১০.১ একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল — হেরনের সূত্র দ্বারা

আমরা জানি যে, একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল যখন এর উচ্চতা দেওয়া থাকে, তা হল $\frac{1}{2} \times$ ভূমি $\times$ উচ্চতা। এখন ধরা যাক, আমরা একটি বিষমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য জানি কিন্তু উচ্চতা জানি না। তবুও কি আপনি এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে পারবেন? উদাহরণস্বরূপ, আপনার একটি ত্রিভুজাকার পার্ক আছে যার বাহুগুলি ৪০ $\mathrm{m}, 32 \mathrm{~m}$, এবং $24 \mathrm{~m}$। আপনি কীভাবে এর ক্ষেত্রফল গণনা করবেন? নিশ্চিতভাবে, আপনি যদি সূত্রটি প্রয়োগ করতে চান, তাহলে আপনাকে এর উচ্চতা গণনা করতে হবে। কিন্তু উচ্চতা গণনা করার কোনও সূত্র আমাদের কাছে নেই। এটি করার চেষ্টা করুন। আপনি যদি এটি পেতে না পারেন, তাহলে পরবর্তী বিভাগে যান।

হেরনের জন্ম খ্রিস্টাব্দ ১০ সালের দিকে সম্ভবত মিশরের আলেকজান্দ্রিয়ায়। তিনি প্রয়োগিক গণিতে কাজ করতেন। গণিত ও পদার্থবিদ্যার বিষয়ে তাঁর কাজ এত বেশি এবং বৈচিত্র্যময় যে তিনি এই ক্ষেত্রগুলিতে একটি বিশ্বকোষীয় লেখক হিসাবে বিবেচিত হন। তাঁর জ্যামিতিক কাজগুলি মূলত পরিমিতি সংক্রান্ত সমস্যা নিয়ে তিনটি বইয়ে লিখিত। বই I বর্গক্ষেত্র, আয়তক্ষেত্র, ত্রিভুজ, ট্রাপিজিয়াম, বিভিন্ন বিশেষায়িত চতুর্ভুজ, সুষম বহুভুজ, বৃত্ত, সিলিন্ডার, শঙ্কু, গোলক ইত্যাদির ক্ষেত্রফল নিয়ে আলোচনা করে। এই বইতে, হেরন একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের জন্য তার তিনটি বাহুর মাধ্যমে বিখ্যাত সূত্রটি উদ্ভাবন করেছেন।

চিত্র ১০.১

হেরন দ্বারা প্রদত্ত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্রটি হিরোর সূত্র হিসাবেও পরিচিত। এটি নিম্নরূপে বলা হয়:

$$ \text { Area of a triangle }=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} $$

যেখানে $a, b$ এবং $c$ ত্রিভুজের বাহু, এবং $s=$ অর্ধ-পরিসীমা, অর্থাৎ ত্রিভুজের পরিসীমার অর্ধেক $=\frac{a+b+c}{2}$,

এই সূত্রটি সহায়ক যেখানে ত্রিভুজের উচ্চতা সহজে নির্ণয় করা সম্ভব নয়। আসুন এটি প্রয়োগ করে উপরে উল্লিখিত ত্রিভুজাকার পার্ক $\mathrm{ABC}$ এর ক্ষেত্রফল গণনা করি (চিত্র ১০.২ দেখুন)।

চিত্র ১০.২

আসুন ধরি $a=40 \mathrm{~m}, b=24 \mathrm{~m}, c=32 \mathrm{~m}$,

যাতে আমাদের আছে $$s=\frac{40+24+32}{2} \mathrm{~m}=48 \mathrm{~m}$$।

$s-a=(48-40) \mathrm{m}=8 \mathrm{~m}$,

$s-b=(48-24) \mathrm{m}=24 \mathrm{~m}$,

$s-c=(48-32) \mathrm{m}=16 \mathrm{~m}$।

অতএব, পার্কের ক্ষেত্রফল $\mathrm{ABC}$

$=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

$=\sqrt{48 \times 8 \times 24 \times 16} \mathrm{~m}^{2}=384 \mathrm{~m}^{2}$

আমরা দেখতে পাই যে $32^{2}+24^{2}=1024+576=1600=40^{2}$। অতএব, পার্কের বাহুগুলি একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে। বৃহত্তম বাহু, অর্থাৎ $\mathrm{BC}$ যা $40 \mathrm{~m}$ হবে অতিভুজ এবং বাহু $\mathrm{AB}$ এবং $\mathrm{AC}$ এর মধ্যবর্তী কোণ হবে $90^{\circ}$।

আমরা যাচাই করতে পারি যে পার্কের ক্ষেত্রফল হল $\frac{1}{2} \times 32 \times 24 \mathrm{~m}^{2}=384 \mathrm{~m}^{2}$।

আমরা দেখতে পাই যে আমরা যে ক্ষেত্রফল পেয়েছি তা হেরনের সূত্র ব্যবহার করে পাওয়া ক্ষেত্রফলের সমান।

এখন হেরনের সূত্র ব্যবহার করে, আপনি পূর্বে আলোচিত অন্যান্য ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করে এই সত্যতা যাচাই করুন, যথা,

(i) বাহু $10 \mathrm{~cm}$ বিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজ।

(ii) অসম বাহু $8 \mathrm{~cm}$ এবং প্রতিটি সমান বাহু $5 \mathrm{~cm}$ বিশিষ্ট সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।

আপনি দেখবেন যে

(i) এর জন্য, আমাদের আছে $s=\frac{10+10+10}{2} \mathrm{~cm}=15 \mathrm{~cm}$।

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $=\sqrt{15(15-10)(15-10)(15-10)} \mathrm{cm}^{2}$

$$ =\sqrt{15 \times 5 \times 5 \times 5} \mathrm{~cm}^{2}=25 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2} $$

(ii) এর জন্য, আমাদের আছে $s=\frac{8+5+5}{2} \mathrm{~cm}=9 \mathrm{~cm}$

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $=\sqrt{9(9-8)(9-5)(9-5)} \mathrm{cm}^{2}=\sqrt{9 \times 1 \times 4 \times 4} \mathrm{~cm}^{2}=12 \mathrm{~cm}^{2}$।

আসুন এখন আরও কিছু উদাহরণ সমাধান করি:

উদাহরণ ১ : একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন, যার দুটি বাহু $8 \mathrm{~cm}$ এবং $11 \mathrm{~cm}$ এবং পরিসীমা $32 \mathrm{~cm}$ (চিত্র ১০.৩ দেখুন)।

চিত্র ১০.৩

সমাধান : এখানে আমাদের ত্রিভুজের পরিসীমা $=32 \mathrm{~cm}, a=8 \mathrm{~cm}$ এবং $b=11 \mathrm{~cm}$।

তৃতীয় বাহু $c=32 \mathrm{~cm}-(8+11) \mathrm{cm}=13 \mathrm{~cm}$

সুতরাং, $\quad 2 s=32$, অর্থাৎ $s=16 \mathrm{~cm}$, $$ \begin{aligned} & s-a=(16-8) \mathrm{cm}=8 \mathrm{~cm}, \\ & s-b=(16-11) \mathrm{cm}=5 \mathrm{~cm}, \\ & s-c=(16-13) \mathrm{cm}=3 \mathrm{~cm} \end{aligned} $$

অতএব, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

$$ =\sqrt{16 \times 8 \times 5 \times 3} \mathrm{~cm}^{2}=8 \sqrt{30} \mathrm{~cm}^{2} $$

উদাহরণ ২ : একটি ত্রিভুজাকার পার্ক $A B C$ এর বাহুগুলি $120 \mathrm{~m}, 80 \mathrm{~m}$ এবং $50 \mathrm{~m}$ (চিত্র ১০.৪ দেখুন)। একজন মালী ধানিয়াকে এর চারপাশে বেড়া দিতে হবে এবং ভিতরে ঘাস লাগাতে হবে। তাঁকে কতটা ক্ষেত্রফলে ঘাস লাগাতে হবে? এক পাশে $3 \mathrm{~m}$ চওড়া একটি গেটের জন্য জায়গা ছেড়ে দিয়ে প্রতি মিটারে ₹ ২০ হারে কাঁটাতারের বেড়ার খরচ নির্ণয় করুন।

চিত্র ১০.৪

সমাধান : পার্কের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য, আমাদের আছে

$$ \begin{aligned} & 2 s=50 \mathrm{~m}+80 \mathrm{~m}+120 \mathrm{~m}=250 \mathrm{~m} . \\ \text { i.e., } \quad & s=125 \mathrm{~m} \end{aligned} $$

এখন, $\quad \quad \quad \quad s-a=(125-120) \mathrm{~m}=5 \mathrm{~m}$,

$$ \begin{aligned} & s-b=(125-80) \mathrm{~m}=45 \mathrm{~m}, \\ & s-c=(125-50) \mathrm{~m}=75 \mathrm{~m} . \end{aligned} $$

অতএব, পার্কের ক্ষেত্রফল $=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

$$ \begin{aligned} & =\sqrt{125 \times 5 \times 45 \times 75} \mathrm{~m}^{2} \ & =375 \sqrt{15} \mathrm{~m}^{2} \end{aligned} $$

এছাড়াও, পার্কের পরিসীমা $=\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{CA}=250 \mathrm{~m}$

অতএব, বেড়ার জন্য প্রয়োজনীয় তারের দৈর্ঘ্য $=250 \mathrm{~m}-3 \mathrm{~m}$ (গেটের জন্য ছাড় দিতে হবে)

$$ =247 \mathrm{~m} $$

এবং তাই বেড়ার খরচ $= 20 rupees \times 247= 4940$ টাকা

উদাহরণ ৩ : একটি ত্রিভুজাকার প্লটের বাহুগুলি $3: 5: 7$ অনুপাতে এবং এর পরিসীমা $300 \mathrm{~m}$। এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন।

সমাধান : ধরা যাক, বাহুগুলি, মিটারে, হল $3 x, 5 x$ এবং $7 x$ (চিত্র ১০.৫ দেখুন)।

তাহলে, আমরা জানি যে $3 x+5 x+7 x=300$ (ত্রিভুজের পরিসীমা)

অতএব, $15 x=300$, যা দেয় $x=20$।

সুতরাং ত্রিভুজের বাহুগুলি হল $3 \times 20 \mathrm{~m}, 5 \times 20 \mathrm{~m}$ এবং $7 \times 20 \mathrm{~m}$

অর্থাৎ, $60 \mathrm{~m}, 100 \mathrm{~m}$ এবং $140 \mathrm{~m}$।

আপনি কি এখন ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে পারেন [হেরনের সূত্র ব্যবহার করে]?

আমাদের আছে $s=\frac{60+100+140}{2} \mathrm{~m}=150 \mathrm{~m}$,

চিত্র ১০.৫

এবং ক্ষেত্রফল হবে $$ \begin{aligned} & \sqrt{150(150-60)(150-100)(150-140)} \mathrm{m}^{2} \\ & =\sqrt{150 \times 90 \times 50 \times 10} \mathrm{~m}^{2} \\ & =1500 \sqrt{3} \mathrm{~m}^{2} \end{aligned} $$

১০.২ সারাংশ

এই অধ্যায়ে, আপনি নিম্নলিখিত বিষয়গুলি অধ্যয়ন করেছেন:

১. $a, b$ এবং $c$ বাহুবিশিষ্ট একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হেরনের সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা হয়, যা নিম্নরূপে বলা হয়:

$$ \begin{aligned} \text { Area of triangle } & =\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ \text{where} \quad s & =\frac{a+b+c}{2} \end{aligned} $$