પ્રકરણ ૧૨ આંકડાશાસ્ત્ર
12.1 માહિતીનું ગ્રાફિકલ નિરૂપણ
માહિતીના કોષ્ટક દ્વારા નિરૂપણ પર પહેલેથી ચર્ચા કરવામાં આવી છે. હવે ચાલો આપણે માહિતીના બીજા નિરૂપણ તરફ ધ્યાન આપીએ, એટલે કે, ગ્રાફિકલ નિરૂપણ. એક સુંદર કહેવત છે કે એક ચિત્ર હજાર શબ્દો કરતાં વધુ સારું છે. સામાન્ય રીતે, વ્યક્તિગત વસ્તુઓ વચ્ચેની તુલના ગ્રાફ દ્વારા શ્રેષ્ઠ રીતે દર્શાવવામાં આવે છે. આ નિરૂપણ પછી વાસ્તવિક માહિતી કરતાં સમજવામાં સરળ બને છે. આ વિભાગમાં આપણે નીચેના ગ્રાફિકલ નિરૂપણોનો અભ્યાસ કરીશું.
(A) દંડ આલેખ (બાર ગ્રાફ)
(B) સમાન પહોળાઈના અને વિવિધ પહોળાઈના આવૃત્તિ-આલેખ (હિસ્ટોગ્રામ)
(C) આવૃત્તિ બહુભુજ (ફ્રીક્વન્સી પોલિગોન)
(A) દંડ આલેખ (બાર ગ્રાફ)
અગાઉની ધોરણોમાં, તમે દંડ આલેખનો અભ્યાસ કર્યો છે અને તેનું નિર્માણ પણ કર્યું છે. અહીં આપણે તેમની ચર્ચા વધુ ઔપચારિક અભિગમ દ્વારા કરીશું. યાદ કરો કે દંડ આલેખ એ માહિતીનું ચિત્રાત્મક નિરૂપણ છે જેમાં સામાન્ય રીતે સમાન પહોળાઈના દંડ એક અક્ષ (ધારો કે, $x$-અક્ષ) પર તેમની વચ્ચે સમાન અંતર રાખીને દોરવામાં આવે છે, જે ચલને દર્શાવે છે. ચલના મૂલ્યો બીજા અક્ષ (ધારો કે, $y$-અક્ષ) પર દર્શાવવામાં આવે છે અને દંડની ઊંચાઈ ચલના મૂલ્યો પર આધારિત હોય છે.
ઉદાહરણ 1 : ધોરણ IX ના એક ચોક્કસ વિભાગમાં, 40 વિદ્યાર્થીઓને તેમના જન્મના મહિનાઓ વિશે પૂછવામાં આવ્યું હતું અને મેળવેલી માહિતી માટે નીચેનો આલેખ તૈયાર કરવામાં આવ્યો હતો:
આકૃતિ 12.1
ઉપર આપેલ દંડ આલેખનું અવલોકન કરો અને નીચેના પ્રશ્નોના જવાબ આપો:
(i) નવેમ્બર મહિનામાં કેટલા વિદ્યાર્થીઓનો જન્મ થયો હતો?
(ii) કયા મહિનામાં મહત્તમ સંખ્યામાં વિદ્યાર્થીઓનો જન્મ થયો હતો?
ઉકેલ : નોંધ લો કે અહીં ચલ ‘જન્મનો મહિનો’ છે, અને ચલનું મૂલ્ય ‘જન્મેલા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા’ છે.
(i) નવેમ્બર મહિનામાં 4 વિદ્યાર્થીઓનો જન્મ થયો હતો.
(ii) મહત્તમ સંખ્યામાં વિદ્યાર્થીઓનો જન્મ ઑગસ્ટ મહિનામાં થયો હતો.
ચાલો હવે નીચેના ઉદાહરણને ધ્યાનમાં લઈને યાદ કરીએ કે દંડ આલેખ કેવી રીતે બનાવવામાં આવે છે.
ઉદાહરણ 2 : ₹ 20,000 ની માસિક આવક ધરાવતા એક પરિવારે વિવિધ મથકો હેઠળ માસિક ખર્ચ નીચે પ્રમાણે આયોજિત કર્યો હતો:
કોષ્ટક 12.1
| મથક | ખર્ચ (હજાર રૂપિયામાં) |
|---|---|
| કરિયાણું | 4 |
| ભાડું | 5 |
| બાળકોનું શિક્ષણ | 5 |
| દવાઓ | 2 |
| ઇંધણ | 2 |
| મનોરંજન | 1 |
| વિવિધ | 1 |
ઉપરની માહિતી માટે દંડ આલેખ દોરો.
ઉકેલ : આપણે નીચેના પગલાંઓમાં આ માહિતીનો દંડ આલેખ દોરીએ છીએ. નોંધ લો કે બીજા સ્તંભમાં એકમ હજાર રૂપિયા છે. તેથી, ‘કરિયાણું’ સામે ‘4’ નો અર્થ ₹4000 થાય છે.
1. આપણે આડા અક્ષ પર મથકો (ચલ) ને કોઈપણ માપક્રમ પસંદ કરીને દર્શાવીએ છીએ, કારણ કે દંડની પહોળાઈ મહત્વની નથી. પરંતુ સ્પષ્ટતા માટે, આપણે બધા દંડ માટે સમાન પહોળાઈ લઈએ છીએ અને તેમની વચ્ચે સમાન અંતર જાળવીએ છીએ. એક મથકને એક એકમ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
2. આપણે ઊભા અક્ષ પર ખર્ચ (મૂલ્ય) દર્શાવીએ છીએ. કારણ કે મહત્તમ ખર્ચ ₹ 5000 છે, આપણે માપક્રમ 1 એકમ = ₹ 1000 તરીકે પસંદ કરી શકીએ છીએ.
3. અમારા પ્રથમ મથક, એટલે કે કરિયાણુંને દર્શાવવા માટે, આપણે 1 એકમ પહોળાઈ અને 4 એકમ ઊંચાઈનો લંબચોરસ દંડ દોરીએ છીએ.
4. એ જ રીતે, અન્ય મથકોને બે ક્રમિક દંડ વચ્ચે 1 એકમનું અંતર છોડીને દર્શાવવામાં આવે છે.
દંડ આલેખ આકૃતિ 12.2 માં દોરવામાં આવ્યો છે.
આકૃતિ 12.2
અહીં, તમે એક નજરમાં માહિતીની સાપેક્ષ લાક્ષણિકતાઓ સરળતાથી કલ્પના કરી શકો છો, ઉદાહરણ તરીકે, શિક્ષણ પરનો ખર્ચ દવાઓના ખર્ચ કરતાં બમણાથી વધુ છે. તેથી, કેટલીક રીતે તે કોષ્ટકીય સ્વરૂપ કરતાં માહિતીના વધુ સારા નિરૂપણ તરીકે સેવા આપે છે.
પ્રવૃત્તિ 1 : પ્રવૃત્તિ 1 ના જ ચાર જૂથો સાથે ચાલુ રાખીને, માહિતીને યોગ્ય દંડ આલેખ દ્વારા દર્શાવો.
ચાલો હવે જોઈએ કે સતત વર્ગ અંતરાલો માટેનું આવૃત્તિ વિતરણ કોષ્ટક કેવી રીતે ગ્રાફિકલી રીતે દર્શાવી શકાય છે.
(B) આવૃત્તિ-આલેખ (હિસ્ટોગ્રામ)
આ એક નિરૂપણનું સ્વરૂપ છે જે દંડ આલેખ જેવું છે, પરંતુ તેનો ઉપયોગ સતત વર્ગ અંતરાલો માટે થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, એક વર્ગના 36 વિદ્યાર્થીઓના વજનને દર્શાવતું આવૃત્તિ વિતરણ કોષ્ટક 12.2 ને ધ્યાનમાં લો:
કોષ્ટક 12.2
| વજન (કિલોગ્રામમાં) | વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા |
|---|---|
| $30.5-35.5$ | 9 |
| $35.5-40.5$ | 6 |
| $40.5-45.5$ | 15 |
| $45.5-50.5$ | 3 |
| $50.5-55.5$ | 1 |
| $55.5-60.5$ | 2 |
| કુલ | 36 |
ચાલો ઉપર આપેલી માહિતીને નીચે પ્રમાણે ગ્રાફિકલી રીતે દર્શાવીએ:
(i) આપણે વજનને આડા અક્ષ પર યોગ્ય માપક્રમ પર દર્શાવીએ છીએ. આપણે માપક્રમ $1 \mathrm{~cm}=5 \mathrm{~kg}$ તરીકે પસંદ કરી શકીએ છીએ. ઉપરાંત, કારણ કે પ્રથમ વર્ગ અંતરાલ 30.5 થી શરૂ થાય છે અને શૂન્યથી નહીં, આપણે તેને અક્ષ પર એક ખાંચ અથવા વિરામ દર્શાવીને ગ્રાફ પર દર્શાવીએ છીએ.
(ii) આપણે વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા (આવૃત્તિ)ને ઊભા અક્ષ પર યોગ્ય માપક્રમ પર દર્શાવીએ છીએ. કારણ કે મહત્તમ આવૃત્તિ 15 છે, આપણે આ મહત્તમ આવૃત્તિને સમાવવા માટે માપક્રમ પસંદ કરવાની જરૂર છે.
(iii) હવે આપણે વર્ગ-માપ જેટલી પહોળાઈ અને અનુરૂપ વર્ગ અંતરાલોની આવૃત્તિઓ અનુસાર લંબાઈના લંબચોરસ (અથવા લંબચોરસ દંડ) દોરીએ છીએ. ઉદાહરણ તરીકે, વર્ગ અંતરાલ $30.5-35.5$ માટેનો લંબચોરસ $1 \mathrm{~cm}$ પહોળાઈ અને $4.5 \mathrm{~cm}$ લંબાઈનો હશે.
(iv) આ રીતે, આપણને આકૃતિ 12.3 માં બતાવ્યા પ્રમાણે ગ્રાફ મળે છે:
આકૃતિ 12.3
નોંધ લો કે ક્રમિક લંબચોરસો વચ્ચે કોઈ અંતર ન હોવાથી, પરિણામી ગ્રાફ એક ઘન આકૃતિ જેવો દેખાય છે. આને આવૃત્તિ-આલેખ (હિસ્ટોગ્રામ) કહેવામાં આવે છે, જે સતત વર્ગો સાથેનું સમૂહિત આવૃત્તિ વિતરણનું ગ્રાફિકલ નિરૂપણ છે. ઉપરાંત, દંડ આલેખથી વિપરીત, દંડની પહોળાઈ તેના નિર્માણમાં મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવે છે.
અહીં, હકીકતમાં, ઊભા કરેલા લંબચોરસોના ક્ષેત્રફળો અનુરૂપ આવૃત્તિઓના પ્રમાણસર હોય છે. જો કે, કારણ કે લંબચોરસોની પહોળાઈ બધી સમાન હોય છે, લંબચોરસોની લંબાઈ આવૃત્તિઓના પ્રમાણસર હોય છે. તેથી જ, આપણે ઉપર (iii) મુજબ લંબાઈ દોરીએ છીએ.
હવે, ઉપરના કરતાં અલગ પરિસ્થિતિને ધ્યાનમાં લો.
ઉદાહરણ 3 : એક શિક્ષકે 100 ગુણની ગણિતની પરીક્ષામાં વિદ્યાર્થીઓના બે વિભાગોના પ્રદર્શનનું વિશ્લેષણ કરવા માંગ્યું. તેમના પ્રદર્શન જોતાં, તેમને જણાયું કે થોડા વિદ્યાર્થીઓને 20 ગુણથી ઓછા મળ્યા અને થોડાને 70 ગુણ અથવા વધુ મળ્યા. તેથી તેમણે તેમને વિવિધ કદના અંતરાલોમાં જૂથબદ્ધ કરવાનું નક્કી કર્યું: $0-20,20-30, \ldots, 60-70$, 70 - 100. પછી તેમણે નીચેનું કોષ્ટક બનાવ્યું:
કોષ્ટક 12.3
| ગુણ | વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા |
|---|---|
| $0-20$ | 7 |
| $20-30$ | 10 |
| $30-40$ | 10 |
| $40-50$ | 20 |
| $50-60$ | 20 |
| $60-70$ | 15 |
| $70-$ ઉપર | 8 |
| કુલ | 90 |
આ કોષ્ટક માટે એક વિદ્યાર્થી દ્વારા આકૃતિ 12.4 માં બતાવ્યા પ્રમાણે એક હિસ્ટોગ્રામ તૈયાર કરવામાં આવ્યું હતું.
આકૃતિ 12.4
આ ગ્રાફિકલ નિરૂપણનું કાળજીપૂર્વક પરીક્ષણ કરો. શું તમને લાગે છે કે તે માહિતીને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે? ના, આલેખ આપણને ભ્રામક ચિત્ર આપી રહ્યો છે. જેમ આપણે અગાઉ ઉલ્લેખ કર્યો છે, હિસ્ટોગ્રામમાં લંબચોરસોના ક્ષેત્રફળો આવૃત્તિઓના પ્રમાણસર હોય છે. અગાઉ આ સમસ્યા ઊભી થઈ ન હતી, કારણ કે બધા લંબચોરસોની પહોળાઈ સમાન હતી. પરંતુ અહીં, લંબચોરસોની પહોળાઈ બદલાતી હોવાથી, ઉપરનો હિસ્ટોગ્રામ યોગ્ય ચિત્ર આપતો નથી. ઉદાહરણ તરીકે, તે $70-100$ અંતરાલમાં $60-70$ કરતાં વધુ આવૃત્તિ દર્શાવે છે, જે કેસ નથી.
તેથી, આપણે લંબચોરસોની લંબાઈમાં કેટલાક ફેરફારો કરવાની જરૂર છે જેથી ક્ષેત્રફળ ફરીથી આવૃત્તિઓના પ્રમાણસર થાય.
અનુસરવાના પગલાં નીચે મુજબ છે:
- ન્યૂનતમ વર્ગ-માપ સાથેના વર્ગ અંતરાલને પસંદ કરો. ઉપરના ઉદાહરણમાં, ન્યૂનતમ વર્ગ-માપ 10 છે.
- પછી લંબચોરસોની લંબાઈ વર્ગ-માપ 10 ના પ્રમાણસર થવા માટે સુધારવામાં આવે છે.
ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે વર્ગ-માપ 20 હોય, ત્યારે લંબચોરસની લંબાઈ 7 હોય. તેથી જ્યારે વર્ગ-માપ 10 હોય, ત્યારે લંબચોરસની લંબાઈ $\frac{7}{20} \times 10=3.5$ થશે.
એ જ રીતે, આ રીતે આગળ વધતા, આપણને નીચેનું કોષ્ટક મળે છે:
કોષ્ટક 12.4
| ગુણ | આવૃત્તિ | વર્ગની પહોળાઈ |
લંબચોરસની લંબાઈ |
|---|---|---|---|
| $0-20$ | 7 | 20 | $\frac{7}{20} \times 10=3.5$ |
| $20-30$ | 10 | 10 | $\frac{10}{10} \times 10=10$ |
| $30-40$ | 10 | 10 | $\frac{10}{10} \times 10=10$ |
| $40-50$ | 20 | 10 | $\frac{20}{10} \times 10=20$ |
| $50-60$ | 20 | 10 | $\frac{20}{10} \times 10=20$ |
| $60-70$ | 15 | 10 | $\frac{15}{10} \times 10=15$ |
| $70-100$ | 8 | 30 | $\frac{8}{30} \times 10=2.67$ |
કારણ કે આપણે દરેક કિસ્સામાં 10 ગુણના અંતરાલ માટે આ લંબાઈઓની ગણતરી કરી છે, આપણે આ લંબાઈઓને “10 ગુણના અંતરાલ દીઠ વિદ્યાર્થીઓનો પ્રમાણ” કહી શકીએ છીએ.
તેથી, વિવિધ પહોળાઈ સાથેનો યોગ્ય હિસ્ટોગ્રામ આકૃતિ 12.5 માં આપેલ છે.
આકૃતિ 12.5
(C) આવૃત્તિ બહુભુજ (ફ્રીક્વન્સી પોલિગોન)
પરિમાણાત્મક માહિતી અને તેની આવૃત્તિઓને દર્શાવવાની હજુ એક દ્રશ્ય રીત છે. તે એક બહુભુજ છે. આપણે શું મતલબ રાખીએ છીએ તે જોવા માટે, આકૃતિ 12.3 દ્વારા દર્શાવેલ હિસ્ટોગ્રામને ધ્યાનમાં લો. ચાલો આ હિસ્ટોગ્રામના અડીને આવેલા લંબચોરસોની ઉપરની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને રેખા ખંડો દ્વારા જોડીએ. ચાલો આ મધ્યબિંદુઓને B, C, D, E, F અને G કહીએ. જ્યારે રેખા ખંડો દ્વારા જોડવામાં આવે છે, ત્યારે આપણને આકૃતિ BCDEFG મળે છે (આકૃતિ 12.6 જુઓ). બહુભુજને પૂર્ણ કરવા માટે, આપણે ધારીએ છીએ કે 30.5 - 35.5 પહેલાં શૂન્ય આવૃત્તિ સાથેનો એક વર્ગ અંતરાલ છે, અને 55.5 - 60.5 પછીનો એક છે, અને તેમના મધ્યબિંદુઓ અનુક્રમે $\mathrm{A}$ અને $\mathrm{H}$ છે. $\mathrm{ABCDEFGH}$ એ આકૃતિ 12.3 માં બતાવેલ માહિતીને અનુરૂપ આવૃત્તિ બહુભુજ છે. આપણે આને આકૃતિ 12.6 માં બતાવ્યું છે.
આકૃતિ 12.6
જોકે, સૌથી નીચા વર્ગ પહેલાં અને સૌથી ઊંચા વર્ગ પછી કોઈ વર્ગ અસ્તિત્વમાં નથી, શૂન્ય આવૃત્તિ સાથેના બે વર્ગ અંતરાલો ઉમેરવાથી આપણે આવૃત્તિ બહુભુજનું ક્ષેત્રફળ હિસ્ટોગ્રામના ક્ષેત્રફળ જેટલું બનાવવા માટે સક્ષમ બનીએ છીએ. આવું કેમ છે? (સંકેત : સર્વગ સમત્રિકોણના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરો.)
હવે, પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: જ્યારે પ્રથમ વર્ગ પહેલાં કોઈ વર્ગ ન હોય ત્યારે આપણે બહુભુજને કેવી રીતે પૂર્ણ કરીએ? ચાલો આવી પરિસ્થિતિને ધ્યાનમાં લઈએ.
ઉદાહરણ 4 : કોષ્ટક 12.5 માં આપેલી, એક પરીક્ષામાં એક વર્ગના 51 વિદ્યાર્થીઓએ મેળવેલા, 100 માંથી ગુણને ધ્યાનમાં લો.
કોષ્ટક 12.5
| ગુણ | વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા |
|---|---|
| $0-10$ | 5 |
| $10-20$ | 10 |
| $20-30$ | 4 |
| $30-40$ | 6 |
| $40-50$ | 7 |
| $50-60$ | 3 |
| $60-70$ | 2 |
| $70-80$ | 2 |
| $80-90$ | 3 |
| $90-100$ | 9 |
| કુલ | 51 |
આ આવૃત્તિ વિતરણ કોષ્ટકને અનુરૂપ આવૃત્તિ બહુભુજ દોરો.
ઉકેલ : ચાલો પહેલા આ માહિતી માટે હિસ્ટોગ્રામ દોરીએ અને લંબચોરસોના શિરોબિંદુઓના મધ્યબિંદુઓને અનુક્રમે B, C, D, E, F, G, H, I, J, K તરીકે ચિહ્નિત કરીએ. અહીં, પ્રથમ વર્ગ $0-10$ છે. તેથી, $0-10$ પહેલાંના વર્ગને શોધવા માટે, આપણે આડા અક્ષને નકારાત્મક દિશામાં વિસ્તારીએ છીએ અને કાલ્પનિક વર્ગ-અંતરાલ $(-10)-0$ નું મધ્યબિંદુ શોધીએ છીએ. પ્રથમ અંતિમ બિંદુ, એટલે કે, $\mathrm{B}$ આ મધ્યબિંદુ સાથે આડા અક્ષની નકારાત્મક દિશામાં શૂન્ય આવૃત્તિ સાથે જોડવામાં આવે છે. જ્યાં આ રેખા ખંડ ઊભા અક્ષને મળે છે તે બિંદુને $\mathrm{A}$ તરીકે ચિહ્નિત કરવામાં આવે છે. ધારો કે $\mathrm{L}$ આપેલી માહિતીના છેલ્લા વર્ગ પછીના વર્ગનું મધ્યબિંદુ છે. તો OABCDEFGHIJKL એ આવૃત્તિ બહુભુજ છે, જે આકૃતિ 12.7 માં બતાવવામાં આવ્યું છે.
આકૃતિ 12.7
આવૃત્તિ બહુભુજો હિસ્ટોગ્રામ દોર્યા વિના પણ સ્વતંત્ર રીતે દોરી શકાય છે. આ માટે, આપણને માહિતીમાં ઉપયોગમાં લેવાતા વર્ગ-અંતરાલોના મધ્યબિંદુઓની જરૂર પડે છે. આ વર્ગ-અંતરાલોના મધ્યબિંદુઓને વર્ગ-ચિહ્નો કહેવામાં આવે છે.
વર્ગ અંતરાલનું વર્ગ-ચિહ્ન શોધવા માટે, આપણે વર્ગની ઉપરની મર્યાદા અને નીચેની મર્યાદાનો સરવાળો શોધીએ છીએ અને તેને 2 વડે ભાગીએ છીએ. આમ,
$$ \text { Class-mark }=\frac{\text { Upper limit }+ \text { Lower limit }}{2} $$
ચાલો એક ઉદાહરણ ધ્યાનમાં લઈએ.
ઉદાહરણ 5 : એક શહેરમાં, જીવનધોરણ ખર્ચના અભ્યાસમાં કરવામાં આવેલા સાપ્તાહિક અવલોકનો નીચેના કોષ્ટકમાં આપેલ છે:
કોષ્ટક 12.6
| જીવનધોરણ ખર્ચ | અઠવાડિયાંની સંખ્યા |
|---|---|
| $140-150$ | 5 |
| $150-160$ | 10 |
| $160-170$ | 20 |
| $170-180$ | 9 |
| $180-190$ | 6 |
| $190-200$ | 2 |
| કુલ | 52 |
ઉપરની માહિતી માટે આવૃત્તિ બહુભુજ દોરો (હિસ્ટોગ
BETA
