10.1 مثلث کا رقبہ — ہیرون کے فارمولے سے

ہم جانتے ہیں کہ جب مثلث کی اونچائی معلوم ہو تو اس کا رقبہ $\frac{1}{2} \times$ قاعدہ $\times$ اونچائی ہوتا ہے۔ اب فرض کریں کہ ہمیں ایک مختلف الاضلاع مثلث کی اضلاع کی لمبائیاں معلوم ہیں لیکن اونچائی معلوم نہیں۔ کیا آپ پھر بھی اس کا رقبہ معلوم کر سکتے ہیں؟ مثال کے طور پر، آپ کے پاس ایک مثلثی پارک ہے جس کی اضلاع 40 $\mathrm{m}, 32 \mathrm{~m}$، اور $24 \mathrm{~m}$ ہیں۔ آپ اس کا رقبہ کیسے حساب کریں گے؟ یقیناً اگر آپ فارمولا لگانا چاہیں گے تو آپ کو اس کی اونچائی کا حساب لگانا ہوگا۔ لیکن ہمارے پاس اونچائی معلوم کرنے کا کوئی سراغ نہیں ہے۔ ایسا کرنے کی کوشش کریں۔ اگر آپ اسے معلوم نہیں کر پاتے، تو اگلے حصے پر جائیں۔

ہیرون تقریباً 10 عیسوی میں پیدا ہوئے، ممکنہ طور پر مصر کے اسکندریہ میں۔ انہوں نے تطبیقی ریاضی میں کام کیا۔ ریاضی اور طبیعیات کے موضوعات پر ان کے کام اتنے زیادہ اور متنوع ہیں کہ انہیں ان شعبوں میں ایک دائرۃ المعارفی مصنف سمجھا جاتا ہے۔ ان کے ہندسی کام زیادہ تر پیمائش سے متعلق مسائل سے متعلق ہیں جو تین کتابوں میں لکھے گئے ہیں۔ کتاب اول مربعات، مستطیلات، مثلثات، ذوذنق (ٹریپیزیا)، مختلف دیگر مخصوص چوکور، منتظم کثیرالاضلاع، دائرے، بیضوی، مخروطی اور کرے وغیرہ کے رقبے سے متعلق ہے۔ اس کتاب میں، ہیرون نے مثلث کے رقبے کا مشہور فارمولا اس کی تینوں اضلاع کے لحاظ سے اخذ کیا ہے۔

شکل 10.1

ہیرون کا دیا ہوا مثلث کے رقبے کا فارمولا، ہیرو کے فارمولے کے نام سے بھی جانا جاتا ہے۔ اسے اس طرح بیان کیا جاتا ہے:

$$ \text { Area of a triangle }=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} $$

جہاں $a, b$ اور $c$ مثلث کی اضلاع ہیں، اور $s=$ نصف محیط ہے، یعنی مثلث کے محیط کا نصف $=\frac{a+b+c}{2}$،

یہ فارمولا اس جگہ مفید ہے جہاں مثلث کی اونچائی آسانی سے معلوم کرنا ممکن نہ ہو۔ آئیے اسے اوپر ذکر کردہ مثلثی پارک $\mathrm{ABC}$ کے رقبے کے حساب کے لیے استعمال کریں (شکل 10.2 دیکھیں)۔

شکل 10.2

چلیے $a=40 \mathrm{~m}, b=24 \mathrm{~m}, c=32 \mathrm{~m}$ لیں،

تاکہ ہمارے پاس $$s=\frac{40+24+32}{2} \mathrm{~m}=48 \mathrm{~m}$$ ہو۔

$s-a=(48-40) \mathrm{m}=8 \mathrm{~m}$،

$s-b=(48-24) \mathrm{m}=24 \mathrm{~m}$،

$s-c=(48-32) \mathrm{m}=16 \mathrm{~m}$۔

لہذا، پارک کا رقبہ $\mathrm{ABC}$

$=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

$=\sqrt{48 \times 8 \times 24 \times 16} \mathrm{~m}^{2}=384 \mathrm{~m}^{2}$

ہم دیکھتے ہیں کہ $32^{2}+24^{2}=1024+576=1600=40^{2}$۔ لہذا، پارک کی اضلاع ایک قائمہ مثلث بناتی ہیں۔ سب سے بڑی ضلع، یعنی $\mathrm{BC}$ جو $40 \mathrm{~m}$ ہے، وتر ہوگی اور اضلاع $\mathrm{AB}$ اور $\mathrm{AC}$ کے درمیان زاویہ $90^{\circ}$ ہوگا۔

ہم چیک کر سکتے ہیں کہ پارک کا رقبہ $\frac{1}{2} \times 32 \times 24 \mathrm{~m}^{2}=384 \mathrm{~m}^{2}$ ہے۔

ہم پاتے ہیں کہ ہمیں جو رقبہ ملا ہے وہ ہیرون کے فارمولے سے حاصل کردہ رقبے کے برابر ہے۔

اب ہیرون کے فارمولے کا استعمال کرتے ہوئے، آپ اس حقیقت کی تصدیق کریں گے کہ پہلے زیر بحث دیگر مثلثات کے رقبے معلوم کریں، یعنی،

(i) متساوی الاضلاع مثلث جس کی ضلع $10 \mathrm{~cm}$ ہے۔

(ii) متساوی الساقین مثلث جس کی غیر مساوی ضلع $8 \mathrm{~cm}$ ہے اور ہر مساوی ضلع $5 \mathrm{~cm}$ ہے۔

آپ دیکھیں گے کہ

(i) کے لیے، ہمارے پاس $s=\frac{10+10+10}{2} \mathrm{~cm}=15 \mathrm{~cm}$ ہے۔

مثلث کا رقبہ $=\sqrt{15(15-10)(15-10)(15-10)} \mathrm{cm}^{2}$

$$ =\sqrt{15 \times 5 \times 5 \times 5} \mathrm{~cm}^{2}=25 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2} $$

(ii) کے لیے، ہمارے پاس $s=\frac{8+5+5}{2} \mathrm{~cm}=9 \mathrm{~cm}$ ہے

مثلث کا رقبہ $=\sqrt{9(9-8)(9-5)(9-5)} \mathrm{cm}^{2}=\sqrt{9 \times 1 \times 4 \times 4} \mathrm{~cm}^{2}=12 \mathrm{~cm}^{2}$۔

آئیے اب کچھ اور مثالیں حل کریں:

مثال 1 : ایک مثلث کا رقبہ معلوم کریں، جس کی دو اضلاع $8 \mathrm{~cm}$ اور $11 \mathrm{~cm}$ ہیں اور محیط $32 \mathrm{~cm}$ ہے (شکل 10.3 دیکھیں)۔

شکل 10.3

حل : یہاں ہمارے پاس مثلث کا محیط $=32 \mathrm{~cm}, a=8 \mathrm{~cm}$ اور $b=11 \mathrm{~cm}$ ہے۔

تیسری ضلع $c=32 \mathrm{~cm}-(8+11) \mathrm{cm}=13 \mathrm{~cm}$

لہذا، $\quad 2 s=32$، یعنی $s=16 \mathrm{~cm}$، $$ \begin{aligned} & s-a=(16-8) \mathrm{cm}=8 \mathrm{~cm}, \\ & s-b=(16-11) \mathrm{cm}=5 \mathrm{~cm}, \\ & s-c=(16-13) \mathrm{cm}=3 \mathrm{~cm} \end{aligned} $$

لہذا، مثلث کا رقبہ $=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

$$ =\sqrt{16 \times 8 \times 5 \times 3} \mathrm{~cm}^{2}=8 \sqrt{30} \mathrm{~cm}^{2} $$

مثال 2 : ایک مثلثی پارک $A B C$ کی اضلاع $120 \mathrm{~m}, 80 \mathrm{~m}$ اور $50 \mathrm{~m}$ ہیں (شکل 10.4 دیکھیں)۔ ایک باغبان دھنیہ کو اس کے چاروں طرف باڑ لگانی ہے اور اندر گھاس بھی لگانی ہے۔ اسے کتنا رقبہ گھاس لگانے کے لیے درکار ہے؟ ایک طرف $3 \mathrm{~m}$ چوڑی جگہ گیٹ کے لیے چھوڑ کر ₹ 20 فی میٹر کی شرح سے خاردار تار سے باڑ لگانے کی لاگت معلوم کریں۔

شکل 10.4

حل : پارک کا رقبہ معلوم کرنے کے لیے، ہمارے پاس

$$ \begin{aligned} & 2 s=50 \mathrm{~m}+80 \mathrm{~m}+120 \mathrm{~m}=250 \mathrm{~m} . \\ \text { i.e., } \quad & s=125 \mathrm{~m} \end{aligned} $$

اب، $\quad \quad \quad \quad s-a=(125-120) \mathrm{~m}=5 \mathrm{~m}$،

$$ \begin{aligned} & s-b=(125-80) \mathrm{~m}=45 \mathrm{~m}, \\ & s-c=(125-50) \mathrm{~m}=75 \mathrm{~m} . \end{aligned} $$

لہذا، پارک کا رقبہ $=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

$$ \begin{aligned} & =\sqrt{125 \times 5 \times 45 \times 75} \mathrm{~m}^{2} \ & =375 \sqrt{15} \mathrm{~m}^{2} \end{aligned} $$

نیز، پارک کا محیط $=\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{CA}=250 \mathrm{~m}$

لہذا، باڑ لگانے کے لیے تار کی درکار لمبائی $=250 \mathrm{~m}-3 \mathrm{~m}$ (گیٹ کے لیے چھوڑی جانے والی)

$$ =247 \mathrm{~m} $$

اور اس طرح باڑ لگانے کی لاگت $= 20 rupees \times 247= 4940$ روپے

مثال 3 : ایک مثلثی پلاٹ کی اضلاع تناسب $3: 5: 7$ میں ہیں اور اس کا محیط $300 \mathrm{~m}$ ہے۔ اس کا رقبہ معلوم کریں۔

حل : فرض کریں کہ اضلاع، میٹر میں، $3 x, 5 x$ اور $7 x$ ہیں (شکل 10.5 دیکھیں)۔

پھر، ہم جانتے ہیں کہ $3 x+5 x+7 x=300$ (مثلث کا محیط)

لہذا، $15 x=300$، جو $x=20$ دیتا ہے۔

لہذا مثلث کی اضلاع $3 \times 20 \mathrm{~m}, 5 \times 20 \mathrm{~m}$ اور $7 \times 20 \mathrm{~m}$ ہیں

یعنی، $60 \mathrm{~m}, 100 \mathrm{~m}$ اور $140 \mathrm{~m}$۔

کیا آپ اب رقبہ معلوم کر سکتے ہیں [ہیرون کے فارمولے کا استعمال کرتے ہوئے]؟

ہمارے پاس $s=\frac{60+100+140}{2} \mathrm{~m}=150 \mathrm{~m}$ ہے،

شکل 10.5

اور رقبہ ہوگا $$ \begin{aligned} & \sqrt{150(150-60)(150-100)(150-140)} \mathrm{m}^{2} \\ & =\sqrt{150 \times 90 \times 50 \times 10} \mathrm{~m}^{2} \\ & =1500 \sqrt{3} \mathrm{~m}^{2} \end{aligned} $$

10.2 خلاصہ

اس باب میں، آپ نے مندرجہ ذیل نکات کا مطالعہ کیا ہے:

1. ایک مثلث کا رقبہ جس کی اضلاع $a, b$ اور $c$ ہیں، ہیرون کے فارمولے کا استعمال کرتے ہوئے حساب کیا جاتا ہے، جو اس طرح بیان کیا جاتا ہے:

$$ \begin{aligned} \text { Area of triangle } & =\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ \text{where} \quad s & =\frac{a+b+c}{2} \end{aligned} $$