10.1 ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு — ஹீரோனின் சூத்திரம் மூலம்

ஒரு முக்கோணத்தின் உயரம் தெரிந்தால், அதன் பரப்பளவு $\frac{1}{2} \times$ அடிப்பக்கம் $\times$ உயரம் என்பது நமக்குத் தெரியும். இப்போது, ஒரு சமபக்கமற்ற முக்கோணத்தின் பக்க நீளங்கள் மட்டுமே தெரிந்தால், அதன் உயரம் தெரியாத நிலையில் அதன் பரப்பளவைக் காண முடியுமா? எடுத்துக்காட்டாக, உங்களிடம் ஒரு முக்கோண வடிவ பூங்கா உள்ளது, அதன் பக்கங்கள் 40 $\mathrm{m}, 32 \mathrm{~m}$, மற்றும் $24 \mathrm{~m}$. அதன் பரப்பளவை எவ்வாறு கணக்கிடுவீர்கள்? நிச்சயமாக, நீங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த விரும்பினால், அதன் உயரத்தைக் கணக்கிட வேண்டும். ஆனால் உயரத்தைக் கணக்கிட எங்களிடம் எந்தத் தகவலும் இல்லை. அதைச் செய்ய முயற்சிக்கவும். உங்களால் அதைப் பெற முடியவில்லை என்றால், அடுத்த பகுதிக்குச் செல்லவும்.

ஹீரோன் கி.பி. 10 ஆம் ஆண்டளவில் எகிப்தின் அலெக்சாண்டிரியாவில் பிறந்திருக்கலாம். அவர் பயன்பாட்டு கணிதத்தில் பணியாற்றினார். கணிதம் மற்றும் இயற்பியல் பாடங்களில் அவரது படைப்புகள் மிகவும் பலவகையானவை மற்றும் மாறுபட்டவை, இந்தத் துறைகளில் ஒரு கலைக்களஞ்சிய எழுத்தாளராக அவர் கருதப்படுகிறார். அவரது வடிவியல் படைப்புகள் பெரும்பாலும் மூன்று புத்தகங்களில் எழுதப்பட்ட அளவியல் சிக்கல்களைக் கையாள்கின்றன. புத்தகம் I சதுரங்கள், செவ்வகங்கள், முக்கோணங்கள், சரிவகங்கள், பல்வேறு பிற சிறப்பு நாற்கரங்கள், ஒழுங்கு பல்கோணங்கள், வட்டங்கள், உருளைகள், கூம்புகள், கோளங்கள் போன்றவற்றின் பரப்பளவுகளைக் கையாள்கிறது. இந்தப் புத்தகத்தில், ஹீரோன் ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவுக்கான புகழ்பெற்ற சூத்திரத்தை அதன் மூன்று பக்கங்களின் அடிப்படையில் பெற்றுள்ளார்.

படம் 10.1

ஹீரோனால் கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணத்தின் பரப்பளவுக்கான சூத்திரம், ஹீரோவின் சூத்திரம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. அது பின்வருமாறு கூறப்படுகிறது:

$$ \text { Area of a triangle }=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} $$

இங்கு $a, b$ மற்றும் $c$ என்பவை முக்கோணத்தின் பக்கங்கள், மற்றும் $s=$ அரைச்சுற்றளவு, அதாவது முக்கோணத்தின் சுற்றளவில் பாதி $=\frac{a+b+c}{2}$,

இந்த சூத்திரம் முக்கோணத்தின் உயரத்தை எளிதாகக் கண்டுபிடிக்க முடியாத இடங்களில் உதவியாக இருக்கும். மேலே குறிப்பிடப்பட்ட முக்கோண வடிவ பூங்காவின் பரப்பளவைக் கணக்கிட இதைப் பயன்படுத்துவோம் $\mathrm{ABC}$, (படம் 10.2 ஐப் பார்க்கவும்).

படம் 10.2

$a=40 \mathrm{~m}, b=24 \mathrm{~m}, c=32 \mathrm{~m}$ என எடுத்துக்கொள்வோம்,

அதனால் நம்மிடம் $$s=\frac{40+24+32}{2} \mathrm{~m}=48 \mathrm{~m}$$ உள்ளது.

$s-a=(48-40) \mathrm{m}=8 \mathrm{~m}$,

$s-b=(48-24) \mathrm{m}=24 \mathrm{~m}$,

$s-c=(48-32) \mathrm{m}=16 \mathrm{~m}$.

எனவே, பூங்காவின் பரப்பளவு $\mathrm{ABC}$

$=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

$=\sqrt{48 \times 8 \times 24 \times 16} \mathrm{~m}^{2}=384 \mathrm{~m}^{2}$

$32^{2}+24^{2}=1024+576=1600=40^{2}$ என்பதை நாம் காண்கிறோம். எனவே, பூங்காவின் பக்கங்கள் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தை உருவாக்குகின்றன. மிகப்பெரிய பக்கம், அதாவது $\mathrm{BC}$, இது $40 \mathrm{~m}$, கர்ணமாக இருக்கும் மற்றும் பக்கங்கள் $\mathrm{AB}$ மற்றும் $\mathrm{AC}$ இடையே உள்ள கோணம் $90^{\circ}$ ஆக இருக்கும்.

பூங்காவின் பரப்பளவு $\frac{1}{2} \times 32 \times 24 \mathrm{~m}^{2}=384 \mathrm{~m}^{2}$ என்பதை நாம் சரிபார்க்கலாம்.

ஹீரோனின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்திக் கண்டறிந்த பரப்பளவு, நாம் முன்பு கண்டறிந்த பரப்பளவுக்கு சமம் என்பதைக் காண்கிறோம்.

இப்போது ஹீரோனின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, முன்பு விவாதிக்கப்பட்ட பிற முக்கோணங்களின் பரப்பளவுகளைக் கண்டறிந்து இந்த உண்மையை நீங்கள் சரிபார்க்கவும், அதாவது,

(i) பக்கம் $10 \mathrm{~cm}$ கொண்ட சமபக்க முக்கோணம்.

(ii) சமமற்ற பக்கம் $8 \mathrm{~cm}$ மற்றும் ஒவ்வொரு சமபக்கமும் $5 \mathrm{~cm}$ கொண்ட சமபக்க முக்கோணம்.

நீங்கள் பார்ப்பீர்கள்:

(i) க்கு, நம்மிடம் $s=\frac{10+10+10}{2} \mathrm{~cm}=15 \mathrm{~cm}$ உள்ளது.

முக்கோணத்தின் பரப்பளவு $=\sqrt{15(15-10)(15-10)(15-10)} \mathrm{cm}^{2}$

$$ =\sqrt{15 \times 5 \times 5 \times 5} \mathrm{~cm}^{2}=25 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2} $$

(ii) க்கு, நம்மிடம் $s=\frac{8+5+5}{2} \mathrm{~cm}=9 \mathrm{~cm}$ உள்ளது

முக்கோணத்தின் பரப்பளவு $=\sqrt{9(9-8)(9-5)(9-5)} \mathrm{cm}^{2}=\sqrt{9 \times 1 \times 4 \times 4} \mathrm{~cm}^{2}=12 \mathrm{~cm}^{2}$.

இப்போது இன்னும் சில எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்ப்போம்:

எடுத்துக்காட்டு 1 : ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவைக் கண்டறியவும், அதன் இரு பக்கங்கள் $8 \mathrm{~cm}$ மற்றும் $11 \mathrm{~cm}$ மற்றும் சுற்றளவு $32 \mathrm{~cm}$ (படம் 10.3 ஐப் பார்க்கவும்).

படம் 10.3

தீர்வு : இங்கு முக்கோணத்தின் சுற்றளவு $=32 \mathrm{~cm}, a=8 \mathrm{~cm}$ மற்றும் $b=11 \mathrm{~cm}$.

மூன்றாவது பக்கம் $c=32 \mathrm{~cm}-(8+11) \mathrm{cm}=13 \mathrm{~cm}$

எனவே, $\quad 2 s=32$, அதாவது $s=16 \mathrm{~cm}$, $$ \begin{aligned} & s-a=(16-8) \mathrm{cm}=8 \mathrm{~cm}, \\ & s-b=(16-11) \mathrm{cm}=5 \mathrm{~cm}, \\ & s-c=(16-13) \mathrm{cm}=3 \mathrm{~cm} \end{aligned} $$

எனவே, முக்கோணத்தின் பரப்பளவு $=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

$$ =\sqrt{16 \times 8 \times 5 \times 3} \mathrm{~cm}^{2}=8 \sqrt{30} \mathrm{~cm}^{2} $$

எடுத்துக்காட்டு 2 : ஒரு முக்கோண வடிவ பூங்கா $A B C$ பக்கங்கள் $120 \mathrm{~m}, 80 \mathrm{~m}$ மற்றும் $50 \mathrm{~m}$ கொண்டது (படம் 10.4 ஐப் பார்க்கவும்). ஒரு தோட்டக்காரர் தனியா அதைச் சுற்றி வேலி அமைக்க வேண்டும் மற்றும் உள்ளே புல் நட வேண்டும். அவர் எவ்வளவு பரப்பளவில் நட வேண்டும்? ஒரு பக்கத்தில் $3 \mathrm{~m}$ அகலமுள்ள வாயில் இடத்தை விட்டுவிட்டு, மீட்டருக்கு ₹ 20 வீதம் முட்கம்பி வேலி அமைக்கும் செலவைக் கண்டறியவும்.

படம் 10.4

தீர்வு : பூங்காவின் பரப்பளவைக் கண்டறிய, நம்மிடம்

$$ \begin{aligned} & 2 s=50 \mathrm{~m}+80 \mathrm{~m}+120 \mathrm{~m}=250 \mathrm{~m} . \\ \text { i.e., } \quad & s=125 \mathrm{~m} \end{aligned} $$

இப்போது, $\quad \quad \quad \quad s-a=(125-120) \mathrm{~m}=5 \mathrm{~m}$,

$$ \begin{aligned} & s-b=(125-80) \mathrm{~m}=45 \mathrm{~m}, \\ & s-c=(125-50) \mathrm{~m}=75 \mathrm{~m} . \end{aligned} $$

எனவே, பூங்காவின் பரப்பளவு $=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

$$ \begin{aligned} & =\sqrt{125 \times 5 \times 45 \times 75} \mathrm{~m}^{2} \ & =375 \sqrt{15} \mathrm{~m}^{2} \end{aligned} $$

மேலும், பூங்காவின் சுற்றளவு $=\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{CA}=250 \mathrm{~m}$

எனவே, வேலி அமைக்கத் தேவையான கம்பியின் நீளம் $=250 \mathrm{~m}-3 \mathrm{~m}$ (வாயிலுக்கு விட்டுவிட வேண்டிய இடம்)

$$ =247 \mathrm{~m} $$

எனவே, வேலி அமைக்கும் செலவு $= 20 rupees \times 247= 4940$ ரூபாய்

எடுத்துக்காட்டு 3 : ஒரு முக்கோண வடிவ தோட்டத்தின் பக்கங்கள் $3: 5: 7$ என்ற விகிதத்தில் உள்ளன மற்றும் அதன் சுற்றளவு $300 \mathrm{~m}$. அதன் பரப்பளவைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு : பக்கங்கள், மீட்டரில், $3 x, 5 x$ மற்றும் $7 x$ என்று வைத்துக்கொள்வோம் (படம் 10.5 ஐப் பார்க்கவும்).

பின்னர், நமக்குத் தெரியும் $3 x+5 x+7 x=300$ (முக்கோணத்தின் சுற்றளவு)

எனவே, $15 x=300$, இது $x=20$ ஐத் தருகிறது.

எனவே முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் $3 \times 20 \mathrm{~m}, 5 \times 20 \mathrm{~m}$ மற்றும் $7 \times 20 \mathrm{~m}$

அதாவது, $60 \mathrm{~m}, 100 \mathrm{~m}$ மற்றும் $140 \mathrm{~m}$.

இப்போது பரப்பளவைக் கண்டறிய முடியுமா? [ஹீரோனின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி]

நம்மிடம் $s=\frac{60+100+140}{2} \mathrm{~m}=150 \mathrm{~m}$ உள்ளது,

படம் 10.5

மற்றும் பரப்பளவு $$ \begin{aligned} & \sqrt{150(150-60)(150-100)(150-140)} \mathrm{m}^{2} \\ & =\sqrt{150 \times 90 \times 50 \times 10} \mathrm{~m}^{2} \\ & =1500 \sqrt{3} \mathrm{~m}^{2} \end{aligned} $$

10.2 சுருக்கம்

இந்த அத்தியாயத்தில், நீங்கள் பின்வரும் புள்ளிகளைப் படித்துள்ளீர்கள்:

1. $a, b$ மற்றும் $c$ ஆகிய பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு ஹீரோனின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்திக் கணக்கிடப்படுகிறது, அது பின்வருமாறு கூறப்படுகிறது

$$ \begin{aligned} \text { Area of triangle } & =\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ \text{where} \quad s & =\frac{a+b+c}{2} \end{aligned} $$