10.1 ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ — હેરોનના સૂત્ર દ્વારા

આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ, જ્યારે તેની ઊંચાઈ આપેલ હોય, તો $\frac{1}{2} \times$ પાયો $\times$ ઊંચાઈ છે. હવે ધારો કે આપણે એક વિષમબાજુ ત્રિકોણની બાજુઓની લંબાઈ જાણીએ છીએ પણ ઊંચાઈ નથી જાણતા. શું તમે હજુ પણ તેનું ક્ષેત્રફળ શોધી શકો છો? ઉદાહરણ તરીકે, તમારી પાસે એક ત્રિકોણાકાર પાર્ક છે જેની બાજુઓ 40 $\mathrm{m}, 32 \mathrm{~m}$, અને $24 \mathrm{~m}$ છે. તમે તેનું ક્ષેત્રફળ કેવી રીતે ગણશો? ચોક્કસપણે જો તમે સૂત્ર લાગુ કરવા માંગતા હો, તો તમારે તેની ઊંચાઈ ગણવી પડશે. પરંતુ ઊંચાઈ ગણવા માટે આપણી પાસે કોઈ સંકેત નથી. આમ કરવાનો પ્રયત્ન કરો. જો તમે તે મેળવવામાં સફળ ન થાઓ, તો પછીના વિભાગ પર જાઓ.

હેરોનનો જન્મ લગભગ 10 ઈસવીસનમાં ઇજિપ્તના એલેક્ઝાન્ડ્રિયામાં થયો હતો. તેમણે લાગુ ગણિતમાં કાર્ય કર્યું હતું. ગાણિતિક અને ભૌતિક વિષયો પર તેમનું કાર્ય એટલું વિપુલ અને વૈવિધ્યપૂર્ણ છે કે તેમને આ ક્ષેત્રોમાં જ્ઞાનકોશીય લેખક ગણવામાં આવે છે. તેમના ભૂમિતિના કાર્યો મુખ્યત્વે માપનશાસ્ત્રની સમસ્યાઓ સાથે સંબંધિત છે, જે ત્રણ પુસ્તકોમાં લખાયેલ છે. પુસ્તક I ચોરસ, લંબચોરસ, ત્રિકોણ, સમલંબ ચતુષ્કોણ (ટ્રેપેઝિયા), વિવિધ અન્ય વિશિષ્ટ ચતુષ્કોણો, નિયમિત બહુકોણ, વર્તુળો, નળાકાર, શંકુ, ગોળા વગેરેની સપાટીઓના ક્ષેત્રફળ સાથે વ્યવહાર કરે છે. આ પુસ્તકમાં, હેરોન ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ માટે તેની ત્રણ બાજુઓના સંદર્ભમાં પ્રસિદ્ધ સૂત્ર મેળવ્યું છે.

આકૃતિ 10.1

હેરોન દ્વારા આપવામાં આવેલ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર, હીરોના સૂત્ર તરીકે પણ ઓળખાય છે. તે નીચે પ્રમાણે જણાવવામાં આવ્યું છે:

$$ \text { Area of a triangle }=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} $$

જ્યાં $a, b$ અને $c$ ત્રિકોણની બાજુઓ છે, અને $s=$ અર્ધ-પરિમિતિ, એટલે કે, ત્રિકોણની પરિમિતિનો અડધો ભાગ $=\frac{a+b+c}{2}$,

આ સૂત્ર ઉપયોગી છે જ્યાં ત્રિકોણની ઊંચાઈ સરળતાથી શોધવી શક્ય નથી. ચાલો તેને ઉપર ઉલ્લેખિત ત્રિકોણાકાર પાર્ક $\mathrm{ABC}$ નું ક્ષેત્રફળ ગણવા માટે લાગુ કરીએ (જુઓ આકૃતિ 10.2).

આકૃતિ 10.2

ચાલો $a=40 \mathrm{~m}, b=24 \mathrm{~m}, c=32 \mathrm{~m}$ લઈએ,

જેથી આપણી પાસે $$s=\frac{40+24+32}{2} \mathrm{~m}=48 \mathrm{~m}$$ હોય.

$s-a=(48-40) \mathrm{m}=8 \mathrm{~m}$,

$s-b=(48-24) \mathrm{m}=24 \mathrm{~m}$,

$s-c=(48-32) \mathrm{m}=16 \mathrm{~m}$.

તેથી, પાર્કનું ક્ષેત્રફળ $\mathrm{ABC}$

$=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

$=\sqrt{48 \times 8 \times 24 \times 16} \mathrm{~m}^{2}=384 \mathrm{~m}^{2}$

આપણે જોઈએ છીએ કે $32^{2}+24^{2}=1024+576=1600=40^{2}$. તેથી, પાર્કની બાજુઓ કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે. સૌથી મોટી બાજુ, એટલે કે, $\mathrm{BC}$ જે $40 \mathrm{~m}$ છે, તે કર્ણ હશે અને બાજુઓ $\mathrm{AB}$ અને $\mathrm{AC}$ વચ્ચેનો કોણ $90^{\circ}$ હશે.

આપણે તપાસી શકીએ છીએ કે પાર્કનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times 32 \times 24 \mathrm{~m}^{2}=384 \mathrm{~m}^{2}$ છે.

આપણે જોઈએ છીએ કે હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને મેળવેલ ક્ષેત્રફળ પહેલાં મેળવેલ ક્ષેત્રફળ જેટલું જ છે.

હવે હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, તમે પહેલાં ચર્ચા કરેલ અન્ય ત્રિકોણોના ક્ષેત્રફળ શોધીને આ હકીકત ચકાસો, એટલે કે,

(i) બાજુ $10 \mathrm{~cm}$ સાથેનો સમબાજુ ત્રિકોણ.

(ii) અસમાન બાજુ $8 \mathrm{~cm}$ અને દરેક સમાન બાજુ $5 \mathrm{~cm}$ સાથેનો સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ.

તમે જોશો કે

(i) માટે, આપણી પાસે $s=\frac{10+10+10}{2} \mathrm{~cm}=15 \mathrm{~cm}$ છે.

ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $=\sqrt{15(15-10)(15-10)(15-10)} \mathrm{cm}^{2}$

$$ =\sqrt{15 \times 5 \times 5 \times 5} \mathrm{~cm}^{2}=25 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2} $$

(ii) માટે, આપણી પાસે $s=\frac{8+5+5}{2} \mathrm{~cm}=9 \mathrm{~cm}$ છે

ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $=\sqrt{9(9-8)(9-5)(9-5)} \mathrm{cm}^{2}=\sqrt{9 \times 1 \times 4 \times 4} \mathrm{~cm}^{2}=12 \mathrm{~cm}^{2}$.

ચાલો હવે કેટલાક વધુ ઉદાહરણો ઉકેલીએ:

ઉદાહરણ 1 : એક ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો, જેની બે બાજુઓ $8 \mathrm{~cm}$ અને $11 \mathrm{~cm}$ છે અને પરિમિતિ $32 \mathrm{~cm}$ છે (જુઓ આકૃતિ 10.3).

આકૃતિ 10.3

ઉકેલ : અહીં આપણી પાસે ત્રિકોણની પરિમિતિ $=32 \mathrm{~cm}, a=8 \mathrm{~cm}$ અને $b=11 \mathrm{~cm}$ છે.

ત્રીજી બાજુ $c=32 \mathrm{~cm}-(8+11) \mathrm{cm}=13 \mathrm{~cm}$

તેથી, $\quad 2 s=32$, એટલે કે, $s=16 \mathrm{~cm}$, $$ \begin{aligned} & s-a=(16-8) \mathrm{cm}=8 \mathrm{~cm}, \\ & s-b=(16-11) \mathrm{cm}=5 \mathrm{~cm}, \\ & s-c=(16-13) \mathrm{cm}=3 \mathrm{~cm} \end{aligned} $$

તેથી, ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

$$ =\sqrt{16 \times 8 \times 5 \times 3} \mathrm{~cm}^{2}=8 \sqrt{30} \mathrm{~cm}^{2} $$

ઉદાહરણ 2 : એક ત્રિકોણાકાર પાર્ક $A B C$ ની બાજુઓ $120 \mathrm{~m}, 80 \mathrm{~m}$ અને $50 \mathrm{~m}$ છે (જુઓ આકૃતિ 10.4). એક માળી ધનિયાને તેની ફરતે વાડ લગાડવી છે અને અંદર ઘાસ પણ લગાડવું છે. તેને કેટલું ક્ષેત્રફળ ઘાસ લગાડવાની જરૂર છે? એક બાજુ $3 \mathrm{~m}$ પહોળો દરવાજો માટે જગ્યા છોડીને ₹ 20 પ્રતિ મીટરની દરે કાંટેદાર તાર વડે વાડ લગાડવાની કિંમત શોધો.

આકૃતિ 10.4

ઉકેલ : પાર્કનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે, આપણી પાસે

$$ \begin{aligned} & 2 s=50 \mathrm{~m}+80 \mathrm{~m}+120 \mathrm{~m}=250 \mathrm{~m} . \\ \text { i.e., } \quad & s=125 \mathrm{~m} \end{aligned} $$

હવે, $\quad \quad \quad \quad s-a=(125-120) \mathrm{~m}=5 \mathrm{~m}$,

$$ \begin{aligned} & s-b=(125-80) \mathrm{~m}=45 \mathrm{~m}, \\ & s-c=(125-50) \mathrm{~m}=75 \mathrm{~m} . \end{aligned} $$

તેથી, પાર્કનું ક્ષેત્રફળ $=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

$$ \begin{aligned} & =\sqrt{125 \times 5 \times 45 \times 75} \mathrm{~m}^{2} \ & =375 \sqrt{15} \mathrm{~m}^{2} \end{aligned} $$

ઉપરાંત, પાર્કની પરિમિતિ $=\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{CA}=250 \mathrm{~m}$

તેથી, વાડ માટે જરૂરી તારની લંબાઈ $=250 \mathrm{~m}-3 \mathrm{~m}$ (દરવાજા માટે છોડવાની)

$$ =247 \mathrm{~m} $$

અને તેથી વાડ લગાડવાની કિંમત $= 20 rupees \times 247= 4940$ રૂપિયા

ઉદાહરણ 3 : એક ત્રિકોણાકાર પ્લોટની બાજુઓનો ગુણોત્તર $3: 5: 7$ છે અને તેની પરિમિતિ $300 \mathrm{~m}$ છે. તેનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

ઉકેલ : ધારો કે બાજુઓ, મીટરમાં, $3 x, 5 x$ અને $7 x$ છે (જુઓ આકૃતિ 10.5).

તો, આપણે જાણીએ છીએ કે $3 x+5 x+7 x=300$ (ત્રિકોણની પરિમિતિ)

તેથી, $15 x=300$, જે $x=20$ આપે છે.

તેથી ત્રિકોણની બાજુઓ $3 \times 20 \mathrm{~m}, 5 \times 20 \mathrm{~m}$ અને $7 \times 20 \mathrm{~m}$ છે

એટલે કે, $60 \mathrm{~m}, 100 \mathrm{~m}$ અને $140 \mathrm{~m}$.

શું તમે હવે ક્ષેત્રફળ શોધી શકો છો [હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને]?

આપણી પાસે $s=\frac{60+100+140}{2} \mathrm{~m}=150 \mathrm{~m}$ છે,

આકૃતિ 10.5

અને ક્ષેત્રફળ હશે $$ \begin{aligned} & \sqrt{150(150-60)(150-100)(150-140)} \mathrm{m}^{2} \\ & =\sqrt{150 \times 90 \times 50 \times 10} \mathrm{~m}^{2} \\ & =1500 \sqrt{3} \mathrm{~m}^{2} \end{aligned} $$

10.2 સારાંશ

આ પ્રકરણમાં, તમે નીચેની બાબતોનો અભ્યાસ કર્યો છે:

1. $a, b$ અને $c$ ની બાજુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે, જે નીચે પ્રમાણે જણાવવામાં આવ્યું છે:

$$ \begin{aligned} \text { Area of triangle } & =\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ \text{where} \quad s & =\frac{a+b+c}{2} \end{aligned} $$