10.1 त्रिभुज का क्षेत्रफल — हीरोन के सूत्र द्वारा

हम जानते हैं कि त्रिभुज का क्षेत्रफल, जब उसकी ऊँचाई दी गई हो, $\frac{1}{2} \times$ आधार $\times$ ऊँचाई होता है। अब मान लीजिए कि हमें एक विषमबाहु त्रिभुज की भुजाओं की लंबाइयाँ ज्ञात हैं, परन्तु ऊँचाई नहीं। क्या आप अभी भी इसका क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं? उदाहरण के लिए, आपके पास एक त्रिभुजाकार पार्क है जिसकी भुजाएँ 40 $\mathrm{m}, 32 \mathrm{~m}$, और $24 \mathrm{~m}$ हैं। आप इसका क्षेत्रफल कैसे परिकलित करेंगे? निश्चित रूप से यदि आप सूत्र लागू करना चाहते हैं, तो आपको इसकी ऊँचाई की गणना करनी होगी। परन्तु हमारे पास ऊँचाई ज्ञात करने का कोई सुराग नहीं है। ऐसा करने का प्रयास कीजिए। यदि आप इसे प्राप्त नहीं कर पा रहे हैं, तो अगले भाग में जाइए।

हीरोन का जन्म लगभग 10 ईस्वी में संभवतः मिस्र के अलेक्जेंड्रिया में हुआ था। उन्होंने व्यावहारिक गणित में कार्य किया। गणितीय और भौतिक विषयों पर उनके कार्य इतने अधिक और विविध हैं कि इन क्षेत्रों में उन्हें एक विश्वकोशीय लेखक माना जाता है। उनके ज्यामितीय कार्य मुख्य रूप से तीन पुस्तकों में लिखित क्षेत्रमिति पर समस्याओं से संबंधित हैं। पुस्तक I वर्गों, आयतों, त्रिभुजों, समलंबों (ट्रैपेज़िया), विभिन्न अन्य विशिष्ट चतुर्भुजों, नियमित बहुभुजों, वृत्तों, बेलनों, शंकुओं, गोलों आदि के पृष्ठीय क्षेत्रफलों से संबंधित है। इस पुस्तक में, हीरोन ने त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए उसकी तीनों भुजाओं के पदों में प्रसिद्ध सूत्र व्युत्पन्न किया है।

चित्र 10.1

हीरोन द्वारा दिया गया त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र, हीरो के सूत्र के नाम से भी जाना जाता है। इसे इस प्रकार कहा जाता है:

$$ \text { Area of a triangle }=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} $$

जहाँ $a, b$ और $c$ त्रिभुज की भुजाएँ हैं, और $s=$ अर्ध-परिमाप है, अर्थात् त्रिभुज के परिमाप का आधा $=\frac{a+b+c}{2}$,

यह सूत्र उन स्थितियों में सहायक है जहाँ त्रिभुज की ऊँचाई आसानी से ज्ञात करना संभव नहीं है। आइए, ऊपर उल्लिखित त्रिभुजाकार पार्क $\mathrm{ABC}$ के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए इसे लागू करें (चित्र 10.2 देखिए)।

चित्र 10.2

आइए, $a=40 \mathrm{~m}, b=24 \mathrm{~m}, c=32 \mathrm{~m}$ लें,

ताकि हमारे पास $$s=\frac{40+24+32}{2} \mathrm{~m}=48 \mathrm{~m}$$ हो।

$s-a=(48-40) \mathrm{m}=8 \mathrm{~m}$,

$s-b=(48-24) \mathrm{m}=24 \mathrm{~m}$,

$s-c=(48-32) \mathrm{m}=16 \mathrm{~m}$।

अतः, पार्क का क्षेत्रफल $\mathrm{ABC}$

$=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

$=\sqrt{48 \times 8 \times 24 \times 16} \mathrm{~m}^{2}=384 \mathrm{~m}^{2}$

हम देखते हैं कि $32^{2}+24^{2}=1024+576=1600=40^{2}$। इसलिए, पार्क की भुजाएँ एक समकोण त्रिभुज बनाती हैं। सबसे बड़ी भुजा, अर्थात् $\mathrm{BC}$ जो $40 \mathrm{~m}$ है, कर्ण होगी और भुजाओं $\mathrm{AB}$ और $\mathrm{AC}$ के बीच का कोण $90^{\circ}$ होगा।

हम जाँच सकते हैं कि पार्क का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 32 \times 24 \mathrm{~m}^{2}=384 \mathrm{~m}^{2}$ है।

हम पाते हैं कि हमें प्राप्त क्षेत्रफल वही है जो हीरोन के सूत्र का उपयोग करके हमने पाया था।

अब हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए, आप इस तथ्य की पुष्टि अन्य त्रिभुजों के क्षेत्रफल ज्ञात करके कीजिए जिनकी चर्चा पहले की गई थी, अर्थात्,

(i) भुजा $10 \mathrm{~cm}$ वाला समबाहु त्रिभुज।

(ii) असमान भुजा $8 \mathrm{~cm}$ और प्रत्येक समान भुजा $5 \mathrm{~cm}$ वाला समद्विबाहु त्रिभुज।

आप देखेंगे कि

(i) के लिए, हमारे पास $s=\frac{10+10+10}{2} \mathrm{~cm}=15 \mathrm{~cm}$ है।

त्रिभुज का क्षेत्रफल $=\sqrt{15(15-10)(15-10)(15-10)} \mathrm{cm}^{2}$

$$ =\sqrt{15 \times 5 \times 5 \times 5} \mathrm{~cm}^{2}=25 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2} $$

(ii) के लिए, हमारे पास $s=\frac{8+5+5}{2} \mathrm{~cm}=9 \mathrm{~cm}$ है

त्रिभुज का क्षेत्रफल $=\sqrt{9(9-8)(9-5)(9-5)} \mathrm{cm}^{2}=\sqrt{9 \times 1 \times 4 \times 4} \mathrm{~cm}^{2}=12 \mathrm{~cm}^{2}$।

आइए, अब कुछ और उदाहरण हल करते हैं:

उदाहरण 1 : एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी दो भुजाएँ $8 \mathrm{~cm}$ और $11 \mathrm{~cm}$ हैं तथा परिमाप $32 \mathrm{~cm}$ है (चित्र 10.3 देखिए)।

चित्र 10.3

हल : यहाँ हमारे पास त्रिभुज का परिमाप $=32 \mathrm{~cm}, a=8 \mathrm{~cm}$ और $b=11 \mathrm{~cm}$ है।

तीसरी भुजा $c=32 \mathrm{~cm}-(8+11) \mathrm{cm}=13 \mathrm{~cm}$

अतः, $\quad 2 s=32$, अर्थात् $s=16 \mathrm{~cm}$, $$ \begin{aligned} & s-a=(16-8) \mathrm{cm}=8 \mathrm{~cm}, \\ & s-b=(16-11) \mathrm{cm}=5 \mathrm{~cm}, \\ & s-c=(16-13) \mathrm{cm}=3 \mathrm{~cm} \end{aligned} $$

इसलिए, त्रिभुज का क्षेत्रफल $=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

$$ =\sqrt{16 \times 8 \times 5 \times 3} \mathrm{~cm}^{2}=8 \sqrt{30} \mathrm{~cm}^{2} $$

उदाहरण 2 : एक त्रिभुजाकार पार्क $A B C$ की भुजाएँ $120 \mathrm{~m}, 80 \mathrm{~m}$ और $50 \mathrm{~m}$ हैं (चित्र 10.4 देखिए)। एक माली धनिया को इसके चारों ओर बाड़ लगानी है और अंदर घास भी लगानी है। उसे लगाने के लिए कितने क्षेत्रफल की आवश्यकता है? एक तरफ $3 \mathrm{~m}$ चौड़ाई के एक गेट के लिए स्थान छोड़कर, ₹ 20 प्रति मीटर की दर से कंटीले तार से बाड़ लगाने की लागत ज्ञात कीजिए।

चित्र 10.4

हल : पार्क का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हमारे पास है

$$ \begin{aligned} & 2 s=50 \mathrm{~m}+80 \mathrm{~m}+120 \mathrm{~m}=250 \mathrm{~m} . \\ \text { i.e., } \quad & s=125 \mathrm{~m} \end{aligned} $$

अब, $\quad \quad \quad \quad s-a=(125-120) \mathrm{~m}=5 \mathrm{~m}$,

$$ \begin{aligned} & s-b=(125-80) \mathrm{~m}=45 \mathrm{~m}, \\ & s-c=(125-50) \mathrm{~m}=75 \mathrm{~m} . \end{aligned} $$

इसलिए, पार्क का क्षेत्रफल $=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

$$ \begin{aligned} & =\sqrt{125 \times 5 \times 45 \times 75} \mathrm{~m}^{2} \ & =375 \sqrt{15} \mathrm{~m}^{2} \end{aligned} $$

साथ ही, पार्क का परिमाप $=\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{CA}=250 \mathrm{~m}$

अतः, बाड़ लगाने के लिए आवश्यक तार की लंबाई $=250 \mathrm{~m}-3 \mathrm{~m}$ (गेट के लिए छोड़ी जानी है)

$$ =247 \mathrm{~m} $$

और इसलिए बाड़ लगाने की लागत $= 20 rupees \times 247= 4940$ रुपये

उदाहरण 3 : एक त्रिभुजाकार भूखंड की भुजाएँ $3: 5: 7$ के अनुपात में हैं और इसका परिमाप $300 \mathrm{~m}$ है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल : मान लीजिए कि भुजाएँ, मीटर में, $3 x, 5 x$ और $7 x$ हैं (चित्र 10.5 देखिए)।

तब, हम जानते हैं कि $3 x+5 x+7 x=300$ (त्रिभुज का परिमाप)

इसलिए, $15 x=300$, जो $x=20$ देता है।

अतः त्रिभुज की भुजाएँ $3 \times 20 \mathrm{~m}, 5 \times 20 \mathrm{~m}$ और $7 \times 20 \mathrm{~m}$ हैं

अर्थात्, $60 \mathrm{~m}, 100 \mathrm{~m}$ और $140 \mathrm{~m}$।

क्या आप अब क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं [हीरोन के सूत्र का उपयोग करके]?

हमारे पास $s=\frac{60+100+140}{2} \mathrm{~m}=150 \mathrm{~m}$ है,

चित्र 10.5

और क्षेत्रफल होगा $$ \begin{aligned} & \sqrt{150(150-60)(150-100)(150-140)} \mathrm{m}^{2} \\ & =\sqrt{150 \times 90 \times 50 \times 10} \mathrm{~m}^{2} \\ & =1500 \sqrt{3} \mathrm{~m}^{2} \end{aligned} $$

10.2 सारांश

इस अध्याय में, आपने निम्नलिखित बिंदुओं का अध्ययन किया है:

1. $a, b$ और $c$ को भुजाओं के रूप में रखने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल हीरोन के सूत्र का उपयोग करके परिकलित किया जाता है, जिसे इस प्रकार कहा गया है

$$ \begin{aligned} \text { Area of triangle } & =\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ \text{where} \quad s & =\frac{a+b+c}{2} \end{aligned} $$