ಅಧ್ಯಾಯ 12 ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು
12.1 ದತ್ತಾಂಶದ ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ನಿರೂಪಣೆ
ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕಗಳ ಮೂಲಕ ನಿರೂಪಿಸುವುದನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈಗ ನಾವು ದತ್ತಾಂಶದ ಇನ್ನೊಂದು ನಿರೂಪಣೆಯ ಕಡೆಗೆ, ಅಂದರೆ ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ನಿರೂಪಣೆಯ ಕಡೆಗೆ ತಿರುಗೋಣ. ಒಂದು ಚಿತ್ರ ಸಾವಿರ ಮಾತುಗಳಿಗಿಂತ ಉತ್ತಮ ಎಂದು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಹೇಳಲಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಅಂಶಗಳ ನಡುವಿನ ಹೋಲಿಕೆಗಳನ್ನು ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಮೂಲಕ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ತೋರಿಸಬಹುದು. ಆಗ ನಿರೂಪಣೆಯು ನಿಜವಾದ ದತ್ತಾಂಶಕ್ಕಿಂತ ಸುಲಭವಾಗಿ ಅರ್ಥವಾಗುವಂತಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ನಿರೂಪಣೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.
(ಎ) ಬಾರ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು (ಸ್ತಂಭಾಲೇಖ)
(ಬಿ) ಏಕರೂಪದ ಅಗಲ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನ ಅಗಲಗಳ ಹಿಸ್ಟೋಗ್ರಾಮ್ಗಳು
(ಸಿ) ಆವೃತ್ತಿ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳು (ಫ್ರೀಕ್ವೆನ್ಸಿ ಪಾಲಿಗನ್ಸ್)
(ಎ) ಬಾರ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು (ಸ್ತಂಭಾಲೇಖ)
ಹಿಂದಿನ ತರಗತಿಗಳಲ್ಲಿ, ನೀವು ಈಗಾಗಲೇ ಬಾರ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೀರಿ ಮತ್ತು ನಿರ್ಮಿಸಿದ್ದೀರಿ. ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಔಪಚಾರಿಕ ವಿಧಾನದ ಮೂಲಕ ಚರ್ಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಬಾರ್ ಗ್ರಾಫ್ ಎಂದರೆ ದತ್ತಾಂಶದ ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ನಿರೂಪಣೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಏಕರೂಪದ ಅಗಲದ ಸ್ತಂಭಗಳನ್ನು ಒಂದು ಅಕ್ಷದ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $x$-ಅಕ್ಷ) ಮೇಲೆ ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ಸಮಾನ ಅಂತರವನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಚರಾಂಶವನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸುತ್ತದೆ. ಚರಾಂಶದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಇನ್ನೊಂದು ಅಕ್ಷದ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $y$-ಅಕ್ಷ) ಮೇಲೆ ತೋರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸ್ತಂಭಗಳ ಎತ್ತರಗಳು ಚರಾಂಶದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 1 : ಒಂಬತ್ತನೇ ತರಗತಿಯ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, 40 ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳನ್ನು ಅವರ ಜನನದ ತಿಂಗಳುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಕೇಳಲಾಯಿತು ಮತ್ತು ಪಡೆದ ದತ್ತಾಂಶಕ್ಕಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗ್ರಾಫ್ ತಯಾರಿಸಲಾಯಿತು:
ಚಿತ್ರ 12.1
ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ಬಾರ್ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ ಉತ್ತರಿಸಿ:
(i) ನವೆಂಬರ್ ತಿಂಗಳಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಜನಿಸಿದ್ದಾರೆ?
(ii) ಯಾವ ತಿಂಗಳಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಜನಿಸಿದ್ದಾರೆ?
ಪರಿಹಾರ : ಇಲ್ಲಿ ಚರಾಂಶವು ‘ಜನನದ ತಿಂಗಳು’ ಎಂದು ಮತ್ತು ಚರಾಂಶದ ಮೌಲ್ಯವು ‘ಜನಿಸಿದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ’ ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ.
(i) ನವೆಂಬರ್ ತಿಂಗಳಲ್ಲಿ 4 ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಜನಿಸಿದ್ದಾರೆ.
(ii) ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಆಗಸ್ಟ್ ತಿಂಗಳಲ್ಲಿ ಜನಿಸಿದ್ದಾರೆ.
ಈಗ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಬಾರ್ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ.
ಉದಾಹರಣೆ 2 : ₹ 20,000 ಮಾಸಿಕ ಆದಾಯವಿರುವ ಒಂದು ಕುಟುಂಬವು ವಿವಿಧ ಶೀರ್ಷಿಕೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ತಿಂಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಖರ್ಚುಗಳನ್ನು ಯೋಜಿಸಿತ್ತು:
ಕೋಷ್ಟಕ 12.1
| ಶೀರ್ಷಿಕೆಗಳು | ಖರ್ಚು (ಸಾವಿರ ರೂಪಾಯಿಗಳಲ್ಲಿ) |
|---|---|
| ಕಿರಾಣಿ ಸಾಮಗ್ರಿ | 4 |
| ಬಾಡಿಗೆ | 5 |
| ಮಕ್ಕಳ ಶಿಕ್ಷಣ | 5 |
| ಔಷಧ | 2 |
| ಇಂಧನ | 2 |
| ಮನರಂಜನೆ | 1 |
| ಇತರೆ | 1 |
ಮೇಲಿನ ದತ್ತಾಂಶಕ್ಕಾಗಿ ಬಾರ್ ಗ್ರಾಫ್ ಎಳೆಯಿರಿ.
ಪರಿಹಾರ : ಈ ದತ್ತಾಂಶದ ಬಾರ್ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಎಳೆಯುತ್ತೇವೆ. ಎರಡನೇ ಕಾಲಂನಲ್ಲಿರುವ ಘಟಕವು ಸಾವಿರ ರೂಪಾಯಿಗಳು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, ‘ಕಿರಾಣಿ ಸಾಮಗ್ರಿ’ ಯ ಎದುರು ‘4’ ಎಂದರೆ ₹4000.
1. ನಾವು ಶೀರ್ಷಿಕೆಗಳನ್ನು (ಚರಾಂಶ) ಸಮತಲ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಸ್ತಂಭದ ಅಗಲವು ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ. ಆದರೆ ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ, ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಸ್ತಂಭಗಳಿಗೆ ಸಮಾನ ಅಗಲಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ಸಮಾನ ಅಂತರವನ್ನು ಕಾಪಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಒಂದು ಶೀರ್ಷಿಕೆಯನ್ನು ಒಂದು ಘಟಕದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.
2. ನಾವು ಖರ್ಚನ್ನು (ಮೌಲ್ಯ) ಲಂಬ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತೇವೆ. ಗರಿಷ್ಠ ಖರ್ಚು ₹ 5000 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು 1 ಘಟಕ = ₹ 1000 ಎಂದು ಆರಿಸಬಹುದು.
3. ನಮ್ಮ ಮೊದಲ ಶೀರ್ಷಿಕೆ, ಅಂದರೆ ಕಿರಾಣಿ ಸಾಮಗ್ರಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು, ನಾವು 1 ಘಟಕ ಅಗಲ ಮತ್ತು 4 ಘಟಕ ಎತ್ತರದ ಒಂದು ಆಯತಾಕಾರದ ಸ್ತಂಭವನ್ನು ಎಳೆಯುತ್ತೇವೆ.
4. ಇದೇ ರೀತಿ, ಇತರ ಶೀರ್ಷಿಕೆಗಳನ್ನು ಎರಡು ಅನುಕ್ರಮ ಸ್ತಂಭಗಳ ನಡುವೆ 1 ಘಟಕದ ಅಂತರವನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಬಾರ್ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಚಿತ್ರ 12.2 ರಲ್ಲಿ ಎಳೆಯಲಾಗಿದೆ.
ಚಿತ್ರ 12.2
ಇಲ್ಲಿ, ನೀವು ದತ್ತಾಂಶದ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ನೋಟದಲ್ಲಿ ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಲ್ಪಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಶಿಕ್ಷಣದ ಮೇಲಿನ ಖರ್ಚು ವೈದ್ಯಕೀಯ ಖರ್ಚಿಗಿಂತ ಎರಡು ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಕೆಲವು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಇದು ಕೋಷ್ಟಕ ರೂಪಕ್ಕಿಂತ ದತ್ತಾಂಶದ ಉತ್ತಮ ನಿರೂಪಣೆಯಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ.
ಕ್ರಿಯಾಶೀಲತೆ 1 : ಕ್ರಿಯಾಶೀಲತೆ 1 ರ ಅದೇ ನಾಲ್ಕು ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಮುಂದುವರೆಸಿ, ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಸೂಕ್ತ ಬಾರ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಮೂಲಕ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿ.
ಈಗ ನಿರಂತರ ವರ್ಗಾಂತರಗಳಿಗಾಗಿನ ಆವೃತ್ತಿ ವಿತರಣಾ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಹೇಗೆ ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡೋಣ.
(ಬಿ) ಹಿಸ್ಟೋಗ್ರಾಮ್
ಇದು ಬಾರ್ ಗ್ರಾಫ್ ನಂತಹ ಒಂದು ನಿರೂಪಣೆಯ ರೂಪವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಇದನ್ನು ನಿರಂತರ ವರ್ಗಾಂತರಗಳಿಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ತರಗತಿಯ 36 ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ತೂಕಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಆವೃತ್ತಿ ವಿತರಣಾ ಕೋಷ್ಟಕ 12.2 ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:
ಕೋಷ್ಟಕ 12.2
| ತೂಕ (ಕೆಜಿಯಲ್ಲಿ) | ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ |
|---|---|
| $30.5-35.5$ | 9 |
| $35.5-40.5$ | 6 |
| $40.5-45.5$ | 15 |
| $45.5-50.5$ | 3 |
| $50.5-55.5$ | 1 |
| $55.5-60.5$ | 2 |
| ಒಟ್ಟು | 36 |
ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸೋಣ:
(i) ನಾವು ತೂಕಗಳನ್ನು ಸಮತಲ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಸೂಕ್ತ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು $1 \mathrm{~cm}=5 \mathrm{~kg}$ ಎಂದು ಆರಿಸಬಹುದು. ಹಾಗೆಯೇ, ಮೊದಲ ವರ್ಗಾಂತರವು 30.5 ರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಅಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಮಡಿಕೆ ಅಥವಾ ವಿರಾಮವನ್ನು ಗುರುತಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅದನ್ನು ಗ್ರಾಫ್ ನಲ್ಲಿ ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ.
(ii) ನಾವು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು (ಆವೃತ್ತಿ) ಲಂಬ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಸೂಕ್ತ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತೇವೆ. ಗರಿಷ್ಠ ಆವೃತ್ತಿ 15 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಈ ಗರಿಷ್ಠ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಸಮಾವೇಶಗೊಳಿಸಲು ನಾವು ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಆರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.
(iii) ಈಗ ನಾವು ವರ್ಗ-ಗಾತ್ರಕ್ಕೆ ಸಮಾನ ಅಗಲ ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ವರ್ಗಾಂತರಗಳ ಆವೃತ್ತಿಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಉದ್ದದ ಆಯತಗಳನ್ನು (ಅಥವಾ ಆಯತಾಕಾರದ ಸ್ತಂಭಗಳನ್ನು) ಎಳೆಯುತ್ತೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $30.5-35.5$ ವರ್ಗಾಂತರದ ಆಯತವು $1 \mathrm{~cm}$ ಅಗಲ ಮತ್ತು $4.5 \mathrm{~cm}$ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.
(iv) ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಚಿತ್ರ 12.3 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
ಚಿತ್ರ 12.3
ಅನುಕ್ರಮ ಆಯತಗಳ ನಡುವೆ ಯಾವುದೇ ಅಂತರಗಳಿಲ್ಲದಿರುವುದರಿಂದ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಗ್ರಾಫ್ ಒಂದು ಘನ ಆಕೃತಿಯಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ. ಇದನ್ನು ಹಿಸ್ಟೋಗ್ರಾಮ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ನಿರಂತರ ವರ್ಗಗಳೊಂದಿಗಿನ ಗುಂಪು ಆವೃತ್ತಿ ವಿತರಣೆಯ ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ನಿರೂಪಣೆಯಾಗಿದೆ. ಹಾಗೆಯೇ, ಬಾರ್ ಗ್ರಾಫ್ ಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಸ್ತಂಭದ ಅಗಲವು ಅದರ ನಿರ್ಮಾಣದಲ್ಲಿ ಮಹತ್ವದ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತದೆ.
ಇಲ್ಲಿ, ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಆಯತಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳು ಅನುಗುಣವಾದ ಆವೃತ್ತಿಗಳಿಗೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಆದರೆ, ಆಯತಗಳ ಅಗಲಗಳು ಎಲ್ಲವೂ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಆಯತಗಳ ಉದ್ದಗಳು ಆವೃತ್ತಿಗಳಿಗೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ, ನಾವು ಮೇಲೆ (iii) ರಲ್ಲಿ ಹೇಳಿದಂತೆ ಉದ್ದಗಳನ್ನು ಎಳೆಯುತ್ತೇವೆ.
ಈಗ, ಮೇಲಿನದಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.
ಉದಾಹರಣೆ 3 : ಒಬ್ಬ ಶಿಕ್ಷಕರು 100 ಅಂಕಗಳ ಗಣಿತ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಎರಡು ವಿಭಾಗಗಳ ಕಾರ್ಯಕ್ಷಮತೆಯನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲು ಬಯಸಿದರು. ಅವರ ಕಾರ್ಯಕ್ಷಮತೆಯನ್ನು ನೋಡಿದಾಗ, ಕೆಲವು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು 20 ಅಂಕಗಳ ಕೆಳಗೆ ಪಡೆದಿದ್ದರು ಮತ್ತು ಕೆಲವರು 70 ಅಂಕಗಳು ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಪಡೆದಿದ್ದರು. ಆದ್ದರಿಂದ ಅವರು ಅವರನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ಗಾತ್ರದ ವರ್ಗಾಂತರಗಳಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಗುಂಪು ಮಾಡಲು ನಿರ್ಧರಿಸಿದರು: $0-20,20-30, \ldots, 60-70$, 70 - 100. ನಂತರ ಅವರು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ರಚಿಸಿದರು:
ಕೋಷ್ಟಕ 12.3
| ಅಂಕಗಳು | ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ |
|---|---|
| $0-20$ | 7 |
| $20-30$ | 10 |
| $30-40$ | 10 |
| $40-50$ | 20 |
| $50-60$ | 20 |
| $60-70$ | 15 |
| $70-$ ಮೇಲೆ | 8 |
| ಒಟ್ಟು | 90 |
ಈ ಕೋಷ್ಟಕಕ್ಕಾಗಿ ಒಬ್ಬ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಚಿತ್ರ 12.4 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಹಿಸ್ಟೋಗ್ರಾಮ್ ಅನ್ನು ತಯಾರಿಸಿದನು.
ಚಿತ್ರ 12.4
ಈ ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ನಿರೂಪಣೆಯನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ. ಇದು ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೀವು ಭಾವಿಸುತ್ತೀರಾ? ಇಲ್ಲ, ಗ್ರಾಫ್ ನಮಗೆ ತಪ್ಪು ತಿಳಿವಳಿಕೆ ನೀಡುವ ಚಿತ್ರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತಿದೆ. ನಾವು ಮೊದಲೇ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದಂತೆ, ಹಿಸ್ಟೋಗ್ರಾಮ್ ನಲ್ಲಿ ಆಯತಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳು ಆವೃತ್ತಿಗಳಿಗೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಹಿಂದೆ ಈ ಸಮಸ್ಯೆ ಉದ್ಭವಿಸಲಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಆಯತಗಳ ಅಗಲಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದವು. ಆದರೆ ಇಲ್ಲಿ, ಆಯತಗಳ ಅಗಲಗಳು ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಮೇಲಿನ ಹಿಸ್ಟೋಗ್ರಾಮ್ ಸರಿಯಾದ ಚಿತ್ರವನ್ನು ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇದು $70-100$ ವರ್ಗಾಂತರದಲ್ಲಿ $60-70$ ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಅದು ನಿಜವಲ್ಲ.
ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರದೇಶಗಳು ಮತ್ತೆ ಆವೃತ್ತಿಗಳಿಗೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಆಯತಗಳ ಉದ್ದಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಮಾರ್ಪಾಡುಗಳನ್ನು ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.
ಅನುಸರಿಸಬೇಕಾದ ಹಂತಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿವೆ:
- ಕನಿಷ್ಠ ವರ್ಗ ಗಾತ್ರವಿರುವ ವರ್ಗಾಂತರವನ್ನು ಆರಿಸಿ. ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಕನಿಷ್ಠ ವರ್ಗ-ಗಾತ್ರ 10 ಆಗಿದೆ.
- ಆಯತಗಳ ಉದ್ದಗಳನ್ನು ನಂತರ ವರ್ಗ-ಗಾತ್ರ 10 ಕ್ಕೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಮಾರ್ಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವರ್ಗ-ಗಾತ್ರ 20 ಆಗಿರುವಾಗ, ಆಯತದ ಉದ್ದ 7 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ವರ್ಗ-ಗಾತ್ರ 10 ಆಗಿರುವಾಗ, ಆಯತದ ಉದ್ದ $\frac{7}{20} \times 10=3.5$ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.
ಇದೇ ರೀತಿಯಾಗಿ ಮುಂದುವರೆದು, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
ಕೋಷ್ಟಕ 12.4
| ಅಂಕಗಳು | ಆವೃತ್ತಿ | ವರ್ಗದ ಅಗಲ |
ಆಯತದ ಉದ್ದ |
|---|---|---|---|
| $0-20$ | 7 | 20 | $\frac{7}{20} \times 10=3.5$ |
| $20-30$ | 10 | 10 | $\frac{10}{10} \times 10=10$ |
| $30-40$ | 10 | 10 | $\frac{10}{10} \times 10=10$ |
| $40-50$ | 20 | 10 | $\frac{20}{10} \times 10=20$ |
| $50-60$ | 20 | 10 | $\frac{20}{10} \times 10=20$ |
| $60-70$ | 15 | 10 | $\frac{15}{10} \times 10=15$ |
| $70-100$ | 8 | 30 | $\frac{8}{30} \times 10=2.67$ |
ಪ್ರತಿ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ 10 ಅಂಕಗಳ ವರ್ಗಾಂತರಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಈ ಉದ್ದಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಈ ಉದ್ದಗಳನ್ನು “ಪ್ರತಿ 10 ಅಂಕಗಳ ವರ್ಗಾಂತರದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಪ್ರಮಾಣ” ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು.
ಆದ್ದರಿಂದ, ವಿಭಿನ್ನ ಅಗಲದೊಂದಿಗೆ ಸರಿಯಾದ ಹಿಸ್ಟೋಗ್ರಾಮ್ ಅನ್ನು ಚಿತ್ರ 12.5 ರಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.
ಚಿತ್ರ 12.5
(ಸಿ) ಆವೃತ್ತಿ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ (ಫ್ರೀಕ್ವೆನ್ಸಿ ಪಾಲಿಗನ್)
ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ದತ್ತಾಂಶ ಮತ್ತು ಅದರ ಆವೃತ್ತಿಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಇನ್ನೊಂದು ದೃಶ್ಯ ಮಾರ್ಗವೂ ಇದೆ. ಇದು ಒಂದು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಾಗಿದೆ. ನಾವು ಏನನ್ನು ಹೇಳುತ್ತಿದ್ದೇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡಲು, ಚಿತ್ರ 12.3 ರಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾದ ಹಿಸ್ಟೋಗ್ರಾಮ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಈ ಹಿಸ್ಟೋಗ್ರಾಮ್ ನ ಅಕ್ಕಪಕ್ಕದ ಆಯತಗಳ ಮೇಲಿನ ಬದಿಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳನ್ನು ರೇಖಾ ಖಂಡಗಳ ಮೂಲಕ ಸೇರಿಸೋಣ. ಈ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳನ್ನು B, C, D, E, F ಮತ್ತು G ಎಂದು ಕರೆಯೋಣ. ರೇಖಾ ಖಂಡಗಳಿಂದ ಸೇರಿಸಿದಾಗ, ನಾವು BCDEFG ಆಕೃತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (ಚಿತ್ರ 12.6 ನೋಡಿ). ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು, 30.5 - 35.5 ಕ್ಕಿಂತ ಮೊದಲು ಮತ್ತು 55.5 - 60.5 ಕ್ಕಿಂತ ನಂತರ ಶೂನ್ಯ ಆವೃತ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ವರ್ಗಾಂತರವಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ, ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ $\mathrm{A}$ ಮತ್ತು $\mathrm{H}$ ಆಗಿವೆ. $\mathrm{ABCDEFGH}$ ಚಿತ್ರ 12.3 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾದ ದತ್ತಾಂಶಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಆವೃತ್ತಿ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಾಗಿದೆ. ನಾವು ಇದನ್ನು ಚಿತ್ರ 12.6 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿದ್ದೇವೆ.
ಚಿತ್ರ 12.6
ಕಡಿಮೆ ವರ್ಗಕ್ಕಿಂತ ಮೊದಲಿನ ವರ್ಗ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ವರ್ಗದ ನಂತರದ ವರ್ಗವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದಿದ್ದರೂ, ಶೂನ್ಯ ಆವೃತ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ವರ್ಗಾಂತರಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದರಿಂದ ಆವೃತ್ತಿ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವು ಹಿಸ್ಟೋಗ್ರಾಮ್ ನ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವಂತೆ ಮಾಡಲು ನಮಗೆ ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಏಕೆ? (ಸುಳಿವು : ಸರ್ವಸಮ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ.)
ಈಗ, ಮೊದಲ ವರ್ಗಕ್ಕಿಂತ ಮೊದಲು ಯಾವುದೇ ವರ್ಗವಿಲ್ಲದಾಗ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಬೇಕು ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.
ಉದಾಹರಣೆ 4 : ಕೋಷ್ಟಕ 12.5 ರಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ, ಒಂದು ತರಗತಿಯ 51 ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಪಡೆದ 100 ರಲ್ಲಿ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.
ಕೋಷ್ಟಕ 12.5
| ಅಂಕಗಳು | ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ |
|---|---|
| $0-10$ | 5 |
| $10-20$ | 10 |
| $20-30$ | 4 |
| $30-40$ | 6 |
| $40-50$ | 7 |
| $50-60$ | 3 |
| $60-70$ | 2 |
| $70-80$ | 2 |
| $80-90$ | 3 |
| $90-100$ | 9 |
| ಒಟ್ಟು | 51 |
ಈ ಆವೃತ್ತಿ ವಿತರಣಾ ಕೋಷ್ಟಕಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಆವೃತ್ತಿ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ.
ಪರಿಹಾರ : ಮೊದಲು ಈ ದತ್ತಾಂಶಕ್ಕಾಗಿ ಹಿಸ್ಟೋಗ್ರಾಮ್ ಎಳೆಯೋಣ ಮತ್ತು ಆಯತಗಳ ಮೇಲ್ಭಾಗಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ B, C, D, E, F, G, H, I, J, K ಎಂದು ಗುರುತಿಸೋಣ. ಇಲ್ಲಿ, ಮೊದಲ ವರ್ಗವು $0-10$ ಆಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, $0-10$ ಕ್ಕಿಂತ ಮೊದಲಿನ ವರ್ಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ಸಮತಲ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಋಣಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ವರ್ಗಾಂತರ $(-10)-0$ ನ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ. ಮೊದಲ ತುದಿ ಬಿಂದು, ಅಂದರೆ $\mathrm{B}$ ಅನ್ನು ಸಮತಲ ಅಕ್ಷದ ಋಣಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯ ಆವೃತ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಈ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ರೇಖಾ ಖಂಡವು ಲಂಬ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಸಂಧಿಸುವ ಬಿಂದುವನ್ನು $\mathrm{A}$ ಎಂದು ಗುರುತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. $\mathrm{L}$ ನೀಡಲಾದ ದತ್ತಾಂಶದ ಕೊನೆಯ ವರ್ಗದ ನಂತರದ ವರ್ಗದ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ. ಆಗ OABCDEFGHIJKL ಆವೃತ್ತಿ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಾಗಿದೆ, ಅದನ್ನು ಚಿತ್ರ 12.7 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ.
ಚಿತ್ರ 12.7
ಹಿಸ್ಟೋಗ್ರಾಮ್ ಎಳೆಯದೆಯೇ ಆವೃತ್ತಿ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಎಳೆಯಬಹುದು. ಇದಕ್ಕಾಗಿ, ದತ್ತಾಂಶದಲ್ಲಿ ಬಳಸಿದ ವರ್ಗಾಂತರಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳು ನಮಗೆ ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ. ಈ ವರ್ಗಾಂತರಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳನ್ನು ವರ್ಗ-ಗುರುತುಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ವರ್ಗಾಂತರದ ವರ್ಗ-ಗುರುತನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ವರ್ಗದ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಮಿತಿಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದು ಅದನ್ನು 2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗೆ,
$$ \text { Class-mark }=\frac{\text { Upper limit }+ \text { Lower limit }}{2} $$
ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.
ಉದಾಹರಣೆ 5 : ಒಂದು ನಗರದಲ್ಲಿ, ಜೀವನ ವೆಚ್ಚ ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಮಾಡಿದ ಸಾಪ್ತಾಹಿಕ ವೀಕ್ಷಣೆಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:
ಕೋಷ್ಟಕ 12.6
| ಜೀವನ ವೆಚ್ಚ ಸೂಚ್ಯಂಕ | ವಾರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ |
|---|---|
| $140-150$ | 5 |
| $150-160$ | 10 |
| $160-170$ | 20 |
| $170-180$ | 9 |
| $180-190$ | 6 |
| $190-200$ | 2 |
| ಒಟ್ಟು | 52 |
ಮೇಲಿನ ದತ್ತಾಂಶಕ್ಕಾಗಿ ಆವೃತ್ತಿ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ (ಹಿಸ್ಟೋಗ್ರಾಮ್ ನಿರ್ಮಿಸದೆ).
ಪರಿಹಾರ : ನಾವು ಹಿಸ್ಟೋಗ್ರಾಮ್ ಇಲ್ಲದೆ ಆವೃತ್ತಿ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ಎಳೆಯಲು ಬಯಸುವುದರಿಂದ, ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ವರ್ಗಗಳ ವರ್ಗ-ಗುರುತುಗಳನ್ನು, ಅಂದರೆ $140-150,150-160, \ldots$ ನ ವರ್ಗ-ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.
$140-150$ ಗಾಗಿ, ಮೇಲಿನ ಮಿತಿ $=150$, ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಮಿತಿ $=140$
ಆದ್ದರಿಂದ, ವರ್ಗ-ಗುರುತು $=\frac{150+140}{2}=\frac{290}{2}=145$.
ಇದೇ ರೀತಿಯಾಗಿ ಮುಂದುವರೆದು, ನಾವು ಇತರ ವರ್ಗಗಳ ವರ್ಗ-ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಸಹ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪಡೆದ ಹೊಸ ಕೋಷ್ಟಕವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತಿದೆ:
ಕೋಷ್ಟಕ 12.7
| ವರ್ಗಗಳು | ವರ್ಗ-ಗುರುತುಗಳು | ಆವೃತ್ತಿ |
|---|---|---|
| $140-150$ | 145 | 5 |
| $150-160$ | 155 | 10 |
| $160-170$ | 165 | 20 |
| $170-180$ | 175 | 9 |
| $180-190$ | 185 | 6 |
| $190-200$ | 195 | 2 |
| ಒಟ್ಟು | 52 |
ಈಗ ನಾವು ವರ್ಗ-ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಸಮತಲ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ, ಆವೃತ್ತಿಗಳನ್ನು ಲಂಬ-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಿ, ಮತ್ತು ನಂತರ $\mathrm{B}(145,5), \mathrm{C}(155,10), \mathrm{D}(165,20), \mathrm{E}(175,9), \mathrm{F}(185,6)$ ಮತ್ತು $\mathrm{G}(195,2)$ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ರೇಖಾ ಖಂಡಗಳಿಂದ ಗುರುತಿಸಿ ಮತ್ತು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಆವೃತ್ತಿ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ಎಳೆಯಬಹುದು. ಕಡಿಮೆ ವರ್ಗ
BETA
