10.1 ತ್ರಿಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ — ಹೀರೋನ್‌ನ ಸೂತ್ರದಿಂದ

ತ್ರಿಭುಜದ ಎತ್ತರ ನೀಡಿದಾಗ ಅದರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $\frac{1}{2} \times$ ಪಾದ $\times$ ಎತ್ತರ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಈಗ ಒಂದು ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಭುಜವಲ್ಲದ ತ್ರಿಭುಜದ ಬಾಹುಗಳ ಉದ್ದಗಳು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಎತ್ತರ ತಿಳಿದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನೀವು ಇನ್ನೂ ಅದರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಲ್ಲಿರಾ? ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಿಮ್ಮ ಬಳಿ 40 $\mathrm{m}, 32 \mathrm{~m}$, ಮತ್ತು $24 \mathrm{~m}$ ಬಾಹುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ತ್ರಿಕೋನಾಕಾರದ ಉದ್ಯಾನವಿದೆ. ನೀವು ಅದರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೀರಿ? ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ನೀವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಬಯಸಿದರೆ, ನೀವು ಅದರ ಎತ್ತರವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಎತ್ತರವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲು ನಮಗೆ ಯಾವುದೇ ಸುಳಿವು ಇಲ್ಲ. ಹಾಗೆ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ. ನೀವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಮುಂದಿನ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಹೋಗಿ.

ಹೀರೋನ್ ಸುಮಾರು 10AD ನಲ್ಲಿ ಈಜಿಪ್ಟ್‌ನ ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡ್ರಿಯಾದಲ್ಲಿ ಜನಿಸಿದರು. ಅವರು ಅನ್ವಯಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದರು. ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಭೌತಿಕ ವಿಷಯಗಳ ಮೇಲಿನ ಅವರ ಕೃತಿಗಳು ಅತ್ಯಂತ ಸಂಖ್ಯಾಬಹುಳ್ಯ ಮತ್ತು ವೈವಿಧ್ಯಮಯವಾಗಿದ್ದು, ಈ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ವಿಶ್ವಕೋಶೀಯ ಲೇಖಕ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅವರ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಕೃತಿಗಳು ಮಾಪನಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮೂರು ಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ. ಪುಸ್ತಕ I ಚೌಕಗಳು, ಆಯತಗಳು, ತ್ರಿಭುಜಗಳು, ಸಮಲಂಬ ಚತುರ್ಭುಜಗಳು (ಟ್ರೆಪೆಜಿಯಾ), ಇತರ ವಿವಿಧ ವಿಶೇಷ ಚತುರ್ಭುಜಗಳು, ನಿಯಮಿತ ಬಹುಭುಜಗಳು, ವೃತ್ತಗಳು, ಸಿಲಿಂಡರ್‌ಗಳ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು, ಶಂಕುಗಳು, ಗೋಳಗಳು ಇತ್ಯಾದಿಗಳ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ, ಹೀರೋನ್ ತ್ರಿಭುಜದ ಮೂರು ಬಾಹುಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಅದರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಕ್ಕೆ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದಾರೆ.

ಚಿತ್ರ 10.1

ಹೀರೋನ್ ನೀಡಿದ ತ್ರಿಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಹೀರೋನ್‌ನ ಸೂತ್ರ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ಹೇಳಲಾಗಿದೆ:

$$ \text { Area of a triangle }=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} $$

ಇಲ್ಲಿ $a, b$ ಮತ್ತು $c$ ತ್ರಿಭುಜದ ಬಾಹುಗಳು, ಮತ್ತು $s=$ ಅರ್ಧ-ಪರಿಧಿ, ಅಂದರೆ, ತ್ರಿಭುಜದ ಪರಿಧಿಯ ಅರ್ಧ $=\frac{a+b+c}{2}$,

ತ್ರಿಭುಜದ ಎತ್ತರವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಸೂತ್ರವು ಸಹಾಯಕವಾಗಿದೆ. ಮೇಲೆ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾದ ತ್ರಿಕೋನಾಕಾರದ ಉದ್ಯಾನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಅದನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ $\mathrm{ABC}$, (ಚಿತ್ರ 10.2 ನೋಡಿ).

ಚಿತ್ರ 10.2

ನಾವು $a=40 \mathrm{~m}, b=24 \mathrm{~m}, c=32 \mathrm{~m}$ ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ,

ಆದ್ದರಿಂದ ನಮಗೆ $$s=\frac{40+24+32}{2} \mathrm{~m}=48 \mathrm{~m}$$ ಇದೆ.

$s-a=(48-40) \mathrm{m}=8 \mathrm{~m}$,

$s-b=(48-24) \mathrm{m}=24 \mathrm{~m}$,

$s-c=(48-32) \mathrm{m}=16 \mathrm{~m}$.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಉದ್ಯಾನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $\mathrm{ABC}$

$=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

$=\sqrt{48 \times 8 \times 24 \times 16} \mathrm{~m}^{2}=384 \mathrm{~m}^{2}$

ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ $32^{2}+24^{2}=1024+576=1600=40^{2}$. ಆದ್ದರಿಂದ, ಉದ್ಯಾನದ ಬಾಹುಗಳು ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಭುಜವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತವೆ. ದೊಡ್ಡ ಬಾಹು, ಅಂದರೆ, $\mathrm{BC}$ ಇದು $40 \mathrm{~m}$ ಕರ್ಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬಾಹುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ $\mathrm{AB}$ ಮತ್ತು $\mathrm{AC}$ $90^{\circ}$ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದ್ಯಾನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $\frac{1}{2} \times 32 \times 24 \mathrm{~m}^{2}=384 \mathrm{~m}^{2}$ ಎಂದು ನಾವು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು.

ಹೀರೋನ್‌ನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ ನಾವು ಪಡೆದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಮೊದಲು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದಂತೆಯೇ ಇದೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಈಗ ಹೀರೋನ್‌ನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ, ನೀವು ಈ ಸತ್ಯವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ ಇತರ ತ್ರಿಭುಜಗಳ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮೂಲಕ:

(i) ಬಾಹು $10 \mathrm{~cm}$ ಹೊಂದಿರುವ ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಭುಜ.

(ii) ಅಸಮ ಬಾಹುವಾಗಿ $8 \mathrm{~cm}$ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಸಮಾನ ಬಾಹುವಾಗಿ $5 \mathrm{~cm}$ ಹೊಂದಿರುವ ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಭುಜ.

ನೀವು ನೋಡುತ್ತೀರಿ:

(i) ಗಾಗಿ, ನಮಗೆ $s=\frac{10+10+10}{2} \mathrm{~cm}=15 \mathrm{~cm}$ ಇದೆ.

ತ್ರಿಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $=\sqrt{15(15-10)(15-10)(15-10)} \mathrm{cm}^{2}$

$$ =\sqrt{15 \times 5 \times 5 \times 5} \mathrm{~cm}^{2}=25 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2} $$

(ii) ಗಾಗಿ, ನಮಗೆ $s=\frac{8+5+5}{2} \mathrm{~cm}=9 \mathrm{~cm}$ ಇದೆ

ತ್ರಿಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $=\sqrt{9(9-8)(9-5)(9-5)} \mathrm{cm}^{2}=\sqrt{9 \times 1 \times 4 \times 4} \mathrm{~cm}^{2}=12 \mathrm{~cm}^{2}$.

ಈಗ ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ:

ಉದಾಹರಣೆ 1 : ಒಂದು ತ್ರಿಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ, ಅದರ ಎರಡು ಬಾಹುಗಳು $8 \mathrm{~cm}$ ಮತ್ತು $11 \mathrm{~cm}$ ಮತ್ತು ಪರಿಧಿ $32 \mathrm{~cm}$ (ಚಿತ್ರ 10.3 ನೋಡಿ).

ಚಿತ್ರ 10.3

ಪರಿಹಾರ : ಇಲ್ಲಿ ನಮಗೆ ತ್ರಿಭುಜದ ಪರಿಧಿ $=32 \mathrm{~cm}, a=8 \mathrm{~cm}$ ಮತ್ತು $b=11 \mathrm{~cm}$ ಇದೆ.

ಮೂರನೇ ಬಾಹು $c=32 \mathrm{~cm}-(8+11) \mathrm{cm}=13 \mathrm{~cm}$

ಆದ್ದರಿಂದ, $\quad 2 s=32$, ಅಂದರೆ, $s=16 \mathrm{~cm}$, $$ \begin{aligned} & s-a=(16-8) \mathrm{cm}=8 \mathrm{~cm}, \\ & s-b=(16-11) \mathrm{cm}=5 \mathrm{~cm}, \\ & s-c=(16-13) \mathrm{cm}=3 \mathrm{~cm} \end{aligned} $$

ಆದ್ದರಿಂದ, ತ್ರಿಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

$$ =\sqrt{16 \times 8 \times 5 \times 3} \mathrm{~cm}^{2}=8 \sqrt{30} \mathrm{~cm}^{2} $$

ಉದಾಹರಣೆ 2 : ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನಾಕಾರದ ಉದ್ಯಾನ $A B C$ ಬಾಹುಗಳು $120 \mathrm{~m}, 80 \mathrm{~m}$ ಮತ್ತು $50 \mathrm{~m}$ ಹೊಂದಿದೆ (ಚಿತ್ರ 10.4 ನೋಡಿ). ಒಬ್ಬ ತೋಟಗಾರ ಧನಿಯಾ ಅದರ ಸುತ್ತಲೂ ಬೇಲಿ ಹಾಕಬೇಕು ಮತ್ತು ಒಳಗೆ ಹುಲ್ಲು ನೆಡಬೇಕು. ನೆಡಲು ಅವಳಿಗೆ ಎಷ್ಟು ಪ್ರದೇಶ ಬೇಕು? ಒಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ $3 \mathrm{~m}$ ಅಗಲದ ಗೇಟ್‌ಗೆ ಜಾಗ ಬಿಟ್ಟು ₹ 20 ಪ್ರತಿ ಮೀಟರ್ ದರದಲ್ಲಿ ಕಂಟಕ ತಂತಿಯಿಂದ ಬೇಲಿ ಹಾಕುವ ವೆಚ್ಚವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಚಿತ್ರ 10.4

ಪರಿಹಾರ : ಉದ್ಯಾನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಮಗೆ ಇದೆ

$$ \begin{aligned} & 2 s=50 \mathrm{~m}+80 \mathrm{~m}+120 \mathrm{~m}=250 \mathrm{~m} . \\ \text { i.e., } \quad & s=125 \mathrm{~m} \end{aligned} $$

ಈಗ, $\quad \quad \quad \quad s-a=(125-120) \mathrm{~m}=5 \mathrm{~m}$,

$$ \begin{aligned} & s-b=(125-80) \mathrm{~m}=45 \mathrm{~m}, \\ & s-c=(125-50) \mathrm{~m}=75 \mathrm{~m} . \end{aligned} $$

ಆದ್ದರಿಂದ, ಉದ್ಯಾನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

$$ \begin{aligned} & =\sqrt{125 \times 5 \times 45 \times 75} \mathrm{~m}^{2} \ & =375 \sqrt{15} \mathrm{~m}^{2} \end{aligned} $$

ಅಲ್ಲದೆ, ಉದ್ಯಾನದ ಪರಿಧಿ $=\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{CA}=250 \mathrm{~m}$

ಆದ್ದರಿಂದ, ಬೇಲಿ ಹಾಕಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ತಂತಿಯ ಉದ್ದ $=250 \mathrm{~m}-3 \mathrm{~m}$ (ಗೇಟ್‌ಗಾಗಿ ಬಿಡಲಾಗುವುದು)

$$ =247 \mathrm{~m} $$

ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಬೇಲಿ ಹಾಕುವ ವೆಚ್ಚ $= 20 rupees \times 247= 4940$ ರೂಪಾಯಿಗಳು

ಉದಾಹರಣೆ 3 : ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನಾಕಾರದ ಪ್ಲಾಟ್‌ನ ಬಾಹುಗಳು $3: 5: 7$ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿವೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಪರಿಧಿ $300 \mathrm{~m}$ ಆಗಿದೆ. ಅದರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ : ಬಾಹುಗಳು, ಮೀಟರ್‌ಗಳಲ್ಲಿ, $3 x, 5 x$ ಮತ್ತು $7 x$ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ (ಚಿತ್ರ 10.5 ನೋಡಿ).

ನಂತರ, ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ $3 x+5 x+7 x=300$ (ತ್ರಿಭುಜದ ಪರಿಧಿ)

ಆದ್ದರಿಂದ, $15 x=300$, ಇದು $x=20$ ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ ತ್ರಿಭುಜದ ಬಾಹುಗಳು $3 \times 20 \mathrm{~m}, 5 \times 20 \mathrm{~m}$ ಮತ್ತು $7 \times 20 \mathrm{~m}$

ಅಂದರೆ, $60 \mathrm{~m}, 100 \mathrm{~m}$ ಮತ್ತು $140 \mathrm{~m}$.

ನೀವು ಈಗ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಲ್ಲಿರಾ [ಹೀರೋನ್‌ನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ]?

ನಮಗೆ $s=\frac{60+100+140}{2} \mathrm{~m}=150 \mathrm{~m}$ ಇದೆ,

ಚಿತ್ರ 10.5

ಮತ್ತು ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಇರುತ್ತದೆ $$ \begin{aligned} & \sqrt{150(150-60)(150-100)(150-140)} \mathrm{m}^{2} \\ & =\sqrt{150 \times 90 \times 50 \times 10} \mathrm{~m}^{2} \\ & =1500 \sqrt{3} \mathrm{~m}^{2} \end{aligned} $$

10.2 ಸಾರಾಂಶ

ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ, ನೀವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೀರಿ:

1. ತ್ರಿಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಅದರ ಬಾಹುಗಳು $a, b$ ಮತ್ತು $c$ ಆಗಿ ಹೀರೋನ್‌ನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದನ್ನು ಹೀಗೆ ಹೇಳಲಾಗಿದೆ

$$ \begin{aligned} \text { Area of triangle } & =\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ \text{where} \quad s & =\frac{a+b+c}{2} \end{aligned} $$