باب 12 شماریات
12.1 ڈیٹا کی گرافیکل نمائندگی
ڈیٹا کی جدولوں کے ذریعے نمائندگی پر پہلے ہی بحث ہو چکی ہے۔ اب آئیے ہم ڈیٹا کی ایک اور نمائندگی، یعنی گرافیکل نمائندگی کی طرف توجہ دیتے ہیں۔ یہ کہاوت بالکل درست ہے کہ ایک تصویر ہزار الفاظ کے برابر ہوتی ہے۔ عام طور پر مختلف اشیاء کے درمیان موازنہ گراف کے ذریعے بہترین طریقے سے دکھایا جا سکتا ہے۔ اس طرح نمائندگی اصل ڈیٹا کی نسبت سمجھنے میں آسان ہو جاتی ہے۔ ہم اس سیکشن میں درج ذیل گرافیکل نمائندگیوں کا مطالعہ کریں گے۔
(الف) بار گراف
(ب) یکساں چوڑائی اور مختلف چوڑائیوں کے ہسٹوگرام
(ج) فریکوئنسی پولی گن
(الف) بار گراف
پچھلی کلاسوں میں، آپ پہلے ہی بار گراف کا مطالعہ کر چکے ہیں اور انہیں بنانا سیکھ چکے ہیں۔ یہاں ہم ان پر ایک زیادہ رسمی نقطہ نظر سے بحث کریں گے۔ یاد رکھیں کہ بار گراف ڈیٹا کی ایک تصویری نمائندگی ہے جس میں عام طور پر یکساں چوڑائی کی سلاخیں ایک محور (مثلاً، $x$-محور) پر ان کے درمیان برابر فاصلہ رکھتے ہوئے کھینچی جاتی ہیں، جو متغیر کو ظاہر کرتی ہیں۔ متغیر کی قدریں دوسرے محور (مثلاً، $y$-محور) پر دکھائی جاتی ہیں اور سلاخوں کی اونچائی متغیر کی قدروں پر منحصر ہوتی ہے۔
مثال 1 : نویں جماعت کے ایک خاص سیکشن میں، 40 طلباء سے ان کی پیدائش کے مہینوں کے بارے میں پوچھا گیا اور حاصل کردہ ڈیٹا کے لیے درج ذیل گراف تیار کیا گیا:
شکل 12.1
اوپر دیے گئے بار گراف کا مشاہدہ کریں اور درج ذیل سوالات کے جواب دیں:
(i) نومبر کے مہینے میں کتنے طلباء پیدا ہوئے؟
(ii) کس مہینے میں سب سے زیادہ تعداد میں طلباء پیدا ہوئے؟
حل : نوٹ کریں کہ یہاں متغیر ‘پیدائش کا مہینہ’ ہے، اور متغیر کی قدر ‘پیدا ہونے والے طلباء کی تعداد’ ہے۔
(i) نومبر کے مہینے میں 4 طلباء پیدا ہوئے۔
(ii) سب سے زیادہ تعداد میں طلباء اگست کے مہینے میں پیدا ہوئے۔
آئیے اب درج ذیل مثال پر غور کرتے ہوئے یاد کریں کہ بار گراف کیسے بنایا جاتا ہے۔
مثال 2 : ₹ 20,000 کی ماہانہ آمدنی والے ایک خاندان نے مختلف مدوں کے تحت ماہانہ اخراجات کی منصوبہ بندی کی تھی:
جدول 12.1
| مد | اخراجات (ہزار روپے میں) |
|---|---|
| گروسری | 4 |
| کرایہ | 5 |
| بچوں کی تعلیم | 5 |
| دوائیں | 2 |
| ایندھن | 2 |
| تفریح | 1 |
| متفرق | 1 |
اوپر دیے گئے ڈیٹا کے لیے ایک بار گراف بنائیں۔
حل : ہم اس ڈیٹا کا بار گراف درج ذیل مراحل میں بناتے ہیں۔ نوٹ کریں کہ دوسرے کالم میں اکائی ہزار روپے ہے۔ لہٰذا، ‘گروسری’ کے مقابل ‘4’ کا مطلب ₹4000 ہے۔
1. ہمدستی محور پر مدوں (متغیر) کو کوئی بھی مناسب پیمانہ منتخب کرتے ہوئے ظاہر کرتے ہیں، کیونکہ سلاخ کی چوڑائی اہم نہیں ہے۔ لیکن واضح طور پر، ہم تمام سلاخوں کے لیے برابر چوڑائی رکھتے ہیں اور ان کے درمیان برابر فاصلہ برقرار رکھتے ہیں۔ ایک مد کو ایک اکائی سے ظاہر کریں۔
2. ہم عمودی محور پر اخراجات (قدر) کو ظاہر کرتے ہیں۔ چونکہ زیادہ سے زیادہ خرچ ₹ 5000 ہے، ہم پیمانہ 1 اکائی =₹ 1000 منتخب کر سکتے ہیں۔
3. اپنی پہلی مد، یعنی گروسری، کو ظاہر کرنے کے لیے، ہم ایک مستطیل نما سلاخ کھینچتے ہیں جس کی چوڑائی 1 اکائی اور اونچائی 4 اکائی ہو۔
4. اسی طرح، دیگر مدوں کو دو متواتر سلاخوں کے درمیان 1 اکائی کا فاصلہ چھوڑتے ہوئے ظاہر کیا جاتا ہے۔
بار گراف شکل 12.2 میں بنایا گیا ہے۔
شکل 12.2
یہاں، آپ ایک نظر میں ڈیٹا کی نسبتی خصوصیات کو آسانی سے تصور کر سکتے ہیں، مثلاً، تعلیم پر خرچ طبی اخراجات سے دوگنا سے زیادہ ہے۔ لہٰذا، کچھ طریقوں سے یہ جدولی شکل کی نسبت ڈیٹا کی بہتر نمائندگی کے طور پر کام کرتا ہے۔
سرگرمی 1 : سرگرمی 1 کے اسی چار گروپوں کو جاری رکھتے ہوئے، ڈیٹا کو مناسب بار گراف کے ذریعے ظاہر کریں۔
آئیے اب دیکھتے ہیں کہ مسلسل طبقہ وقفوں کے لیے تعدد تقسیم جدول کو گرافیکلی طور پر کیسے پیش کیا جا سکتا ہے۔
(ب) ہسٹوگرام
یہ بار گراف کی طرح نمائندگی کی ایک شکل ہے، لیکن اسے مسلسل طبقہ وقفوں کے لیے استعمال کیا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، تعدد تقسیم جدول 12.2 پر غور کریں، جو ایک کلاس کے 36 طلباء کے وزن ظاہر کر رہا ہے:
جدول 12.2
| وزن (کلوگرام میں) | طلباء کی تعداد |
|---|---|
| $30.5-35.5$ | 9 |
| $35.5-40.5$ | 6 |
| $40.5-45.5$ | 15 |
| $45.5-50.5$ | 3 |
| $50.5-55.5$ | 1 |
| $55.5-60.5$ | 2 |
| کل | 36 |
آئیے اوپر دیے گئے ڈیٹا کو گرافیکلی طور پر درج ذیل طریقے سے ظاہر کریں:
(i) ہم وزن کو ہمدستی محور پر ایک مناسب پیمانے پر ظاہر کرتے ہیں۔ ہم پیمانہ $1 \mathrm{~cm}=5 \mathrm{~kg}$ منتخب کر سکتے ہیں۔ نیز، چونکہ پہلا طبقہ وقفہ 30.5 سے شروع ہو رہا ہے نہ کہ صفر سے، ہم اسے گراف پر ایک کِنک یا بریک محور پر نشان لگا کر دکھاتے ہیں۔
(ii) ہم طلباء کی تعداد (تعدد) کو عمودی محور پر ایک مناسب پیمانے پر ظاہر کرتے ہیں۔ چونکہ زیادہ سے زیادہ تعدد 15 ہے، ہمیں اس زیادہ سے زیادہ تعدد کو ایڈجسٹ کرنے کے لیے پیمانہ منتخب کرنے کی ضرورت ہے۔
(iii) اب ہم مستطیل (یا مستطیل نما سلاخیں) کھینچتے ہیں جن کی چوڑائی طبقہ سائز کے برابر ہو اور لمبائی متعلقہ طبقہ وقفوں کی تعدد کے مطابق ہو۔ مثال کے طور پر، طبقہ وقفہ $30.5-35.5$ کے لیے مستطیل کی چوڑائی $1 \mathrm{~cm}$ اور لمبائی $4.5 \mathrm{~cm}$ ہوگی۔
(iv) اس طرح، ہمیں وہ گراف حاصل ہوتا ہے جو شکل 12.3 میں دکھایا گیا ہے:
شکل 12.3
مشاہدہ کریں کہ چونکہ متواتر مستطیلوں کے درمیان کوئی خلا نہیں ہے، نتیجے میں حاصل ہونے والا گراف ایک ٹھوس شکل کی طرح نظر آتا ہے۔ اسے ہسٹوگرام کہتے ہیں، جو مسلسل طبقات کے ساتھ گروپ شدہ تعدد تقسیم کی گرافیکل نمائندگی ہے۔ نیز، بار گراف کے برعکس، سلاخ کی چوڑائی اس کی تعمیر میں اہم کردار ادا کرتی ہے۔
یہاں، درحقیقت، کھڑے کیے گئے مستطیلوں کے رقبے متعلقہ تعدد کے متناسب ہوتے ہیں۔ تاہم، چونکہ مستطیلوں کی چوڑائیاں سب برابر ہیں، مستطیلوں کی لمبائیاں تعدد کے متناسب ہوتی ہیں۔ اسی لیے، ہم لمبائیاں اوپر (iii) کے مطابق کھینچتے ہیں۔
اب، اوپر والی صورت حال سے مختلف ایک صورت حال پر غور کریں۔
مثال 3 : ایک استاد 100 نمبروں کے ریاضی کے ٹیسٹ میں طلباء کے دو سیکشنز کی کارکردگی کا تجزیہ کرنا چاہتی تھیں۔ ان کی کارکردگی کو دیکھتے ہوئے، انہوں نے پایا کہ کچھ طلباء 20 نمبروں سے کم حاصل کرتے ہیں اور کچھ 70 نمبر یا اس سے زیادہ حاصل کرتے ہیں۔ لہٰذا انہوں نے انہیں مختلف سائز کے وقفوں میں گروپ کرنے کا فیصلہ کیا جیسے: $0-20,20-30, \ldots, 60-70$, 70 - 100۔ پھر انہوں نے درج ذیل جدول بنایا:
جدول 12.3
| نمبر | طلباء کی تعداد |
|---|---|
| $0-20$ | 7 |
| $20-30$ | 10 |
| $30-40$ | 10 |
| $40-50$ | 20 |
| $50-60$ | 20 |
| $60-70$ | 15 |
| $70-$ سے اوپر | 8 |
| کل | 90 |
اس جدول کے لیے ایک ہسٹوگرام ایک طالب علم کے ذریعے تیار کیا گیا تھا جیسا کہ شکل 12.4 میں دکھایا گیا ہے۔
شکل 12.4
اس گرافیکل نمائندگی کا بغور جائزہ لیں۔ کیا آپ کے خیال میں یہ ڈیٹا کو صحیح طور پر ظاہر کرتا ہے؟ نہیں، گراف ہمیں ایک گمراہ کن تصویر دے رہا ہے۔ جیسا کہ ہم نے پہلے ذکر کیا ہے، ہسٹوگرام میں مستطیلوں کے رقبے تعدد کے متناسب ہوتے ہیں۔ پہلے یہ مسئلہ نہیں اٹھا، کیونکہ تمام مستطیلوں کی چوڑائیاں برابر تھیں۔ لیکن یہاں، چونکہ مستطیلوں کی چوڑائیاں مختلف ہیں، اوپر والا ہسٹوگرام صحیح تصویر نہیں دیتا۔ مثال کے طور پر، یہ وقفہ $70-100$ میں، وقفہ $60-70$ کی نسبت زیادہ تعدد دکھاتا ہے، جو کہ معاملہ نہیں ہے۔
لہٰذا، ہمیں مستطیلوں کی لمبائیوں میں کچھ ترامیم کرنے کی ضرورت ہے تاکہ رقبے پھر سے تعدد کے متناسب ہو جائیں۔
درج ذیل مراحل پر عمل کرنا ہے:
- کم از کم طبقہ سائز والا ایک طبقہ وقفہ منتخب کریں۔ اوپر والی مثال میں، کم از کم طبقہ سائز 10 ہے۔
- پھر مستطیلوں کی لمبائیوں کو طبقہ سائز 10 کے متناسب بنانے کے لیے تبدیل کیا جاتا ہے۔
مثال کے طور پر، جب طبقہ سائز 20 ہے، مستطیل کی لمبائی 7 ہے۔ لہٰذا جب طبقہ سائز 10 ہے، مستطیل کی لمبائی $\frac{7}{20} \times 10=3.5$ ہوگی۔
اسی طرح، اس طریقے سے آگے بڑھتے ہوئے، ہمیں درج ذیل جدول حاصل ہوتا ہے:
جدول 12.4
| نمبر | تعدد | طبقہ کی چوڑائی |
مستطیل کی لمبائی |
|---|---|---|---|
| $0-20$ | 7 | 20 | $\frac{7}{20} \times 10=3.5$ |
| $20-30$ | 10 | 10 | $\frac{10}{10} \times 10=10$ |
| $30-40$ | 10 | 10 | $\frac{10}{10} \times 10=10$ |
| $40-50$ | 20 | 10 | $\frac{20}{10} \times 10=20$ |
| $50-60$ | 20 | 10 | $\frac{20}{10} \times 10=20$ |
| $60-70$ | 15 | 10 | $\frac{15}{10} \times 10=15$ |
| $70-100$ | 8 | 30 | $\frac{8}{30} \times 10=2.67$ |
چونکہ ہم نے ہر صورت میں 10 نمبروں کے وقفہ کے لیے یہ لمبائیاں حساب کی ہیں، ہم ان لمبائیوں کو “فی 10 نمبر وقفہ طلباء کا تناسب” کہہ سکتے ہیں۔
لہٰذا، مختلف چوڑائی کے ساتھ صحیح ہسٹوگرام شکل 12.5 میں دیا گیا ہے۔
شکل 12.5
(ج) فریکوئنسی پولی گن
کمیتی ڈیٹا اور اس کی تعدد کو ظاہر کرنے کا ایک اور بصری طریقہ بھی ہے۔ یہ ایک کثیرالاضلاع شکل ہے۔ دیکھنے کے لیے کہ ہمارا کیا مطلب ہے، شکل 12.3 کے ذریعے ظاہر کردہ ہسٹوگرام پر غور کریں۔ آئیے اس ہسٹوگرام کے متصل مستطیلوں کے اوپری اطراف کے وسطی نقاط کو لکیروں کے قطعات کے ذریعے ملائیں۔ آئیے ان وسطی نقاط کو B, C, D, E, F اور G کہتے ہیں۔ جب لکیروں کے قطعات سے ملایا جاتا ہے، تو ہمیں شکل BCDEFG حاصل ہوتی ہے (شکل 12.6 دیکھیں)۔ کثیرالاضلاع شکل کو مکمل کرنے کے لیے، ہم فرض کرتے ہیں کہ 30.5 - 35.5 سے پہلے تعدد صفر والا ایک طبقہ وقفہ ہے، اور 55.5 - 60.5 کے بعد ایک ہے، اور ان کے وسطی نقاط بالترتیب $\mathrm{A}$ اور $\mathrm{H}$ ہیں۔ $\mathrm{ABCDEFGH}$ وہ فریکوئنسی پولی گن ہے جو شکل 12.3 میں دکھائے گئے ڈیٹا کے مطابق ہے۔ ہم نے یہ شکل 12.6 میں دکھایا ہے۔
شکل 12.6
اگرچہ، سب سے کم طبقہ سے پہلے اور سب سے زیادہ طبقہ کے بعد کوئی طبقہ موجود نہیں ہے، لیکن صفر تعدد والے دو طبقہ وقفوں کا اضافہ ہمیں فریکوئنسی پولی گن کا رقبہ ہسٹوگرام کے رقبہ کے برابر بنانے کے قابل بناتا ہے۔ ایسا کیوں ہے؟ (اشارہ : مطابق مثلثوں کی خصوصیات استعمال کریں۔)
اب، سوال یہ پیدا ہوتا ہے: جب پہلے طبقہ سے پہلے کوئی طبقہ نہ ہو تو ہم کثیرالاضلاع شکل کو کیسے مکمل کریں؟ آئیے ایسی صورت حال پر غور کریں۔
مثال 4 : ایک کلاس کے 51 طلباء کے ٹیسٹ میں حاصل کردہ، 100 میں سے، نمبروں پر غور کریں، جو جدول 12.5 میں دیے گئے ہیں۔
جدول 12.5
| نمبر | طلباء کی تعداد |
|---|---|
| $0-10$ | 5 |
| $10-20$ | 10 |
| $20-30$ | 4 |
| $30-40$ | 6 |
| $40-50$ | 7 |
| $50-60$ | 3 |
| $60-70$ | 2 |
| $70-80$ | 2 |
| $80-90$ | 3 |
| $90-100$ | 9 |
| کل | 51 |
اس تعدد تقسیم جدول کے مطابق ایک فریکوئنسی پولی گن بنائیں۔
حل : آئیے پہلے اس ڈیٹا کے لیے ایک ہسٹوگرام بناتے ہیں اور مستطیلوں کے اوپری حصوں کے وسطی نقاط کو بالترتیب B, C, D, E, F, G, H, I, J, K کے طور پر نشان زد کرتے ہیں۔ یہاں، پہلا طبقہ $0-10$ ہے۔ لہٰذا، $0-10$ سے پہلے والا طبقہ تلاش کرنے کے لیے، ہم ہمدستی محور کو منفی سمت میں بڑھاتے ہیں اور فرضی طبقہ وقفہ $(-10)-0$ کا وسطی نقطہ تلاش کرتے ہیں۔ پہلا اختتامی نقطہ، یعنی $\mathrm{B}$، ہمدستی محور کی منفی سمت میں صفر تعدد والے اس وسطی نقطہ سے ملایا جاتا ہے۔ وہ نقطہ جہاں یہ لکیر کا قطعہ عمودی محور سے ملتا ہے، $\mathrm{A}$ کے طور پر نشان زد کیا جاتا ہے۔ مان لیں $\mathrm{L}$ دیے گئے ڈیٹا کے آخری طبقہ کے بعد آنے والے طبقہ کا وسطی نقطہ ہے۔ پھر OABCDEFGHIJKL فریکوئنسی پولی گن ہے، جو شکل 12.7 میں دکھایا گیا ہے۔
شکل 12.7
فریکوئنسی پولی گن ہسٹوگرام بنائے بغیر بھی آزادانہ طور پر بنائے جا سکتے ہیں۔ اس کے لیے، ہمیں ڈیٹا میں استعمال ہونے والے طبقہ وقفوں کے وسطی نقاط کی ضرورت ہوتی ہے۔ طبقہ وقفوں کے یہ وسطی نقاط طبقہ نشانات کہلاتے ہیں۔
طبقہ وقفہ کا طبقہ نشان تلاش کرنے کے لیے، ہم طبقہ کی بالائی حد اور زیریں حد کا مجموعہ تلاش کرتے ہیں اور اسے 2 سے تقسیم کرتے ہیں۔ اس طرح،
$$ \text { Class-mark }=\frac{\text { Upper limit }+ \text { Lower limit }}{2} $$
آئیے ایک مثال پر غور کریں۔
مثال 5 : ایک شہر میں، رہائشی اخراجات کے اشاریہ پر کیے گئے مطالعہ میں ہفتہ وار مشاہدات درج ذیل جدول میں دی گئی ہیں:
جدول 12.6
| رہائشی اخراجات کا اشاریہ | ہفتوں کی تعداد |
|---|---|
| $140-150$ | 5 |
| $150-160$ | 10 |
| $160-170$ | 20 |
| $170-180$ | 9 |
| $180-190$ | 6 |
| $190-200$ | 2 |
| کل | 52 |
اوپر دیے گئے ڈیٹا کے لیے ایک فریکوئنسی پولی گن بنائیں (ہسٹوگرام بنائے بغیر)۔
حل : چونکہ ہم ہسٹوگرام بنائے بغیر فریکوئنسی پولی گن بنانا چاہتے ہیں، آئیے اوپر دیے گئے طبقات کے طبقہ نشانات تلاش کرتے ہیں، یعنی $140-150,150-160, \ldots$ کے۔
$140-150$ کے لیے، بالائی حد $=150$، اور زیریں حد $=140$
لہٰذا، طبقہ نشان $=\frac{150+140}{2}=\frac{290}{2}=145$۔
اسی طریقے سے جاری رکھتے ہوئے، ہم دیگر طبقات کے طبقہ نشانات بھی تلاش کرتے ہیں۔ لہٰذا، حاصل ہونے والا نیا جدول درج ذیل جدول کے طور پر ہے:
جدول 12.7
| طبقات | طبقہ نشانات | تعدد |
|---|---|---|
| $140-150$ | 145 | 5 |
| $150-160$ | 155 | 10 |
| $160-170$ | 165 | 20 |
| $170-180$ | 175 | 9 |
| $180-190$ | 185 | 6 |
| $190-200$ | 195 | 2 |
| کل | 52 |
اب ہم فریکوئنسی پولی گن بنا سکتے ہیں بذریعہ طبقہ نشانات کو ہمدستی محور پر، تعدد کو عمودی محور پر پلاٹ کرنے، اور پھر نقاط $\mathrm{B}(145,5), \mathrm{C}(155,10), \mathrm{D}(165,20), \mathrm{E}(175,9), \mathrm{F}(185,6)$ اور $\mathrm{G}(195,2)$ کو پلاٹ کرنے اور لکیروں کے قطعات سے ملانے کے۔ ہمیں سب سے کم طبقہ 140 - 150 سے پہلے والے طبقہ 130 - 140 کے طبقہ نشان کے مطابق نقطہ کو صفر تعدد کے ساتھ پلاٹ کرنا نہیں بھولنا چاہیے، یعنی $\mathrm{A}(135,0)$، اور نقطہ $\mathrm{H}(205,0)$ فوراً بعد $\mathrm{G}(195,2)$ کے آتا ہے۔ لہٰذا، نتیجے میں حاصل ہونے والی فریکوئنسی پولی گن ABCDEFGH ہوگی (شکل 12.8 دیکھیں)۔
شکل 12.8
فریکوئنسی پولی گن اس وقت استعمال کی جاتی ہیں جب ڈیٹا مسلسل اور بہت زیادہ ہو۔ یہ ایک ہی نوعیت کے دو مختلف ڈیٹا سیٹس کا موازنہ کرنے کے لیے بہت مفید ہے، مثال کے طور پر، ایک ہی کلاس کے دو مختلف سیکشنز کی کارکردگی کا موازنہ کرنا۔
12.2 خلاصہ
اس باب میں، آپ نے درج ذیل نکات کا مطالعہ کیا ہے:
1. ڈیٹا کو گرافیکلی طور پر کیسے بار گراف، ہسٹوگرام اور فریکوئنسی پولی گن کی شکل میں پیش کیا جا سکتا ہے۔
BETA
