్తాము, అయినప్పటికీ ఒక చుక్కకు కొంత పరిమాణం ఉంటుంది.

పైన ఇచ్చిన నిర్వచనం 2లో కూడా ఇదే సమస్య ఉద్భవిస్తుంది, ఎందుకంటే ఇది వెడల్పు మరియు పొడవును సూచిస్తుంది, వీటిలో ఏదీ నిర్వచించబడలేదు. దీని కారణంగా, ఏదైనా అధ్యయన కోర్సును అభివృద్ధి చేస్తున్నప్పుడు కొన్ని పదాలు నిర్వచించబడనివిగా ఉంచబడతాయి. కాబట్టి, జ్యామితిలో, మేము ఒక బిందువు, ఒక రేఖ మరియు ఒక తలాన్ని (యూక్లిడ్ పదాలలో ఒక సమతల ఉపరితలం) నిర్వచించబడని పదాలుగా తీసుకుంటాము. ఏకైక విషయం ఏమిటంటే, మనం వాటిని అంతర్గతంగా సూచించవచ్చు, లేదా ‘భౌతిక నమూనాల’ సహాయంతో వాటిని వివరించవచ్చు.

తన నిర్వచనాలతో ప్రారంభించి, యూక్లిడ్ కొన్ని లక్షణాలను ఊహించుకున్నాడు, అవి నిరూపించబడవలసినవి కావు. ఈ ఊహలు వాస్తవానికి ‘స్పష్టమైన సార్వత్రిక సత్యాలు’. అతను వాటిని రెండు రకాలుగా విభజించాడు: స్వయం సిద్ధాలు మరియు అంగీకారాలు. అతను జ్యామితికి ప్రత్యేకమైన ఊహల కోసం ‘అంగీకారం’ అనే పదాన్ని ఉపయోగించాడు. మరోవైపు, సామాన్య భావనలు (తరచుగా స్వయం సిద్ధాలు అని పిలుస్తారు) అనేవి మొత్తం గణితంలో ఉపయోగించబడే ఊహలు మరియు జ్యామితికి ప్రత్యేకంగా లింక్ చేయబడలేదు. స్వయం సిద్ధాలు మరియు అంగీకారాల గురించి వివరాల కోసం, అనుబంధం 1 చూడండి. యూక్లిడ్ యొక్క కొన్ని స్వయం సిద్ధాలు, అతని క్రమంలో కాకుండా, క్రింద ఇవ్వబడ్డాయి:

(1) ఒకే విషయానికి సమానమైనవి ఒకదానికొకటి సమానం. (2) సమానాలకు సమానాలు కలిపితే, మొత్తాలు సమానం. (3) సమానాల నుండి సమానాలు తీసివేస్తే, మిగిలినవి సమానం. (4) ఒకదానితో ఒకటి ఏకీభవించేవి సమానం. (5) మొత్తం భాగం కంటే పెద్దది. (6) ఒకే విషయాల రెట్టింపు అయినవి ఒకదానికొకటి సమానం. (7) ఒకే విషయాల సగం అయినవి ఒకదానికొకటి సమానం.

ఈ ‘సామాన్య భావనలు’ ఒక రకమైన పరిమాణాలను సూచిస్తాయి. మొదటి సామాన్య భావనను సమతల ఆకారాలకు వర్తింపజేయవచ్చు. ఉదాహరణకు, ఒక త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం ఒక దీర్ఘచతురస్రం యొక్క వైశాల్యానికి సమానం మరియు దీర్ఘచతురస్రం యొక్క వైశాల్యం ఒక చతురస్రం యొక్క వైశాల్యానికి సమానమైతే, త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం కూడా చతురస్రం యొక్క వైశాల్యానికి సమానం.

ఒకే రకమైన పరిమాణాలను పోల్చవచ్చు మరియు కలపవచ్చు, కానీ విభిన్న రకాల పరిమాణాలను పోల్చలేము. ఉదాహరణకు, ఒక రేఖను దీర్ఘచతురస్రంతో పోల్చలేము, లేదా ఒక కోణాన్ని ఒక పంచభుజితో పోల్చలేము.

పైన ఇచ్చిన 4వ స్వయం సిద్ధం రెండు విషయాలు ఒకేలా ఉంటే (అంటే, అవి ఒకటే), అప్పుడు అవి సమానం అని చెప్పినట్లుగా ఉంది. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ప్రతిదీ దానికదే సమానం. ఇది అధ్యారోపణ సూత్రం యొక్క సమర్థన. స్వయం సిద్ధం (5) మనకు ‘కంటే పెద్దది’ యొక్క నిర్వచనాన్ని ఇస్తుంది. ఉదాహరణకు, ఒక పరిమాణం B మరొక పరిమాణం A యొక్క ఒక భాగం అయితే, A ని B మరియు కొన్ని మూడవ పరిమాణం C యొక్క మొత్తంగా రాయవచ్చు. చిహ్నాత్మకంగా, A > B అంటే ఏదైనా $\mathrm{C}$ ఉంది అంటే $\mathrm{A}=\mathrm{B}+\mathrm{C}$.

ఇప్పుడు యూక్లిడ్ యొక్క ఐదు అంగీకారాలను చర్చిద్దాం. అవి:

అంగీకారం 1 : ఏదైనా ఒక బిందువు నుండి ఏదైనా ఇతర బిందువుకు ఒక సరళ రేఖ గీయవచ్చు.

ఈ అంగీకారం రెండు విభిన్న బిందువుల గుండా కనీసం ఒక సరళ రేఖ వెళుతుందని మనకు చెప్తుంది, కానీ అంతకంటే ఎక్కువ ఒకటి ఉండదని చెప్పదు. అయినప్పటికీ, తన పనిలో, యూక్లిడ్ తరచుగా, ప్రస్తావించకుండా, రెండు విభిన్న బిందువులను కలిపే ఒక ప్రత్యేక రేఖ ఉందని ఊహించాడు. మేము ఈ ఫలితాన్ని ఒక స్వయం సిద్ధం రూపంలో క్రింది విధంగా పేర్కొంటాము:

స్వయం సిద్ధం 5.1 : రెండు విభిన్న బిందువులు ఇవ్వబడితే, వాటి గుండా వెళ్ళే ఒక ప్రత్యేక రేఖ ఉంటుంది.

$P$ గుండా వెళుతున్న ఎన్ని రేఖలు $Q$ గుండా కూడా వెళతాయి (చిత్రం 5.4 చూడండి)? ఒకటి మాత్రమే, అంటే రేఖ $P Q$. $Q$ గుండా వెళుతున్న ఎన్ని రేఖలు $P$ గుండా కూడా వెళతాయి? ఒకటి మాత్రమే, అంటే రేఖ PQ. అందువల్ల, పైన ఉన్న ప్రకటన స్వయంసిద్ధం, కాబట్టి ఒక స్వయం సిద్ధంగా తీసుకోబడింది.

చిత్రం 5.4

అంగీకారం 2 : ఒక ముగింపు రేఖను అనిశ్చితంగా పొడిగించవచ్చు.

నేడు మనం రేఖాఖండం అని పిలిచేది యూక్లిడ్ ముగింపు రేఖ అని పిలిచేదని గమనించండి. కాబట్టి, ప్రస్తుత కాలపు పదాల ప్రకారం, రెండవ అంగీకారం ఒక రేఖాఖండాన్ని రెండు వైపులా విస్తరించి ఒక రేఖగా రూపొందించవచ్చని చెప్పింది (చిత్రం 5.5 చూడండి).

చిత్రం 5.5

అంగీకారం 3 : ఏదైనా కేంద్రం మరియు ఏదైనా వ్యాసార్థంతో ఒక వృత్తాన్ని గీయవచ్చు.

అంగీకారం 4 : అన్ని లంబ కోణాలు ఒకదానికొకటి సమానం.

అంగీకారం 5 : ఒక సరళ రేఖ రెండు సరళ రేఖలపై పడి, తీసుకున్న అంతర కోణాల మొత్తం రెండు లంబ కోణాల కంటే తక్కువగా ఉంటే, అప్పుడు ఆ రెండు సరళ రేఖలు, అనిశ్చితంగా పొడిగించబడితే, కోణాల మొత్తం రెండు లంబ కోణాల కంటే తక్కువగా ఉన్న వైపున కలుస్తాయి.

ఉదాహరణకు, చిత్రం 5.6లోని రేఖ PQ $\mathrm{AB}$ మరియు $\mathrm{CD}$ రేఖలపై పడింది, అంతర కోణాలు 1 మరియు 2 యొక్క మొత్తం PQ యొక్క ఎడమ వైపు $180^{\circ}$ కంటే తక్కువగా ఉంటుంది. కాబట్టి, రేఖలు $\mathrm{AB}$ మరియు $\mathrm{CD}$ చివరికి PQ యొక్క ఎడమ వైపు ఖండించ