10.1 ਤਿਕੋਣ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ — ਹੀਰੋਨ ਦੇ ਸੂਤਰ ਦੁਆਰਾ

ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜਦੋਂ ਤਿਕੋਣ ਦੀ ਉਚਾਈ ਦਿੱਤੀ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਇਸਦਾ ਖੇਤਰਫਲ $\frac{1}{2} \times$ ਆਧਾਰ $\times$ ਉਚਾਈ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਹੁਣ ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਵਿ਷ਮਬਾਹੂ ਤਿਕੋਣ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਪਰ ਉਚਾਈ ਨਹੀਂ ਜਾਣਦੇ। ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਫਿਰ ਵੀ ਇਸਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ? ਉਦਾਹਰਣ ਵਜੋਂ, ਤੁਹਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਤਿਕੋਣਾਕਾਰ ਪਾਰਕ ਹੈ ਜਿਸਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ 40 $\mathrm{m}, 32 \mathrm{~m}$, ਅਤੇ $24 \mathrm{~m}$ ਹਨ। ਤੁਸੀਂ ਇਸਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਕਿਵੇਂ ਗਿਣੋਗੇ? ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਸੂਤਰ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਤੁਹਾਨੂੰ ਇਸਦੀ ਉਚਾਈ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨੀ ਪਵੇਗੀ। ਪਰ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਉਚਾਈ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕੋਈ ਸੁਰਾਗ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਕਰਨ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਨਹੀਂ ਕਰ ਸਕਦੇ, ਤਾਂ ਅਗਲੇ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਜਾਓ।

ਹੀਰੋਨ ਦਾ ਜਨਮ ਲਗਭਗ 10 ਈਸਵੀ ਵਿੱਚ ਸੰਭਵਤ: ਮਿਸਰ ਦੇ ਅਲੈਗਜ਼ੈਂਡਰੀਆ ਵਿੱਚ ਹੋਇਆ ਸੀ। ਉਸਨੇ ਲਾਗੂ ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ ਕੰਮ ਕੀਤਾ। ਗਣਿਤ ਅਤੇ ਭੌਤਿਕ ਵਿਸ਼ਿਆਂ ‘ਤੇ ਉਸਦੇ ਕੰਮ ਇੰਨੇ ਵੱਧ ਅਤੇ ਵਿਭਿੰਨ ਹਨ ਕਿ ਉਸਨੂੰ ਇਨ੍ਹਾਂ ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ਵਕੋਸ਼ੀ ਲੇਖਕ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਸਦੇ ਰੇਖਾਗਣਿਤੀ ਕੰਮ ਮੁੱਖ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਮਾਪ-ਵਿਗਿਆਨ ‘ਤੇ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹਨ ਜੋ ਤਿੰਨ ਕਿਤਾਬਾਂ ਵਿੱਚ ਲਿਖੇ ਗਏ ਹਨ। ਕਿਤਾਬ I ਵਰਗਾਂ, ਆਇਤਾਂ, ਤਿਕੋਣਾਂ, ਸਮਲੰਬ ਚਤੁਰਭੁਜਾਂ, ਵੱਖ-ਵੱਖ ਹੋਰ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਚਤੁਰਭੁਜਾਂ, ਨਿਯਮਿਤ ਬਹੁਭੁਜਾਂ, ਚੱਕਰਾਂ, ਸਿਲੰਡਰਾਂ, ਸ਼ੰਕੂਆਂ, ਗੋਲਿਆਂ ਆਦਿ ਦੇ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲਾਂ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੈ। ਇਸ ਕਿਤਾਬ ਵਿੱਚ, ਹੀਰੋਨ ਨੇ ਇੱਕ ਤਿਕੋਣ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਲਈ ਇਸਦੀਆਂ ਤਿੰਨਾਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਸਿੱਧ ਸੂਤਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਹੈ।

ਚਿੱਤਰ 10.1

ਹੀਰੋਨ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਤਿਕੋਣ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਸੂਤਰ, ਹੀਰੋ ਦੇ ਸੂਤਰ ਵਜੋਂ ਵੀ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੱਸਿਆ ਗਿਆ ਹੈ:

$$ \text { Area of a triangle }=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} $$

ਜਿੱਥੇ $a, b$ ਅਤੇ $c$ ਤਿਕੋਣ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਹਨ, ਅਤੇ $s=$ ਅਰਧ-ਪਰਿਮਾਪ ਹੈ, ਯਾਨੀ, ਤਿਕੋਣ ਦੇ ਪਰਿਮਾਪ ਦਾ ਅੱਧਾ $=\frac{a+b+c}{2}$,

ਇਹ ਸੂਤਰ ਉਹਨਾਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਵਿੱਚ ਮਦਦਗਾਰ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਤਿਕੋਣ ਦੀ ਉਚਾਈ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ ਸੰਭਵ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ। ਆਓ ਇਸਨੂੰ ਉਪਰੋਕਤ ਤਿਕੋਣਾਕਾਰ ਪਾਰਕ $\mathrm{ABC}$ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਲਾਗੂ ਕਰੀਏ (ਚਿੱਤਰ 10.2 ਵੇਖੋ)।

ਚਿੱਤਰ 10.2

ਆਓ $a=40 \mathrm{~m}, b=24 \mathrm{~m}, c=32 \mathrm{~m}$ ਲਈਏ,

ਤਾਂ ਕਿ ਸਾਡੇ ਕੋਲ $$s=\frac{40+24+32}{2} \mathrm{~m}=48 \mathrm{~m}$$ ਹੋਵੇ।

$s-a=(48-40) \mathrm{m}=8 \mathrm{~m}$,

$s-b=(48-24) \mathrm{m}=24 \mathrm{~m}$,

$s-c=(48-32) \mathrm{m}=16 \mathrm{~m}$।

ਇਸ ਲਈ, ਪਾਰਕ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ $\mathrm{ABC}$

$=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

$=\sqrt{48 \times 8 \times 24 \times 16} \mathrm{~m}^{2}=384 \mathrm{~m}^{2}$

ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $32^{2}+24^{2}=1024+576=1600=40^{2}$। ਇਸ ਲਈ, ਪਾਰਕ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਇੱਕ ਸਮਕੋਣ ਤਿਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਭੁਜਾ, ਯਾਨੀ, $\mathrm{BC}$ ਜੋ ਕਿ $40 \mathrm{~m}$ ਹੈ, ਕਰਣ ਹੋਵੇਗੀ ਅਤੇ ਭੁਜਾਵਾਂ $\mathrm{AB}$ ਅਤੇ $\mathrm{AC}$ ਵਿਚਕਾਰਲਾ ਕੋਣ $90^{\circ}$ ਹੋਵੇਗਾ।

ਅਸੀਂ ਜਾਂਚ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਪਾਰਕ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ $\frac{1}{2} \times 32 \times 24 \mathrm{~m}^{2}=384 \mathrm{~m}^{2}$ ਹੈ।

ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜੋ ਖੇਤਰਫਲ ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਹੈ ਉਹ ਹੀਰੋਨ ਦੇ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੇ ਖੇਤਰਫਲ ਵਰਗਾ ਹੀ ਹੈ।

ਹੁਣ ਹੀਰੋਨ ਦੇ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਤੱਥ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰੋ ਹੋਰ ਤਿਕੋਣਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਲੱਭ ਕੇ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਪਹਿਲਾਂ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀ ਗਈ ਸੀ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ,

(i) ਭੁਜਾ $10 \mathrm{~cm}$ ਵਾਲਾ ਸਮਭੁਜੀ ਤਿਕੋਣ।

(ii) ਅਸਮਾਨ ਭੁਜਾ $8 \mathrm{~cm}$ ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਬਰਾਬਰ ਭੁਜਾ $5 \mathrm{~cm}$ ਵਾਲਾ ਸਮਦੋਭੁਜੀ ਤਿਕੋਣ।

ਤੁਸੀਂ ਦੇਖੋਗੇ ਕਿ

(i) ਲਈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ $s=\frac{10+10+10}{2} \mathrm{~cm}=15 \mathrm{~cm}$ ਹੈ।

ਤਿਕੋਣ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ $=\sqrt{15(15-10)(15-10)(15-10)} \mathrm{cm}^{2}$

$$ =\sqrt{15 \times 5 \times 5 \times 5} \mathrm{~cm}^{2}=25 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2} $$

(ii) ਲਈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ $s=\frac{8+5+5}{2} \mathrm{~cm}=9 \mathrm{~cm}$ ਹੈ

ਤਿਕੋਣ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ $=\sqrt{9(9-8)(9-5)(9-5)} \mathrm{cm}^{2}=\sqrt{9 \times 1 \times 4 \times 4} \mathrm{~cm}^{2}=12 \mathrm{~cm}^{2}$।

ਆਓ ਹੁਣ ਕੁਝ ਹੋਰ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਹੱਲ ਕਰੀਏ:

ਉਦਾਹਰਣ 1 : ਇੱਕ ਤਿਕੋਣ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਜਿਸਦੀਆਂ ਦੋ ਭੁਜਾਵਾਂ $8 \mathrm{~cm}$ ਅਤੇ $11 \mathrm{~cm}$ ਹਨ ਅਤੇ ਪਰਿਮਾਪ $32 \mathrm{~cm}$ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 10.3 ਵੇਖੋ)।

ਚਿੱਤਰ 10.3

ਹੱਲ : ਇੱਥੇ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਤਿਕੋਣ ਦਾ ਪਰਿਮਾਪ $=32 \mathrm{~cm}, a=8 \mathrm{~cm}$ ਅਤੇ $b=11 \mathrm{~cm}$ ਹੈ।

ਤੀਜੀ ਭੁਜਾ $c=32 \mathrm{~cm}-(8+11) \mathrm{cm}=13 \mathrm{~cm}$

ਇਸ ਲਈ, $\quad 2 s=32$, ਯਾਨੀ, $s=16 \mathrm{~cm}$, $$ \begin{aligned} & s-a=(16-8) \mathrm{cm}=8 \mathrm{~cm}, \\ & s-b=(16-11) \mathrm{cm}=5 \mathrm{~cm}, \\ & s-c=(16-13) \mathrm{cm}=3 \mathrm{~cm} \end{aligned} $$

ਇਸ ਲਈ, ਤਿਕੋਣ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ $=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

$$ =\sqrt{16 \times 8 \times 5 \times 3} \mathrm{~cm}^{2}=8 \sqrt{30} \mathrm{~cm}^{2} $$

ਉਦਾਹਰਣ 2 : ਇੱਕ ਤਿਕੋਣਾਕਾਰ ਪਾਰਕ $A B C$ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ $120 \mathrm{~m}, 80 \mathrm{~m}$ ਅਤੇ $50 \mathrm{~m}$ ਹਨ (ਚਿੱਤਰ 10.4 ਵੇਖੋ)। ਇੱਕ ਮਾਲੀ ਧਨੀਆ ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਚਾਰੇ ਪਾਸੇ ਬਾੜ ਲਗਾਉਣੀ ਹੈ ਅਤੇ ਅੰਦਰ ਘਾਹ ਵੀ ਲਗਾਉਣਾ ਹੈ। ਉਸਨੂੰ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕਿੰਨੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ? ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਇੱਕ ਗੇਟ ਲਈ $3 \mathrm{~m}$ ਚੌੜੀ ਥਾਂ ਛੱਡ ਕੇ ₹ 20 ਪ੍ਰਤੀ ਮੀਟਰ ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਕੰਡਿਆਂ ਵਾਲੀ ਤਾਰ ਨਾਲ ਬਾੜ ਲਗਾਉਣ ਦੀ ਲਾਗਤ ਪਤਾ ਕਰੋ।

ਚਿੱਤਰ 10.4

ਹੱਲ : ਪਾਰਕ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ

$$ \begin{aligned} & 2 s=50 \mathrm{~m}+80 \mathrm{~m}+120 \mathrm{~m}=250 \mathrm{~m} . \\ \text { i.e., } \quad & s=125 \mathrm{~m} \end{aligned} $$

ਹੁਣ, $\quad \quad \quad \quad s-a=(125-120) \mathrm{~m}=5 \mathrm{~m}$,

$$ \begin{aligned} & s-b=(125-80) \mathrm{~m}=45 \mathrm{~m}, \\ & s-c=(125-50) \mathrm{~m}=75 \mathrm{~m} . \end{aligned} $$

ਇਸ ਲਈ, ਪਾਰਕ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ $=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

$$ \begin{aligned} & =\sqrt{125 \times 5 \times 45 \times 75} \mathrm{~m}^{2} \ & =375 \sqrt{15} \mathrm{~m}^{2} \end{aligned} $$

ਨਾਲ ਹੀ, ਪਾਰਕ ਦਾ ਪਰਿਮਾਪ $=\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{CA}=250 \mathrm{~m}$

ਇਸ ਲਈ, ਬਾੜ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੀ ਤਾਰ ਦੀ ਲੰਬਾਈ $=250 \mathrm{~m}-3 \mathrm{~m}$ (ਗੇਟ ਲਈ ਛੱਡੀ ਜਾਣੀ ਹੈ)

$$ =247 \mathrm{~m} $$

ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਬਾੜ ਲਗਾਉਣ ਦੀ ਲਾਗਤ $= 20 rupees \times 247= 4940$ ਰੁਪਏ

ਉਦਾਹਰਣ 3 : ਇੱਕ ਤਿਕੋਣਾਕਾਰ ਪਲਾਟ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ $3: 5: 7$ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਵਿੱਚ ਹਨ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਪਰਿਮਾਪ $300 \mathrm{~m}$ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।

ਹੱਲ : ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਭੁਜਾਵਾਂ, ਮੀਟਰਾਂ ਵਿੱਚ, $3 x, 5 x$ ਅਤੇ $7 x$ ਹਨ (ਚਿੱਤਰ 10.5 ਵੇਖੋ)।

ਤਾਂ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $3 x+5 x+7 x=300$ (ਤਿਕੋਣ ਦਾ ਪਰਿਮਾਪ)

ਇਸ ਲਈ, $15 x=300$, ਜੋ ਕਿ $x=20$ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।

ਇਸ ਲਈ ਤਿਕੋਣ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ $3 \times 20 \mathrm{~m}, 5 \times 20 \mathrm{~m}$ ਅਤੇ $7 \times 20 \mathrm{~m}$ ਹਨ

ਯਾਨੀ, $60 \mathrm{~m}, 100 \mathrm{~m}$ ਅਤੇ $140 \mathrm{~m}$।

ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਹੁਣ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ [ਹੀਰੋਨ ਦੇ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ]?

ਸਾਡੇ ਕੋਲ $s=\frac{60+100+140}{2} \mathrm{~m}=150 \mathrm{~m}$ ਹੈ,

ਚਿੱਤਰ 10.5

ਅਤੇ ਖੇਤਰਫਲ ਹੋਵੇਗਾ $$ \begin{aligned} & \sqrt{150(150-60)(150-100)(150-140)} \mathrm{m}^{2} \\ & =\sqrt{150 \times 90 \times 50 \times 10} \mathrm{~m}^{2} \\ & =1500 \sqrt{3} \mathrm{~m}^{2} \end{aligned} $$

10.2 ਸਾਰਾਂਸ਼

ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਗੱਲਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤਾ ਹੈ:

1. ਭੁਜਾਵਾਂ $a, b$ ਅਤੇ $c$ ਵਾਲੇ ਤਿਕੋਣ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਹੀਰੋਨ ਦੇ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗਿਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੱਸਿਆ ਗਿਆ ਹੈ

$$ \begin{aligned} \text { Area of triangle } & =\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ \text{where} \quad s & =\frac{a+b+c}{2} \end{aligned} $$