१०.१ त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ — हेरॉनच्या सूत्राने

आपल्याला माहित आहे की त्रिकोणाची उंची दिली असता त्याचे क्षेत्रफळ $\frac{1}{2} \times$ पाया $\times$ उंची असते. आता समजा की आपल्याला एका विषमबाजू त्रिकोणाच्या बाजूंची लांबी माहित आहे पण उंची माहित नाही. तरीही तुम्ही त्याचे क्षेत्रफळ काढू शकता का? उदाहरणार्थ, तुमच्याकडे एक त्रिकोणी उद्यान आहे ज्याच्या बाजू ४० $\mathrm{m}, 32 \mathrm{~m}$, आणि $24 \mathrm{~m}$ आहेत. तुम्ही त्याचे क्षेत्रफळ कसे काढाल? नक्कीच जर तुम्हाला सूत्र लागू करायचे असेल, तर तुम्हाला त्याची उंची काढावी लागेल. पण उंची काढण्यासाठी आपल्याला काही सूचना नाहीत. हे करण्याचा प्रयत्न करा. जर तुम्हाला ते मिळवता आले नाही, तर पुढील विभागात जा.

हेरॉनचा जन्म सुमारे १० इ.स. मध्ये इजिप्तमधील अलेक्झांड्रिया येथे झाला. त्यांनी व्यावहारिक गणितावर काम केले. गणितीय आणि भौतिक विषयांवरील त्यांची कामे इतकी संख्येने आणि विविध आहेत की या क्षेत्रातील त्यांना विश्वकोशीय लेखक मानले जाते. त्यांची भूमितीय कामे मोजमापावरील समस्यांशी मोठ्या प्रमाणात संबंधित आहेत, जी तीन पुस्तकांमध्ये लिहिली आहेत. पुस्तक I मध्ये चौरस, आयत, त्रिकोण, समलंब चौकोन (ट्रॅपेझिया), विविध इतर विशेष चौकोन, नियमित बहुभुज, वर्तुळे, वृत्तचित्त, शंकू, गोल इत्यादींच्या पृष्ठभागांचे क्षेत्रफळ हाताळले आहे. या पुस्तकात, हेरॉनने त्रिकोणाच्या तीन बाजूंच्या आधारे त्याच्या क्षेत्रफळासाठी प्रसिद्ध सूत्र काढले आहे.

आकृती १०.१

हेरॉनने दिलेले त्रिकोणाच्या क्षेत्रफळाचे सूत्र, हेरोचे सूत्र म्हणूनही ओळखले जाते. ते असे मांडले आहे:

$$ \text { Area of a triangle }=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} $$

जिथे $a, b$ आणि $c$ ह्या त्रिकोणाच्या बाजू आहेत, आणि $s=$ अर्धपरिमिती, म्हणजे त्रिकोणाच्या परिमितीचा अर्धा भाग $=\frac{a+b+c}{2}$,

हे सूत्र उपयुक्त आहे जिथे त्रिकोणाची उंची सहज सापडत नाही. वरील (आकृती १०.२ पहा) उल्लेखित त्रिकोणी उद्यान $\mathrm{ABC}$ चे क्षेत्रफळ काढण्यासाठी ते वापरू.

आकृती १०.२

चला $a=40 \mathrm{~m}, b=24 \mathrm{~m}, c=32 \mathrm{~m}$ घेऊ,

जेणेकरून आपल्याकडे $$s=\frac{40+24+32}{2} \mathrm{~m}=48 \mathrm{~m}$$ असेल.

$s-a=(48-40) \mathrm{m}=8 \mathrm{~m}$,

$s-b=(48-24) \mathrm{m}=24 \mathrm{~m}$,

$s-c=(48-32) \mathrm{m}=16 \mathrm{~m}$.

म्हणून, उद्यानाचे क्षेत्रफळ $\mathrm{ABC}$

$=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

$=\sqrt{48 \times 8 \times 24 \times 16} \mathrm{~m}^{2}=384 \mathrm{~m}^{2}$

आपण पाहतो की $32^{2}+24^{2}=1024+576=1600=40^{2}$. म्हणून, उद्यानाच्या बाजू काटकोन त्रिकोण बनवतात. सर्वात मोठी बाजू, म्हणजे $\mathrm{BC}$ जी $40 \mathrm{~m}$ आहे, ती कर्ण असेल आणि बाजू $\mathrm{AB}$ आणि $\mathrm{AC}$ मधील कोन $90^{\circ}$ असेल.

आपण तपासू शकतो की उद्यानाचे क्षेत्रफळ $\frac{1}{2} \times 32 \times 24 \mathrm{~m}^{2}=384 \mathrm{~m}^{2}$ आहे.

आपल्याला आढळते की हेरॉनच्या सूत्राचा वापर करून आपल्याला मिळालेले क्षेत्रफळ हेच आहे.

आता हेरॉनचे सूत्र वापरून, तुम्ही पूर्वी चर्चा केलेल्या इतर त्रिकोणांची क्षेत्रफळे काढून ही वस्तुस्थिती सत्यापित करा, उदा.,

(i) बाजू $10 \mathrm{~cm}$ असलेला समभुज त्रिकोण.

(ii) असमान बाजू $8 \mathrm{~cm}$ आणि प्रत्येक समान बाजू $5 \mathrm{~cm}$ असलेला समद्विभुज त्रिकोण.

तुम्हाला दिसेल की

(i) साठी, आपल्याकडे $s=\frac{10+10+10}{2} \mathrm{~cm}=15 \mathrm{~cm}$ आहे.

त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ $=\sqrt{15(15-10)(15-10)(15-10)} \mathrm{cm}^{2}$

$$ =\sqrt{15 \times 5 \times 5 \times 5} \mathrm{~cm}^{2}=25 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2} $$

(ii) साठी, आपल्याकडे $s=\frac{8+5+5}{2} \mathrm{~cm}=9 \mathrm{~cm}$ आहे

त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ $=\sqrt{9(9-8)(9-5)(9-5)} \mathrm{cm}^{2}=\sqrt{9 \times 1 \times 4 \times 4} \mathrm{~cm}^{2}=12 \mathrm{~cm}^{2}$.

चला आता आणखी काही उदाहरणे सोडवू:

उदाहरण १ : एका त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ काढा, ज्याच्या दोन बाजू $8 \mathrm{~cm}$ आणि $11 \mathrm{~cm}$ आहेत आणि परिमिती $32 \mathrm{~cm}$ आहे (आकृती १०.३ पहा).

आकृती १०.३

उकल : येथे आपल्याकडे त्रिकोणाची परिमिती $=32 \mathrm{~cm}, a=8 \mathrm{~cm}$ आणि $b=11 \mathrm{~cm}$ आहे.

तिसरी बाजू $c=32 \mathrm{~cm}-(8+11) \mathrm{cm}=13 \mathrm{~cm}$

म्हणून, $\quad 2 s=32$, म्हणजे, $s=16 \mathrm{~cm}$, $$ \begin{aligned} & s-a=(16-8) \mathrm{cm}=8 \mathrm{~cm}, \\ & s-b=(16-11) \mathrm{cm}=5 \mathrm{~cm}, \\ & s-c=(16-13) \mathrm{cm}=3 \mathrm{~cm} \end{aligned} $$

म्हणून, त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ $=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

$$ =\sqrt{16 \times 8 \times 5 \times 3} \mathrm{~cm}^{2}=8 \sqrt{30} \mathrm{~cm}^{2} $$

उदाहरण २ : एक त्रिकोणी उद्यान $A B C$ च्या बाजू $120 \mathrm{~m}, 80 \mathrm{~m}$ आणि $50 \mathrm{~m}$ आहेत (आकृती १०.४ पहा). एका माळी धनियाला त्याभोवती कुंपण घालावे लागेल आणि आत गवत लावावे लागेल. तिला किती क्षेत्रात गवत लावावे लागेल? एका बाजूला एका गेटसाठी $3 \mathrm{~m}$ रुंद जागा सोडून, दर मीटरला ₹ २० दराने काटेरी तारेचे कुंपण घालण्याची किंमत काढा.

आकृती १०.४

उकल : उद्यानाचे क्षेत्रफळ काढण्यासाठी, आपल्याकडे

$$ \begin{aligned} & 2 s=50 \mathrm{~m}+80 \mathrm{~m}+120 \mathrm{~m}=250 \mathrm{~m} . \\ \text { i.e., } \quad & s=125 \mathrm{~m} \end{aligned} $$

आता, $\quad \quad \quad \quad s-a=(125-120) \mathrm{~m}=5 \mathrm{~m}$,

$$ \begin{aligned} & s-b=(125-80) \mathrm{~m}=45 \mathrm{~m}, \\ & s-c=(125-50) \mathrm{~m}=75 \mathrm{~m} . \end{aligned} $$

म्हणून, उद्यानाचे क्षेत्रफळ $=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

$$ \begin{aligned} & =\sqrt{125 \times 5 \times 45 \times 75} \mathrm{~m}^{2} \ & =375 \sqrt{15} \mathrm{~m}^{2} \end{aligned} $$

तसेच, उद्यानाची परिमिती $=\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{CA}=250 \mathrm{~m}$

म्हणून, कुंपणासाठी लागणाऱ्या तारेची लांबी $=250 \mathrm{~m}-3 \mathrm{~m}$ (गेटसाठी सोडलेली)

$$ =247 \mathrm{~m} $$

आणि म्हणून कुंपण घालण्याची किंमत $= 20 rupees \times 247= 4940$ रुपये

उदाहरण ३ : एका त्रिकोणी प्लॉटच्या बाजूंचे गुणोत्तर $3: 5: 7$ आहे आणि त्याची परिमिती $300 \mathrm{~m}$ आहे. त्याचे क्षेत्रफळ काढा.

उकल : समजा की बाजू, मीटरमध्ये, $3 x, 5 x$ आणि $7 x$ आहेत (आकृती १०.५ पहा).

मग, आपल्याला माहित आहे की $3 x+5 x+7 x=300$ (त्रिकोणाची परिमिती)

म्हणून, $15 x=300$, ज्यामुळे $x=20$ मिळते.

तर त्रिकोणाच्या बाजू $3 \times 20 \mathrm{~m}, 5 \times 20 \mathrm{~m}$ आणि $7 \times 20 \mathrm{~m}$ आहेत

म्हणजे, $60 \mathrm{~m}, 100 \mathrm{~m}$ आणि $140 \mathrm{~m}$.

तुम्ही आता क्षेत्रफळ काढू शकता का [हेरॉनचे सूत्र वापरून]?

आपल्याकडे $s=\frac{60+100+140}{2} \mathrm{~m}=150 \mathrm{~m}$ आहे,

आकृती १०.५

आणि क्षेत्रफळ असेल $$ \begin{aligned} & \sqrt{150(150-60)(150-100)(150-140)} \mathrm{m}^{2} \\ & =\sqrt{150 \times 90 \times 50 \times 10} \mathrm{~m}^{2} \\ & =1500 \sqrt{3} \mathrm{~m}^{2} \end{aligned} $$

१०.२ सारांश

या प्रकरणात, तुम्ही खालील मुद्द्यांचा अभ्यास केला आहे :

१. $a, b$ आणि $c$ बाजू असलेल्या त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ हेरॉनच्या सूत्राचा वापर करून काढले जाते, जे असे मांडले आहे

$$ \begin{aligned} \text { Area of triangle } & =\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ \text{where} \quad s & =\frac{a+b+c}{2} \end{aligned} $$