১০.১ ত্ৰিভুজৰ কালি — হেৰ’নৰ সূত্ৰৰ দ্বাৰা

আমি জানো যে ত্ৰিভুজৰ কালি, যেতিয়া ইয়াৰ উচ্চতা দিয়া থাকে, হ’ল $\frac{1}{2} \times$ ভূমি $\times$ উচ্চতা। এতিয়া ধৰা হওক যে আমি এটা বিষমবাহু ত্ৰিভুজৰ বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য জানো কিন্তু উচ্চতা নাজানো। তেতিয়াও আপুনি ইয়াৰ কালি উলিয়াব পাৰিবনে? উদাহৰণস্বৰূপে, আপোনাৰ এটা ত্ৰিভুজাকাৰ পাৰ্ক আছে যাৰ বাহুবোৰ ৪০ $\mathrm{m}, 32 \mathrm{~m}$, আৰু $24 \mathrm{~m}$। আপুনি ইয়াৰ কালি কেনেকৈ গণনা কৰিব? নিশ্চিতভাৱে যদি আপুনি সূত্ৰটো প্ৰয়োগ কৰিব বিচাৰে, তেন্তে আপুনি ইয়াৰ উচ্চতা গণনা কৰিব লাগিব। কিন্তু উচ্চতা গণনা কৰিবলৈ আমাৰ কোনো সূত্ৰ নাই। চেষ্টা কৰি চাওক। যদি আপুনি ইয়াক পাব নোৱাৰে, তেন্তে পৰৱৰ্তী অংশলৈ যাওক।

হেৰ’নৰ জন্ম হৈছিল প্ৰায় ১০ খ্ৰীষ্টাব্দত সম্ভৱতঃ ইজিপ্তৰ আলেকজেণ্ড্ৰিয়াত। তেওঁ প্ৰায়োগিক গণিতত কাম কৰিছিল। গণিত আৰু ভৌতিক বিষয়ত তেওঁৰ কাম ইমানেই বহু আৰু বৈচিত্ৰ্যপূৰ্ণ যে এই ক্ষেত্ৰত তেওঁক এক বিশ্বকোষীয় লেখক বুলি গণ্য কৰা হয়। তেওঁৰ জ্যামিতিক কামবোৰ প্ৰায়ে মেনচুৰেচনৰ সমস্যাৰ সৈতে জড়িত, যি তিনিখন কিতাপত লিখা হৈছিল। কিতাপ প্ৰথমটোৱে বৰ্গ, আয়ত, ত্ৰিভুজ, ট্ৰেপিজয়েড (ট্ৰেপিজিয়া), বিভিন্ন বিশেষ চতুৰ্ভুজ, সুষম বহুভুজ, বৃত্ত, চিলিণ্ডাৰ, শংকু, গোলক আদিৰ পৃষ্ঠৰ কালিৰ সৈতে ব্যৱহাৰ কৰে। এই কিতাপখনত, হেৰ’নে ত্ৰিভুজৰ কালিৰ বাবে ইয়াৰ তিনিটা বাহুৰ মাজৰ পৰা বিখ্যাত সূত্ৰটো উদ্ভাৱন কৰিছে।

চিত্ৰ ১০.১

হেৰ’নে দিয়া ত্ৰিভুজৰ কালিৰ সূত্ৰটোক হিৰ’ৰ সূত্ৰ বুলিও জনা যায়। ইয়াক এনেদৰে বৰ্ণনা কৰা হৈছে:

$$ \text { Area of a triangle }=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} $$

য’ত $a, b$ আৰু $c$ হৈছে ত্ৰিভুজৰ বাহুবোৰ, আৰু $s=$ অৰ্ধ-পৰিসীমা, অৰ্থাৎ ত্ৰিভুজৰ পৰিসীমাৰ আধা $=\frac{a+b+c}{2}$,

এই সূত্ৰটো সহায়ক য’ত ত্ৰিভুজৰ উচ্চতা সহজে উলিওৱাটো সম্ভৱ নহয়। ওপৰত উল্লেখ কৰা ত্ৰিভুজাকাৰ পাৰ্ক $\mathrm{ABC}$ ৰ কালি গণনা কৰিবলৈ ইয়াক প্ৰয়োগ কৰো আহক (চিত্ৰ ১০.২ চাওক)।

চিত্ৰ ১০.২

ধৰা হওক $a=40 \mathrm{~m}, b=24 \mathrm{~m}, c=32 \mathrm{~m}$,

যাতে আমি পাম $$s=\frac{40+24+32}{2} \mathrm{~m}=48 \mathrm{~m}$$।

$s-a=(48-40) \mathrm{m}=8 \mathrm{~m}$,

$s-b=(48-24) \mathrm{m}=24 \mathrm{~m}$,

$s-c=(48-32) \mathrm{m}=16 \mathrm{~m}$।

সেয়েহে, পাৰ্কৰ কালি $\mathrm{ABC}$

$=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

$=\sqrt{48 \times 8 \times 24 \times 16} \mathrm{~m}^{2}=384 \mathrm{~m}^{2}$

আমি দেখো যে $32^{2}+24^{2}=1024+576=1600=40^{2}$। সেয়েহে, পাৰ্কৰ বাহুবোৰে এটা সমকোণী ত্ৰিভুজ গঠন কৰে। আটাইতকৈ ডাঙৰ বাহু, অৰ্থাৎ $\mathrm{BC}$ যি $40 \mathrm{~m}$ হ’ব কৰ্ণ আৰু বাহু $\mathrm{AB}$ আৰু $\mathrm{AC}$ ৰ মাজৰ কোণটো হ’ব $90^{\circ}$।

আমি পৰীক্ষা কৰিব পাৰো যে পাৰ্কৰ কালি হৈছে $\frac{1}{2} \times 32 \times 24 \mathrm{~m}^{2}=384 \mathrm{~m}^{2}$।

আমি দেখো যে আমি পোৱা কালিটো হেৰ’নৰ সূত্ৰ ব্যৱহাৰ কৰি পোৱা কালিৰ দৰে একেই।

এতিয়া হেৰ’নৰ সূত্ৰ ব্যৱহাৰ কৰি, আপুনি এই কথাটো পৰীক্ষা কৰক আগতে আলোচনা কৰা অন্যান্য ত্ৰিভুজৰ কালি উলিয়াই, যেনে,

(i) বাহু $10 \mathrm{~cm}$ ৰ সুষম ত্ৰিভুজ।

(ii) অসমান বাহু $8 \mathrm{~cm}$ আৰু প্ৰতিটো সমান বাহু $5 \mathrm{~cm}$ ৰ সমদ্বিবাহু ত্ৰিভুজ।

আপুনি দেখিব যে

(i) ৰ বাবে, আমি পাম $s=\frac{10+10+10}{2} \mathrm{~cm}=15 \mathrm{~cm}$।

ত্ৰিভুজৰ কালি $=\sqrt{15(15-10)(15-10)(15-10)} \mathrm{cm}^{2}$

$$ =\sqrt{15 \times 5 \times 5 \times 5} \mathrm{~cm}^{2}=25 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2} $$

(ii) ৰ বাবে, আমি পাম $s=\frac{8+5+5}{2} \mathrm{~cm}=9 \mathrm{~cm}$

ত্ৰিভুজৰ কালি $=\sqrt{9(9-8)(9-5)(9-5)} \mathrm{cm}^{2}=\sqrt{9 \times 1 \times 4 \times 4} \mathrm{~cm}^{2}=12 \mathrm{~cm}^{2}$।

এতিয়া আৰু কেইটামান উদাহৰণ সমাধান কৰো আহক:

উদাহৰণ ১ : এটা ত্ৰিভুজৰ কালি উলিয়াওক, যাৰ দুটা বাহু $8 \mathrm{~cm}$ আৰু $11 \mathrm{~cm}$ আৰু পৰিসীমা হৈছে $32 \mathrm{~cm}$ (চিত্ৰ ১০.৩ চাওক)।

চিত্ৰ ১০.৩

সমাধান : ইয়াত ত্ৰিভুজটোৰ পৰিসীমা $=32 \mathrm{~cm}, a=8 \mathrm{~cm}$ আৰু $b=11 \mathrm{~cm}$।

তৃতীয় বাহু $c=32 \mathrm{~cm}-(8+11) \mathrm{cm}=13 \mathrm{~cm}$

গতিকে, $\quad 2 s=32$, অৰ্থাৎ $s=16 \mathrm{~cm}$, $$ \begin{aligned} & s-a=(16-8) \mathrm{cm}=8 \mathrm{~cm}, \\ & s-b=(16-11) \mathrm{cm}=5 \mathrm{~cm}, \\ & s-c=(16-13) \mathrm{cm}=3 \mathrm{~cm} \end{aligned} $$

সেয়েহে, ত্ৰিভুজটোৰ কালি $=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

$$ =\sqrt{16 \times 8 \times 5 \times 3} \mathrm{~cm}^{2}=8 \sqrt{30} \mathrm{~cm}^{2} $$

উদাহৰণ ২ : এটা ত্ৰিভুজাকাৰ পাৰ্ক $A B C$ ৰ বাহুবোৰ $120 \mathrm{~m}, 80 \mathrm{~m}$ আৰু $50 \mathrm{~m}$ (চিত্ৰ ১০.৪ চাওক)। এগৰাকী মালী ধনীয়াই ইয়াৰ চাৰিওফালে বেৰা দিব লাগিব আৰু ভিতৰত ঘাঁহ ৰোপন কৰিব লাগিব। তাইক ৰোপন কৰিবলৈ কিমান কালিৰ প্ৰয়োজন? ইয়াৰ এটা ফালে $3 \mathrm{~m}$ বহল এটা গেটৰ বাবে খালী ঠাই এৰি প্ৰতি মিটাৰত ₹ ২০ হাৰত কাঁইটীয়া তাঁৰেৰে বেৰা দিয়াৰ খৰচ উলিয়াওক।

চিত্ৰ ১০.৪

সমাধান : পাৰ্কটোৰ কালি উলিয়াবলৈ, আমাৰ আছে

$$ \begin{aligned} & 2 s=50 \mathrm{~m}+80 \mathrm{~m}+120 \mathrm{~m}=250 \mathrm{~m} . \\ \text { i.e., } \quad & s=125 \mathrm{~m} \end{aligned} $$

এতিয়া, $\quad \quad \quad \quad s-a=(125-120) \mathrm{~m}=5 \mathrm{~m}$,

$$ \begin{aligned} & s-b=(125-80) \mathrm{~m}=45 \mathrm{~m}, \\ & s-c=(125-50) \mathrm{~m}=75 \mathrm{~m} . \end{aligned} $$

সেয়েহে, পাৰ্কটোৰ কালি $=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

$$ \begin{aligned} & =\sqrt{125 \times 5 \times 45 \times 75} \mathrm{~m}^{2} \ & =375 \sqrt{15} \mathrm{~m}^{2} \end{aligned} $$

আৰু, পাৰ্কটোৰ পৰিসীমা $=\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{CA}=250 \mathrm{~m}$

সেয়েহে, বেৰা দিয়াৰ বাবে প্ৰয়োজনীয় তাঁৰৰ দৈৰ্ঘ্য $=250 \mathrm{~m}-3 \mathrm{~m}$ (গেটৰ বাবে এৰি দিয়া)

$$ =247 \mathrm{~m} $$

আৰু সেয়েহে বেৰা দিয়াৰ খৰচ $= 20 rupees \times 247= 4940$ টকা

উদাহৰণ ৩ : এটা ত্ৰিভুজাকাৰ প্লটৰ বাহুবোৰৰ অনুপাত $3: 5: 7$ আৰু ইয়াৰ পৰিসীমা হৈছে $300 \mathrm{~m}$। ইয়াৰ কালি উলিয়াওক।

সমাধান : ধৰা হওক যে বাহুবোৰ, মিটাৰত, হৈছে $3 x, 5 x$ আৰু $7 x$ (চিত্ৰ ১০.৫ চাওক)।

তেতিয়া, আমি জানো যে $3 x+5 x+7 x=300$ (ত্ৰিভুজটোৰ পৰিসীমা)

সেয়েহে, $15 x=300$, যিয়ে দিয়ে $x=20$।

গতিকে ত্ৰিভুজটোৰ বাহুবোৰ হৈছে $3 \times 20 \mathrm{~m}, 5 \times 20 \mathrm{~m}$ আৰু $7 \times 20 \mathrm{~m}$

অৰ্থাৎ, $60 \mathrm{~m}, 100 \mathrm{~m}$ আৰু $140 \mathrm{~m}$।

আপুনি এতিয়া কালি উলিয়াব পাৰিবনে [হেৰ’নৰ সূত্ৰ ব্যৱহাৰ কৰি]?

আমাৰ আছে $s=\frac{60+100+140}{2} \mathrm{~m}=150 \mathrm{~m}$,

চিত্ৰ ১০.৫

আৰু কালি হ’ব $$ \begin{aligned} & \sqrt{150(150-60)(150-100)(150-140)} \mathrm{m}^{2} \\ & =\sqrt{150 \times 90 \times 50 \times 10} \mathrm{~m}^{2} \\ & =1500 \sqrt{3} \mathrm{~m}^{2} \end{aligned} $$

১০.২ সাৰাংশ

এই অধ্যায়ত, আপুনি তলৰ কথাবোৰ অধ্যয়ন কৰিছে:

১. $a, b$ আৰু $c$ ৰ দৰে বাহু থকা ত্ৰিভুজৰ কালি হেৰ’নৰ সূত্ৰ ব্যৱহাৰ কৰি গণনা কৰা হয়, যাক এনেদৰে বৰ্ণনা কৰা হৈছে

$$ \begin{aligned} \text { Area of triangle } & =\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ \text{where} \quad s & =\frac{a+b+c}{2} \end{aligned} $$